第04讲 有理数的乘除（4大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（沪科版）

第04讲 有理数的乘除（4大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 两个有理数的乘法法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的卖际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【典型例题一 两个有理数的乘法法运算】 1．（2024·山西晋城·三模）计算的结果为（    ） A． B． C．2 D．8 2．（2024·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 3．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）的积有 位小数． 4．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）计算 ． 5．（22-23七年级上·四川眉山·期末）计算：． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列各式中，积为正数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将“a、b、c三个数中至少有一个数是零”这句话用等式表示是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广西玉林·阶段练习）计算的结果为 ． 4．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： ． 【点睛】本题考查了0乘以任何数等于0，解题的关键是掌握0乘以任何数等于0． 5． （2023七年级上·江苏·专题练习）计算 6．（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【典型例题三 有理数乘法的卖际应用】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明把8000元钱存入银行，存期两年，年利率为，到期时可以取回（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（23-24七年级上·广东惠州·开学考试）某小区停车场对小汽车的收费标准是这样的：半时内（含半时）免费；半时以上，每过1时收费5元，不足1时按1时算．一辆汽车付停车费是15元，那么它停车的时间段可能是（    ）． A．至 B．至 C．至 3．（23-24七年级上·山东枣庄·开学考试）一个数由42个万、7个千、9个百和32个千分之一组成，这个数是 4．（22-23七年级下·广西河池·期末）某公园的门票价格规定如表： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 元 元 元 七年级（1）、（2）两个班共人去游公园，其中（1）班人数较少，不到人，（2）班人数较多，多人，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付元，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 元． 5．（23-24七年级上·广东肇庆·开学考试）小猴子真真开垦了一块近似于三角形的地种香蕉，如果每平方米收3千克香蕉，这块儿地大约能收多少千克香蕉？    6．（23-24七年级上·山西太原·开学考试）每年的6月5日是“世界环境日”，中国的主题是“建设人与自然和谐共生的现代化”．希望小学组织六年级同学开展收集废弃的塑料瓶活动，男生一共收集了180个，女生收集的个数是男生的2.5倍，女生一共收集了多少个？ 【典型例题四 倒数】 1．（23-24九年级下·四川宜宾·期中）的倒数是(　  ) A． B． C． D． 2．（2024·安徽池州·模拟预测）下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A． B． C． D．2 3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）的倒数是 ． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数是 ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： ． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的倒数． (1)0.25 (2) (3) (4)－1.25 (5)0 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）在算式：中，运用了（　　） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的原理是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试），应用了( )律． 4．（22-23八年级上·天津西青·期末）计算： ． 5．（23-24七年级上·湖南常德·期中）用简便方法计算： 6．（23-24七年级上·四川眉山·期中）计算题，能简算的要简算． (1) (2) 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（2024·天津宝坻·二模）计算的结果等于（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（2024·山西临汾·一模）计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．12 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如果相同两个数的和等于4，那么这个数是 ． 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（2023九年级·全国·专题练习）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个数的是12，这个数是（    ）． A． B． C．44 D． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）圆片向右滚动一周后的位置如下图，这个圆片的直径大约是（    ）．    A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一根6.4米长的彩带，每1.4米剪一段包扎一个礼盒，这根彩带可以包扎 个礼盒． 4．（22-23六年级下·山东烟台·期中）2022年2月8日，北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，关键的第三轮谷爱凌选择了一个她从未在比赛中尝试过的动作——左侧身转体1620°安全抓板，她的发挥却相当出色，拿到了94.50的高分，成绩跃升至首位，成功夺冠．转体1620°是在空中身体转了 周． 6． （22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 6．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的结果是（    ） A．0 B．30 C． D．28 2．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）计算：的结果为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ． 4．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数，新两位数与原两位数的和为，和除以的商为，所以．计算： ． 5．（23-24七年级上·吉林·期末）计算：． 6．（23-24七年级上·山西大同·期中）阅读下面材料． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． 参照上面的例题．利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（22-23七年级上·广东·期中）1÷（﹣）×（﹣7）的值为（    ） A．1 B．﹣1 C．49 D．﹣49 2．（22-23七年级上·北京通州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川成都·期中）计算： ． 4．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明做这样一道题：“计算：”．其中“□”处被污渍覆盖，他翻开后面的答案得知该题的计算结果是8．那么“□”表示的数是 ． 5．（23-24七年级上·北京东城·期中）计算 6．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）刘叔叔把元钱存入银行，定期两年，年利率是．到期时，刘叔叔一共可取回（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（22-23七年级上·河北邢台·期中）某公司2020年1～3月平均每月亏损150万元，4～7月平均每月盈利200万元，8～10月平均每月盈利170万元，11～12月共亏损420万元，则该公司2020年总的盈亏情况是（    ） A．盈利440万元 B．盈利940万元 C．亏损440万元 D．亏损290万元 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）冰箱启动时内部的温度为，在冰箱的降温范围内，如果每一小时冰箱内部的温度降低，那么2小时后冰箱内部的温度为 ． 4．（22-23七年级下·山西大同·开学考试）我国实施“以人为本“的全民医保政策，解决人民群众的疾病医疗后顾之忧．医疗保险条款规定：住院医疗费用超过元的部分，可以报销．王阿姨参加了医疗保险，在定点医院住了天，共计费用元，技照规定，她个人应当支付( )元． 5．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． 6．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期中）由于近期持续降雨，河水暴涨，上个星期日某水库的水位已到达警戒水位米，下表记录的是这个水库这一周内的水位变化情况． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． （1）本周水位最高的是星期 ，水位最低的是星期 ； （2）与上个星期日相比，本周星期日水库的水位是 ；（填“上升了”或“下降了”） （3）本周星期日由于水库上游有强降雨天气，工作人员预测水库水位将会以平均每小时米的速度上升，当水位超过警戒水位米时，就要开闸泄洪，请你估计一下，大约再经过多少个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 【变式训练1 两个有理数的乘法法运算】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 3．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）规定一种新运算：如，则 ． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【变式训练2 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·陕西榆林·阶段练习）计算：（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如果个有理数相乘所得的积为，那么这个数中（    ） A．最多有一个数为 B．至少有一个数为 C．恰有一个数为 D．均为 3．（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的值为 ． 4．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）已知，其中表示当时代数式的值，如，， ． 5．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 6．（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练3 有理数乘法的卖际应用】 1．（23-24七年级上·重庆綦江·开学考试）一种运动鞋，在“6·18网购节”时，先提价后又打八折，与原价相比，现价（    ） A．降低了 B．提高了 C．不变 D．无法确定 2．（22-23七年级·江苏·假期作业）蜗牛前进的速度每秒只有毫米，恰好是某人步行速度的分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（　　） A．9公里 B．公里 C．米 D．米 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米． 4．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等． 7，，0，，，，，36，，，，. (1)问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2)若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的3倍与李强座位号的5倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 6．（22-23七年级上·广东湛江·期中）教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为0.5升/千米，则当天耗油多少升？ (3)若汽油价格为6.20元/升，则小王共花费了多少元钱的油费？ 【变式训练4 倒数】 1．（2024·广东广州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列四个实数中，不存在倒数的是（    ） A．0 B．3.14 C． D．1.3333 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 4．（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）的倒数是 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列各数的倒数： ，，，，． 【变式训练5 有理数乘法运算律】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ． 4．（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 6．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练6 有理数的除法运算】 1．（2024·山西临汾·一模）计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知算式“”的值为，“”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（    ） A． B． C． D． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 4．（23-24七年级上·吉林·期中）若两个数的积是，其中一个数是，则另一个数是 ． 5．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1)； (2)． 7． （22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）乘坐飞机的每位旅客，携带行李超过20千克的部分，每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票．张芳从南京到北京，票价打六折后是600元，南京到北京的飞机票原价是多少元？张芳带了40千克的行李，应付行李费多少元？ 【变式训练7 有理数除法的应用】 1．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）在地球陆地面积分布扇形统计图中，表示亚洲陆地面积的扇形圆心角为，由此可知，亚洲陆地面积占世界陆地总面积的（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东·开学考试）分钟 小时． 4．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 5．（2024七年级·全国·竞赛）某人想在乘汽车不超过30分钟就可以到达公司的地方找一处住宅，已知离公司不大于6千米时，汽车平均每小时只能走30千米，其他地方每小时可走50千米，试问此人的住宅应在离公司不大于多少千米的地方合适？ 6．（23-24七年级上·吉林·期中）把相同的瓷碗按如图方式整齐地叠放在一起．叠放4个时，测量的高度为cm；叠放6个时，测量的高度为cm． (1)根据题意，可知每增加一个瓷碗，高度增加______cm； (2)求碗高； (3)若叠放10个瓷碗，高度为______cm． 【变式训练8 有理数乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·重庆开州·期中）计算的结果是（　　） A．6 B．36 C． D．1 2．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如果4平方米的地面大约能站32人，那么1公顷的地面大约能站（    ）人． A．3200 B．32000 C．80000 D．800000 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）计算： ． 4．（22-23七年级上·广东河源·期中）符号n！表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘．例如．求 ． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 6．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练9 有理数四则混合运算】 1．（22-23七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，则的值是（     ） A．－15 B．9 C．－3 D．无法确定 2．（2023·天津南开·二模）计算2–（–3）×4的结果是（   ） A．10 B．–20 C．–10 D．14 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新的运算：，则 ． 4．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B分别是正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为（网格中最小的正方形面积为1个平方单位），请观察图形并解答下列问题，则的值 ． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 6．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）下面是佳佳同学一道题的计算过程： (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是___________． (2)请给出正确的计算过程． 【变式训练10 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某项工作由甲单独做三小时完成，由乙单独做四小时完成，乙单独做了一小时后，甲乙合作完成剩下的工作，完成这项工作共用（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）小明妈妈买了一盒蛋黄酥（共计6枚），小明将蛋黄酥进行称重，情况如下表所示（单位：克，标准质量为100克/枚，超过部分记为正，不足部分记为负），则这盒蛋黄酥的实际重量是（    ） 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 A．596克 B．594克 C．593克 D．592克 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）2020年元旦是星期三，那么同年的国庆节是星期 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）旅游团共有50人，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间170元/间，二人间140元/间，单人间100元/间，该旅游团的住宿费最少是 元． 5．（22-23七年级上·山东济南·期中）某天气象员在山顶测得气温是，同时测得山脚是，已知这个地区高度每增加，气温大约下降，这座山峰的高度大约是多少米? 6．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 1．（2024·山西阳泉·模拟预测）计算的结果是（  ） A．6 B．1 C． D． 2．（23-24七年级上·河南南阳·期中）已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过千克，收费元；超过千克的部分每千克加收元．小明在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2024七年级·全国·竞赛）某中学七年级有13个课外兴趣小组，共165人．各组人数如下表： 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 人数 5 6 7 9 10 11 12 14 15 16 17 20 23 一天下午学校同时举办语文和数学交流会，已知有12个小组参加，其中参加数学交流会的人数与参加语文交流会的人数之比为，还剩下一个小组未参加，这个小组是（    ） A．第3组 B．第6组 C．第9组 D．第12组 4．（2023·河北衡水·二模）计算的过程，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，你认为周老师到哪个店去买比较合算？（　　） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送两个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元． A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 6．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）有理数的倒数是 ． 7．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）吨千克 吨，千米 千米 米 8．（2023七年级上·江苏·专题练习）观察下列四个式子： ①；②；③；④． 你发现了哪些数学的结论用文字表达．根据你发现的结论，解答下列问题：如果则， ， ． 9．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）小忆对全班同学最喜爱丹顶鹤的人数运用划记法记录数据进行统计，喜欢的人数记，“正正”，经统计喜欢丹顶鹤的人数有 人，占全班人数的，则全班共有 人． 10．（23-24七年级上·江西赣州·期中）《汉书·律历志》说：“‘权者，铢、两、斤、钧、石也，所以称物平施，知轻重也……十六两为斤’，上述个称物的重量单位，明确记载斤等于两，由此可见，半斤就等于两，”那么，古人为何要定两为一斤？据介绍，十六两秤又名十六金星秤，它是由北斗七星、南斗六星外加福星、禄星、寿星组成的十六两的秤星，意在告诫做买卖的人要诚实守信、不欺不瞒。否则，短一两无福、少二两少禄、缺三两折寿。古代生活中也用到很多数学，三兄弟分家，家里一共有两斤七两白银（两为一斤），每人可以分到 两白银． 11．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）（1）；                   （2） 12．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 13．（23-24七年级上·河南南阳·期中）在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求的值； (2)求的值． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期末）某水果店以每箱180元的价格从水果批发市场购进20箱草莓，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.25 0.3 0.5 箱数 2 3 3 5 5 2 (1)求这20箱草莓的总重量； (2)若水果店打算以每千克25元销售这批草莓，则全部售出可获利多少元？ 15．（23-24七年级上·四川南充·期末）某服装店购进12件羊毛衫，实际销售情况如下表所示：（售价超出成本记为正，不足记为负） 件数（件） 3 2 2 2 3 售价（元/件） (1)这批羊毛衫中，最高售价比最低售价高多少元？ (2)通过计算说明，这家服装店售完这批羊毛衫盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘除（4大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 两个有理数的乘法法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的卖际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【典型例题一 两个有理数的乘法法运算】 1．（2024·山西晋城·三模）计算的结果为（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法．根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（2024·天津河西·二模）计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）的积有 位小数． 【答案】四 【分析】此题考查的目的是掌握小数乘法的计算法则，先进行计算．再据此解答即可． 【详解】解：由于，有四位小数． 故答案为：四 4．（23-24七年级上·重庆忠县·期末）计算 ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 5．（22-23七年级上·四川眉山·期末）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算括号内的乘法，得，再算减法，得，即可作答． 【详解】解： 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则计算即可． （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题主要考查有理数的乘法，牢记有理数乘法的运算法则（两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘）是解题的关键． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）下列各式中，积为正数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．根据法则逐一分析可得答案. 【详解】解：的结果为负，故A不符合题意； 的结果为负，故B不符合题意； 的结果为0，故C不符合题意； 的结果为正，故D符合题意； 故选D 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）将“a、b、c三个数中至少有一个数是零”这句话用等式表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，任何数与0相乘都得0． 【详解】解：∵a、b、c三个数中至少有一个数是零， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级上·广西玉林·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】0 【分析】根据任意数乘以0，得0，即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：0． 【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握任意数乘以0，得0，是解题的关键． 4．（22-23七年级上·江苏镇江·阶段练习）计算： ． 【答案】0 【分析】利用0乘以任何数等于0进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了0乘以任何数等于0，解题的关键是掌握0乘以任何数等于0． 5．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算 【答案】 【分析】有理数乘法运算，先确定符号，再将带分数化成假分数，然后进行约分等运算． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的运算方法，解题的关键是要熟练掌握运算顺序． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)35 (2)6 【分析】（1）先确定积的符号，再计算积的绝对值； （2）先确定积的符号，再计算积的绝对值． 【详解】（1） （2） 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘法运算法则． 【典型例题三 有理数乘法的卖际应用】 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）小明把8000元钱存入银行，存期两年，年利率为，到期时可以取回（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据题意，可知到期时可以取回，然后计算即可． 【详解】解：由题意可得， （元）， 即到期时可以取回8336元， 故选：C． 【点睛】本题考查百分数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 2．（23-24七年级上·广东惠州·开学考试）某小区停车场对小汽车的收费标准是这样的：半时内（含半时）免费；半时以上，每过1时收费5元，不足1时按1时算．一辆汽车付停车费是15元，那么它停车的时间段可能是（    ）． A．至 B．至 C．至 【答案】C 【分析】付停车费15元，也就是半个小时+3个小时（或2个小时多），即停了2.5～3.5小时（不包括2.5小时）．据此判断即可． 【详解】解：11时-7时15分=3小时45分钟 15时30分-13时30分=2小时 14时25分-11时25分=3小时 只有C项符合条件． 故选：C． 【点睛】题目主要考查有理数的乘法运算，此题的关键是明确停车时间的范围，然后再进一步解答． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·开学考试）一个数由42个万、7个千、9个百和32个千分之一组成，这个数是 【答案】427900.032 【分析】42个万为420000、7个千为7000、9个百为900、32个千分之一为0.032，据此即可求解． 【详解】解：42个万为420000、7个千为7000、9个百为900、32个千分之一为0.032 故这个数为：427900.032 故答案为：427900.032 【点睛】本题考查有理数的表示．注意不要漏0多0． 4．（22-23七年级下·广西河池·期末）某公园的门票价格规定如表： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 元 元 元 七年级（1）、（2）两个班共人去游公园，其中（1）班人数较少，不到人，（2）班人数较多，多人，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付元，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 元． 【答案】 【分析】对照表格，计算两个班联合起来后共104人的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：根据表格，当两个班联合起来，每人的门票价格为元， 故可节约的钱为： （元）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的计算实际应用，正确列出理清题中数量关系是解题的关键． 5．（23-24七年级上·广东肇庆·开学考试）小猴子真真开垦了一块近似于三角形的地种香蕉，如果每平方米收3千克香蕉，这块儿地大约能收多少千克香蕉？    【答案】这块地可以收香蕉千克 【分析】先利用三角形的面积公式求出这块香蕉地的面积，再乘每平方米收香蕉的重量，列式解答即可． 【详解】（千克） 答：这块地可以收香蕉千克． 【点睛】此题主要考查三角形的面积的计算方法在实际生活中的应用． 6．（23-24七年级上·山西太原·开学考试）每年的6月5日是“世界环境日”，中国的主题是“建设人与自然和谐共生的现代化”．希望小学组织六年级同学开展收集废弃的塑料瓶活动，男生一共收集了180个，女生收集的个数是男生的2.5倍，女生一共收集了多少个？ 【答案】女生一共收集了450个 【分析】根据倍数关系直接列式计算即可． 【详解】解：（个）， 答：女生一共收集了450个． 【点睛】本题考查了有理数乘法的实际应用，正确列式是解题的关键． 【典型例题四 倒数】 1．（23-24九年级下·四川宜宾·期中）的倒数是(　  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义“相乘等于1的两数互为倒数”直接进行解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 2．（2024·安徽池州·模拟预测）下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．乘积是1的两数互为倒数，由此即可判断． 【详解】A、的倒数是，故A不符合题意； B、的倒数是，故B符合题意； C、的倒数是2，故C不符合题意； D、2的倒数是，故D不符合题意． 故选：B． 3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，解题的关键是根据倒数的定义，求出结果即可． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，倒数等于本身的数是． 【详解】解：倒数等于本身的数有：1，． 故答案是：1或． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各数的倒数： ． 【答案】1，，3，，，，， 【分析】求一个数的倒数，只需将分子分母颠倒位置，1和的倒数是本身，据此解答． 【详解】解：的倒数是； 的倒数是； 的倒数是3； 的倒数是； 的倒数是； 的倒数是； 的倒数是； 的倒数是． 【点睛】本题考查倒数的求法，熟练掌握“乘积是1的两数，互为倒数” ． 6．（2023七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的倒数． (1)0.25 (2) (3) (4)－1.25 (5)0 【答案】(1)4 (2) (3) (4) (5)0没有倒数 【分析】根据倒数的定义逐一解答即可． 【详解】（1）解：0.25的倒数是4； （2）解：的倒数是； （3）解：的倒数是； （4）解：﹣1.25的倒数是； （5）解：0没有倒数． 【点睛】本题考查了倒数的定义，属于基础概念题型，熟知倒数的概念是解题的关键． 【典型例题五 有理数乘法运算律】 1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）在算式：中，运用了（　　） A．乘法结合律 B．乘法交换律 C．分配律 D．加法交换律 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律．据此解答即可． 【详解】解：算式中，运用了分配律． 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的原理是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【答案】C 【分析】根据算式的变化确定所有的运算律即可． 【详解】解：的变形原理是乘法分配律． 故选C． 【点睛】本题主要考查了乘法分配律，把形如这样的变化成为乘法分配律． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试），应用了( )律． 【答案】乘法结合 【分析】根据乘法结合律，作答即可． 【详解】解：由题意知，应用了乘法结合律， 故答案为：乘法结合． 【点睛】本题考查了乘法结合律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（22-23八年级上·天津西青·期末）计算： ． 【答案】 【分析】逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、加法、减法运算，掌握相应的运算法则是解答本题的关键． 5．（23-24七年级上·湖南常德·期中）用简便方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，掌握运算法则即可． 【详解】解：原式 6．（23-24七年级上·四川眉山·期中）计算题，能简算的要简算． (1) (2) 【答案】(1)52 (2)58 【分析】本题主要考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将变形为，然后利用乘法分配律的逆运算解题； （2）利用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（2024·天津宝坻·二模）计算的结果等于（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法．根据有理数的除法法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2024·山西临汾·一模）计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】C 【分析】 本题主要考查了有理数的除法，先确定符号，再计算除法即可． 【详解】． 故选：C． 3．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 4．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）如果相同两个数的和等于4，那么这个数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，两个相同的数的和为4，则这个数的2倍为4，只需要用4除以2即可得到答案． 【详解】解：∵相同的两个数的和为4， ∴这个数， 故答案为：2． 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】同号得正，异号得负，再绝对值相除，0除以任何不为0 的数都得0，据此作答即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了有理数除法，掌握有理数除法运算法则，是解答本题的关键． 6．（2023九年级·全国·专题练习）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】此题考查有理数的除法，解题关键是先明确式子的符号，再利用除一个数就是乘这个数的倒数的计算法则计算． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个数的是12，这个数是（    ）． A． B． C．44 D． 【答案】C 【分析】根据除法的意思进行计算，即可求出答案． 【详解】解：∵一个数的是12， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数除法的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 2．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）圆片向右滚动一周后的位置如下图，这个圆片的直径大约是（    ）．    A．0.5 B．1 C．3.14 D．无法确定 【答案】B 【分析】由图可知这个圆片的周长大约是，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知这个圆片的周长大约是， ∴这个圆片的直径大约是． 故选B． 【点睛】本题考查圆的周长，有理数除法的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题关键． 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一根6.4米长的彩带，每1.4米剪一段包扎一个礼盒，这根彩带可以包扎 个礼盒． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算．根据有理数的除法法则，即可求解． 【详解】解： ， 即这根彩带可以包扎4个礼盒． 故答案为：4 4．（22-23六年级下·山东烟台·期中）2022年2月8日，北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，关键的第三轮谷爱凌选择了一个她从未在比赛中尝试过的动作——左侧身转体1620°安全抓板，她的发挥却相当出色，拿到了94.50的高分，成绩跃升至首位，成功夺冠．转体1620°是在空中身体转了 周． 【答案】4.5 【分析】根据题意用1620°除以360°求解即可． 【详解】解：， ∴转体1620°是在空中身体转了4.5周 故答案为：4.5． 【点睛】此题考查了有理数的除法运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 5．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 【答案】小时 【分析】平均速度总路程总时间，据此即可求解． 【详解】解：∵ 平均速度总路程总时间 ∴往返的总时间为：（小时） ∴返回时花费时间为：（小时） 答：返回时用了小时． 【点睛】本题考查了有理数除法的实际应用．抓住平均速度总路程总时间是解题关键． 6．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 【答案】万平方米 【分析】用北园面积除以对应的百分比即可得到公园总占地面积． 【详解】解：由题意可得，， 答：公园总占地面积是万平方米． 【点睛】此题考查了有理数除法的应用，准确计算是解题的关键． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的结果是（    ） A．0 B．30 C． D．28 【答案】A 【分析】根据乘数中有0，可知原式的结果一定为0． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知有理数乘法中，若其中的乘数有0，那么计算的结果为0是解题的关键． 2．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）计算：的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的除法和乘法计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算． 3．（2024·辽宁鞍山·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 4．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以所得的商记为．例如，，对调个位数字与十位数字得到的新两位数，新两位数与原两位数的和为，和除以的商为，所以．计算： ． 【答案】7 【分析】根据相异数的定义，可知的相异数是34， 【详解】 故答案7． 【点睛】考查一元一次方程的应用，新定义问题的求解等知识，理解“相异数”是正确解题的关键． 5．（23-24七年级上·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，计算绝对值，再根据有理数四则混合运算法则即可求解． 【详解】解：原式        6．（23-24七年级上·山西大同·期中）阅读下面材料． 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． 参照上面的例题．利用运算律进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）先变形为，再根据乘法分配律计算； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（22-23七年级上·广东·期中）1÷（﹣）×（﹣7）的值为（    ） A．1 B．﹣1 C．49 D．﹣49 【答案】C 【分析】根据有理数乘除运算即可得出答案． 【详解】． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的乘除运算，掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键． 2．（22-23七年级上·北京通州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选：D． 【点睛】此题考查有理数的混合计算，关键是根据法则进行计算． 3．（23-24七年级上·四川成都·期中）计算： ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先计算绝对值，再计算乘法，最后计算减法，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：7． 4．（22-23七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明做这样一道题：“计算：”．其中“□”处被污渍覆盖，他翻开后面的答案得知该题的计算结果是8．那么“□”表示的数是 ． 【答案】 【分析】由得，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（23-24七年级上·北京东城·期中）计算 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 按先算乘法，再算加减的顺序即可． 【详解】解：原式 ． 6．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答； （2）按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）刘叔叔把元钱存入银行，定期两年，年利率是．到期时，刘叔叔一共可取回（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】银行的利息问题中常用的关系式为：利息本金利率时间，根据题意可得关系式，计算可得答案． 【详解】解：存款时间为年，本金为元，年利率，利息本金利率时间， 到期时本息为（元）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了银行的利息问题，解题关键是熟悉利息问题中常用的关系式：利息本金利率时间，并能用作相等关系解题． 2．（22-23七年级上·河北邢台·期中）某公司2020年1～3月平均每月亏损150万元，4～7月平均每月盈利200万元，8～10月平均每月盈利170万元，11～12月共亏损420万元，则该公司2020年总的盈亏情况是（    ） A．盈利440万元 B．盈利940万元 C．亏损440万元 D．亏损290万元 【答案】A 【分析】规定亏损的为负数，盈利的为正数，结合平均数的意义，列式计算即可． 【详解】解：规定亏损的为负数，盈利的为正数，根据题意可得： ﹣150×3+200×4+170×3﹣420 ＝﹣450+800+510﹣420 ＝440（万元）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的意义，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·四川成都·期末）冰箱启动时内部的温度为，在冰箱的降温范围内，如果每一小时冰箱内部的温度降低，那么2小时后冰箱内部的温度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的应用，牢记有理数运算的法则是解题的关键．根据题意列式，再计算即可． 【详解】解：2小时后，冰箱内部的温度为 ． 故答案为：． 4．（22-23七年级下·山西大同·开学考试）我国实施“以人为本“的全民医保政策，解决人民群众的疾病医疗后顾之忧．医疗保险条款规定：住院医疗费用超过元的部分，可以报销．王阿姨参加了医疗保险，在定点医院住了天，共计费用元，技照规定，她个人应当支付( )元． 【答案】 【分析】用总费用减去报销的费用即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 即她个人应当支付元， 故答案为： 【点睛】此题考查了有理数混合运算的应用，根据题意正确列式是解题的关键． 5．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． 【答案】该外卖小哥这一周平均每天送餐43单 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 求出表中数据的平均数，再加上标准数40即可． 【详解】解：由题意，得： （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐43单． 6．（22-23七年级上·陕西宝鸡·期中）由于近期持续降雨，河水暴涨，上个星期日某水库的水位已到达警戒水位米，下表记录的是这个水库这一周内的水位变化情况． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． （1）本周水位最高的是星期 ，水位最低的是星期 ； （2）与上个星期日相比，本周星期日水库的水位是 ；（填“上升了”或“下降了”） （3）本周星期日由于水库上游有强降雨天气，工作人员预测水库水位将会以平均每小时米的速度上升，当水位超过警戒水位米时，就要开闸泄洪，请你估计一下，大约再经过多少个小时工作人员就需要开闸泄洪？ 【答案】（1）五，一；（2）上升了；（3）小时 【分析】（1）求出每天的水位，进行比较即可； （2）由（1）中数据可判断； （3）根据水位差除以上升的速度，可得答案． 【详解】解：（1）周一：m，周二：+0.8＝（m），周三：﹣0.4＝（m），周四：+0.2＝（m），周五：+0.3＝（m），周六：﹣0.5＝（m），周日：﹣0.2＝（m）， 周五水位最高是m，周一水位最低是m． 故答案为：五，一； （2）本周星期日水库的水位m，和上周末相比水位上升了0.4m， 故答案为：上升了； （3）（1.6﹣0.4）÷0.06＝20（小时）， 答：再经过20个小时工作人员就需要开闸泄洪． 【点睛】本题考查了正数和负数的意义和有理数运算，理解正负数的意义和熟练进行有理数的运算是解题关键． 【变式训练1 两个有理数的乘法法运算】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故选：A ． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3．（2024·西藏拉萨·一模）小明与小刚规定了一种新运算“”：若，是有理数，则，小明计算出，请帮小刚计算 ． 【答案】16 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义，将，代入计算，即可求出的值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）规定一种新运算：如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算．原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算；先算括号内的减法，再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和乘法运算律， （1）先将原式进行变形，再利用乘法分配律的逆用进行运算即可； （2）先将原式进行变形，再利用乘法分配律进行运算即可； 熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 2 【变式训练2 多个有理数的乘法运算】 1．（23-24七年级上·陕西榆林·阶段练习）计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，掌握相应的运算法则，是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如果个有理数相乘所得的积为，那么这个数中（    ） A．最多有一个数为 B．至少有一个数为 C．恰有一个数为 D．均为 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法运算即可求解． 【详解】解：个有理数相乘所得的积为， ∴这个数中至少有一个数为， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 3．（23-24七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）计算的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据任何数和零相乘都得零计算即可． 【详解】解： 故答案为：0 4．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）已知，其中表示当时代数式的值，如，， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合与运算．根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，，，， ∴， 故答案为：． 5．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】 本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确掌握有理数乘法的计算法则是解题的关键． 【变式训练3 有理数乘法的卖际应用】 1．（23-24七年级上·重庆綦江·开学考试）一种运动鞋，在“6·18网购节”时，先提价后又打八折，与原价相比，现价（    ） A．降低了 B．提高了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】设该运动鞋原价为，根据提价后又打八折可计算出现价，即可进行比较． 【详解】解：设该运动鞋原价为 提价后又打八折后，现价为： ∵ ∴现价降低了 故选：A 【点睛】本题考查有理数的乘法运算．正确计算出现价是解题关键． 2．（22-23七年级·江苏·假期作业）蜗牛前进的速度每秒只有毫米，恰好是某人步行速度的分之一，那么此人步行的速度大约是每小时（　　） A．9公里 B．公里 C．米 D．米 【答案】B 【分析】蜗牛与人的速度单位不一样，先化为统一单位，再计算人步行的速度． 【详解】解：∵蜗牛前进的速度每秒只有毫米， ∴每小时前进毫米米． 此人步行的速度大约是每小时米公里． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数运算的应用，解答此题的关键是计算出蜗牛每小时前进的速度，再计算出此人步行的速度． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，在长为 20 米，宽为 15 米的池塘上修建宽为2 米的横向与纵向的观景道路，则道路的面积为 平方米． 【答案】92 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据图形，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：92． 4．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为 【答案】36 【分析】本题考查了几何图形面积的计算，掌握几何图形的特点是解题的关键． 根据长方形的长与宽，图形结合，可得三号正方形的边长为：，根据长方形的宽为两个三号正方形与阴影部分正方形边长之和，由此可得阴影部分正方形的边长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，三号正方形的边长为：， ∴中间正方形的边长为：， ∴中间小正方形（阴影部分）的面积为：， 故答案为： ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等． 7，，0，，，，，36，，，，. (1)问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2)若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的3倍与李强座位号的5倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 【答案】(1)张红的座位号是7，李强的座位号是3 (2)36 【分析】本题主要考查的是有理数的概念和分类，找出负数、正整数的个数是解题的关键． （1）找出其中负数和正整数的个数即可得到答案； （2）列出算式进行计算即可． 【详解】（1）负数有：，，，,，，共7个；正整数有：7，36，，共3个． 张红的座位号是7，李强的座位号是3． （2） (人)， 答：这次参加英语沙龙的学生有36人． 6．（22-23七年级上·广东湛江·期中）教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为0.5升/千米，则当天耗油多少升？ (3)若汽油价格为6.20元/升，则小王共花费了多少元钱的油费？ 【答案】(1)小王在出发地西面4千米 (2)27升 (3)元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．读懂题意，列出算式，进行计算即可． （1）将所有数据相加，根据和的情况，进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加，求和后乘以每千米的油耗即可； （3）利用（2）中的结果乘以汽油每升的价格，计算即可． 【详解】（1）解：， ∴小王在出发地西面4千米； （2）（升）； （3）（元）． 【变式训练4 倒数】 1．（2024·广东广州·三模）的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列四个实数中，不存在倒数的是（    ） A．0 B．3.14 C． D．1.3333 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，即可解答． 【详解】A、0没有倒数，故A符合题意； B、3.14的倒数是，故B不符合题意； C、的倒数为，故C不符合题意； D、1.3333的倒数是，故D不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 4．（23-24六年级上·山东济南·阶段练习）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和倒数等知识点，根据绝对值和倒数的性质求解即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵，的倒数为， ∴的倒数为， 故答案为： 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数）是解答本题的关键． （1）由可得结论； （2）把化为，由可得结论； （3）把化为，由可得结论； （1）由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数为：； （2）解：， ∵， ∴的倒数为：， 即的倒数为：； （3）解：， ∵ ∴的倒数是， 即的倒数是； （4）解：∵， ∴5的倒数是， 6．（23-24七年级上·全国·课堂例题）写出下列各数的倒数： ，，，，． 【答案】的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是 【分析】两数相乘为的数互为倒数，注意没有倒数；带分数要化为假分数、小数化为分数，再根据倒数的概念解答即可． 【详解】解：的倒数是， 的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴的倒数是， 综上可得：的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是，的倒数是． 【点睛】本题考查倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 【变式训练5 有理数乘法运算律】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）算式利用了（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：，据此可得答案，熟知有理数乘法分配律的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，算式运用了乘法分配律， 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）有一个数字键“”坏了的计算器，用这个计算器计算时，下列按键方案中（ ）合适． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案． 【详解】A．，不含数字，该选项符合题意； B．，含数字，该选项不符合题意； C．，方案与原式不相等，该选项不符合题意； D．，方案与原式不相等，该选项不符合题意． 故答案为：A． 3．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，根据乘法分配律把原式变形为，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解； ， 故答案为：1． 4．（23-24七年级上·宁夏中卫·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据直接用乘法结合律来计算会非常简便来确定即可． 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个， 并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算． 故答案为：7． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】 6．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）下面各题怎样简便就怎样算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)5 (2)7623 (3)8686 (4)48 【分析】本题考查了分数的混合运算，以及有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用乘法分配律得出，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先整理为整百数，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，再运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练6 有理数的除法运算】 1．（2024·山西临汾·一模）计算的结果是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）已知算式“”的值为，“”部分是因被污染而看不清的运算符号，则该运算符号应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的除法，能根据商为确定运算符号是解题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·吉林·期中）若两个数的积是，其中一个数是，则另一个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法，根据题意，列出算式，根据有理数的除法法则进行计算即可求解，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴另一个数是， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·江西南昌·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，有理数的除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （2）根据有理数除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（22-23七年级上·黑龙江大庆·期末）乘坐飞机的每位旅客，携带行李超过20千克的部分，每千克要按飞机票原价的1.5%购买行李票．张芳从南京到北京，票价打六折后是600元，南京到北京的飞机票原价是多少元？张芳带了40千克的行李，应付行李费多少元？ 【答案】机票原价是1000元；行李费300元． 【分析】本题考查了百分数的应用， （1）根据百分数的意义列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：（1）（元）， 答：南京到北京的飞机票原价是1000元； （2） （元）， 答：张芳带了40千克的行李，应付行李费300元． 【变式训练7 有理数除法的应用】 1．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】走1千米所需时间＝总时间÷总路程，即可求解． 【详解】解：∵走1千米所需时间＝总时间÷总路程， ∴正确列式为： 故选：C 【点睛】本题考查有理数的除法运算的实际应用．抓住速度＝路程÷时间即可． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）在地球陆地面积分布扇形统计图中，表示亚洲陆地面积的扇形圆心角为，由此可知，亚洲陆地面积占世界陆地总面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，用亚洲陆地面积的扇形圆心角度数除以360度再乘以即可得到答案． 【详解】解：， ∴亚洲陆地面积占世界陆地总面积的， 故选B． 3．（23-24七年级上·广东·开学考试）分钟 小时． 【答案】/ 【分析】本题考查时间的化简，根据1小时分钟求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 分钟小时， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·安徽六安·期中）根据工信部组织修订的《电动自行车安全技术规范》强制性国家标准，电动自行车最高设计车速不超过25公里/小时．已知张老师家距学校5千米，在不违反交通规则的情况下，张老师骑电动自行车从家到学校所需时间至少有 分钟． 【答案】12 【分析】题目主要考查有理数的除法的应用，根据时间等于路程除以速度计算即可，注意单位的变换． 【详解】解：根据题意得：小时， 小时分钟， 故答案为：12． 5．（2024七年级·全国·竞赛）某人想在乘汽车不超过30分钟就可以到达公司的地方找一处住宅，已知离公司不大于6千米时，汽车平均每小时只能走30千米，其他地方每小时可走50千米，试问此人的住宅应在离公司不大于多少千米的地方合适？ 【答案】千米 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式．先求出求出行驶离公司6千米的地方需要的时间，然后再求出行驶其他路段所用的时间，再求出在剩余时间内最多可以行驶的路程，即可求出最远的距离，得出答案． 【详解】解：（小时）， （分钟）， （千米）， （千米）． 答：此人的住宅应在离公司不大于21千米的地方合适． 6．（23-24七年级上·吉林·期中）把相同的瓷碗按如图方式整齐地叠放在一起．叠放4个时，测量的高度为cm；叠放6个时，测量的高度为cm． (1)根据题意，可知每增加一个瓷碗，高度增加______cm； (2)求碗高； (3)若叠放10个瓷碗，高度为______cm． 【答案】(1) (2)碗高为cm (3) 【分析】本题考查有理数加减法实际运用 （1）由图示可知，根据两叠碗的高度差除以碗相差个数，即可求出增加一个瓷碗的高度； （2）由（1）可知增加一个瓷碗的高度，再用4个碗叠放总高减去3个碗增加高度即可求得； （3）叠放10个瓷碗高度，可看成一个碗高度加上9个碗增加的高度，即可求得． 【详解】（1）解：每增加一个瓷碗，高度增加：， 故答案为：； （2）解：碗的高度为：， 故碗的高度为cm； （3）解：； 故答案为：． 【变式训练8 有理数乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·重庆开州·期中）计算的结果是（　　） A．6 B．36 C． D．1 【答案】B 【分析】将除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【详解】解：原式 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 2．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）如果4平方米的地面大约能站32人，那么1公顷的地面大约能站（    ）人． A．3200 B．32000 C．80000 D．800000 【答案】C 【分析】先求出1平方米的地面大约能站8人，再根据1公顷=10000平方米，即可求解． 【详解】解：∵4平方米的地面大约能站32人， ∴1平方米的地面大约能站32÷4=8（人）， ∴1公顷的地面大约能站 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，明确平方米和公顷之间的进率为10000是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·广西桂林·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．先将除法运算转化成乘法运算，后按从左到右的顺序进行计算． 【详解】解：， 故答案为：1． 4．（22-23七年级上·广东河源·期中）符号n！表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘．例如．求 ． 【答案】403 【分析】根据题中的新定义计算即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故答案为：403． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解题的关键． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则计算即可． 【详解】 6．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）除法转化为乘法，再约分即可； （2）利用乘法分配律展开，再计算即可； （3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可； （4）先计算括号内减法，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练9 有理数四则混合运算】 1．（22-23七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，则的值是（     ） A．－15 B．9 C．－3 D．无法确定 【答案】B 【分析】将的值代入进行有理数的乘除法、减法运算即可得. 【详解】 故答案为：B. 【点睛】本题考了有理数的乘除法、减法运算，将所求式子进行变形直接利用已知条件是解题关键. 2．（2023·天津南开·二模）计算2–（–3）×4的结果是（   ） A．10 B．–20 C．–10 D．14 【答案】D 【分析】原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式＝2＋12＝14， 故选D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新的运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解；由题意得，， 故答案为：． 4．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B分别是正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为（网格中最小的正方形面积为1个平方单位），请观察图形并解答下列问题，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，根据格点图的特点分别求出两个阴影部分的面积，进而求出对应的比值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【答案】14 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，乘法分配律等知识，先将除法改乘法，再运用乘法分配律计算即可，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 6．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）下面是佳佳同学一道题的计算过程： (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是___________． (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）先计算括号内的加法，然后计算除法求解即可． 【详解】（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是①； （2） ． 【变式训练10 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某项工作由甲单独做三小时完成，由乙单独做四小时完成，乙单独做了一小时后，甲乙合作完成剩下的工作，完成这项工作共用（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先根据题意得到甲、乙的工作效率分别为，再求出甲乙合作的工作时间即可得到答案． 【详解】解：小时， ∴完成这项工作共用小时， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）小明妈妈买了一盒蛋黄酥（共计6枚），小明将蛋黄酥进行称重，情况如下表所示（单位：克，标准质量为100克/枚，超过部分记为正，不足部分记为负），则这盒蛋黄酥的实际重量是（    ） 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 A．596克 B．594克 C．593克 D．592克 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用．根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解： （克）， 即这盒蛋黄酥的实际重量是594克， 故选：B． 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）2020年元旦是星期三，那么同年的国庆节是星期 ． 【答案】四 【分析】本题考查的是同余问题，正确认识2020年每个月的天数是解题的关键．计算出2020年从元旦到国庆节的总天数，用总天数除以7，根据余数解答即可． 【详解】解：1月、3月、5月、7月、8月是31天，10月是1天，2月是29天，4月、6月、9月是30天， ， ， ∵2020年元旦是星期三， ∴同年的国庆节是星期四， 故答案为：四． 4．（2024七年级·全国·竞赛）旅游团共有50人，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间170元/间，二人间140元/间，单人间100元/间，该旅游团的住宿费最少是 元． 【答案】2860 【分析】本题考查了实际生活中的最优问题；由题意知，尽可能多住三人间，其次住二人间，最后考虑单人间，根据这一原则去考虑即可． 【详解】解：， 因此先安排三人间客房16间，剩下2人安排二人间1间，即可全部住下去，此时住宿费最少，最少为：（元）； 故答案为：2860． 5．（22-23七年级上·山东济南·期中）某天气象员在山顶测得气温是，同时测得山脚是，已知这个地区高度每增加，气温大约下降，这座山峰的高度大约是多少米? 【答案】这座山峰的高度大约是． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ， ， 答：这座山峰的高度大约是． 6．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)前三天共生产15300个口罩 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个 (3)本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用． （1）把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解； （2）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（个）． 故前三天共生产15300个口罩； （2）解：（个）． 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个； （3）解：（个）， （元）． 故本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元． 1．（2024·山西阳泉·模拟预测）计算的结果是（  ） A．6 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，理解两个有理数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘是解题关键． 先确定符号，然后把绝对值相乘． 【详解】解：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南南阳·期中）已知某快递公司的收费标准为寄一件物品不超过千克，收费元；超过千克的部分每千克加收元．小明在该快递公司寄一件千克的物品，需要付费（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数运算的实际应用，根据题意列出算式计算即可，依据题意，正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：（元）， ∴需要付费元， 故选：． 3．（2024七年级·全国·竞赛）某中学七年级有13个课外兴趣小组，共165人．各组人数如下表： 组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 人数 5 6 7 9 10 11 12 14 15 16 17 20 23 一天下午学校同时举办语文和数学交流会，已知有12个小组参加，其中参加数学交流会的人数与参加语文交流会的人数之比为，还剩下一个小组未参加，这个小组是（    ） A．第3组 B．第6组 C．第9组 D．第12组 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数除法运算的应用，解题的关键是找出总人数除以7以后的余数，根据参加语文和数学交流会的人数正好为7的倍数，得出剩下一个小组的人数除以7的余数应该为4，找出符合要求的数即可． 【详解】解：参加语文和数学交流会的人数是的倍数， ∵， ∴未参加的小组的人数除以7的余数也应该为4， ∵， ∴未参加的小组为第6组． 故选：B． 4．（2023·河北衡水·二模）计算的过程，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将带分数化为假分数，再根据有理数的混合运算，先计算括号，再计算除法，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 5．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）周老师要买60个小足球，三个店的小足球单价都是25元，你认为周老师到哪个店去买比较合算？（　　） 三个店的优惠情况如下： 甲店：每买10个送两个； 乙店：打八折优惠； 丙店：购物每满200元，返现金30元． A．甲店 B．乙店 C．丙店 D．都一样 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意分别求出三个店购买所需费用，即可得到答案． 【详解】解：甲店购买所需费用：元； 乙店购买所需费用：元； ∵ ∴丙店购买所需费用：； ， 即周老师到乙店去买比较合算， 故选：B． 6．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）有理数的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义，即可求解．倒数：乘积是的两个有理数称为互为倒数，正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；没有倒数. 【详解】解：有理数的倒数是， 故答案为：． 7．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）吨千克 吨，千米 千米 米 【答案】 6 50 【分析】根据吨千克，千米米进行换算即可．本题考查数学常识，掌握吨千克，千米米是解题的关键． 【详解】解∶吨千克，千米米， 吨千克吨， 千米千里米， 故答案为∶，，． 8．（2023七年级上·江苏·专题练习）观察下列四个式子： ①；②；③；④． 你发现了哪些数学的结论用文字表达．根据你发现的结论，解答下列问题：如果则， ， ． 【答案】 【分析】结合已知条件总结结论，然后利用其进行计算即可． 【详解】解：由题干已知条件可得：两数相乘，同号得正，异号得负，然后把它们的绝对值相乘； ∵， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查有理数的乘法法则，结合已知条件总结出运算法则是解题的关键． 9．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）小忆对全班同学最喜爱丹顶鹤的人数运用划记法记录数据进行统计，喜欢的人数记，“正正”，经统计喜欢丹顶鹤的人数有 人，占全班人数的，则全班共有 人． 【答案】 13 52 【分析】本题考查了有理数运算的应用．由题意一个正代表5个人，已知喜欢的人数记为“正正”，易求喜欢丹顶鹤的人数，再根据喜欢丹顶鹤的人数占全班人数的，从而可以求出全班人数． 【详解】解：由题意，喜欢的人数记为“正正”， ∴喜欢丹顶鹤的人数有人， ∵喜欢丹顶鹤的人数占全班人数的， ∴全班人数为：人． 故答案为：13、52． 10．（23-24七年级上·江西赣州·期中）《汉书·律历志》说：“‘权者，铢、两、斤、钧、石也，所以称物平施，知轻重也……十六两为斤’，上述个称物的重量单位，明确记载斤等于两，由此可见，半斤就等于两，”那么，古人为何要定两为一斤？据介绍，十六两秤又名十六金星秤，它是由北斗七星、南斗六星外加福星、禄星、寿星组成的十六两的秤星，意在告诫做买卖的人要诚实守信、不欺不瞒。否则，短一两无福、少二两少禄、缺三两折寿。古代生活中也用到很多数学，三兄弟分家，家里一共有两斤七两白银（两为一斤），每人可以分到 两白银． 【答案】13 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用；先统一单位为两，根据有理数的除法进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）（1）；                   （2） 【答案】（1）；（2）0 【详解】解：（1） （2） 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握多个有理数相乘的法则是解题的关键． 12．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可； 本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1） （2） 13．（23-24七年级上·河南南阳·期中）在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)49 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算可进行求解； （2）根据题中所给新定义运算可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得：， ∴． 14．（23-24七年级上·福建泉州·期末）某水果店以每箱180元的价格从水果批发市场购进20箱草莓，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.25 0.3 0.5 箱数 2 3 3 5 5 2 (1)求这20箱草莓的总重量； (2)若水果店打算以每千克25元销售这批草莓，则全部售出可获利多少元？ 【答案】(1)这箱草莓的总重量是千克； (2)全部售出可获利元． 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算的实际应用． （1）求出记录数据的和再加200千克即可； （2）根据销售额=销售单价×总数量计算即可； 【详解】（1）解：由题意得 （千克）； 答：这箱草莓的总重量是千克； （2）解： （元）； 答：全部售出可获利元． 15．（23-24七年级上·四川南充·期末）某服装店购进12件羊毛衫，实际销售情况如下表所示：（售价超出成本记为正，不足记为负） 件数（件） 3 2 2 2 3 售价（元/件） (1)这批羊毛衫中，最高售价比最低售价高多少元？ (2)通过计算说明，这家服装店售完这批羊毛衫盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)这批羊毛衫中，最高售价比最低售价高70元； (2)这家服装店售完这批羊毛衫盈利180元． 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 即这批羊毛衫中，最高售价比最低售价高70元； （2）解： （元）， 即这家服装店售完这批羊毛衫盈利180元． 学科网（北京）股份有限公司 $$