第3课时 等腰三角形(3)-【宝典训练】2023-2024学年八年级下册数学高效课堂(北师大版)

数学·八年级下册（北师大版） 第3课时 等腰三角形(3) 知识储备 1.有 相等的三角形是等腰三角形（等 对等边) 2.在证明时，先假设命题的 不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学 过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件 的结果，从而证明命题的结论一定 ,这种证明命题的方法叫做反证法。 新课标“掌提等腰三角形的判定方法 孩西讲解 孩心心考点】等腰三角形的判定 例D如图，在△ABC中，点D是边 例☑如图，将一个平板保 BC上一点，已知∠ADC=∠C,可得 护套展开放置在水平桌面 是等腰三角形.（简称： 上，其示意图如右图，若 等角对等边) ∠ABC=∠ACB,AB= 10cm,BC=8cm,则△ABC的周长为( A.28 B.26 C.18 D.24 例3下列三角形中，等腰三角形的个数是( 例4如图，已知Rt△ADE,∠AED=90°，若从以 下三个等式中选出两个作为已知 3537 50 45x 条件，能推出Rt△ADE是等腰三 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 角形，你认为这两个等式可以是 (写出一种即可). ①AB=DC:②BE=CE;③∠B=∠C. 核心考点2反证法 例弱利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐倒0【教材P9例3变式】已知△ABC中，AB= 角不小于45”，应先假设 AC,求证：∠B<90°，下面写出了用反证法证明 A.直角三角形的每个锐角都小于45 这个命题的四个步骤：①所以∠B十∠C+∠A> B.直角三角形有一个锐角大于45° 180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B< C.直角三角形的每个锐角都大于45 90°：③假设∠B>90°：④那么由AB=AC,得∠B= D.直角三角形有一个锐角小于45 ∠C≥>90°，即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确 的顺序是 10 第一章三角形的证明 过关检 基础训练 1.下列判断错误的是 2.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB A.等腰三角形是轴对称图形 的角平分线交于点E,过点E作 B.有两条边相等的三角形是等腰三角形 MN∥BC交AB于点M,交AC于点 B C.等腰三角形的两个底角相等 N.若BM=2,CN=3,则MN的长为 D.等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 A.10 B.5.5 C.6 D.5 3.如图，已知△ABC,点D,E分别在 4.用反证法证明“等腰三角形的底角必是锐角” 边AC,AB上，∠ABD=∠ACE,下 的第一步反设是： 列条件中，不能判定△ABC是等腰 三角形的是 ( A.AE=AD B.BD=CE C.∠ECB=∠DBC D.∠BEC=∠CDB 带能力训练 5.如图，已知△ABC≌△DCE, 所以AC≠BC,这与假设矛盾，所以AC≠BC.上面 ∠BAC=∠B=70°，连接AE,得 的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的 到∠AED= 方法：若有错误，请予以纠正 6.阅读下列文字，回答问题 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°， 则AC≠BC. 证明：假设AC=BC,因为∠A≠45°，∠C=90°， 所以∠A≠∠B. 拓展训练 7.(1)如图1，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC,求证：AD=AC: (2)如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P,AP BC.求证：PE=BE 11参考答案 参考答案 第一章三角形的证明 ·∠CBF=∠ABC-∠ABF=24°， 由(I)得∠CBF=∠BCF, 第1课时等腰三角形(1) ∴∠CBF=∠BCF=24', ∴.∠CFE=∠CBF+∠BCF=48 知识储备 【例5D【例6】B 1,相等腰底顶角底角 过关检测 2.相等顶角平分线，底边上的高、底边上的中线 1.C2.D3.D.D5.30 核心讲解 6.12 【例1】∠A-∠D(答案不唯一）【例2】80'或50 7.(1)证明："△ABD.△ACE都是等边三角形，.AB=AD,AE= 【例3】23或19【例4】64【例5(【例6】4【例7】B AC. 过关检测 ∠DAB=∠EAC=60°，.∠DAC=∠BAE, (AB=AD. 1.202.B3.D4.D5.B6.4 7.解：不正确，错在第一步. ,在△ABE和△ADC中，∠BAE=∠DAC, 正确证法为：BE=CE,∴∠EBC=∠ECB, AE-AC. 又：∠1=∠2.∴∠ABC=∠ACB,AB=AC, .△ABE≌△ADC(SAS): ∴.△ABE≌△ACE(SAS), (2)解：由(1)知△ABE≌△ADC..∠AEB=∠ACD, ∠3=∠4，又AB=AC.AP⊥BC :∠ACD=15°.∴∠AEB=15: 8.解：(1)AB=AC,∠BAC=90.∠B=∠C=45,∠BAD= (3)同上可证：△ABE≌△ADC.∴∠AEB=∠ACD, 60°.∴.∠DAE=30, 又'∠ACD=60,∠AEB=60· :AD=AE.∠AED=75.∴.∠CDE=∠AED-∠C=75° :∠EAC=6O°，.∠AEB=∠EAC,∴AC∥BE. 45°=30°： 第3课时等腰三角形(3) 2)∠CDE=立∠BAD:理由如下：设∠BAD=,∴∠CAD= 知识储备 90°-x 1,两个角角2.结论相矛盾成立 :AE=AD.i∠AED=45+名，i∠CDE=∠AED-∠C 核心讲解 【例1】AD=AC△ADC【例2】A【例3】B 45+45= 【例4】①②（或①③或②③）【例5】A【例6】③④①② 即∠CDE=号∠BAD 过关检测 1.D2.D3.D 第2课时等腰三角形(2) 4,等腰三角形的底角都是直角或饨角 知识储备 5.35 1.三条边2.60°三对称轴 6,解：有错误.改正： 假设AC=BC,则∠A=∠B, 核心讲解 又∠C=90, 【例1】相等 相等相等 所以∠B=∠A=45,这与∠A≠45矛盾，所以AC=BC不成 【例21B 立，所以AC≠BC 【例3KC 7.证明：(1)∠B=60,∠C=80°，.∠BAC=40 【例4】1)证明：：AD⊥BC,AB=AC, AD平分∠BAC,∠BAD=20, .CD=BD,∠ABC=∠ACB, ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80',又：∠C BF=CF,.∠CBF=∠BCF 80. .∠ABC-∠CBF=∠ACB-∠BCF ∴∠ADC=∠C,∴AD=AC ·.∠ABF=∠ACF (2)如答图，过点C作CF∥AP,交BP的延长 (2)解：，'AB=AC,∠BAC=48, 线于点F, ∠ABC=∠ACB=66", .∠DPA=∠DFC,∠DAP=∠DCF, ,BE⊥AC, AD=DC.∴.△DPA≌△DFC(AAS),∴.PA=FC. ∠ABF=90°-∠BAC=42°， :PA=BC,∴CB=CF,∠FBC=∠F, 数学·八年级下册（北师大版） ,CF∥AP,∠BPE=∠F,∠FBC=∠BPE,∴.PE=BE AD-BD. 第4课时等腰三角形(4) ∠GAD=∠B, ∠ADG=∠BDF, 知识储备 .△GAD≌△FBD(ASA),.AG=BF 1.等边三角形2.60 (2)解：由(1)可知△GAD2△FBD,.GD=FD.DE DF, 核心讲解 ∴∠EDF=∠EDG=90', 【例1C【例2B【例3JB【例4】B【例5D 在△EDG和△EDF中， GD-FD. 过关检测 ∠EDF=∠EIDG=90', 1.B2.A3.B4.A5.6s DE-DE. 6.解：(1)PB=PA+PC ∴△EDG≌△EDF(SAS),.EF=EG=5. 证明：如答图，在BP上截取BF=PC,连接AF 4.(1)解：，AB-AC,AD⊥BC于点D, :△ABC,△ADE都是等边三角形，，AB ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90, AC,AD=AE,∠BMC=∠DAE=60 又∠C=42, ∴.∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE ∠BAD=∠CAD=90°-42°=48： 即∠DAB=∠EAC..△ABD≌△ACE (2)证明：：AB=AC,AD⊥BC于点D, (SAS).∠ABD=∠ACE. ,.∠BMD=∠CAD: ∴.△ABF≌△ACP(SAS) EF∥AC..∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F. AF=AP,∠BAF-∠CAP ∴，AE=FE. .∠BAC=∠PAF=60', 5.(1)证明：△ABC,△ACD是全等的等边三角形，∴.AC=BC, △AFP为等边三角形，PF=PA ∠ABC=∠DAC=∠BCA=60°， .PB=PF+BF=PA+PC. ,AF=BE,在△CBE和△CAF中， (2)PC=PA+PB. CB=CA. 微专题1等腰三角形性质与判定的综合训练 ∠CBE-∠CAF, 1.(1)25115小解：(2)当DC=2时，△ABD2△DCE, BE-AF. .△CBE2△CAF(SAS), 理由：，∠B=∠C=40°， ∠DEC+∠EDC=140°， .CE=CF,∠BCE=∠ACF, 又：∠ADE=40°..∠ADB+∠EDC=140,.∠ADB= ,·∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE, ∠DEC,又AB=DC=2, ∴∠ECF=∠BCA=60, .△ABD2△DCE(AAS): ∴△CEF是等边三角形， (3)当∠BDA的度数为110或80时，△ADE是等腰三角形. (2)解：：△AEF的周长=AE+AF+EF=AE十BE+EF=AB +EF=6+EF. 2.(1)证明：：△ABC是等边三角形 ∠B=∠C=60°，DE∥BC, ·EF的值最小时，△AEF的周长最小， ∴.∠ADE=∠B=60,∠AED=∠C=60,.△ADE是等边三 :△ECF是等边三角形，.EF=CE, 角形： ∴当CELAB时，CE的值最小， (2)解：∠BEC=60°，BE=AE+CE. .CE为△ABC的高， ∠BAD+∠DAC=6O'. ∴CE=4 ∠CAE+∠DAC=60', ∴△AEF周长的最小值为6十a .∠BAD=∠CAE, 第5课时直角三角形(1)】 在△BAD和△CAE中. 知识储备 AB=AC, ∠BAD=∠CAE, 1.互余2.互余3.a2+=24.直角 AD=AE. 5,互逆逆逆互逆 核心讲解 .△BAD≌△CAE(SAS). ∴BD=CE.∠AEC=∠ADB=120°， 【例1】C【例2】B ,BE=BD十DE=AE+CE 【例3】解：根据题意得 ∠BEC=∠AEC-∠AED=60. AB=√2+4-V20=25, 3.(1)证明：点D是AB边上的中点，∴AD=BD,:AG∥BC,. AC√2+下-√5，C=√+3-/2四-5， ∠GAD=∠B,在△GAD和△FBD中， .AB+AC+BC=2/5+√5+5=5+3、5： ∴△4BC的周长为5+35. 2