专题03 二次函数与几何综合常考题型（十大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题03二次函数与几何综合常考题型 【题型01 ：二次函数与角相等】 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角相等】 【典例1】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【变式1-1】已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 【典例2】综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，求m的值． 【典例3】如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【典例4】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【变式4-1】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【题型03：二次函数与面积综合】 【典例5】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式，并求出点的坐标． (2)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． (3)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C，连结、．点D在该抛物线上，过点D作，交直线于点E，连结、、．设点D横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)当点D在第一象限时，求的最大值； (3)当时，求m的值． 【变式5-2】如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．以点B为圆心，为半径作圆，P是上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到．当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值． 【变式5-3】如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式5-4】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上． (3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【典例6】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； 【变式6-1】已知抛物线L：与x轴交于点A，B（A在B的左侧），顶点为C，将抛物线L向左平移5个单位，得到抛物线． (1)求A，B，C三点坐标； (2)M为抛物线L上一动点，N为抛物线上一动点，是否存在M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】如图，抛物线经过点A，B，对称轴是直线，与y轴交于点，B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值； (3)在y轴的右侧是否存在点M，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-4】如图，已知拋物线与直线都经过，两点，该拋物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【典例7】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线L的表达式． (2)若点P是直线上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线，点B的对应点为Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出抛物线的表达式：若不存在，请说明理由． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【典例8】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； (3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 【变式8-2】已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【典例9】如图，抛物线交x轴于点，B，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)若抛物线对称轴上存在一点P，使为以为腰的等腰三角形，求满足条件的点P的坐标． 【变式9-1】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知点，．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点的坐标． 【变式9-2】如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求 的面积； (3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-3】如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求线段的长． (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【典例10】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点． (1)求A，B 两点的坐标； (2)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【典例11】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【典例12】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 【变式12-1】如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．    (1)求点、的坐标； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03二次函数与几何综合常考题型 【题型01 ：二次函数与角相等】 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角相等】 【典例1】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)P的横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得； （3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①当在轴下方时，设交轴于，如图： 点是的中点，， ， 设直线解析式为 把，代入 ∴ 得直线解析式为， ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得或； ； ②当在轴上方时，交轴于，如图， ， ∴与关于轴对称， 由①知直线解析式为， ， ， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图： 由可得抛物线对称轴为直线， ，， ，直线解析式为， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即轴， 抛物线对称轴直线垂直轴， 直线， 当在直线上时，也在直线上， 如图： 由得， ，； 设，则，， ， ， 解得（舍去）或， 此时的横坐标为； ②当在对称轴右侧时，如图： 同理可知，； 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， 此时的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【变式1-1】已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A，其顶点为D，P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式，并写出D点坐标； (2)如图1，点在抛物线上，连接，点P在抛物线对称轴左侧，满足，请求出点P的坐标； (3)如图2，连接，． ①判断的形状； ②当时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)①直角三角形；②或 【分析】（1）分别求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入求解即可； （2）连接，过B作于F，判断四边形是正方形，得出，，则可证，利用证明，可求出G的坐标，利用待定系数法求出的解析式，然后与抛物线解析式联立方程组求解即可； （3）①利用两点间距离公式，勾股定理的逆定理即可判断；②分在的上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， 把B、C的坐标代入， 得， 解得， ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：把代入，得， ∴， ∴轴，则轴，， ∵，， ∴， 如图，连接，过B作于F， 则四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴ （3）解：①∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，其中； ②当在的上方时，如图， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 当在的下方时， 如图，过B作，交于G，过G作于H 又①知， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴设的解析式为， ∴， ∴， ∴ 联立方程组， 解得或， ∴P的坐标为； 综上，P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与逆定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、等腰直角三角形求解是解题的关键． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线．D为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为m，过点D作轴于点F，交直线于点E． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)当时，求点D的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的性质和待定系数法求解即可得； （2）过点作于点，先求出的长，从而可得点的坐标，再代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，，解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∵为直线上方抛物线上的一个动点，横坐标为，轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为． 【典例2】综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)或3 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）分两种情况画出图形，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）当点P在轴下方时，如图，过点P作轴于点D，则点D的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 即， 解得 其中不合题意，故 当点P在轴上方时，如图，过点P作轴于点E，则点E的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形，， 即， 解得 其中不合题意，故 综上可知，或. 【典例3】如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且顶点为，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在的上方抛物线上存在一点P，已知P点的横坐标为t，过点P作交于点Q，则是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由； (3)如图②，连接，抛物线上是否存在点M，使得，如果存在，请求出直线与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)最大值； (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，求出  ，求出直线的解析式为，由题意知，，，得到，即可得到答案； （3）分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为 设该抛物线解析式为： ∵点在抛物线上 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为： （2）如图，过点P作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E    令则 解得：， ∴   设直线的解析式为， 则 解得 ∴ 由题意知，， 所以， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴当时，的值最大，最大值是 （3）①如图，取点A关于y轴的对称点，连接，    直线与抛物线在第四象限的交点即为点M ∵ ∴且 ∴ ∴直线与x轴的交点坐标为 ②如图，    ∵ 若，则 将绕着C点逆时针旋转得到线段， 则直线与抛物线在第一象限的交点即为点M，过点M作轴于点N， 则， ∴， ∴ ∴， 设点M的坐标为，则， ∴ ∴ 解得或 则， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为： 令，则 ∴直线与x轴的交点坐标为 综上可知，直线与x轴的交点坐标为或 【题型02 ：二次函数与线段最值】 【典例4】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数解析式及顶点坐标，一次函数解析式，二次函数的性质，解直角三角形等知识； （1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求解； （2）设直线为，把，分别代入解析式即可求得直线解析式，即可求解； （3）以为斜边作（点在轴右侧），使得得，过点作，交轴于，交于点，则，根据，得，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长，在中，，，可得，，进而可求得，即可求解 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为， （2）解：设直线为， 把，分别代入得， ． 直线为解析式为 令得， ． （3）解：如图，以为斜边作（点在轴右侧），使得， ， 过点作，交轴于，交于点，则， 根据，得 则，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长， 在中，， ， ， 即的最小值为 【变式4-1】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点，且对称轴是直线． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为．求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最大值是，此时点 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，线段最值问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴是直线，则，代入，待定系数法求解析式，即可求解． （3）证明得出，设点，表示出，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 直线l与x轴交于点，与y轴交于点， ， 解得：， 直线l的解析式为； （2）设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴是直线， ， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3），， ， 在中，， ， 轴，， ， 在中， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， 设点， ， ， ， 当时，有最大值是，此时最大， ， 当时，， ， 的最大值是，此时点． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）分情况讨论当为腰时点D坐标即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵  ，   ∴， ∴， ∵为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合）， 当时， ， 或； 当时， ， ， ； 综上所述，，或； （3）解：∵在中，， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 【题型03：二次函数与面积综合】 【典例5】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式，并求出点的坐标． (2)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标． (3)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当与的面积相等求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，然后过点M作轴交于点N，设点M的坐标为，则点N的坐标为，即可得到的长，然后利用求出解析式得到最值即可； （3）分为点Q在上方和点Q在下方两种情况，求出过点Q的直线解析式，然后求直线与抛物线的交点即可解题． 【详解】（1）解：把，两点代入得： ，解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则， 解得：或， ∴点C的坐标为； （2）设直线的解析式为，代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 过点M作轴交于点N， 设点M的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，最大，这时点M的坐标为； （3）解：∵当时， ∴点在抛物线上， ∴， 当点Q在上方时，设过点Q且与平行的直线解析式为， 把代入得，解得， ∴， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为； 当点Q在下方时，则过点Q且与平行的直线为直线向下平移3个单位长度，即为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或； 【变式5-1】在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，，交y轴于点C，连结、．点D在该抛物线上，过点D作，交直线于点E，连结、、．设点D横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)当点D在第一象限时，求的最大值； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2），用含的式子表示出来即可求解； （3）当点D在x轴上方时，证明，求出点点，即可求解；当点D在x轴下方时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， ∵抛物线交x轴于点，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）如图，连结，， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）设交于点H，当点D在x轴上方时，过点A、B分别作的垂线交的延长线于点N、M，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 由点、的坐标得直线的表达式为：， ∵， ∴设直线的表达式为， 代入， 解得， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（负值舍）； 当点D在x轴下方时，如图， 同理可得：点， 同理求得直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（负值舍）； 综上，或． 【变式5-2】如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．以点B为圆心，为半径作圆，P是上的一个动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到．当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）根据旋转的性质结合与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形，得到四边形为正方形，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，，证明，得到，进而得到点Q在以点D为圆心，半径为的圆上运动，连接，过点D作交的延长线于点H，求出点Q到直线的距离最大值，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当与在x轴上方的部分相切时，四边形为矩形，且， 矩形为正方形． ． ． ， ， 将，分别代入， 得解得 抛物线的解析式为． （2）如图，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，． 在和中，，． ， ． ． ． 点Q在以点D为圆心，半径为的圆上运动． 连接，过点D作交的延长线于点H． ∵， ∴当时，， ∴， ， ∴， ，． ． 在等腰直角三角形中，． 点Q到直线的距离最大值为． 面积的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，切线的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【变式5-3】如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）或；（ⅱ）是，8 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点，点， ∴可设抛物线对应的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∴，； （2）解：设． （ⅰ）如图，过点P作轴交于点Q．    设直线解析式为 反，，代入得 ，解得： ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∴， 整理，得，解得，， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或； （ⅱ）为定值． 设直线AP的解析式为，代入，， 得解得 ∴直线的解析式为． ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得， ∴点F的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， 代入，， 得解得 ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， 即为定值，该定值为8． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解板式、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积等知识．此题属二次函数综合题目—面积问题，在坐标系中，银题关键是掌握求三边均不与坐标轴平行的三角形面积的方法．方法一：“宽高法”．．方法二：“割补法”．． 【变式5-4】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为和，抛物线经过点和点． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)将沿轴向左平移得到，使得四边形是菱形，试判断点、点是否在该抛物线上． (3)在（2）的条件下，若点是所在直线下方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出此时的最大面积． 【答案】(1) (2)点、点均在该抛物线上 (3)；9 【分析】（1）将点和点代入抛物线，求出、的值即可得到抛物线对应的函数解析式； （2）由坐标两点距离公式可得，再根据菱形的性质，得到，进而得出点、点的坐标，即可求解； （3）利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，设过点且平行于的直线的解析式为，联立直线与抛物线，得到关于的一元二次方程，在利用一元二次方程根的判别式，得出当时，过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大，进而得出点的坐标，然后根据的最大面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线可得： ，解得：， 抛物线对应的函数解析式为； （2）解：点、点均在该抛物线上，理由如下： ，， ． ∵四边形是菱形， ， ，， ． 当时，； 当时，． ∴点、点均在该抛物线上． （3）解：设直线的解析式为． ∵直线经过点和点， ，解得， ∴直线的解析式为． 是定值， ∴要使的面积最大，则当点到距离最大时，面积最大， 如图，过点作轴，垂足为点， 设过点且平行于的直线的解析式为， 联立方程组，得， 消去，整理得． 当直线与抛物线在点处相切时， ，解得， 此时方程有两个相等的实数根， 此时过点的直线与抛物线只有一个交点，点到距离最大，的面积最大， ∴当时，， ∴点的坐标为， 的最大面积 ． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【典例6】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标； （2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解； 【详解】（1）解：将，代入解析式得， ， 抛物线的解析式为， 点的坐标为； （2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则 ， 设 ， ∴， 解得，， ∴ ； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则 ， 设 ， ∴， 解得，， ∴ ； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则 ， 设 ， ∴， 解得，， ∴ ； 综上所述，点的坐标为或或； 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式是解题的关键． 【变式6-1】已知抛物线L：与x轴交于点A，B（A在B的左侧），顶点为C，将抛物线L向左平移5个单位，得到抛物线． (1)求A，B，C三点坐标； (2)M为抛物线L上一动点，N为抛物线上一动点，是否存在M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或， 【分析】本题考查二次函数图象的平移以及综合应用： （1）求出时，的值，得到A，B的坐标，一般式化为顶点式，求出点坐标即可； （2）先求出平移后的函数解析式，分平行四边形和平行四边形，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，； ∴， ∴； （2）由题意，平移后的解析式为：； ∵， ∴， 设， 当以A，B，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，分两种情况： ①四边形为平行四边形，则：， ∴， 把代入，得： ， 解得：， ∴，； ②四边形为平行四边形，则：， 把代入，得： ，解得：， ∴，； 综上：，或，． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且为或或，见解析 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，解方程组即可． （2）根据得到，，对称轴为直线，设，．利用分类思想和中点坐标公式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为， 令得， ∴． （2）存在点N,使得四边形为平行四边形，且或或．理由如下： ∵， ∴对称轴为直线， 设，． 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 综上所述，点或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，与坐标轴的交点，平行四边形的存在问题，中点坐标公式，分类思想，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式6-3】如图，抛物线经过点A，B，对称轴是直线，与y轴交于点，B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值； (3)在y轴的右侧是否存在点M，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质和判定等知识，用到了分类讨论思想、图形割补思想等数学思想． （1）利用待定系数法直接求抛物线的解析式，即可解题； （2）作轴交于点N，设P点坐标为，设所在直线解析式为，利用待定系数法求出所在直线解析式，得到，利用三角形面积公式表示出三角形面积，再利用二次函数最值即可得到面积的最大值． （3）根据点M在y轴的右侧，使得以M，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和判定分以下两种情况①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，进行分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：如图，作轴交于点N，设P点坐标为， 则． 设所在直线解析式为，则，得， 直线的解析式为， N点坐标为， ， ， 当时，的面积最大，且最大值为． （3）解：A点坐标为． ①当为平行四边形的边时，，，， M点坐标为； ②当为平行四边形的对角线时，其中点坐标为． 设M点坐标为，则，， 解得，， M点坐标为． 综上所述，M点坐标为或． 【变式6-4】如图，已知拋物线与直线都经过，两点，该拋物线的顶点为． (1)求此抛物线和直线的表达式； (2)设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的表达式为 (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将，，分别代入抛物线和直线的表达式中求解，得出完整表达式即可； （2）分“点在轴的上方”和“点在轴的下方”两种情况讨论，根据题意画出符合题意的图形，设出点的坐标，依据解析式得出点的坐标，利用，的坐标表示出线段，求出的长度，利用平行四边形的对边相等得到，得出方程求解，得出的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∵直线经过，两点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， ∵轴，在直线上， ∴，点的坐标为． ∴， 情况一：如图，若点在轴的上方，连接， ∴四边形为平行四边形，， 设，则， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 情况二：如图，若点在轴的下方，连接，，， ∴四边形为平行四边形，， 设，则， ∴． ∴， 解得：， ∴取负值得：， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，求二次函数、一次函数的解析式，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度、平行四边形的性质，分类讨论、画出图形、数形结合是解题的关键． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【典例7】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴为直线，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点在直线下方的抛物线上运动（不含端点），连接，当四边形的面积最大时，求出面积的最大值和此时点的坐标． (3)连接是线段上的一个动点，过点作的平行线．在直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在，或 【分析】本题主要考查二次函数的性质，菱形的性质，图形的面积： （1）运用待定系数支求解即可； （2）如图，作轴交于点，求出直线的表达式为．设点，则点，根据可列出式子求解 （3）根据菱形的性质求解即可 【详解】（1）解：抛物线交轴于点， ， 点的坐标为，对称轴为直线， 点的坐标为， 将点代入， 得，解得， 抛物线的表达式为． （2）解：如图，作轴交于点， 设直线的解析式为， 把代入得： 解得，， 直线的表达式为． 设点，则点， ， ， ， 当时，的最大值为，此时点， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在．点的坐标为或． 理由：直线的表达式为， 设点． 点， ， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， （舍去）或， 点， 当四边形为菱形时，点平移到点，点平移到点，则点， ， 解得（舍去）或， 点． 【变式7-1】已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线L的表达式． (2)若点P是直线上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线，点B的对应点为Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出抛物线的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质确定平移方式，再根据函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． 抛物线L的表达式为； （2）解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由： 点，点， ， 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位， ∵ ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【典例8】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把，代入中求解，得出抛物线的函数表达式即可； （2）连接、、、，过点作于点，利用点的坐标得出出线段、、、、的长度，再根据，进行计算即可； （3）当为矩形的边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，利用等腰直角三角形的判定与性质及矩形的判定与性质得到，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组求得点的坐标，则，进而得到、的长度，即可得出点的坐标；当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，证明，得出，设，，表示出，，，，，得出方程，整理、分解因式得，则或，求解并取舍，求出、，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，连接、、、，过点作于点，    ∵点的坐标为， ∴，， ∵时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ； （3）解：存在， 如图，当为边时，四边形为矩形，交轴于点，交轴于点，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点作轴于点，轴于点，    则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵，，动点在直线上方， ∴，，或， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， ， 分解因式得：， ∴或， 解得：（舍去），（舍去），， ∴，， ∴此时点的坐标为． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、分类讨论、数形结合是解题的关键． 【变式8-1】如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； (3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 【答案】(1) (2)的周长最大值为 ，； (3)或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出点D坐标，可得直线解析式为：，则，证明，进而得到，则是等腰直角三角形，推出；设点F坐标，则点H坐标，则，则的周长，由二次函数的性质可得当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； （3）先求出顶点M的坐标为，则；设，则，，由矩形的性质可得是直角三角形，故可分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得： 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵D、C关于对称轴对称，点C坐标， ∴点D坐标， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点F坐标，则点H坐标， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点M的坐标为， ∴； 设， ∴，， ∵以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形， ∴是直角三角形， 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于根据矩形的性质得到是直角三角形，进而利用勾股定理建立方程求解即可． 【变式8-2】已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．    (1)求此抛物线的解析式： (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ (3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，，或，或 或， 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据，由二次函数的性质即可得出答案； （3）分三种情况：当四边形为矩形时；当四边形为矩形时；当为对角线时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于，    设点，则， ， ， ， ， 当时，最大，为； （3）解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到， 点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即； 如图，当四边形为矩形时，    则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到， 点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即； 当为对角线时，设，， 四边形是矩形， ， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，，或，或 或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标； （3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴， ∴， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． （3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ①如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【典例9】如图，抛物线交x轴于点，B，交y轴于点，在y轴上有一点，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)若抛物线对称轴上存在一点P，使为以为腰的等腰三角形，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点，分，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ∴，解得 该抛物线的表达式为． （2）， 抛物线对称轴为直线． ∴设， ①当为等腰三角形，且以为底边， ，， ，即， 解得，． 或． ②当为等腰三角形，且以为底边， ， ，即， 解得，． 或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式9-1】如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．已知点，．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出所有满足题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点， （1）由待定系数法即可求解； （2）由或，列出等式即可求解． 熟练掌握其性质，分类求解是解决此题的关键． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于，两点 ∴， 即， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 故点，设点， 由点、、的坐标得，，，， 当或时， 即或， 解得：（舍去）或16或， 故点的坐标为：或或． 【变式9-2】如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求 的面积； (3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，符合条件的 P 点坐标为 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数与面积的综合、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握分类讨论和数形结合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得、，再运用待定系数法求得直线的解析式为；如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则, 则，最后根据三角形的面积公式即可解得； （3）如图：设点， 连接,根据两点间的距离公式可得、、，然后再分、、三种情况分别解得即可． 【详解】（1）解∶ 由抛物线 经过、两点， 则，解得：， 所以抛物线的函数关系式是：． （2）解：∵， ∴， 当时，，即， 由待定系数法可得直线的解析式为． 如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则, ∴, ∴． （3）解：存在． 如图：设点， 连接, ,,； ①若，则，即， 解得．即 ． ②若，则 即， 解得：，即 ； ③若，则， 解得：，即． 综上， 符合条件的 P 点坐标为 ，、． 【变式9-3】如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求线段的长． (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． （1）代入和，解方程组即可； （2）令，求出点B的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （3）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③． 【详解】（1）解：解：把和代入， 解得：，， 二次函数的表达式为：； （2）解：令抛物线，则， 解得或， 根据题意：， ， ； （3）解：， 点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，    ①当时，， 又∵， ，； ②当时，， ； ③当时， 此时与重合， ； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【典例10】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点． (1)求A，B 两点的坐标； (2)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在；点N的坐标为或或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、直角三角形的判定和性质，二次函数与坐标轴交点，勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）当时，代入即可求解； （2）设，可得：，，，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，当时， ， 解得：，， ∴，； （2）解：，，设， 则：， ， ， 当边为斜边时：， ， 解得：，， ∴，； 当边为斜边时：， ， 解得：， ∴； 当边为斜边时：， ， 解得：， ∴； 综上所述：存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形，点N的坐标为或或或． 【变式10-1】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形的面积最大为16； (3)点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （3）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得∶ ， 解得：， ∴该二次函数的解析式； （2）解：∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16； （3）解：设， ∵，， ∴，，， 当斜边为时，， 即，整理得：， 无解； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：点的坐标为或． 【题型09：二次函数与等腰直角三角形存在性问题】 【典例11】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 【变式11】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可； （3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 顶点坐标为； （2）解：作交于点， 令，则， ∴， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点R的坐标为， ∴ ， ∵， ∴时，有最大值，此时点P的坐标为； （3）解：∵点Q是线段上一点， ∴设点Q的坐标为， ∵，， ∴， ∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为； 同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为； 如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点P的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为； 如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设， 同理， ∴，，，， ∴，， ∴， 解得， ∴点P的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键． 【题型10：二次函数与全等三角形存在性问题】 【典例12】如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵，， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或, 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或, 综上：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 【变式12-1】如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程． 【答案】(1) (2)当点D的坐标为时，平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；当点D的坐标为时，平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先分和两种情况求出对应的点D的坐标，再设出平移后的抛物线解析式，代入对应的B、D坐标求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，代入点C的坐标得： ， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴只存在和两种情况， 当时，如图1所示，由对称性可知点D的坐标为； 当时，如图2所示， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； 设平移方式为向右平移m个单位长度，向下平移n个单位长度，则平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过B、D， 当点D的坐标为时， ∴， 解得， ∴平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度； 当点D的坐标为时， ∴， 解得， ∴平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度； 综上所述，当点D的坐标为时，平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；当点D的坐标为时，平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，全等三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．    (1)求点、的坐标； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为：或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，顶点坐标，全等三角形的判定，即可． （1）根据题意，则，求出，的坐标，把换成顶点式，即可得到点的坐标； （2）设点，根据全等三角形的判定，分类讨论：，，即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧）， ∴， 解得：，， ∴点，； ∵， ∴顶点． （2）存在，理由如下： ∵点在二次函数的对称轴上且交于轴， ∴点， ∵，， ∴，， 设点， ∵过作轴于点，点是轴上一点， ∴点， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴， 解得：，（舍）， ∴当时，， ∴点； 当时，， ∴， 解得：，（舍）， ∴当时，， ∴点； 综上所述，当点的坐标为：或时，存在以点、、为顶点的三角形与全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$