第5课时 直角三角形(1)-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·八年级下册（北师大版】 第5课时 直角三角形(1) 知识储备 1.直角三角形角的性质定理：直角三角形的两个锐角 几何语言：在△ABC中，：∠C=90,∴.∠A+∠B=90° 2.直角三角形角的判定定理：有两个角 的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，，∠A+∠B=90°，∴.∠C-90°，即△ABC为直角三角形. 3.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为α，b,斜边长 为c,那么 4.如果三角形的三条边长a,b,c满足a2十b=c2,那么这个三角形是 三角形 5.如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为 命题.如果把其中一个叫原命题，则另一 个叫做它的 命题：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个 定理称为 定理，其中一个定理称为另一个定理的 定理. 新课标·掌握直角三角形的性质与判定方法 核心考点直角三角形的性质与判定与角的关系 核心考点②直角三角形的性质与判定与边的关系 D有下列条件：①∠A十∠B=∠C:②∠A:∠B: ☑(2022·遵义)如图1是第七届国际数学教育 ∠C=1:2:3:③∠A=90°-∠B:④∠A=∠B=∠C. 大会(ICME一7)的会徽，在其主体图案中选择两 能确定△ABC是直角三角形的条件有( 个相邻的直角三角形， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 恰好能组合得到如图2 所示的四边形OABC,若 AB=BC=1,∠AOB= 30°，则点B到OC的距离为 A分 B.26 C.1 D.2 5 倒图如图，在由边长为1的小正方形 核考点3逆命题和逆定理 组成的网格中，△ABC的顶点A,B,C 刻目下列说法正确的是 恰好在格点（网格线的交点）上.求 A.一个命题一定有逆命题 △ABC的周长， B.一个定理一定有逆定理 C.真命题的逆命题一定是真命题 D,假命题的逆命题一定是假命题 6 第一章三角形的证明 过关 基础训练 1.将一副直角三角板，按如图所示 2.以下列各组数为边长的三角形中： 叠放在一起，则图中∠α的度数是 459 ①5,12,13：②7,24,25：③8.15,16：④3,4,5： ⑤2+1,2-1，x6:⑥、3+1,5-1,22，能 A.45 B.50 构成直角三角形的有 C.60 D.75° A.3组 B.4组 C.5组 D.6组 3.已知M,N是线段AB上的两点，AM=MN= 4.命题“三个角都相等的三角形是等边三角形” 2,NB=1,以点A为圆心，AN长为半径画弧： 的逆命题是 :该 再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于 逆命题是 (填“真”或“假”)命题 点C,连接AC,BC,则△ABC一定是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 审能力训练 5.已知△ABC中，∠A=2∠B=3∠C,则∠A, 6.如图，在2×2的方格纸中，∠1十 ∠2等于 ∠B,∠C所对的三条边长之比为 审拓展训练 7.如图，AD⊥BC,垂足为点D,且AD=4,BD=8.点E从点B沿射线BC向右以2个单位/秒的速 度匀速运动，点F为BE的中点，连接AE,AF,设点E运动的时间为1. (1)当1为何值时，AE=AF: (2)当1=5时，判断△ABE的形状，并说明理由.数学·八年级下册（北师大版） ,CF∥AP,∠BPE=∠F,∠FBC=∠BPE,∴.PE=BE AD-BD. 第4课时等腰三角形(4) ∠GAD=∠B, ∠ADG=∠BDF, 知识储备 .△GAD≌△FBD(ASA),.AG=BF 1.等边三角形2.60 (2)解：由(1)可知△GAD2△FBD,.GD=FD.DE DF, 核心讲解 ∴∠EDF=∠EDG=90', 【例1C【例2B【例3JB【例4】B【例5D 在△EDG和△EDF中， GD-FD. 过关检测 ∠EDF=∠EIDG=90', 1.B2.A3.B4.A5.6s DE-DE. 6.解：(1)PB=PA+PC ∴△EDG≌△EDF(SAS),.EF=EG=5. 证明：如答图，在BP上截取BF=PC,连接AF 4.(1)解：，AB-AC,AD⊥BC于点D, :△ABC,△ADE都是等边三角形，，AB ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90, AC,AD=AE,∠BMC=∠DAE=60 又∠C=42, ∴.∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∠BAD=∠CAD=90°-42°=48： 即∠DAB=∠EAC..△ABD≌△ACE (2)证明：：AB=AC,AD⊥BC于点D, (SAS).∠ABD=∠ACE. ,.∠BMD=∠CAD: ∴.△ABF≌△ACP(SAS) EF∥AC..∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F. AF=AP,∠BAF-∠CAP ∴，AE=FE. .∠BAC=∠PAF=60', 5.(1)证明：△ABC,△ACD是全等的等边三角形，∴.AC=BC, △AFP为等边三角形，PF=PA ∠ABC=∠DAC=∠BCA=60°， .PB=PF+BF=PA+PC. ,AF=BE,在△CBE和△CAF中， (2)PC=PA+PB. CB=CA. 微专题1等腰三角形性质与判定的综合训练 ∠CBE-∠CAF, 1.(1)25115小解：(2)当DC=2时，△ABD2△DCE, BE-AF. .△CBE2△CAF(SAS), 理由：，∠B=∠C=40°， ∠DEC+∠EDC=140°， .CE=CF,∠BCE=∠ACF, 又：∠ADE=40°..∠ADB+∠EDC=140,.∠ADB= ,·∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE, ∠DEC,又AB=DC=2, ∴∠ECF=∠BCA=60, .△ABD2△DCE(AAS): ∴△CEF是等边三角形， (3)当∠BDA的度数为110或80时，△ADE是等腰三角形. (2)解：：△AEF的周长=AE+AF+EF=AE十BE+EF=AB +EF=6+EF. 2.(1)证明：：△ABC是等边三角形 ∠B=∠C=60°，DE∥BC, ·EF的值最小时，△AEF的周长最小， ∴.∠ADE=∠B=60,∠AED=∠C=60,.△ADE是等边三 :△ECF是等边三角形，.EF=CE, 角形： ∴当CELAB时，CE的值最小， (2)解：∠BEC=60°，BE=AE+CE. .CE为△ABC的高， ∠BAD+∠DAC=6O'. ∴CE=4 ∠CAE+∠DAC=60', ∴△AEF周长的最小值为6十a .∠BAD=∠CAE, 第5课时直角三角形(1)】 在△BAD和△CAE中. 知识储备 AB=AC, ∠BAD=∠CAE, 1.互余2.互余3.a2+=24.直角 AD=AE. 5,互逆逆逆互逆 核心讲解 .△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD=CE.∠AEC=∠ADB=120°， 【例1】C【例2】B ,BE=BD十DE=AE+CE 【例3】解：根据题意得 ∠BEC=∠AEC-∠AED=60. AB=√2+4-V20=25, 3.(1)证明：点D是AB边上的中点，∴AD=BD,:AG∥BC,. AC√2+下-√5，C=√+3-/2四-5， ∠GAD=∠B,在△GAD和△FBD中， .AB+AC+BC=2/5+√5+5=5+3、5： ∴△4BC的周长为5+35. 2 参考答案 【例】A (2)解：ABLAC理由如下： 过关检测 问(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.∴.∠DAB=∠ECA, 1.D2.B3.B ∠DBA=∠EAC, 4,等边三角形的三个角都相等真 :∠CAE+∠ECA=90°， ∴.∠CAE+∠BAD=90,即∠BAC=90, 5.1:326.90 ∴AB⊥AC 7,解：(1)由题意得BE=21,:点F为BE的中点， BF=EF=号BE= 第7课时线段的垂直平分线(1) AD=4,BD=8. 知识储备 :.DF=BD-BF=8-1.DE-BE-BD-21-8. 1,两个端点2.垂直平分线 AD BC.AE-AF...DE=DF, 核心讲解 即2一8=8-，解得-兰当1-曾时，AE=AF, 【例1】B 【例2】解：：点P与P,关于OA对称， (2)△ABE是直角三角形， ∴OA为线段PP,的垂直平分线， 理由：当1=5时，BE-21=10,.DE=BE-BD=10-8=2, ∴MP=MP, 在R△ADB中，AB=AD+BD=4+82=80. 同理.P与P:关于(OB对称 在R△ADE中，AE=AD+DE=4+2=20, ∴OB为线段PP:的垂直平分线， AB+AE=100,BE=10=100,.AB+AE=BE, ∴.NP=NP, ∴△ABE是直角三角形. PP:=P:M+MN+NP:=MP+MN+NP=5 cm, 第6课时直角三角形(2) ∴.△PMN的周长为5cm. 知识储备 【例3】(1)证明：：△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥ AB.DF⊥AC, 一条直角边 ∴∠DEA=∠DFA=90°，∠1=∠2， 核心讲解 在RI△ADF和R△ADE中， 【例1】D【例2D ∠DEA=∠DFA, 【例3】证明：：BE=CF, ∠1-∠2， ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, AD=AD. :∠A=∠D=90, ,R1△ADF≌Rt△ADE(AAS), .△ABF与△DCE都为直角三角形， .AF=AE: BF=CE. 在R△ABF和Rt△DCE中， (2)解：AD垂直平分EF AB=CD. 过关检测 .Rt△ABF2Rt△DCE(HI.). 1.C2.B3.B4.垂直平分5.C6.7 【例4】B 7.证明：(1)如答图，连接BE,CE. 【例5】解：由题意得AB=DE,BC=EF,∠BAC=∠EDF-90', :AE平分∠BAC,EF⊥AB,EBG⊥AC, .Rt△AB2Rt△DEF(HL), ∠AFE=∠AGE=90°，∠EAF=∠EAG,且 ·∠ABC=∠DEF, AE-AE. :∠DFE=55, ∴△AEF≌△AEG(AAS),.EF=EG, ∴.∠DEF=90°-∠DFE=35, ∠ABC=35 :DE垂直平分BC,∴BE=CE. 在R1△EBF和Rt△ECG中，BE=CE,EF=EG 过关检测 .Rt△EBF≌Rt△ECG(HI)..BF=CG: 1.C2.D3.C4.1355.5或106.75 (2)AB+AC=(AF-BF)+(AG+CG)=AF+AG.由(1)可知 7.(1)证明：BDLDE,CE⊥DE. △AEF2△AEG..AF=AG. .∠ADB=∠AEC=90, 在Rt△ABD和R△ACE中， .2AF-AB+AC.AF(AB+AC). :AB=ACR△ABD2R△CAEH 第8课时线段的垂直平分线(2) AD=CE. .∠DAB=∠ECA,∠DBA=∠EAC. 知识储备 '∠DAB+∠DBA=90',∠EAC+∠ACE=90. PA=PB=PC .∠BAD+∠CAE=90. 核心讲解 ∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90'..AB⊥AC 【例1】B【例2】B【例3】A【例4】B【例5】D【例6】D 3