专题03 正方形的性质与判定综合重难点题型汇编（九大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题03 正方形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 正方形的判定证明】 【题型6 正方形的性质与判定综合】 【题型7 求正方形形中最值问题】 【题型8 正方形中“十字架”模型】 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（2023秋•顺德区期末）在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（　　） A．75° B．60° C．50° D．45° 2．（2023秋•禅城区期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．20° 3．（2023秋•万州区期末）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，AF⊥DE于点F，连接CF，设∠DAF＝α，若AF＝2DF，则∠DCF一定等于（　　） A．45°﹣α B．90°﹣3α C． D． 4．（2023秋•绥化期末）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．55° 5．（2023春•康县期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为（　　） A．15° B．75° C．20° D．12.5° 6．（2023秋•城阳区期末）已知正方形ABCD，分别以BC，DC为边长作等边△BEC和等边△DCF，连接EF，则∠CEF＝　　°． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 7．（2023秋•达州期末）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（　　） A． B． C．0.5 D．1 8．（2023秋•简阳市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，则ED的长度为（　　） A．4 B． C． D． 9．（2023秋•达川区期末）如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为（　　） A． B．12﹣3 C． D．3 10.（2023秋•西安期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AD于点F，连接DE，若DF＝2．则DE的长为（　　） A． B． C．4 D．2.5 11．（2023秋•渝北区期末）如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（　　） A．2 B． C． D． 12．（2023秋•南充期末）如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 　9　． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 13．（2023春•灵丘县期中）正方形ABCD的对角线长为，则其周长为（　　） A．8 B． C． D．16 14．（2023春•南宁期中）如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝3，连接BD，BF，DF，则△BDF的面积为（　　） ​ A． B．4.5 C． D．6 15．（2023•九龙坡区模拟）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，，若CE•DE＝6，则正方形的面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 16．（2023春•雄县月考）如图，P是正方形ABCD内一点，∠CPD＝90°．若CD＝5，CP＝3，则阴影部分的面积为（　　） A．25 B．20 C．19 D．13 17．（2023•武昌区模拟）如图，正方形ABCD中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 18．（2023•新华区校级二模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置．若∠BAP＝30°，AB＝6，则图中阴影部分的面积是（　　） A．48 B．54 C． D． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 19．（2023•自贡）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　） A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3） D．（﹣3，﹣3） 20．（2023•惠城区一模）如图，将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，其中点A的坐标为（﹣1，2），点D的坐标为（2，2），则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 21．（2023•惠城区校级二模）在正方形ABCD中，A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），AB∥x轴，则B点的坐标是（　　） A．（4，﹣2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 22．（2023•东丽区二模）如图，四边形AOCB是正方形，点O为原点，点C的坐标是（0，1），点B的坐标为（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，0） C．（1，1） D．（1，﹣1） 【题型5 正方形的判定证明】 22．如图，在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（    ） A．，， B．， C．， D．，， 23．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，于点，求证：四边形为正方形． 24．如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 25．如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点F是的中点，求的长度． 26．问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．    (1)如图1，小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．求证：四边形是正方形； (2)如图2，小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点折叠使点落在折痕上的点处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，求四边形的面积； 27．如图，将正方形的各边，，，顺次延长至，，，，且使． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求正方形的面积． 28．如图，中，，外角的平分线交于点，过点分别作直线的垂线，为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)求证：四边形是正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 29．（2023春•滨城区期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直 C．每条对角线平分一组对角 D．四边相等 30．（2023•安徽模拟）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，下列给出的结论中，在正方形中成立但在矩形中不成立的是（　　） A．AB⊥BC B．AB＝CD C．AC＝BD D．AC⊥BD 31．（2023•奉贤区二模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 32．（2023春•徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF＝，AB＝4，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（　　） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①③④ 【题型7 求正方形形中最值问题】 33．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 34．（2023•合肥模拟）如图，在△BCP中，，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（　　） A． B．6 C． D． 35．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（　　） A． B． C． D． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 36．综合与实践： 【问题背景】： 如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． 【探索发现】 （1）探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点E，F分别是与的中点，连接，计算的长． 37．如图，在正方形中，E、F分别是、的中点，，连接，交于点G，求证： (1)； (2)． 38．如图，在正方形中，点是边上的一个动点点与点，不重合，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图，连接、，若，求四边形的面积； (3)如图，当点运动到中点时，连接，求证：． 39．问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，上，，于点．    （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 40．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点． 　　　 （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）探索，，之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系． 41．（2023•未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 正方形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 正方形的判定证明】 【题型6 正方形的性质与判定综合】 【题型7 求正方形形中最值问题】 【题型8 正方形中“十字架”模型】 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．（2023秋•顺德区期末）在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（　　） A．75° B．60° C．50° D．45° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， 故选：D． 2．（2023秋•禅城区期末）如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（　　） A．45° B．30° C．22.5° D．20° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝45°， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°． ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°． 故选：C． 3．（2023秋•万州区期末）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，AF⊥DE于点F，连接CF，设∠DAF＝α，若AF＝2DF，则∠DCF一定等于（　　） A．45°﹣α B．90°﹣3α C． D． 【答案】A 【解答】解：过点C作CG⊥DE于G， 则∠DGC＝∠CGE＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°， ∴∠AFD＝∠DGC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠CDE＝90°， 又∵∠ADF+∠DAF＝90°， ∴∠DAF＝∠CDE， ∴△ADF≌△DCG（AAS）， ∴DF＝CG，AF＝DG， ∵AF＝2DF， ∴DG＝2DF， ∴DF＝FG， ∴CG＝FG， ∴△CFG是等腰直角三角形， ∴∠CFG＝45°， ∵∠DAF＝α， ∴∠CDE＝α， ∵∠CFG＝∠CDE+∠DCF， ∴∠DCF＝∠CFG﹣∠CDE＝45°﹣α； 故选：A． 4．（2023秋•绥化期末）如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．55° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AE＝AB， ∴AE＝AB＝AD， ∴∠ABE＝∠AEB，∠AED＝∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，∠AED+∠ADE+∠DAE＝180°， ∵∠BAE+∠DAE＝∠BAD＝90°， ∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE＝270°， ∴∠AEB+∠AED＝135°， 即∠BED＝135°， ∴∠BEF＝180°﹣135°＝45°． 故选：B． 5．（2023春•康县期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为（　　） A．15° B．75° C．20° D．12.5° 【答案】B 【解答】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE， ∴∠BAE＝90°+60°＝150°， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°． ∵∠CBE＝∠CBA﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°， 故选：B． 6．（2023秋•城阳区期末）已知正方形ABCD，分别以BC，DC为边长作等边△BEC和等边△DCF，连接EF，则∠CEF＝　15　°． 【答案】15． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵△BEC和△DCF都是等边三角形， ∴BC＝EC，CD＝CF，∠BCE＝∠DCF＝60°， ∴EC＝FC，∠ECF＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE﹣∠DCF＝150°， ∴∠CEF＝15°， 故答案为：15． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 7．（2023秋•达州期末）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（　　） A． B． C．0.5 D．1 【答案】A 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2， ∴BD＝BC＝2， ∴BO＝， ∴BP＝OB＝， ∴CP＝BC﹣BP＝2﹣， 故选：A． 8．（2023秋•简阳市期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，则ED的长度为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过E作EF⊥CD于F，如图： ∵正方形ABCD的边长为6， ∴CD＝6，AC＝CD＝6，∠ACD＝45°， ∵AE＝2CE， ∴CE＝AC＝×6＝2， ∵EF⊥CD，∠ACD＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝CF＝＝2， ∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2＝4， 在Rt△DEF中， DE＝＝＝2； 故选：D． 9．（2023秋•达川区期末）如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为（　　） A． B．12﹣3 C． D．3 【答案】D 【解答】解：延长BD交CH于点E，如图： ∵四边形ABCD为正方形，边长为15， ∴AB＝BC＝CD＝15，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵AG＝12，BG＝9，AB＝15， ∴AD2+BG2＝122+92＝225，AB2＝152＝225， ∴AD2+BG2＝AB2， 即△ABG为直角三角形，则∠AGB＝90°， 同理：∠CHD＝90°， 在△ABG和△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SSS）， ∴∠BAG＝∠HCD， ∵∠AGB＝90°，∠BCD＝90°， ∴∠BAG+∠ABG＝90°，∠HCD+∠BCE＝90°， ∴∠ABG＝∠BCE 又∵∠ABC＝90°，∠AGB＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°，∠ABG+∠CBE＝90°， ∴∠BAG＝∠CBE， 在△ABG和△BCE中， ， ∴△ABG≌△BCE（ASA）， ∴BG＝CE＝9，AG＝BE＝12，∠BEC＝∠AGB＝90°， ∴GE＝BE﹣BG＝12﹣9＝3， 同理：HE＝3， ∵∠BEC＝90°， ∴∠GEH＝90°， 在Rt△GEH中，GE＝3，HE＝3， 由勾股定理得：GH＝＝． 故选：D． 10.（2023秋•西安期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AD于点F，连接DE，若DF＝2．则DE的长为（　　） A． B． C．4 D．2.5 【答案】B 【解答】解：∵边长为6的正方形ABCD， ∴AD＝6，∠EAF＝45°， ∵DF＝2， ∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2﹣4， ∵EF⊥AD， ∴∠AFE＝∠DFE＝90°， ∴∠AEF＝∠EAF＝45°， ∴EF＝AF＝4， 由勾股定理，得． 故选：B． 11．（2023秋•渝北区期末）如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BE⊥CM于E， ∵DN⊥CM，BE⊥CM， ∴∠DNC＝∠CEB＝90°， ∴∠DCN+∠CDN＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠DCN+∠BCE＝90°， ∴∠CDN＝∠BCE， ∴△DCN≌△CBE（AAS）， ∴DN＝CE，CN＝BE， ∵DN＝2CN＝2， ∴CN＝BE＝1，CE＝2， ∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1， ∴EN＝BE＝1， ∵∠BEN＝90°， ∴△BNE是等腰直角三角形， ∴BN＝BE＝． 故选：B． 12．（2023秋•南充期末）如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过该正方形的顶点B、D作BE⊥l于E，DF⊥l于F．若BE＝3，DF＝6，则EF的长为 　9　． 【答案】9． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴AD＝AB， ∵∠FAD+∠FDA＝90°，且∠EAB+∠FAD＝90°， ∴∠FDA＝∠EAB， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△DAF（AAS）， 即AE＝DF＝6，AF＝BE＝3， ∴EF＝AE+AF＝6+3＝9． 故答案为：9． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 13．（2023春•灵丘县期中）正方形ABCD的对角线长为，则其周长为（　　） A．8 B． C． D．16 【答案】A 【解答】解：设正方形的边长为x， ∵正方形的对角线为2， ∴由勾股定理得：， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴正方形的周长为：2×4＝8， 故选：A． 14．（2023春•南宁期中）如图，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝3，连接BD，BF，DF，则△BDF的面积为（　　） ​ A． B．4.5 C． D．6 【答案】B 【解答】解：如图，连接CF， ∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形， ∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°， ∴∠BDC＝∠GCF， ∴BD∥CF， ∴S△BDF＝S△BCD， ∵AD＝3， ∴BC＝CD＝AD＝3， ∴S△BDF＝BC×BC＝4.5． 故选：B． 15．（2023•九龙坡区模拟）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，，若CE•DE＝6，则正方形的面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE交EC延长线于M，作ON⊥DE于N， ∵∠CED＝90°， ∴四边形OMEN是矩形， ∴∠MON＝90°， ∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM， ∴∠COM＝∠DON， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OD， 在△COM和△DON中， ， ∴△COM≌△DON（AAS）， ∴OM＝ON，CM＝DN， ∴四边形OMEN是正方形， ∵OE＝3， ∴2NE2＝OE2＝（3）2＝18， ∴NE＝ON＝3， ∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝6， 设DE＝a，CE＝b， ∴a+b＝6， ∵CE•DE＝6， CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×6＝24， ∴S正方形ABCD＝24． 故选：C． 16．（2023春•雄县月考）如图，P是正方形ABCD内一点，∠CPD＝90°．若CD＝5，CP＝3，则阴影部分的面积为（　　） A．25 B．20 C．19 D．13 【答案】C 【解答】解：∵∠CPD＝90°，CD＝5，CP＝3， ∴， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△CPD＝＝25﹣6＝19， 故C正确， 故选：C． 17．（2023•武昌区模拟）如图，正方形ABCD中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为m， ∵∠B＝∠D＝90°，AB＝CB＝AD＝CD＝m， ∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，AC＝＝＝m， ∵四边形BPNM和四边形EFGH都是正方形， ∴∠BMN＝∠BPN＝∠EHG＝∠FGH＝90°， ∴∠AMN＝∠CPN＝∠AHE＝∠CGF＝90°， ∴∠MNA＝∠MAN＝∠PNC＝∠PCN＝∠HEA＝∠HAE＝∠GFC＝∠GCF＝45°， ∴MN＝BM＝AM＝PN＝BP＝CP＝m，EH＝AH＝GH＝FG＝CG＝×m＝m， ∴S1＝（m）2＝m2，S2＝（m）2＝m2， ∴＝＝， 故选：B． 18．（2023•新华区校级二模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置．若∠BAP＝30°，AB＝6，则图中阴影部分的面积是（　　） A．48 B．54 C． D． 【答案】D 【解答】解：设CD与PQ交于G，连接AG， ∵四边形ABCD和正方形APQR是正方形， ∴AB＝AP＝AD，∠BAD＝∠P＝∠D＝90°， ∵∠BAP＝30°， ∴∠PAD＝60°， 在Rt△APG与Rt△ADP中， ， ∴Rt△APG≌Rt△ADP（HL）， ∴∠PAG＝∠DAP＝30°， ∵AD＝AP＝AB＝6， ∴PG＝DG＝6＝6， ∴图中阴影部分的面积＝正方形APQR的面积﹣△APG的面积﹣△ADG的面积＝6＝108﹣36， 故选：D． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 19．（2023•自贡）如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　） A．（3，﹣3） B．（﹣3，3） C．（3，3） D．（﹣3，﹣3） 【答案】C 【解答】解：∵正方形的边长为3， ∴DC＝BC＝3， ∵点C在第一象限， ∴C的坐标为（3，3）． 故选：C． 20．（2023•惠城区一模）如图，将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，其中点A的坐标为（﹣1，2），点D的坐标为（2，2），则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣1，﹣1） 【答案】C 【解答】解：∵正方形ABCD中，点A的坐标为（﹣1，2），点D的坐标为（2，2）， ∴OE＝2，OF＝1， ∴C（2，﹣1）． 故选：C． 21．（2023•惠城区校级二模）在正方形ABCD中，A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1），AB∥x轴，则B点的坐标是（　　） A．（4，﹣2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1） 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC， ∵AB∥x轴， ∴BC∥y轴， ∵点A，C的坐标分别为（1，﹣2），（4，1）， ∴点B点的纵坐标为﹣2，横坐标为4， ∴B点的坐标是（4，﹣2）． 故选：A． 22．（2023•东丽区二模）如图，四边形AOCB是正方形，点O为原点，点C的坐标是（0，1），点B的坐标为（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，0） C．（1，1） D．（1，﹣1） 【答案】A 【解答】解：∵四边形AOCB是正方形，点C的坐标是（0，1）， ∴OA＝BC＝OC＝AB＝1， ∴点B的坐标为（﹣1，1）， 故选：A． 【题型5 正方形的判定证明】 22．如图，在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（    ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 23．如图，在中，，平分交于点，过点作于点，于点，求证：四边形为正方形． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，由平分交于点P，得出，由过点P作于点M，于点N和得出四边形为矩形，再由即可得出结论，熟练掌握矩形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵平分交于点P， ∴， ∵过点P作于点M，于点N， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 24．如图，菱形中，E是对角线上一点，，交边于点F，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，先证明，即有，，根据，可得，问题随之得证； （2）过E点作，交于点M，交于点N，证明，即可． 【详解】（1）连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过E点作，交于点M，交于点N，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行的性质等知识，灵活运用菱形的性质，是解答本题的关键． 25．如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，点F是的中点，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等． （1）由题意得，，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）设，则，由折叠的性质得，，在中，利用勾股定理列式计算即可得到结论． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点F是的中点，∴，设，则， 由折叠的性质得，， ， 在中， ，即， 解得， ∴． 26．问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．    (1)如图1，小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．求证：四边形是正方形； (2)如图2，小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点折叠使点落在折痕上的点处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，求四边形的面积； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出． 【详解】（1）四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由第一步折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）连接，      由折叠得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设则， 由勾股定理得， ∴ 解得，（负值舍去） ∴ 由折叠得，， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 27．如图，将正方形的各边，，，顺次延长至，，，，且使． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等、正方形的判定方法、勾股定理，熟练掌握三角形全等、正方形的判定方法、勾股定理是解题的关键． （1）先根据正方形的性质，可证，得四边形为菱形，再求一个角是直角，从而证明它是正方形. （2）根据，，得，根据勾股定理可得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ， 又， ， ， ，， ∴四边形为菱形． ，， 即， ∴四边形是正方形． （2）解：，， ， ， ． 28．如图，中，，外角的平分线交于点，过点分别作直线的垂线，为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)45 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的判定、角平分线的性质、矩形的判定等知识，掌握相关图形的判定方法是解题的关键． （1）根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）作于G，则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）证明：作于G，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，外角平分线交于点A， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 29．（2023春•滨城区期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相垂直 C．每条对角线平分一组对角 D．四边相等 【答案】A 【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知， 它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分， 故选：A． 30．（2023•安徽模拟）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，下列给出的结论中，在正方形中成立但在矩形中不成立的是（　　） A．AB⊥BC B．AB＝CD C．AC＝BD D．AC⊥BD 【答案】D 【解答】解：正方形与矩形的每个角都为90°，故选项A成立，不合题意； 正方形与矩形的对边相等，故选项B成立，不合题意； 正方形与矩形的对角线都相等，故选项C成立，不合题意； 正方形的对角线相互垂直平分，而矩形对角线相等但不一定相互垂直，故选项D不成立，符合题意； 故选：D． 31．（2023•奉贤区二模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【解答】解：∵正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角， 菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：A． 32．（2023春•徐州期中）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且EF＝，AB＝4，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AD⊥CF；③CF＝；④四边形ABDO的面积与正方形ABCO的面积相等．其中正确的结论为（　　） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【解答】解：过D作DN⊥AE于N，延长BC交直线DN于M，连接CD，如图： ∵四边形ABCO、四边形DEFO是正方形， ∴∠AOC＝90°＝∠COE，∠DOE＝45°， ∴∠COD＝45°，故①正确， ∵∠AOC＝90°＝∠FOD， ∴∠AOD＝135°＝∠COF， 又OA＝OC，OD＝OF， ∴△AOD≌△COF（SAS）， ∴∠ADO＝∠CFO，AD＝CF， ∵∠DKS＝∠FKO， ∴∠DSK＝∠FOK＝90°， ∴AD⊥CF，故②正确； ∵四边形DEFO是正方形， ∴△DON是等腰直角三角形， ∵EF＝＝DO， ∴DN＝ON＝DO＝1， ∵∠MNO＝∠NOC＝∠OCM＝90°， ∴四边形NOCM是矩形， ∴MN＝OC＝AB＝4，CM＝ON＝1 ∴DM＝MN﹣DM＝1，BM＝BC+CM＝5， 在Rt△BDM中，BD＝， ∴CF＝BD＝，故③正确； ∵S△BCD＝BC•DM＝×2×3＝1.5，S△CDO＝OC•ON＝×4×1＝2， ∴S△BCD≠S△CDO， ∴S△DTO≠S△BCT， ∴S四边形ABDO≠S正方形ABCO，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：C． 【题型7 求正方形形中最值问题】 33．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（　　） ​ A．5 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图所示，连接AF，AC， ∵正方形ABCD的边长为5， ∴AC＝， ∵B，F关于AE成轴对称， ∴AE垂直平分BF， ∴AB＝AF＝5， ∵AF+CF≥AC， ∴当C，F，A在同一直线上时，CF的最小值为AC﹣AF＝﹣5， 故选：B． 34．（2023•合肥模拟）如图，在△BCP中，，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（　　） A． B．6 C． D． 【答案】B 【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE， 则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE， ∴PE＝BP＝2， 在△CPE中，CE≤PE+CP， ∴CE的最大值为2+4＝6， 即AP的最大值为6， 故选：B． 35．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AE，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°． 又BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴AE＝BF． 所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点． 根据对称性可知AE＝HE，HB＝AB＝4， 所以AE+DE＝DH． 在Rt△ADH中，AH＝8，DH＝， ∴BF+DE最小值为4． 故选：D． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 36．综合与实践： 【问题背景】： 如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边，上两点，且，连接，，与相交于点O． 【探索发现】 （1）探索线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，若点E，F分别是与的中点，连接，计算的长． 【答案】（1），且，理由见解析；（2）EF的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理和三角形中位线定理： （1）根据正方形的性质及可得，进而可得，，再证得，即可求解； （2）连接并延长交于点G，连接，证明，得到，，由三角形中位线定理得到，由勾股定理得到，则． 【详解】（1），且， 理由：四边形是正方形， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 线段和的关系为：，且； （2）连接并延长交于点G，连接， 四边形是正方形， ，，， ， 点E为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 又点F为的中点， ， ， 正方形的边长为4，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 37．如图，在正方形中，E、F分别是、的中点，，连接，交于点G，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据正方形的性质可知，，进一步推得，再根据全等三角形的判定即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据，等量代换可得，即得答案． 【详解】（1）四边形是正方形， ·，， ， ，即， 在和中， ， ； （2）由（1）知， ， 即， ， ， ． 38．如图，在正方形中，点是边上的一个动点点与点，不重合，连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图，连接、，若，求四边形的面积； (3)如图，当点运动到中点时，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)32 (3)见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明≌； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案； （3）作，设，根据勾股定理用表示出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，证明≌，得到，证明，根据线段垂直平分线的性质证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 四边形的面积的面积的面积 ； （3）证明：如图，过点作于，设， 点是的中点， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． 39．问题解决：如图1，在矩形中，点，分别在，上，，于点．    （1）求证：四边形是正方形； （2）延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）为等腰三角形，理由见解析；（3）的长为 【分析】（1）根据矩形性质，得到，证明，得到从而得出结论； （2）先证明，得到，再证明得到，即可得出结论； （3）延长至H，使，连，通过菱形性质证明，得到是等边三角形，过D作于M，通过勾股定理即可得出结果． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）结论：是等腰三角形， 理由：由（1）知： ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）如图，延长至H，使，连，   四边形是菱形， ，， ， 在和中， ，，， ， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， 过D作于M， 则， 在中， 在中,， ， 即的长为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 40．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点． 　　　 （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）探索，，之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）过作的垂线，分别交于，连接，利用正方形的性质及角平分线的性质，证明出，通过等量代换得出为等腰直角三角形即可得出结论； （2）由（1）中，得，从而得，通过等量代换计算可得，根据为等腰直角三角形即可得出结论； （3）过点作垂线，分别交于，连接，证明出，通过等量代换计算得，再根据为等腰直角三角形即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下； 过作的垂线，分别交于，连接， 为正方形， , , ， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 为等腰直角三角形， 为斜边的中点， ． （2），理由如下： 由（1）中， ， 由下图： ， 四边形为矩形， ， 在中，由正方形的性质知， ， ， 为等腰直角三角形， 又， 四边形为正方形， ， 同理四边形为矩形， ， ， ， 在中，由正方形的性质知， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． （3），理由如下： 过点作垂线，分别交于， 连接， ， ， ， 由（2）得， ， ， 由（2）可得： ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形、解题的关键是添加适当的辅助线，掌握相关的知识点，通过等量代换的思想进行求解． 41．（2023•未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵正方形ABCD ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45° ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90° 且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形 ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90° ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中，， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形， ②解：CE+CG的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90° ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG ∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4， ∴CE+CG＝4 是定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$