专题02 二次函数应用分类汇编（七大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题02二次函数应用分类汇编 【题型01 ：抛物线问题】 【题型02 ：拱桥问题】 【题型03：面积问题】 【题型04：每每问题】 【题型05：利润问题】 【题型06：分配问题】 【题型07：分段函数】 【题型01 ：抛物线问题】 1．如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 2．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 3．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是 米． 4．如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 5．足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小王从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点D，此时球离地面4米．已知球门的高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，请通过计算说明当时小王应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过B点正上方米处入门？ 6．如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点整直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离米处时，达到最大高度米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1)求此抛物线的解析式； (2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． (3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为米，垂直距离为米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有米，问篮球有没有入框？请说明理由． 7．阅读以下材料，完成课题研究任务： 【研究课题】设计公园喷水池 【素材】某公园计划修建一个图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为． 【素材】距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． 【任务解决】    (1)小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求． (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？ 8．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【题型02 ：拱桥问题】 9．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为处达到A最高点C，高度为，水柱落地点D离池中心A处，则水管的长为 m． 10．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是 米． 11．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 12．如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降时，水面宽增加 ． 13．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围） (2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求所需的三根“光带”的长度之和的最大值． 14．年月日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由小时缩短为小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽为，入口最高处为米． (1)求抛物线解析式； (2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移，最高处降为米，求平移后的抛物线解析式； (3)双向四车道的地面宽至少要米，则（2）中的建议是否符合要求？ 15．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度_______； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【题型03：面积问题】 16．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 17．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 18．某公司计划用一种长为，宽为的长方形铁片制作无盖盒子．如图，在铁片的四个角各截去一个边长相同的小正方形，剩下的材料制作一个无盖盒子．    (1)设截去的小正方形的边长为，制作的无盖盒子的侧面积为，写出与之间的关系式，并描述盒子的侧面积随小正方形边长的变化而变化的情况； (2)已知该种长方形铁片的成本为每块40元，当制成的无盖盒子的销售单价为70元时，每天可以售出140个，经调查发现，这种盒子的销售单价每降低1元，其销售量相应增加10个．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每天销售无盖盒子所获利润（元）最大？最大利润是多少？ 19．如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 【题型04：每每题】 20．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 21．某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 22．某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． (1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； (2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 23．某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查，当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件． (1)用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中； (2)已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 24．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【题型05：利润问题】 25．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 26．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ (3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？ 27．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天想获得425元的利润，为让消费者获得更多实惠，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 28．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 29．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表： 售价（元/件） 55 65 销售量（件/天） 90 70 (1)求出关于售价的函数关系式； (2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 30．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）． (1)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【题型06：分配问题】 31．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 32．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 33．空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净化器的销售总价为17500元． （1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售总价为y元． ①求y关于m的函数关系式； ②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？ （3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价z（元）满足z=-10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 34．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元． (1)求该厂每天生产A产品和B产品各多少件； (2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w． ①当x为何值时，每天生产A，B产品获得的总利润恰好为16240元？ ②若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值． 35．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 【题型07：分段函数】 36．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 37．雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元． (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值． 38．某公司共有个生产车间，分别生产与两种不同的产品，其中个生产车间生产产品（其中为正整数，且），剩余的生产车间生产产品．今年每个生产产品的生产车间的平均收入（单位：万元）与车间数量（个）之间的关系如图所示． (1)求当时，关于的函数解析式； (2)若已知今年公司产品的年总收入 （单位：万元）与车间数量（个）的关系为：（x为正整数且），设公司年总收入为（单位：万元），求关于的函数解析式．（注：公司年总收入=产品的年总收入 产品的年总收入） (3)请问公司今年的总收入能超过万元吗？说明理由． 39．某商家出售的一种商品成本价为元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数解析式； (2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 40．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ 41．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02二次函数应用分类汇编 【题型01 ：抛物线问题】 【题型02 ：拱桥问题】 【题型03：面积问题】 【题型04：每每问题】 【题型05：利润问题】 【题型06：分配问题】 【题型07：分段函数】 【题型01 ：抛物线问题】 1．如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有的函数关系，下列解释正确的是（    ） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答． 【详解】解：的两根与，即时所用的时间， ∴小球的飞行高度是时，小球的飞行时间是1s或3s，故A不符合题意； ， ∴对称轴直线为：，最大值为20，故D不符合题意； 时，，此时小球继续下降，故B不符合题意； ∵当时，，， ， ∴小球从飞出到落地要用4s，故C符合题意． 故选：C． 2．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， 当时，的最大值为20， 即时，的值最大， 故答案为：2． 3．某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，此飞行器滑行的最大距离是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式求出取得最大值时的的值即可得． 【详解】解： ，， 当时，取得最大值， 此飞行器滑行的最大距离是米． 故答案为：． 4．如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 【答案】当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为 【分析】本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性． 利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案． 【详解】解：依题意，抛物线经过点和， 解得 ∴， ∵， ∴当时，取得最大值3.5， 当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为． 5．足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小王从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点D，此时球离地面4米．已知球门的高为2.44米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，请通过计算说明当时小王应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过B点正上方米处入门？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方米处入门 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律． （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标，设抛物线的表达式为，把代入，当时，，即可作答． （2）依题意设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为，再把点代入，，计算出n的值，即可作答． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点D的坐标为． 设抛物线的表达式为，把代入， 得，解得． ∴抛物线的函数表达式为． 当时，， ∴球不能射进球门 （2）解：设小王带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线表达式为， 把点代入，得， 解得（舍去），． 答：当时小王应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点B正上方米处入门． 6．如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时．分别以水平地面为x轴，出手点整直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离米处时，达到最大高度米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为米，离原点的水平距离为4米．（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1)求此抛物线的解析式； (2)若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高米，问乙能否碰到篮球？并说明理由． (3)在（2）的情况下．若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为米，垂直距离为米（后仰跳投时的出手点位于第二象限），此时乙碰不到球．已知篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有米，问篮球有没有入框？请说明理由． 【答案】(1)； (2)乙能碰到篮球，理由见详解； (3)篮球未入篮筐； 【分析】（1）本题考查二次函数的应用，设解析式为，再将顶点，代入求解即可得到答案； （2）本题考查二次函数的运用，将代入求出与最高距离比较即可得到答案； （3）本题考查二次函数的运用，设解析式为，将题目中数据代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设解析式为，由题意可得， 函数过顶点及点， ∴，，， 解得：， ∴； （2）解：乙能碰到篮球，理由如下， 当时， ， ∵， ∴乙能碰到篮球； （3）解：∵篮球运行所在抛物线的形状和（1）一致， ∴设解析式为：， 由题意可得， 图像过，， 代入得，， 解得：， ∴， 当时， ， ∴篮球未入篮筐． 7．阅读以下材料，完成课题研究任务： 【研究课题】设计公园喷水池 【素材】某公园计划修建一个图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为． 【素材】距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． 【任务解决】    (1)小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求． (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？ 【答案】(1)符合要求，花坛的半径至少为，理由见解析 (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过米 【分析】（1）设二次函数顶点式，利用待定系数法求出二次函数解析式，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得到答案； （2）令，则，解得或舍，即可得到答案． 【详解】（1）解：符合要求，理由如下： 由题意可得，顶点为， 设解析式为， 函数过点， 代入解析式得，， 解得， 解析式为：， 令，则， 解得或舍去， 花坛的半径至少为； （2）令，则， 解得或舍， 为了不影响水流，小水池的半径不能超过米． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键． 8．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式． 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量． 【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值． 【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算] 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． [分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张； [分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为， ∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子 ∴即刚好经过点点， ∴ ∴经过点 即当时，即 解得． ∴的最小值为． 【题型02 ：拱桥问题】 9．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为处达到A最高点C，高度为，水柱落地点D离池中心A处，则水管的长为 m． 【答案】2.25 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，从而确定二次函数的解析式，代入时得到的y值即为水管的长． 【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，即抛物线的顶点坐标为， 则设抛物线的解析式为：， 代入得：， ∴， ∴设抛物线的解析式为：； 令，则． 故水管的长为， 故答案为：2.25． 10．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是 米． 【答案】14 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的顶点式即可求解．解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式． 【详解】∵， ∴时，y取最大值， ∴水珠可以达到的最大高度是14米． 故答案为：14． 11．如图所示是某抛物线形的隧道示意图．已知抛物线的函数解式为，为增加照明度，在该抛物线上距地面高为6米的点E，F处要安装两盏灯，则这两盏灯的水平距离是 米．（可用含根号的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得， ∴米， 故答案为：． 12．如图，图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，当水面下降时，水面宽增加 ． 【答案】/ 【分析】 此题考查了二次函数的应用，根据建立的坐标系设出函数表达式，利用待定系数法求出函数解析式，求出下降后与水面相交的两个交点的坐标，即可得到答案． 【详解】 解：设抛物线为， 由题意可得，点在抛物线上， 则， 解得， ∴抛物线为， 当时，， 解得， ∴当水面下降时，水面宽增加， 故答案为：． 13．如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围） (2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求所需的三根“光带”的长度之和的最大值． 【答案】(1)这条抛物线的函数解析式为 (2)三根“光带”长度之和的最大值为15米 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据题意可设，抛物线过，可求得到，即可求出抛物线的解析式； （2）设点A的坐标为，设三根“光带”长度之和为L米，列出L的解析式，根据二次函数的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴这条抛物线的函数解析式为； （2）设点A的坐标为， 则， 根据抛物线的轴对称，可得：，， 设三根“光带”长度之和为L米， 令 ， ∵，开口向下， ∴当时，最大值为15， ∴当米时，三根“光带”长度之和的最大值为15米． 14．年月日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由小时缩短为小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽为，入口最高处为米． (1)求抛物线解析式； (2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移，最高处降为米，求平移后的抛物线解析式； (3)双向四车道的地面宽至少要米，则（2）中的建议是否符合要求？ 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)抛物线解析式为 (3)不符合要求，理由见解析 【分析】（1）根据图形和题意设出抛物线解析式，再把点坐标代入解析式即可； （2）根据平移的性质求抛物线解析式即可； （3）令（2）中解析式的，解方程即可． 【详解】（1）由图知，此抛物线对称轴为轴，顶点坐标，， 故设抛物线解析式为， 把点坐标代入解析式得：， 解得， 抛物线解析式为； （2）由题意可知，抛物线向左平移，向下平移使最高点降为， 抛物线解析式为； （3）（2）中的建议不符合要求，理由： 令中的， 则， 整理得， 解得，， ， ， ∴（2）中的建议不符合要求． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 15．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度_______； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条． 【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得或， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：令，得， ∴ 解得，． 可设计赛道的宽度为， ∵每条龙舟赛道宽度为， 最多可设计赛道4条． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 【题型03：面积问题】 16．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 17．为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【详解】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 18．某公司计划用一种长为，宽为的长方形铁片制作无盖盒子．如图，在铁片的四个角各截去一个边长相同的小正方形，剩下的材料制作一个无盖盒子．    (1)设截去的小正方形的边长为，制作的无盖盒子的侧面积为，写出与之间的关系式，并描述盒子的侧面积随小正方形边长的变化而变化的情况； (2)已知该种长方形铁片的成本为每块40元，当制成的无盖盒子的销售单价为70元时，每天可以售出140个，经调查发现，这种盒子的销售单价每降低1元，其销售量相应增加10个．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每天销售无盖盒子所获利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；当时，盒子的侧面积最大；当时，盒子的侧面积随小正方形边长的增大而减小 (2)当时，每天销售无盖盒子所获利润最大，最大利润是4840元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立准确的二次函数关系式是解本题的关键． （1）设截去的小正方形的边长为，制作的无盖盒子的侧面积为，再利用侧面积的计算公式列函数关系式；再利用二次函数的性质解答即可； （2）由总利润等于每个利润乘以销售数量建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设截去的小正方形的边长为，制作的无盖盒子的侧面积为， ∴ 由题意得，即 ， ， ，   抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，盒子的侧面积随小正方形边长的增大而增大， 当时，盒子的侧面积最大， 当时，盒子的侧面积随小正方形边长的增大而减小； （2）解：     ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，每天销售无盖盒子所获利润最大，最大利润是4840元． 19．如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2；8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得到，证明，得到，则，利用勾股定理得到，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解；如图所示函数图象即为所求；    （3）解：， ∴当时，最小，最小值为8， ∴当时，正方形面积有最小值， 故答案为：2；8． 【题型04：每每题】 20．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 21．某旅游景区新进一批文创产品，每件进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件．设每件售价为x元，日销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)当日销售利润不低于6000元时，求每件文创产品售价x的取值范围． 【答案】(1) (2)每件产品售价定为65元时，日销售利润最大，最大利润是12250元． (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出函数表达式，熟练掌握二次函数的性质． （1）根据“每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高元，日销售量减少5件”即可列出函数关系式； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出W关于x的函数关系式，再根据题意列出不等式组，求出x的取值范围，再结合二次函数的性质，即可解答； （3）先求出时x的值，再结合二次函数的性质，以及（2）中得出x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得 ， 由题意得， 解得， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为12250， 答：当每件产品售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是12250元； （3）解：当元时，， 解得， ∵， ∴图象开口向下， ∴当时，， 又∵， ∴， 答：当日销售利润不低于6000元时，每件文创产品售价x的取值范围为． 22．某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）． (1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式； (2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数． 【答案】(1) (2)第32天时利润最大，为4000元 (3)日销售利润不低于3510元的天数为22天 【分析】（1）门店销售方式每天的售价第20天的售价超过20天的天数； （2）时，电商销售的利润电商销售每件玩具的利润销售量，进而根据函数的增减性和自变量的取值范围可得对应天数及此范围内的最大利润；当时，门店销售的利润门店销售每件玩具的利润销售量，整理成顶点式，可得此范围内的对应的天数及最大利润，比较后可得最大利润及对应天数； （3）当时，令，求得的取值范围可得相应的天数；当时，令，求得的取值范围可得相应的天数，综合两种情况可得日销售利润不低于3510元的总天数． 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用．分电商销售和门店销售两种情况探讨函数的最大值及日销售利润不低于3510元的天数是解决本题的难点． 【详解】（1）解：依题意，∵前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元 ∴ ． （2）解：①当时， ． ， 随的增大而增大， 当时，最大．的最大值为：元； ②当时， ． ， 当时，有最大值4000元， ， 第32天时利润最大，为4000元． （3）解：由（2）知，当时， ， 解得：， 共有2天； 当时， ， ， ，共20天， 综上，日销售利润不低于3510元的天数为22天． 23．某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查，当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件． (1)用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中； (2)已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件列出对应的函数关系式即可； （2）设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，根据利润（售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元， 由题意得，，     ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为450，                  ∴柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元． 24．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 【题型05：利润问题】 25．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） (1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ (3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【详解】（1）解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 26．某商城销售一种进价为10元1件的饰品，经调查发现，该饰品的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数，设销售这种饰品每天的利润为W（元）． (1)求W与x之间的函数表达式； (2)当销售单价定为多少元时，该商城获利最大？最大利润为多少？ (3)在确保顾客得到优惠的前提下，该商城还要通过销售这种饰品每天获利750元，该商城应将销售单价定为多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元 (3)单价定为25元 【分析】 本题考查二次函数的实际应用： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质，求出最值即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ∴当时，有最大值800， ∴销售单价为30时，该商城获利最大，最大利润为800元； （3）当时，， 解得：或， ∵确保顾客得到优惠， ∴， ∴单价应定为25元． 27．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若该商店销售这种消毒用品每天想获得425元的利润，为让消费者获得更多实惠，则每件消毒用品的售价为多少元？ (3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件消毒用品的售价为13元 (3)每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，涉及待定系数法求函数关系式、一次函数的性质、二次函数的性质，理解题意，正确求得函数关系式和方程是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）根据利润=单件利润×销售量列方程求解即可； （3）根据利润=单件利润×销售量列函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意，得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得，即， 解得，， ∵让消费者获得更多实惠， ∴， 答：每件消毒用品的售价为13元； （3）解：根据题意，得 ， ∵，， ∴当时，w有最小值，最小值为605， 答：每件消毒用品的售价为19元时，每天的销售利润最大，最大利润是605元． 28．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 【答案】(1) (2)30吨 (3)原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用： （1）利用待定系数法求函数关系式； （2）根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； （3）设销售总利润为W，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 与x之间的函数关系式为； （2）解：依题意得：， 解得， 设销售收入为P（万元）， ， 令， 解得，（舍去）， 原料的质量为30吨时，销售收入为300万元． （3）解：设销售总利润为W（万元）， ， ， 当时，W有最大值为， 原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 29．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表： 售价（元/件） 55 65 销售量（件/天） 90 70 (1)求出关于售价的函数关系式； (2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】(1) (2)，当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）设，待定系数法求函数解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设，由题意，得： ，解得：， ∴； （2）由题意，得：， ∴当时，有最大值为， ∴当销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大． 30．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，某市市长亲自在网络平台上进行直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元）． (1)请求出日获利与销售单价之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元 【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数的性质： （1）根据获利=（销售单价成本）日销售量，即可求解； （2）由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解； 求出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得， 化简得：， 答：日获利与销售单价之间的函数关系式为； （2）解：， ∵，对称轴为， ∴当时，由最大值为元， ∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大为元． 【题型06：分配问题】 31．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元 【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键． （1）将代入，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式． （2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为， 将代入，得 ，解得 ∴二次函数解析式为． （2）设购进A产品m吨，购进B产品吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则 ∵， ∴当时，W有最大值6.6． ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 32．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 33．空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净化器的销售总价为17500元． （1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售总价为y元． ①求y关于m的函数关系式； ②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？ （3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价z（元）满足z=-10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 【答案】（1）每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元；（2）① y=-500m+150000，②当m=34时销售总价最大，最大值为133000元；（3）销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①根据购进A型空气净化器的台数，找出购进B型空气净化器的台数，根据A、B间的关系可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再由销售利润=A型的利润+B型的利润，即可得出y关于的函数关系式； ②结合一次函数的性质以及x的取值范围即可解决最值问题； （3）根据“A型空气净化器的利润+B型空气净化器的利润”得出w关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元据题意得： ， 解得：， 答：每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元； （2）①设购进A型空气净化器台，则购进B型空气净化器（）台， 由已知得：， 解得：， ∴， ∴（，且为正整数）． ②∵中，， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， 故购进34台A型空气净化器和66台B型空气净化器的销售利润最大； （3）设销售完这批空气净化器能获取的利润是w元， ∵， ∴当大于20时，w随m的增大而减小 ， ∴当时，w有最大值为82040元 答：销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质、二次函数的性质解答． 34．某工厂生产A，B两种型号的环保产品，A产品每件利润200元，B产品每件利润500元，该工厂按计划每天生产两种产品共50件，其中A产品的总利润比B产品少4000元． (1)求该厂每天生产A产品和B产品各多少件； (2)据市场调查，B产品的需求量较大，该厂决定在日总产量不变的前提下增加B产品的生产，但B产品相比原计划每多生产一件，每件利润便降低10元．设该厂实际生产B产品的数量比原计划多x件，每天生产A，B产品获得的总利润为w． ①当x为何值时，每天生产A，B产品获得的总利润恰好为16240元？ ②若实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍，求总利润w的最大值． 【答案】(1)每天生产A产品30件，B产品20件 (2)①或6；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设每天生产A产品x件，则每天生产B产品件，由题意列出方程可得答案； （2）根据题意列出函数解析式，由二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设每天生产A产品x件，则每天生产B产品件， 由题意得：， 解得：， 每天生产B产品为件； 答：每天生产A产品30件，B产品20件 （2）解：①由题意得： 令，则， 解得或6 ②由题意得： 实际生产B产品的数量不少于A产品数量的1.2倍， ， 解得： ，且 当时，w随x的增大而减小， 取正整数， 当时，w有最大值，即． 35．宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 【答案】(1)黄瓜4元/千克，蒜苔5元/千克 (2)利润最大为3450元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，再根据题意列出方程组求解即可； （2）设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，从而利润的函数关系式，最后利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克， 则，解得：． 答：黄瓜的售价为4元/千克，蒜台的售价为5元/千克． （2）解：设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元， ∴利润 ． 又∵， ∴当时，利润有最大值，最大值为3450元． 【题型07：分段函数】 36．牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元； (2)①能达到，日生产5千克；②每天生产量为7千克，最大利润为196元． 【分析】考查了二元一次方程组的实验应用，一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型． （1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设生产量x千克时，获得的利润为w元，①根据生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能180元，列出方程求解即可，②当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元， 则， 解得， 即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元． （2）解：①由题意得：， 解得， ， ，即当日生产5千克时，盈利为180元． ②当时，利润， 即当时，利润最大，最大利润为196元， 当时，利润， 随的增大而减小， 即时，（元）， ∵， 每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元． 37．雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元． (1)求与的函数解析式（也称关系式）； (2)求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值． 【答案】(1) (2)1210000元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，注意分类讨论． （1）分两种情况：求出与的函数解析式即可； （2）分两种情况：当时，当时，求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数解析式为，由图可得： ， 解得：， ∴与的函数解析式为：． （2）解：由题意得： ①当时，． 当时， 有最大值为：； ②当时，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值为：． ∵， ∴当时，有最大值为1210000， ∴这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值是1210000元． 38．某公司共有个生产车间，分别生产与两种不同的产品，其中个生产车间生产产品（其中为正整数，且），剩余的生产车间生产产品．今年每个生产产品的生产车间的平均收入（单位：万元）与车间数量（个）之间的关系如图所示． (1)求当时，关于的函数解析式； (2)若已知今年公司产品的年总收入 （单位：万元）与车间数量（个）的关系为：（x为正整数且），设公司年总收入为（单位：万元），求关于的函数解析式．（注：公司年总收入=产品的年总收入 产品的年总收入） (3)请问公司今年的总收入能超过万元吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)公司一年的总收入不能超过万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）分当 时和当时两种情况求解即可； （2）设为A产品的年收入，先表示出，再根据求解即可； （3）根据一次函数和二次函数的性质，结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）由图可知，当 时，函数；    当时，令一次函数，过点， ， 解得， 故当时，函数解析式为， 函数； （2）设为A产品的年收入， ， ∵， ； （3）不能． 理由：当时， ， ， ∴当时， ， 当时， ， ，且图象开口向下， 当时，． 综上所述：公司一年的总收入不能超过万元． 39．某商家出售的一种商品成本价为元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数．设这种商品每天的销售利润为w元． (1)求w关于x的函数解析式； (2)该商品售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【答案】(1) (2)该商品售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用， （1）根据利润等于每千克的利润乘以销售量，即可求解； （2）根据第（1）问中与的函数关系式即可求得利润最大值. 【详解】（1）解：由题意，得. 所以w关于x的函数解析式是. （2）解：.     因为，所以w有最大值.     当时，w的值最大，为450. 答：该商品售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大销售利润是450元. 40．南充古称有“果氏之国”，素有“果城”盛誉，有近年的柑橘种植历史，所产“黄柑”常为古代朝廷贡品．每年月底至第二年月，总会吸引大批游客前来品尝．当地某商家为回馈顾客，将标价为元/千克的某品牌柑橘降价销售天后，第二次降价到元/千克又销售了天，且两次降价的百分率相同．设销售时间为（天）（为正整数），日销量为，日储存及损耗费为（元），与满足函数关系；与满足函数关系．（注：利润销售毛利润储存及损耗费） (1)求此品牌柑橘每次降价的百分率； (2)已知此品牌柑橘进价为元，设销售该柑橘的日利润为（元），求与之间的函数解析式．并求第几天时销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)在（）的条件下，求这天中有多少天的利润不低于元？ 【答案】(1)； (2)当时，即第天利润最大，最大利润为元； (3)天． 【分析】（）依据题意，设每次降价的百分率为，从而可得，解方程即可判断得解； （）依据题意，第一次降价后的价格为元，从而可得当时，，当时，，进而分类讨论分析即可得解； （）依据题意，由当时当时两种情形分别进行计算分析进而可以判断得解． 【详解】（1）解：设由题意，设每次降价的百分率为，据题意可得 ∴，（不符合题意，舍去）； 答：此品牌柑橘每次降价的百分率为； （2）由题意，第一次降价后的价格为元， 当时， 当时， 当时，， ∵，随的增大而减小， ∴当时，（元）， 当时，， ∵， ∴当时，最大值为（元） 综上可知：， ∴当时，即第天利润最大，最大利润为元； （3）由题意，当时，， ∴解得：， ∴， 又为正整数， ∴，故此时为天利润不低于元， 当时，， ∴解得：， ∴当时，有，此时， 故此时有天利润不低于元． 又（天）， 综上可知，共有天利润不低于元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题的关键． 41．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表： 时间（天） 售价 日销售量（） 已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解； （2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为， ∴利润为：， 整理得，； 综上所述，． （2）解：由（1）可知，当时，， ∴当时，利润为元； 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∴当时，利润为元； ∵， ∴第天的销售利润最大，最大日销售利润为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$