第10课时 角平分线(2)-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·八年级下册（北师大版） 第10课时 角平分线(2) 知识储备 三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点到这个三角形 的距 离相等。 新课标“理解三角形的角平分线 孩讲解 核考点)三角形的角平分线的性质 例D如图，∠ABC,∠ACD的平分线BP,CP交例2如图是尺规作图的痕迹，下列说法不正确 于点P,PF⊥BD,PG⊥BE,垂足分别为点F,G,的是 ( 下列结论：①S么P:SAp=AB: A.AE,BF是△ABC的内角平分线 BC:②∠APB+∠ACP=90°：③ B.CG也是△ABC的一条内角平 ∠ABC+2∠APC=180°，其中正 分线 确的结论有 C.点O到△ABC三边的距离相等 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D.AO=BO=CO 核心考点2三角形的角平分线的应用 例3如图，∠ABC=∠ACB,BD,CD 例日如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 分别平分△ABC的内角∠ABC、外 (1)用尺规在BC上求作一点P,使 角∠ACF.求证：AD∥BC P到边AC,AB的距离相等（不 写作法，保留作图痕迹)： (2)若∠B=30°，且BC=6,求CP的长. 18 第一章三角形的证明 基础训练 1.如图，在△ABC中，AB=5,BC=4,AC=3,点O2.(易错题)【教材P32习题T4变式】如图，直线 是三条角平分线的交点，若△AC) 41,l2,3,表示三条相互交叉的公 的面积是，则△0C的C边上 路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则 的高是 可供选择的地址有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 3.如图所示，在△ABC中，AC⊥BC, 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90, AE为∠BAC的平分线，DE⊥ AD平分∠BAC,交BC于点D, AB,且AD=BD,若DE=L5cm, AB=10,S△BD=20,则CD的 AE-3cm,则BC等于( 长为 ( A.3 cm B.7.5 cm C.6 cm D.4.5 cm A.2 B.3 C.4 D.5 能力训练 5.如图，点I是△ABC三条角平分线的交点， 6.如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线， △ABI的面积记为S, BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的 △ACI的面积记为S, 面积是30，AB=9,AC=6,则 △BCI的面积记为S,关于 △ABE的面积是 S,+S:与S的大小关系，正确的是( A.S+S2=S B.S+S2<S C.S+S:>S D.无法确定 拓展训练 7.如图，∠AOB=90°，画∠AOB的平分线OC.把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三 角尺的两条直角边分别与OA,OB相交于点E,F. (1)若PE⊥OA,PF⊥OB(如图1)，请证明：PE=PF: (2)把三角尺绕点P旋转（如图2），请证明：PE=PF. 19数学·八年级下册（北师大版）】 过关检测： 即点D在∠A的平分线上. 1.D2.D3.D4.A5.C 过关检测 6.解：(1)①若PB=PC.连接PB.则∠PCB=∠PBC 1.C2.B3.C4.115.D6.(-4.3) :CD为等边三角形ABC的高， 7,(1)证明：OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP, AD=BD=2AB,∠PCB=∠ACB=30, PE⊥OB于点E,PD⊥OA于点D..∠PEO=∠PDO=90°， 在△POD与△POE中， ∴.∠PBC=30°..∠PBD=30, I∠POE=∠POD. 在Rt△PDB中，∠PBD=30°，，.PB=2PD. ∠PEO=∠PDO. ∴.BD=√PB-PD=V(2PD)-(PD)=5PD, PO-PO. :PD-号BD-号AB,与已知PD-之AB矛盾， △POD2△POE,∴.PD=PE. (2)解：根据垂线段最短可知：当PMLC时，PM最小 PB≠PC: ②若PA=PC,连接PA.同现可得PA≠PC: OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,.PM=PD=3,PM的 最小值为3. @若PA=PB,由PD=专AB,得PD=AD=BD, 第10课时角平分线(2) ∠APD=∠BPD=5",∴.∠APB=90° (2):BC=5.AB=3. 知识储备 ∴AC=√BC-AF=√-3=4. 三边 ①若PB=PC,设PA=x, 核心讲解 则了+3=4-，解得=名，即PA=名 【例1】D【例2】D 【例3】解：如答图，过点D作DM⊥BF于点M,DN上AC于点N, ②若PA=PC,则PA=2: DP⊥BA交BA延长线于点P, ③若PA=PB,则点P不可能在边AC上，故此种情况不符合题 :BD,CD分别平分△ABC的内角∠AC,外角 意，舍去 ∠ACF, PA的长为2或 ∴.DM=DP.DM=DN. ∴.DN=DP, 第9课时角平分线(1) ,AD平分∠PAC, 知识储备 ∴∠PAC=2∠PAD. 1.相等2.平分线 :∠PAC是△ABC的一个外角，∠ABC ∠ACB, 核心讲解 ·∠PAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC, 【例1】A【例2】A ∠PAD=∠ABC. 【例3】1)证明：AD平分∠BAC,CE⊥AD. ∴AD∥BC ·∠EAF=∠CAF,∠AFE=∠AFC=90, 【例4】解：(1)作∠CAB的平分线交BC于点P,如答图，点P即为 :AF=AF,.△AFE≌△AFC(ASA), 所求： ..EFCF: (2):∠C=90°，∠B=30°， (2)解：由(1D可得△AFE2△AFC, .∠AEC=∠ACE, ∴AC=号AB.即2AC=AB.∠CAB=60, '∠ACB=60°，∠BCE=20', 又：在R1△ABC中，AB=AC+BC.BC= ∠AEC=∠ACE=40°. 6, ∴.∠ABC=∠AEC-∠ECB=20. ∴4AC=AC十6，∴AC=23(负值舍去)， 【例4】证明：如答图，连接AD. 'DE⊥AB,DF⊥AC, :AP平分∠CAB∠CAP-号∠CAB=30, .∠DEB=∠DFC=90, CP=号AP,m2CP=AP :点D为BC的中点，BD=CD, 在Rt△DEB和Rt△DFC中， 又：在R1△APC中，AP=AC+PC,AC=25, BD=CD. ∴4CP=(23)+CP, BE-CF. ∴CP=2(负值舍去). Rt△DEB≌Rt△DFC(HL), 过关检测 .DE=DF. 答 1.A2.D3.D4.C5.C6.9 ,DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC, 7.证明：(1)(OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB..PE=PF, 参考答案 (2)①当PE⊥OA时.如图1，由(1)得PE=PF: CE是△ABC的中线，∴，AE=BE ②当PE与OA不垂直时，如答图，作PMLOA于 在△BEF和△AEC中. 点M.PN⊥OB于点N, BE=AE. :∠POM=∠PON=45, ∠BEF=∠AEC,∴.△BEF≌△AEC(SAS. ∴PM=PN, EF=EC. :∠OMP=∠ONP=∠MON=90°，且∠OMP+ ∴∠EBF=∠A.BF=AC 答图 ∠ONP+∠M)N+∠MPN=360, 又，AB=AC,.∠ABC=∠ACB. .∠MPN=90, ∴∠(BD=∠A十∠ACB=∠EBF+∠AEBC=∠CBF :∠EPF=90,.∠MPE=∠NPF=90°-∠EPN, ,:CB是△ADC的中线，，AB=BD :∠PME-∠PNF=90,△PME≌△PNF(ASA),∴.PE 又：AB=AC,AC=BF,.BF=BD. PF,综上所述，PE=PF. CB=CB, 微专题2特殊三角形常见辅助线的作法 在△CBF和△CBD中， ∠CBF-∠CBD, BF=BD. 1.证明：如答图，连接AD. △CBF≌△CBD(SAS),.CF=CD,.CD=2CE. ABAC.BDCD, 6.证明：如答图，过点D分别作直线BC,AC G.A .AD⊥BC 的垂线，分别交于点F,G,则DF=DG, ,EF∥BC,AD⊥EF :AE=AF,AD垂直平分EF,.DE=DF. 答图 :AB=AC,∠A=100:∠B=∠ACB=B∠ 40°. EF 2.证明：如答图，过点E作EG∥AC.且EG交BC于点G,则∠F 答图 ,BE=DE,,∠B=∠BDE=40', ∠DEG,∠ACB=∠EGB. :CD平分∠ACB,∠ACD=∠BCD=20°， AB=AC,∴∠ACB=∠B. ∴∠CDE=∠CDB-∠BDE=18O°-∠B-∠BCD-∠BDE= ∠B=∠EGB.∴BE=EG. 80, BE=CF...EG=CF. ∠CED=180-80-20°=80，.CD=CE. ∠EDG=∠FDC :DF⊥BC.DG⊥CG,∴∠DAG=180°-∠DAC=80. 在△EGD和△FCD中， ∠DEG=∠F, 答图 ,在△DEF和△DAG中， EG-FC. ∠DAG=∠DEF=80. .△EGD2△FCD(AAS)..DE=DF ∠IDGA=∠DFE=90, 3.证明：如答图，过点D作DF∥BC,DF交AB DG-DF. 于点F .△DEF≌△DAG(AAS),.DE=DA=BE. :△ABC是等边三角形，DF∥BC, ∴，BC=CE+BE=CD+AD. ..AB=AC=BC. 7.证明：如答图，过点D作DF∥AB, ∠ABC=∠ACB=∠AFD=∠ADF=∠A :△ABC是等边三角形， =60°. ∴.AC=BC,∠A=∠ABC=∠ACB=60. .△ADF是等边三角形，.AD=DF=AF, :DF∥AB,∴∠DFC=∠AX=0,∠FC=∠A=60. CD=BE. △CDF是等边三角形，.CD■DF,∠DCF■∠DFC■60°，. AD-CE,..FDCE. ∠BCD=∠EFD, 又∠DFB=∠DE=120°. .CE-AD.CD-CF.CE-CF=AD-CD.EF=AC.EF= △BFD≌△DCE(SAS),.DB=DE. BC. (BC-EF, 4,解：如答图，将△BCP绕点B逆时针旋转 A(C 在△BCD和△EFD中， ∠BCD=∠EFD: 60.点C和A重合，点P对应点P',连接P以： CD-DF. PP', ∴△BCD2△EFD(SAS),∴.DB=DE. :∠PBP=60 答图 8.解：如答图，延长AB至点E使BE=AD,连接CE BP=BP'. ∴，AE=AD+DB+BE=2AD+BD=AC △PBP是等边三角形， :∠A=60..△AEC是等边三角形，·∠E ∠BPP'=60, ∠ACE=60 :PP=8,AP=PC=10,PA=6, :∠ABC=4∠ACD.设∠ACD=r·则 ∴PP+P=APa. ∠ABC=4B在△ADC与△EBC中，AD= 答困 ∠APp=90, BE,∠A=∠E,AC=EC..△ADC2△EBC(SAS),.∠ACD .∠APB=60°+90=150 =∠ECB=.'∠ABC=∠E+∠BCE.∴4r=60+r..r= 5,证明：如答图，延长CE到点F,使EF=CE, E:B 20°，.∠DCB=60°-20°-20°=20 连接FB.则CF=2CE. 答国