第9课时 角平分线(1)-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·八年级下册（北师大版） 第9课时 角平分线(1)》 知识储备 1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离 几何语言：：DC平分∠ADB,又：PE⊥AD,PF⊥BD,垂足为E,F, ∴.PE=PF 2.角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的 几何语言：，PE⊥DA,PF⊥DB,垂足为点E,F,又PE=PF, .DC平分∠ADB,即点P在∠ADB的平分线上 新课标“掌握角平分线的性质与判定 解 核心考点)角平分线的性质定理 侧D如图，在四边形ABCD中， 图如图，△ABC的三边AB,AC,BC长分别为 DE⊥BC,BD平分∠ABC,AD= 30,40,50,AO,B0,C0分别是 CD,BE=4,DE=3,CE=1,则 三个内角平分线，则S△： △ABD的面积是 S△Me:SAar等于 ( Λ4.5 B.6 C.9 D.12 A.3:4:5B.1:2:3 C.2:3:4 D.1:1:1 核考点2角平分线的判定定理 图3如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC 酒在三角形ABC中，点D为BC 于点D,CE⊥AD,分别交AB,AD于点E,F. 的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 (1)求证：EF=CF; 别是E,F,BE=CF.求证：点D在 A (2)若∠ACB=60°，∠BCE=20°， ∠A的平分线上. 求∠ABC的度数. 10 第一章三角形的证明 过关检 基础训练 1.如图，AD⊥DC,AB⊥BC,若AB= 2.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点， AD,∠DAB=120°，则∠ACB的度 PD⊥OA,垂足为点D,且PD= 数为 ( 3,点M是射线OC上一动点，则 A.60 B.45 C.309 D.25 PM的最小值为 M A.2 B.3 C.4 D.5 3.(原创题)如图，AD是△ABC 4.如图，在△ABC中，AB=AC, 中∠BAC的角平分线，DEI AB∥CD,过点B作BE⊥AC AB于点E,DF⊥AC于点 于点E,BD⊥CD于点D,CD F,S△，wm=14,AB=7,则DF的长是 8,BD=3,则△ABE的周长为 A.6 B.5 C.4 D.3 审能力训练 5.如图，BP平分∠MBC,CP平分 6.如图，OA平分∠BOD,AC⊥OB于点C,且 ∠BCN,下列结论正确的是( AC=3,已知点A到y轴的距离是 A.∠MBP=∠P 4,那么点A的坐标为 B.BP∥AN C.若连接AP,则被BC平分 D.点P到AM与到AN的距离相等 话拓展训练 7.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知：如图1，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点.作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 为点D和点E.求证：PD=PE 分析只要证明直角三角形PDO和△PEO全等，便可证得PD=PE. (I)结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程， (2)定理应用：如图2，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA,垂 足为点D,且PD=3,点M是射线OC上一动点，求PM的最小值. 11数学·八年级下册（北师大版）】 过关检测： 即点D在∠A的平分线上. 1.D2.D3.D4.A5.C 过关检测 6.解：(1)①若PB=PC.连接PB.则∠PCB=∠PBC 1.C2.B3.C4.115.D6.(-4.3) :CD为等边三角形ABC的高， 7,(1)证明：OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP=∠BOP, AD=BD=2AB,∠PCB=∠ACB=30, PE⊥OB于点E,PD⊥OA于点D..∠PEO=∠PDO=90°， 在△POD与△POE中， ∴.∠PBC=30°..∠PBD=30, I∠POE=∠POD. 在Rt△PDB中，∠PBD=30°，，.PB=2PD. ∠PEO=∠PDO. ∴.BD=√PB-PD=V(2PD)-(PD)=5PD, PO-PO. :PD-号BD-号AB,与已知PD-之AB矛盾， △POD2△POE,∴.PD=PE. (2)解：根据垂线段最短可知：当PMLC时，PM最小 PB≠PC: ②若PA=PC,连接PA.同现可得PA≠PC: OP平分∠AOC,PD⊥OA,PD=3,.PM=PD=3,PM的 最小值为3. @若PA=PB,由PD=专AB,得PD=AD=BD, 第10课时角平分线(2) ∠APD=∠BPD=5",∴.∠APB=90° (2):BC=5.AB=3. 知识储备 ∴AC=√BC-AF=√-3=4. 三边 ①若PB=PC,设PA=x, 核心讲解 则了+3=4-，解得=名，即PA=名 【例1】D【例2】D 【例3】解：如答图，过点D作DM⊥BF于点M,DN上AC于点N, ②若PA=PC,则PA=2: DP⊥BA交BA延长线于点P, ③若PA=PB,则点P不可能在边AC上，故此种情况不符合题 :BD,CD分别平分△ABC的内角∠AC,外角 意，舍去 ∠ACF, PA的长为2或 ∴.DM=DP.DM=DN. ∴.DN=DP, 第9课时角平分线(1) ,AD平分∠PAC, 知识储备 ∴∠PAC=2∠PAD. 1.相等2.平分线 :∠PAC是△ABC的一个外角，∠ABC ∠ACB, 核心讲解 ·∠PAC=∠ABC+∠ACB=2∠ABC, 【例1】A【例2】A ∠PAD=∠ABC. 【例3】1)证明：AD平分∠BAC,CE⊥AD. ∴AD∥BC ·∠EAF=∠CAF,∠AFE=∠AFC=90, 【例4】解：(1)作∠CAB的平分线交BC于点P,如答图，点P即为 :AF=AF,.△AFE≌△AFC(ASA), 所求： ..EFCF: (2):∠C=90°，∠B=30°， (2)解：由(1D可得△AFE2△AFC, .∠AEC=∠ACE, ∴AC=号AB.即2AC=AB.∠CAB=60, '∠ACB=60°，∠BCE=20', 又：在R1△ABC中，AB=AC+BC.BC= ∠AEC=∠ACE=40°. 6, ∴.∠ABC=∠AEC-∠ECB=20. ∴4AC=AC十6，∴AC=23(负值舍去)， 【例4】证明：如答图，连接AD. 'DE⊥AB,DF⊥AC, :AP平分∠CAB∠CAP-号∠CAB=30, .∠DEB=∠DFC=90, CP=号AP,m2CP=AP :点D为BC的中点，BD=CD, 在Rt△DEB和Rt△DFC中， 又：在R1△APC中，AP=AC+PC,AC=25, BD=CD. ∴4CP=(23)+CP, BE-CF. ∴CP=2(负值舍去). Rt△DEB≌Rt△DFC(HL), 过关检测 .DE=DF. 答 1.A2.D3.D4.C5.C6.9 ,DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC, 7.证明：(1)(OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB..PE=PF,