专题10 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算等问题专项训练（4大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题10 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算等问题专项训练（4大题型） 题型一 圆中最值问题（20道） 题型二 圆中翻折问题（10道） 题型三 圆中新定义问题（10道） 题型四 不规则图形面积计算（15道） 【经典例题一 圆中最值问题（20道）】 1．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接、，当时，的最大值为（    ） A．2 B． C．5 D． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 7．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（　　）    A． B． C． D． 9．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，点是的中点，过点作交延长线于点，若，则点到点的最大距离为 ． 10．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 11．（2024·河南三门峡·二模）如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 12．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是 ． 13（2024·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 16．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，半径为1的与直线相切于点A，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是 ． 17（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 18．（2024·江苏南通·模拟预测）在平行四边形中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 19．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O； 第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和． 则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】 如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______． （3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 【经典例题二 圆中翻折问题（10道）】 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·湖北武汉·期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（　　） A．110° B．112.5° C．115° D．117.5° 3．（19-20九年级上·江苏连云港·期中）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 4．（19-20九年级上·江苏镇江·期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧的度数等于（　　） A．40° B．50 C．80° D．100 5．（2023·河南新乡·二模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为    6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为直径，点C为圆上一点，将沿弦翻折交于点D，连结．若，则 ．    7．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 8．（2023·江苏苏州·二模）如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则 ． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 10．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，等腰中，，点A、C在上，为的直径，将沿翻折，点B的对应点D恰好落在上． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【经典例题三 圆中新定义问题（10道）】 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”现有一个斜边长为的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·湖北·期中）定义：点P、点Q分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．线段和是平面直角坐标系中的两个图形，其中，点，，半径为1．下列关于线段与的“距离”说法，正确的是（   ） A．“近距离”是4 B．“近距离”是5 C．“远距离”是6 D．“远距离”是8 4．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，已知在的网格图形中，点A、B、C、D都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 5．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 6．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 7．（2023·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ． 8．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B的坐标分别是与．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若，则称点P为线段的“等角点”．若点P为线段在第一象限的“等角点”，且在直线上，则点P的坐标为 ． 9．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角． 【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角度数． 已知：点A、B、C在上，是的切线，延长交于点D，连接、，则的弦切角． （1）特殊化：如图1，若是的直径，求证：； （2）一般化：如图2，是的弦，求证：； 【应用】（3）如图3，四边形是的内接四边形，是的切线，交延长线于点D，弦，若，求度数． 【经典例题四 不规则图形面积计算（15道）】 1．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西晋城·三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江宁波·一模）如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B．3 C． D．2 6．（2024·江苏苏州·二模）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．    7．（2024·云南楚雄·一模）如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为 ． 8．（2024·河南商丘·三模）如图，正方形纸片中，，以A为圆心，以的长为半径在正方形内部作，点P为上一个动点，连接，将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处，连接．当为等边三角形时，则线段，，，围成的阴影部分的周长为 ． 9（2024·山西太原·二模）如图，在中，，．以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E．若的半径为2，则阴影部分的面积为 ． 10．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，扇形中，半径在直线上，，，矩形的边也在上，且，，将扇形在直线上向右滚动，当扇形与矩形有公共点时停止滚动，设公共点为，则 ． 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，，交于，两点，为的直径，为的切线，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 12．（2024·河南·三模）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)若，，则阴影部分的面积为 ． 13．（2023·云南玉溪·模拟预测）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，．    (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，，求图中阴影部分的面积． 14．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 15．（21-22九年级上·江苏·期末）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆中最值、翻折、新定义、不规则图形面积计算等问题专项训练（4大题型） 题型一 圆中最值问题（20道） 题型二 圆中翻折问题（10道） 题型三 圆中新定义问题（10道） 题型四 不规则图形面积计算（15道） 【经典例题一 圆中最值问题（20道）】 1．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 2．（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B， 连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长度最小值为， 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键． 3．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接、，当时，的最大值为（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形，分析出当时，点有两种情况，并找出的最大值是解题关键．以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接，根据题意可得，，，根据分析图中即为所求的最大值，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接， ，， ， 点为的中点， ，， 绕点在平面内旋转，点的对应点为点， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 点、、三点共线， 由图可知，可能在线段上，也可能在延长线上， 要求的最大值，即求图中的长， ， ， 在中， 由勾股定理得， 的最大值为 故选：D 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，连接，取的中点，连接， ，根据圆周角的性质可知点在正方形 内以为直径的上，可推出 ，由勾股定理可得 ，再结合三角形三边关系得出当且仅当、、三点共线时，线段取得最小值，解题的关键是判断出点的运动轨迹，找到使线段取最小值的位置． 【详解】解：连接，取的中点，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵正方形的边长是，点是边的中点， ∴，， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴当且仅当三点共线时，线段取得最小值， ∴线段的最小值为， 故选：． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，先求出，从而证明点P在以点A为圆心，为半径的圆上，从而得到，从而得到，得出点P在以点A为圆心，为半径的圆上是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 以点A为圆心，为半径作圆，延长交圆于点Q，连接， 则， ∴， ∴点P在上，， ∴． 故选：D． 6．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为6的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，解直角三角形，三角形中位线定理，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键． 7．（23-24九年级上·北京东城·期末）如图，以 为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与 轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接， 作 ，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】连接， 作 ，连接， ， ∴， ∵为圆心，半径为， ∴，， 在中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点在以为直径的圆上移动， 当点在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故选：． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，根据全等三家巷的性质得到，连接并延长，交于点，则的最小值为，过作于，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图，以为边，在的上面作等边，使，，连接，，，   ， ， ， 在和中， ， ， ， 点的运动轨迹为以点为圆心，2为半径的圆， 连接并延长，交于点，则的最小值为，过作于， ，， ， ， ， 长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，点是的中点，过点作交延长线于点，若，则点到点的最大距离为 ． 【答案】6 【分析】连接，根据斜边上的中线得到，进而得到最大时，最大，延长至点，使，连接，易证，得到，进而得到，推出三点共圆，设圆心为，连接，，得到，垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴，， ∴当最大时，最大， 延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴三点共圆， 设圆心为，连接，，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最大值为6， ∴点到点的最大距离为6； 故答案为：6． 【点睛】本题考查斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是构造全等三角形，确定点的运动轨迹． 10．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作的外接圆，    ∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：； 11．（2024·河南三门峡·二模）如图，在矩形中，，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到；当射线交线段于点P时，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】的运动轨迹为为圆心为半径的圆，由勾股定理得，当取得最大值时，取得最大值，当与相切时，取得最大值，此时与重合，设，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，的运动轨迹为为圆心为半径的圆， 四边形是矩形， ， ， ， ， 与相切， 当取得最大值时，取得最大值， 如上图，当与相切时，取得最大值， 此时与重合， 设， ， 由翻折得：， ， ， ， 在中 ， 解得：， 的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握性质，能找出取得最值的条件是解题的关键． 12．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形中位线定理可得，知当取得最小值时，取得最小值，由折叠知，点在以点F为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，取得最小值，为，过点F作于点H，，根据的直角三角形的性质可得的长与的长，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值． 【详解】连接，， ∵点N为的中点，点M为中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵平行四边形中，，点F为的中点， ∴， 由折叠知，， ∴点在以点F为圆心，的长为半径的半圆弧上运动， 当点运动到线段上时， 取得最小值，最小值为， 过点F作于点H，如图所示， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，三角形中位线定理，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 143（2024·江苏苏州·一模）如图，已知中，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，如图所示，由圆周角定理的推论得到，从而确定动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由点到圆周上动点距离最值的求法转化为，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 以为直径作， ，则， ， 动点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 连接，在中，由三角形三边关系可得，从而当三点共线时，可取到最小值，为， 已知中，，， 在中，，则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆的性质、圆周角定理的推论、动点最值问题-圆弧型、三角形三边关系、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-圆弧型的解法步骤是解决问题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，点M 为边上一点，以点M为圆心，为半径作， 交x轴于点 D， 连接交于点E， 连接， 点 F 为中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接，由矩形的性质得到，进而得到，，证明，则，再证明为的中位线，得到，则点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动，故当三点共线且点F在上时，有最小值，利用勾股定理得到，则． 【详解】解；如图所示，连接，取中点H，连接，取中点G，连接， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当三点共线且点F在上时，有最小值， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，矩形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理等等，正确作出辅助线推出点F的运动轨迹是解题的关键． 16．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，半径为1的与直线相切于点A，点是上的一个动点，作于点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】在的延长线上取一点，使，则．当与相切于点时，取得最大值，此时连接并延长交延长线于点，则．根据等腰直角三角形的性质和切线的性质，求出结果即可． 【详解】解：由圆的对称性不妨设点是左半圆上的动点．如图，在的延长线上取一点，使，则．当与相切于点时，取得最大值，此时连接并延长交延长线于点，则． ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 连接，则． ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于线段和的最值问题，主要考查了切线的性质、勾股定理等，能正确作出辅助线，将所求最大值转化为求的长的最大值是解题的关键． 17（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）综合与实践 利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法． 如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ． 思考探索 （1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空． ①点 在以点 为圆心， 的长为半径的圆上（填线段）； ②的长为 ； 拓展延伸 （2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上． ① 求 面积的最大值； ② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值． 【答案】（1）①；② （2）①；② 【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质、图形的折叠、等腰三角形的性质等， （1）①利用圆的基本性质，即可求解； ②根据折叠的性质，利用勾股定理，即可求解； （）①由题意知点在以点为圆心，半径长为的圆上，的面积要最大，只要以为底的高最长即可，此时当时，的面积最大； ②当、、三点共线时，取得最小值，即取得最小值，且最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠的性质知：，，， ， ①点在以点为圆心，的长为半径的圆上； ② ； 故答案为：①，②， （）①，， ， 故点在以点为圆心，半径长为的圆上， 的面积要最大，只要以为底的高最长即可， 当时，的面积最大，如图： 的面积最大值； ②， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 且最小值为的长， ， 的最小值为． 18．（2024·江苏南通·模拟预测）在平行四边形中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，连接交于点H，连接，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点P，连接，直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)证明，见解析 (3)最小值为 【分析】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点，根据题意，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质，则，，推出，是等腰直角三角形；根据全等三角形的判定，则，则，，求出；根据矩形的判定，则四边形是矩形，求出，，最后根据勾股定理，即可． （2）连接、、，根据平行四边形的性质和旋转的性质，则，推出、、、四点共圆，则在的延长线上，得到，根据全等三角形的判定，则，则；再根据平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，推出；根据全等三角形的判定，则，得，再根据是等腰直角三角形，则，最后根据，即可； （3）连接、、、，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，则，根据勾股定理，求得，根据，即可． 【详解】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）连接、、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）得，，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）连接，，，， 由（2）得，，点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形，勾股定理，圆内接四边形性质，平行四边形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的运用，矩形的判定和性质． 19．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】 如图，是外的一点，直线分别交于点、． 小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】 如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】 如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用： 【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解； 构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用 勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解． 【详解】解：问题情境∶小红的说法正确， 在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，>， ∴>，即>． ∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段． ∴小红的说法正确； 直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 故答案为：． 构造运用：由折叠知， ∵是的中点， ∴， ∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上， 过点作于点， ∵在边长为的菱形中， ，为中点， ∴，， ∴， ∴． ∴， ∴， ； 深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键． 20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．    【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下： 第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O； 第二步：连接； 第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和． 则图中、即为所求的点． 请在图②中，连接、、、，并求证：． 【方法迁移】 如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】 （2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______． （3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______． 【答案】（1）见解析；方法迁移：见解析；（2）且；（3）8 【分析】（1）根据尺规作图可知是等边三角形，，利用圆周角定理可知； 方法迁移：作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P （2）当过点A和D时，，当与相切于点E时，只有一个交点，计算得，即可求得； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，证明点P在圆O上，则当点P在线段上时，最短，在中，，，，即可求得的最小值为 【详解】解：（1）∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据圆周角定理可知：；    方法迁移：尺规作图如下： 作的垂直平分线，交于点M，在上截取，以O为圆心，为半径作，与、的交点为P；    （2）如下图所示：    当过点A和D时，， 当与相切于点E时，只有一个交点， ∵， ∴， ∴满足的点P恰有两个时，m的取值范围且， 故答案为：且； （3）以为斜边在的下方作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，在优弧上取一点H，连接， ∴， ∴， ∴四点共圆，即点P在圆O上， ∴当点P在线段上时，最短，    作交的延长线于点F， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的作法，勾股定理，一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握圆周角和圆心角之间的关系 【经典例题二 圆中翻折问题（10道）】 1．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，设的长为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先点是的中点，得，则点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，找到的最小和最大时的点，分别通过勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点是的中点， ， 将沿所在直线翻折得到△， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动（如图）， 此时即为最小值，过作，交的延长线于， ， ， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 当与重合时，最大， 此时，， 在中，由勾股定理得： ， 当与重合时，不存在， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，圆的定义等知识，发现点的运动路径是解题的关键． 2．（21-22九年级上·湖北武汉·期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（　　） A．110° B．112.5° C．115° D．117.5° 【答案】B 【分析】如图，取 中点，连接，连接，由题意知，且在一条直线上，，，知，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求，，，，，的值，进而求解的值． 【详解】解：如图，取 中点，连接，连接 由题意知，且在一条直线上，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 3．（19-20九年级上·江苏连云港·期中）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=，进而即可得解. 【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧，设与点O对应的点为F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示： 由翻折的性质，得 OB=BF，∠OBC=∠FBC ∵翻折后刚好经过圆心 ∴OB=OF ∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30° ∵OF⊥BC ∴ ∵ ∴BG=CG=1.5 ∴ ∵，OE⊥AB，OA=OB ∴∠ABD=∠ADB=45° ∴OE=EB= ∴ 故选：A. 【点睛】此题主要考查折叠的性质以及圆性质的综合应用，解题关键是作辅助线，利用特殊角三角函数进行求解. 4．（19-20九年级上·江苏镇江·期中）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC＝20°，将劣弧沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则弧的度数等于（　　） A．40° B．50 C．80° D．100 【答案】D 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据优弧所对的圆周角为∠ADC，得到∠ADC+∠B＝180°，然后根据∠DCA＝∠CDB﹣∠A，计算求得∠DCA的度数，即可求得弧的度数． 【详解】解：如图，连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝20°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°． 根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，优弧所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴∠B＝∠CDB＝70°， ∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝70°﹣20°＝50°， ∴弧的度数为100° 故选D． 【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角，构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解∠ADC+∠B＝180°. 5．（2023·河南新乡·二模）如图，是的直径，，°，将沿翻折，与直径交于点，则图中阴影部分面积为    【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及折叠轴对称，掌握圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系可求出、，再根据中位线定理求出，由图形中面积之间的关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，,过点作于点，则， ∵是的直径， ∴， 在中，，， ∴，，， ∵，， ∴是的中位线， ∴， =， 故答案为：．    6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为直径，点C为圆上一点，将沿弦翻折交于点D，连结．若，则 ．    【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，    是直径， ， ， ． 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，三角形的外角定理，难度适中．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图， 将上的沿弦翻折交半径于点D， 再将沿 翻折交于点E， 连接. 若， 则 的值 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股定理．连接、、，作于F，设，则，，，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到，然后利用勾股定理计算出，接着再计算出即可． 【详解】解：连接、、，作于F，如图所示， 设，则，， ∴， ∵上的沿弦翻折交半径于点D，再将沿 翻折交于点E， ∴为等圆中的弧， ∵它们所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ， ∴． 故答案为：． 8．（2023·江苏苏州·二模）如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则 ． 【答案】135 【分析】连接，由折叠的性质得出，，，由正方形的性质得出，，证明，证出，求出，则可得出答案． 【详解】解：连接， ∵将沿直线翻折到， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 10．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）如图，等腰中，，点A、C在上，为的直径，将沿翻折，点B的对应点D恰好落在上． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)长为 【分析】（1）连接，先证明，根据圆周角定理得到，从而可证得，根据切线判定定理即可得到结论； （2）过点A作于点F，于点H，连接，先证明四边形为矩形． 得到，．再由勾股定理和等腰三角形的性质求得，从而得，．然后设半径为r，则，，．得用勾股定理，得，求得r值即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴． 由翻折，得， ∴， ∴， ∵， ∴ ． ∵是直径， ∴． ∴． ∴． 即， ． ∴为的切线； （2）解：过点A作于点F，于点H，连接． ∴， ∴四边形为矩形． ∴，． ∵，， ∴，， ∴，． 设半径为r， 则，，． 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴长为 【点睛】本题考查切线的判定，翻折的性质，圆满周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质．熟练掌握切线的判定和圆满周角定理是解题的关键． 【经典例题三 圆中新定义问题（10道）】 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”现有一个斜边长为的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，，再证明经过圆心，，分别求解，，，设的半径为，再分别表示、，，再利用勾股定理求解半径即可． 【详解】解：如图，当等弦圆最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点，连接交于，连接，， ，， ，过圆心，， ，，． ， 设的半径为， ， ， ， ， 整理得：， 解得， ， 不符合题意，舍去， 当等弦圆最大时，这个圆的半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用等知识．熟练掌握以上知识是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·河南漯河·期末）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．如图，和 组成圆的折弦，，是的中点，于，则下列结论一定成立的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，在上截取，证明，推出，利用等腰三角形“三线合一”可证，等量代换可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，，， 是的中点， ， ， 和都是所对的圆周角， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， 故C选项正确， 现有条件不能证明选项A，B，D中的结论一定成立， 故选C． 3．（23-24九年级下·湖北·期中）定义：点P、点Q分别为两个图形、上任一点，如果线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；如果线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．线段和是平面直角坐标系中的两个图形，其中，点，，半径为1．下列关于线段与的“距离”说法，正确的是（   ） A．“近距离”是4 B．“近距离”是5 C．“远距离”是6 D．“远距离”是8 【答案】C 【分析】本题考查了坐标，圆的性质，“近距离”与“远距离”的定义，解题的关键是理解题意，正确应用新定义解题．结合平面直角坐标系，画出相应的图形，根据“近距离”与“远距离”的定义，得出答案． 【详解】如图所示， 点距离线段最近，为与线段的近距离，，， 点距离线段最远，为与线段的远距离，，， ， ． 故选：C． 4．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，已知在的网格图形中，点A、B、C、D都在格点上，如果，那么图中所有符合要求的格点D的个数是（    ）． A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】由勾股定理及其逆定理可知是等腰直角三角形，得，然后找出所有符合条件的点D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图， 由等腰直角三角形的性质可知，， 由圆周角定理可知，顶点在圆周上的其余7个角的度数也是， ∴符合条件的点D的个数是9个． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 5．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得． 【详解】 如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 7．（2023·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．如果已知点在直线上，点在的内部，的半径长为（如图所示），那么点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点在直线上，可求得点的“关联点”为，根据点与圆的位置关系可得，根据勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵点A在直线上， ∴， ∴，， ∴点的“关联点”为， 当时，，此时点在上， 整理得， 解得：， ∵点在的内部，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，点与圆的位置关系及解一元二次方程，点在圆内，；点在圆上，，点在圆外，，正确得出点坐标，熟练掌握点与圆点位置关系是解题关键． 8．（22-23九年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B的坐标分别是与．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若，则称点P为线段的“等角点”．若点P为线段在第一象限的“等角点”，且在直线上，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据P在直线上画图1，作的外接圆C，连接，，可知，的半径为，最后计算的长可得点的坐标． 【详解】解：如图，作的外接圆，设圆心为C，连接，， ∵点A与点的坐标分别是与， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点P在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了坐标和图形的性质，圆周角定理，解题关键是作的外接圆． 9．（2024·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点C是图形W的“相合点”． (1)已知点，线段与线段组成的图形记为W； ①点中，图形W的“相合点”是　　　　　　； ②点M在直线上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)的半径为r，直线与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段上存在外的一点P，使得点P为的相合点，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系，坐标与图形： （1）根据点C是图形W的“相合点”的定义结合图形判断即可． （2）如图2中，图形W的“相合点”的分布情形：①在第一象限，矩形上或内部．②在第二象限，矩形上或内部．③第四象限，矩形上或内部．结合图形判断即可． （3）如图3中，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件．求出几种特殊情形的r的值，即可判断． 【详解】（1）解：①如图，观察图象可知是的中点，Q是的中点．是的中点，故图形W的“相合点”是，，． 故答案为：． ②如图，图形W的“相合点”的分布情形： ①在第一象限，矩形上或内部． ②在第二象限，矩形上或内部． ③第四象限，矩形上或内部． 结合图形可知，直线上图形W的“相合点”M的横坐标为或． （2）解：如图，以O为圆心，为半径作圆，当直线与图中圆环有交点时，满足条件． 当直线在第一象限与大圆相切时，则， 解得，， 当直线经过时，，解得， 观察图象可知，满足条件的r的值为：， 当直线经过时，，解得， 结合图象可知，满足条件的的值为：． 10．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角． 【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角度数． 已知：点A、B、C在上，是的切线，延长交于点D，连接、，则的弦切角． （1）特殊化：如图1，若是的直径，求证：； （2）一般化：如图2，是的弦，求证：； 【应用】（3）如图3，四边形是的内接四边形，是的切线，交延长线于点D，弦，若，求度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和圆周角定理． （1）连接，根据切线的性质和圆周角定理得到，再利用等角的余角相等即可证明； （2）作直径，连接，同（1）即可证明； （3）连接，，利用垂径定理证明，由切线的性质得到，证明，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作直径，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题四 不规则图形面积计算（15道）】 1．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 2．（2024·江苏宿迁·一模）如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，以为直径的交于点D，得到，，，继而得到，结合得到， 利用扇形面积与的面积差表示阴影即可． 本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，熟练掌握圆的性质，扇形面积公式是解题的关键． 【详解】∵，，以为直径的交于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为：． 故选C． 3．（2024·山西晋城·三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，根据已知条件可得，是等边三角形，根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∴ ． 故选：B． 4．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设，，首先证明，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：设，， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 5．（2023·浙江宁波·一模）如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 则弧的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥底面半径为r，则， ∴， 圆锥底面半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形弧长及圆锥底面半径，掌握扇形弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键． 6．（2024·江苏苏州·二模）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．    【答案】/ 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7．（2024·云南楚雄·一模）如图所示，在矩形中，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．若点E是的中点，，则扇形所围成圆锥的底面半径为 ． 【答案】1 【分析】根据矩形，得到,结合点E是的中点，得到，得到，结合矩形性质，得到，根据公式计算即可，本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆锥侧面展开，熟练掌握公式，特殊角的三角函数，侧面展开是解题的关键． 【详解】∵矩形， ∴,， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， 根据题意，得， 解得， 故答案为：1． 8．（2024·河南商丘·三模）如图，正方形纸片中，，以A为圆心，以的长为半径在正方形内部作，点P为上一个动点，连接，将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处，连接．当为等边三角形时，则线段，，，围成的阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】首先根据正方形的性质和折叠的性质得到，然后根据等边三角形的性质得到，，然后利用弧长公式求出，进而求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴阴影部分的周长为． 故答案为： 【点睛】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，弧长公式，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9（2024·山西太原·二模）如图，在中，，．以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E．若的半径为2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，求出，得出，证明四边形为矩形，根据，得出四边形为正方形，根据求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的切线， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定，扇形面积计算，等腰三角形的性质，解题的关键在作出辅助线，证明四边形四边形为正方形． 10．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，扇形中，半径在直线上，，，矩形的边也在上，且，，将扇形在直线上向右滚动，当扇形与矩形有公共点时停止滚动，设公共点为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形弧长的计算、利用勾股定理解几何题．利用扇形弧长公式求出，滚动一周，则； 先求得与的关系，可知扇形滚动5周后，O与E相距，继续滚动，B点与相交，即公共点点，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：扇形滚动一周得到扇形， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 即扇形滚动5周后，与相距，继续滚动，点B落在上时，即公共点点，如图： ∴，，， ∴ 故答案为： 11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，，交于，两点，为的直径，为的切线，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，全等三角形的判定和性质以及切线的判定进行解答即可； （2）根据切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：为的直径，为的切线， ， 即， 在与中， ，，， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接 是的切线，是的切线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 过点作于点，则，， 在中，，， ， ， ， ． 【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及解直角三角形，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理以及直角三角形的边角关系、扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 12．（2024·河南·三模）如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． (3)若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6 (3) 【分析】本题考查了垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的求法、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）如图：连接，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明则从而证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （3）先根据勾股定理求得,再利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线． （2）解：设的半径为r，则， 在中，，解得：或（舍去）， ∴的半径为6． （3）解：设的半径为r，则 ∵，， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 故答案为． 13．（2023·云南玉溪·模拟预测）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，交于点，交于点，连接，．    (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明，三角形内角和，组合图形面积的计算； （1）设，则，根据，得到，故可得到，从而证得结论； （2）根据勾股定理，可求出的长度，再根据三角形面积公式可求出的长度，阴影部分面积，可转化成三角形面积减去圆的面积，据此来求解即可． 【详解】（1）解：是的切线，理由： 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ． 14．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）如图，的圆心O与正三角形的中心重合，已知的半径和扇形的半径都是．    (1)若将扇形围成一个圆锥的侧面，设该圆锥的高为h． ①求扇形的弧长； ②则h的值为___________； (2)上任意一点到正三角形上任意一点距离的最小值为___________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①本题考查求扇形弧长，根据等边三角形得到，结合即可得到答案；②本题考查圆锥展开图，根据底面圆周长等于扇形弧长求解即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的性质及勾股定理，连接并延长交于点D，作即可得到为最小值求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①∵三角形是正三角形， ∴， ∴； ②由①得， ， ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于点D，作于， ∵O是正三角形的中心，， ∴，，， ∴，是点到三角形边上最长的线段， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：   ． 15．（21-22九年级上·江苏·期末）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】(1)1：2 (2) 【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论． （2）根据求解即可． 【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得： ． ∴． ∴，ED与母线AD长之比为 （2）∵ ∴ 答：加工材料剩余部分的面积为 【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$