专题01 菱形的性质与判定综合重难点题型汇编（八大题型）-2024-2025学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题01 菱形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 【题型3 利用等面积法求线段长度】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝（　　） A．95° B．105° C．100° D．110° 2．（2023秋•西安期末）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．（2023秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 4．（2023•港南区四模）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．（2023•唐河县模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（　　） A．59° B．62° C．69° D．72° 6．（2023秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 ． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 7．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2023秋•成都期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，则对角线AC的长为（　　） A． B． C．4 D．8 9．（2023秋•丹东期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（　　） A． B．2 C． D．4 10．（2023秋•昌图县期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 11．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（　　） A． B．2 C． D． 12．（2023春•高新区期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 13．（2023秋•灞桥区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝9cm，则EF的长是（　　）cm A． B．6 C． D． 14．（2023秋•莱州市期末）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AE＝BE＝2，∠C＝120°，则BD＝　　． 【题型3 利用等面积法求线段长度】 15．（2023春•越秀区校级期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，求DH的长（　　） A． B． C． D． 16．（2023春•渝中区校级月考）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2023春•竹溪县期中）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（　　） A．18 B．18 C．9 D．6 18．（2021春•增城区期末）如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 19．（2023•福田区模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高BH＝（　　） A．4.6 B．4.8 C．5 D．5.2 20．（2023春•朝阳区校级期中）如图，菱形ABCD面积为24，对角线AC＝8，DE⊥AB于点E，则DE＝　　． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 21．（2023•襄州区模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC 22．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC 23．（2023•息县模拟）如图，DE，DF为△ABC的中位线，下列添加的条件不能使四边形DECF为菱形的是（　　） A．AC＝BC B．AF＝BE C．∠C＝90° D．∠A＝∠B 24．（2023•秦都区校级二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD 25．（2023春•承德月考）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，要使四边形AECF为菱形，现有甲、乙、丙三种方案： 甲：只需要满足∠ABE＝∠CBE； 乙：只需要满足AE＝CF； 丙：只需要满足AC⊥EF． 则正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、丙 C．甲、乙 D．乙、丙 26．（2023•雁塔区校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 27．（2023•新乡二模）在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（　　） A．测量两条对角线是否分别平分两组内角 B．测量四个内角是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直且平分 D．测量四条边是否相等 28．（2023•桦南县一模）如图，AD是△ABC的中线，点O是AC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接CE，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE是菱形的是（　　） A．AB⊥AC B．AB＝AC C．AC平分∠DAE D．AB2+AC2＝BC2 29．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 　 　． 30．（2023春•大同期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点．点E是AD边上的动点，连接EG并延长交BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形． （2）当AE＝　　cm时，四边形CEDF是菱形． 31．（2023•义乌市校级模拟）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）证明：△BDF≌△DCE； （2）请你给△ABC增加一个条件，　 ．　使四边形AFDE成为菱形（不添加其他辅助线，写出一个即可，不必证明） 【题型5 菱形的判定-证明题】 32．（2023•长春模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 33．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O． （1）求证：AC＝DE； （2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形． 34．（2023•鼓楼区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD．点O是四边形ABCD内一点，且满足∠BOD＝2∠C，OA＝OB＝OD．求证： （1）∠BAD＝∠C； （2）四边形ABCD是菱形． 35．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE． （1）求证：△AGE≌△BGF； （2）求证：四边形AFBE是菱形． 36．（2023•岳阳楼区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）求证：∠BAC＝∠DAC． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形． 37．（2023•邗江区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF． （1）求证△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形． 38．（2023•南海区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 39．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AB＝AC，试判定四边形ADCF的形状． 41．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）当AB＝AC时，请问四边形ADCF是什么特殊的四边形？并说明理由． 42．在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 【题型7 求菱形中最小值问题】 43．（2023秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（　　） A． B． C． D． 44.（2023春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 45（2023春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（　　） A．4 B．2 C．2 D．8 46.（2023•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 47．如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 48．已知，如图，O为坐标原点，在四边形中，， ， ，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当P运动 秒，四边形是平行四边形． (2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 49．如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒． (1)求点C的坐标． (2)当时，求的面积． (3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 50．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 51．如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点． (1)连接、，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 菱形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 【题型3 利用等面积法求线段长度】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝（　　） A．95° B．105° C．100° D．110° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°， ∴∠ABD＝∠ABC＝40°． ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA＝×（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AED＝∠BAE+∠ABD＝70°+40°＝110°， 故选：D． 2．（2023秋•西安期末）如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝120°，则∠OED＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC交BD于O，∠ABC＝120°， ∴点O为BD的中点，， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∴， ∴∠OED＝∠ODE＝30°， 故选：C． 3．（2023秋•南关区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝94°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CFD的度数是（　　） A．80° B．82° C．86° D．88° 【答案】C 【解答】解：如图，连接BD、BF， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝94°， ∴AB∥CD，AC垂直平分BD，∠FAD＝∠BAD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，BF＝DF， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣94°＝86°， ∴∠FAD＝43°， 又∵EF垂直平分AB， ∴AF＝BF， ∴AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA＝43°， ∴∠CFD＝∠FAD+∠FDA＝43°+43°＝86°， 故选：C． 4．（2023•港南区四模）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°， ∵DC′是AB的垂直平分线， ∴P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°， ∴∠PDC＝90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°． 故选：D． 5．（2023•唐河县模拟）如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD＝118°，则∠CEB＝（　　） A．59° B．62° C．69° D．72° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠BAD＝118°， ∴∠ABD＝＝31°， ∴∠CBE＝31°， ∵CE⊥BC， ∴∠BCE＝90°， ∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°． 故选：A． 6．（2023秋•三明期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　70°　． 【答案】70°． 【解答】解：∵AC，BD是菱形ABCD的对角线， ∴∠DAC＝∠1＝20°，∠ADB＝∠2， ∴∠DAB＝40°， ∵DC∥AB， ∴∠ADC＝140°， ∴∠2＝70°． 故答案为：70°． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度】 7．（2023秋•碑林区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的边长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∵E为AB的中点，且EF＝2， ∴AB＝2EF＝4， 即菱形ABCD的边长是4， 故选：B． 8．（2023秋•成都期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4，则对角线AC的长为（　　） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解答】解：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC＝120°，BD＝4， ∴∠BAD＝60°，AD＝AB， 则△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠DAC＝BAD＝30°， 故AO＝4cos30°＝2， ∴AC＝2AO＝4． 故选：A． 9．（2023秋•丹东期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点E是BD上不与点B和点D重合的一个动点，过点E分别作AB和AD的垂线，垂足为F，G，则EF+EG的值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解答】解：连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4， ∵AB＝4， ∴AO＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2， ∴， 连接AE， ∴S△ABD＝S△ABE+S△ADE， ∴， ∴EF+EG＝2， 故选：A． 10．（2023秋•昌图县期末）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】A 【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴BC＝2EF＝6， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24， 故选：A． 11．（2023秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA＝3，S菱形ABCD＝9，则OE的长为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝BD，BD⊥AC， ∴AC＝6， ∵S菱形ABCD＝AC×BD＝9， ∴BD＝3， ∵DE⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∴OE＝BD＝． 故选：C． 12．（2023春•高新区期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 【答案】D 【解答】解：如图1，图2中，连接AC． 图1中，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝20cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝20cm； 故选：D． 13．（2023秋•灞桥区校级期中）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝9cm，则EF的长是（　　）cm A． B．6 C． D． 【答案】C 【解答】解：连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°， ∴BD＝AB＝9cm， ∴BO＝4.5cm， ∴AO＝＝（cm）， ∴AC＝2OA＝9cm， ∵BE⊥AB，DF⊥CD， ∴∠CDF＝∠ABE＝90°； ∴△CDF≌△ABE（ASA）， ∴AE＝CF，AE＝CF＝＝＝6（cm）， ∴EF＝AE+CF﹣AC＝6+6﹣9＝3（cm）， 故选：C． 14．（2023秋•莱州市期末）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AE＝BE＝2，∠C＝120°，则BD＝　6　． 【答案】6． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝120°， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝120°，∠ABC＝∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠ABC＝×60°＝30°， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE＝30°， ∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°， ∴AE＝ED， ∴ED＝2AE＝2×2＝4， ∴BD＝BE+ED＝2+4＝6， 故答案为：6． 【题型3 利用等面积法求线段长度】 15．（2023春•越秀区校级期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，求DH的长（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3， ∴AB＝＝5， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH， ∴DH＝＝， 故选：B． 16．（2023春•渝中区校级月考）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接PD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3， ∴， ∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴＝+， ∴8×3＝5（PM+PN）， ∴， 故选：C． 17．（2023春•竹溪县期中）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（　　） A．18 B．18 C．9 D．6 【答案】D 【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB， ∴AD＝DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴AD＝DB＝AB， ∴△ABD为等边三角形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×6＝3， Rt△AOB中，∠OAB＝30°， ∴OB＝， ∴BD＝2OB＝2， ∴菱形ABCD的面积＝＝＝6， 故选：D． 18．（2021春•增城区期末）如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解答】解：连接AC，如图： ∵AE，AF分别垂直平分BC，CD， ∴AB＝AC，AD＝AC，∠AEC＝∠AFC＝90°， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD， ∴△ABC、△ACD是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°． 故选：C． 19．（2023•福田区模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高BH＝（　　） A．4.6 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】B 【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AC＝8，BD＝6， ∴OA＝AC＝×8＝4，OB＝BD＝×6＝3， 在Rt△AOB中，AB＝＝5， ∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AB•DH， 即×6×8＝5•DH， 解得DH＝4.8， 故选：B． 20．（2023春•朝阳区校级期中）如图，菱形ABCD面积为24，对角线AC＝8，DE⊥AB于点E，则DE＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，，AC⊥BD， ∵，即， ∴BD＝6， ∴OB＝3， ∴， ∵S菱形ABCD＝AB⋅DE＝24，即5DE＝24， ∴． 故答案为：． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 21．（2023•襄州区模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC 【答案】B 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO， ∵OA＝OC， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意； B、∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠DCB ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意； D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 22．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC 【答案】C 【解答】解：A、∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD为菱形，故选项C符合题意； D、由AB＝AC，不能判定平行四边形ABCD为菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 23．（2023•息县模拟）如图，DE，DF为△ABC的中位线，下列添加的条件不能使四边形DECF为菱形的是（　　） A．AC＝BC B．AF＝BE C．∠C＝90° D．∠A＝∠B 【答案】C 【解答】解：∵DE，DF为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DF∥BC，CE＝BE＝BC，AF＝CF＝AC， ∴四边形DECF是平行四边形， A、∵AC＝BC， ∴CF＝CE， ∴平行四边形DECF为菱形，故选项A不符合题意； B、∵AF＝BE， ∴CF＝CE， ∴平行四边形DECF为菱形，故选项B不符合题意； C、∵∠C＝90°，四边形DECF是平行四边形， ∴平行四边形DECF为矩形，故选项C符合题意； D、∵∠A＝∠B， ∴AC＝BC， ∴CF＝CE， ∴平行四边形DECF为菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 24．（2023•秦都区校级二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AC＝BD 【答案】D 【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意， D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 25．（2023春•承德月考）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，要使四边形AECF为菱形，现有甲、乙、丙三种方案： 甲：只需要满足∠ABE＝∠CBE； 乙：只需要满足AE＝CF； 丙：只需要满足AC⊥EF． 则正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．甲、丙 C．甲、乙 D．乙、丙 【答案】B 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴EO＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 甲∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠ADB＝∠ABE， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥DB， ∴平行四边形AECF是菱形，甲符合要求； 乙：平行四边形AECF中存在AE＝CF， 根据乙而无法确定平行四边形AECF是菱形，乙不符合要求； 丙∵平行四边形AECF中，AC⊥EF， ∴平行四边形AECF是菱形，丙符合要求． 故选：B． 26．（2023•雁塔区校级二模）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 【答案】A 【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形， 如图，连接AD， ∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等， ∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等， ∴AF＝AE， ∴平行四边形AFDE是菱形； B，D不能得平行四边形AFDE是菱形； C能得平行四边形AFDE是矩形； 故选：A． 27．（2023•新乡二模）在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（　　） A．测量两条对角线是否分别平分两组内角 B．测量四个内角是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直且平分 D．测量四条边是否相等 【答案】B 【解答】解：A、测量两条对角线是否分别平分两组内角，能判定菱形，故故选A不符合题意； B、测量四个内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B符合题意； C、测量两条对角线是否互相垂直且平分，能判定菱形，故选项C不符合题意； D、测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项D不符合题意． 故选：B． 28．（2023•桦南县一模）如图，AD是△ABC的中线，点O是AC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接CE，添加下列条件仍不能判断四边形ADCE是菱形的是（　　） A．AB⊥AC B．AB＝AC C．AC平分∠DAE D．AB2+AC2＝BC2 【答案】B 【解答】解：∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠OCD，∠OEA＝∠ODC， ∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC， 在△OAE和△OCD中， ， ∴△OAE≌△OCD（AAS）， ∴OD＝OE， ∴四边形ADCE是平行四边形， 添加AB⊥AC时， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD＝BC＝CD， ∴四边形ADCE是菱形，故选项A不符合题意； 添加AC平分∠DAE， ∴∠DAC＝∠EAC＝∠DCA， ∴AD＝CD， ∴四边形ADCE是菱形，故选项C不符合题意； 添加AB2+AC2＝BC2，可得到AB⊥AC， 同选项A可判断四边形ADCE是菱形，故选项D不符合题意； 只有添加选项B不能判定四边形ADCE是菱形，故选项B符合题意； 故选：B． 29．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件 　 　． 【答案】AB＝CD（答案不唯一）． 【解答】解：∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点， ∴， ∵四边相等的四边形是菱形， ∴当AB＝CD时，FH＝GE＝GF＝EH， 此时四边形EGFH是菱形； ∴可添加的条件为：AB＝CD； 故答案为：AB＝CD（答案不唯一）． 30．（2023春•大同期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，点G是CD的中点．点E是AD边上的动点，连接EG并延长交BC的延长线交于点F，连接CE，DF． （1）求证：四边形CEDF是平行四边形． （2）当AE＝　4　cm时，四边形CEDF是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠FCG＝∠EDG， ∵G是CD的中点， ∴CG＝DG， 在△CFG和△DEG中， ， ∴△CFG≌△DEG（ASA）， ∴FG＝EG， ∵CG＝DG， ∴四边形CEDF是平行四边形； （2）解：当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝10，CD＝AB＝6，∠CDE＝∠B＝60°， ∵四边形CEDF是菱形， ∴CE＝ED， ∵∠CDE＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CE＝ED＝6， ∴AE＝AD﹣ED＝4， ∴当AE＝4cm时，四边形CEDF是菱形． 故答案为：4； 31．（2023•义乌市校级模拟）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F． （1）证明：△BDF≌△DCE； （2）请你给△ABC增加一个条件，　 ．　使四边形AFDE成为菱形（不添加其他辅助线，写出一个即可，不必证明） 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F ∴∠FDB＝∠C，BD＝CD，∠B＝∠CDE， ∴△BDF≌△DCE；（4分） （2）解：AF＝AE（答案不唯一）．（6分） 【题型5 菱形的判定-证明题】 32．（2023•长春模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 33．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O． （1）求证：AC＝DE； （2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点C是BE的中点， ∴BC＝CE， ∴AD＝CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC＝DE； （2）证明：由（1）可知四边形ACED是平行四边形， ∵∠BAE＝90°，点C是BE的中点， ∴AC＝CE＝BC， ∴平行四边形ACED是菱形． 34．（2023•鼓楼区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝CD．点O是四边形ABCD内一点，且满足∠BOD＝2∠C，OA＝OB＝OD．求证： （1）∠BAD＝∠C； （2）四边形ABCD是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】证明：（1）如图1，延长AO至E， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO， ∵∠BOE＝∠ABO+∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO， 同理∠DOE＝2∠DAO， ∴∠BOE+∠DOE＝2∠BAO+2∠DAO＝2（∠BAO+∠DAO）＝2∠BAD， 即∠BOD＝2∠BAD， 又∵∠BOD＝2∠C， ∴∠BAD＝∠C； （2）如图2，连接OC， ∵AB＝AD，OB＝OD，OA＝OA， ∴△OAB≌△OAD（SSS）， ∴∠ABO＝∠ADO， 同理：△OBC≌△ODC（SSS）， ∴∠OBC＝∠ODC， ∴∠ABO+∠OBC＝∠ADO+∠ODC， 即∠ABC＝∠ADC， 由（1）可知，∠BAD＝∠C， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 35．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE． （1）求证：△AGE≌△BGF； （2）求证：四边形AFBE是菱形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEG＝∠BFG， ∵EF垂直平分AB， ∴AG＝BG， 在△AGE和△BGF中， ， ∴△AGE≌△BGF（AAS）； （2）∵△AGE≌△BGF， ∴AE＝BF， ∵AD∥BC， ∴四边形AFBE是平行四边形， 又∵EF⊥AB， ∴平行四边形AFBE是菱形． 36．（2023•岳阳楼区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）求证：∠BAC＝∠DAC． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形． 【答案】答案见解析． 【解答】证明：（1）∵在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， （2）∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴AB＝CB＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 37．（2023•邗江区一模）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF． （1）求证△ADE≌△CBF； （2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）证明见解析过程． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵BE＝DF， ∴BF＝DE， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）连接AC，交BD于点O， ∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形． 38．（2023•南海区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形，理由如下： ∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD， ∴四边形BECD是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 39．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝＝2， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°， ∴AE＝＝＝2， 即AE的长为2． 40．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AB＝AC，试判定四边形ADCF的形状． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝AD， ∵∠AEF＝∠DEB， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝BD， ∵BD＝DC， ∴AF＝DC， 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴四边形ADCF是矩形． 41．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）当AB＝AC时，请问四边形ADCF是什么特殊的四边形？并说明理由． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点， ∴AE＝DE，BD＝CD 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝BD， 又∵BD＝CD， ∴AF＝CD，且AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BC＝CD， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形． 理由：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵AD＝AF， ∴四边形ADCF是正方形． 42．在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若点E为BC的中点，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AF∥BE， ∴∠FAO＝∠BEO， ∵O为AE的中点， ∴OA＝OE， 在△AOF和△EOB中， ， ∴△AOF≌△EOB（ASA）， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形； ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE＝∠BAE， ∵∠FAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BA＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：过O作OH⊥BC于H，如图所示： ∵E为BC的中点，且BC＝8， ∴BE＝CE＝4， ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°， ∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°， ∴EH＝OE＝1， ∴OH＝＝＝，CH＝EH+CE＝5， ∴OC＝＝＝2． 【题型7 求菱形中最小值问题】 43．（2023秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵G，H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴， 当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值， 则∠AFB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即GH的最小值为， 故选：D． 44.（2023春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小， ∴PN＝PE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC， ∵E为AB的中点， ∴N在AD上，且N为AD的中点， ∵AD∥CB， ∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP， ∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点， ∴AN＝CF， 在△ANP和△CFP中 ∵， ∴△ANP≌△CFP（ASA）， ∴AP＝CP， 即P为AC中点， ∵O为AC中点， ∴P、O重合， 即NF过O点， ∵AN∥BF，AN＝BF， ∴四边形ANFB是平行四边形， ∴NF＝AB， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，BO＝BD＝3， 由勾股定理得：AB＝＝5， 故选：C． 45（2023春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（　　） A．4 B．2 C．2 D．8 【答案】C 【解答】解：如图，设AC，BD相交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2， ∵AB＝4， ∴AO＝2， 连接DE交AC于点P，连接BP，作EM⊥BD于点M， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线， ∴PD＝PB， ∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小， ∵E是AB的中点，EM⊥BD， ∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝， ∴DM＝DO+OM＝BO＝3， ∴DE＝＝＝2， 故选：C． 46.（2023•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【解答】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′． ∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8， ∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8， ∴CE′＝2， 在Rt△BCE′中，BE′＝＝2， ∵BE＝EA＝2， ∴E与E′重合， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD垂直平分AC， ∴A、C关于BD对称， ∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2， 故选：B． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 47．如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理，解题关键是能正确建立方程． （1）要满足和，即四边形为平行四边形，已有，故需要，由此可以得到关于的方程，解方程即可求解； （2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 连接，如图所示， 若满足和，则四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒， 则，， ， ， 解得：，符合题意， 当，满足和； （2）解：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 48．已知，如图，O为坐标原点，在四边形中，， ， ，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)当P运动 秒，四边形是平行四边形． (2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时，； 【分析】（1）根据题意得，四边形是平行四边形时，列一元一次方程即可求解； （2）分三种情况：当Q点在P点的右边时；当Q点在P点左侧且在线段上时；当Q点在P点左侧且在延长线上时，根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵点D是的中点， ∴ 由题意得： ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，即，解得： ∴当秒，四边形是平行四边形； （2）分三种情况： 当Q点在P点的右边时，如下图 ∵四边形是菱形 ∴ 在中，由勾股定理得： ∴，解得 ∴； 当Q点在P点左侧且在线段上时，如图， 同理①得： ∴，解得 ∴； 当Q点在P点左侧且在延长线上时，如图3 同理①得： 即，解得 ∴； 综上：时，；时，；时，； 【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，菱形的存在性问题等，解题的关键是掌握特殊平行四边形的性质，注意分类讨论． 49．如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒． (1)求点C的坐标． (2)当时，求的面积． (3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，，当时， 【分析】（1）由题意知，，由菱形，可得，，如图，延长交轴于，则轴，即，，，由勾股定理得，，进而可求； （2）由题意知，时，，则，，根据，计算求解即可； （3）由题意知，，当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，，由题意知，，，当时，；此时，可求；则；当时，；此时，可求；则． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵菱形， ∴，， 如图，延长交轴于，则轴，即， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； （2）解：由题意知，时，，则，， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵， ∴当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，， 由题意知，，， 当时，；此时， 解得，； ∴； 当时，；此时， 解得，； ∴； 综上所述，存在，当时，，当时，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，坐标与图形，含的直角三角形，勾股定理，平行四边形的性质是解题的关键． 50．如图，是边长为的菱形，且．动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为秒，点，的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点，相距个单位长度时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】此题考查了动点问题函数图象，画一次函数图象，等边三角形的性质，菱形的性质； （1）分两种情况：当时，根据等边三角形的性质解答；当时，利用即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可； （3）利用分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，点分别在上运动，连接 ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ 又∵ ∴等边三角形， ∴ 当时，点分别在上运动， ∵四边形是菱形，是边长为的菱形， ∴， ∵动点，分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发， ∴ ∴ ∴等边三角形， ∴ ∴ （2）如图所示， 该函数是轴对称图形，对称轴是直线； 该函数在自变量范围内有最值，当或时，函数有最小值；当时，函数有最大值； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （选择其中之一即可） （3）解：当时，     当时，， 当时，，解得： ∴或 51．如图，正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足．点是线段上的一个动点． (1)连接、，求证：四边形是平行四边形； (2)作交于，当面积为2.6时，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了菱形的判定方法，正确根据菱形的性质求得的坐标是解决本题的关键． （1）首先求出，代入，可求得，则，即可得四边形是平行四边形； （2）过点作于，首先证明，则，可求得，设出的坐标，根据三角形的面积公式即可求得的纵坐标，进而求得的坐标； （3）分成四边形是菱形和四边形是菱形两种情况进行讨论，四边形是菱形时，是的中垂线与的交点，关于的对称点就是；四边形是菱形，，在直角上，设出的坐标，根据即可求得的坐标，则根据和的中点重合，即可求得的坐标． 【详解】（1）证明：正方形的顶点、分别在、的正半轴上，点的坐标为， ，， ， ，， ， 代入得，解得， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作于， ，四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 设的坐标为， ，解得， 点的坐标为； （3）解：当四边形是菱形时，如图， 的纵坐标是1.5，把代入，解得：， 则的坐标是， 点的坐标为； 当四边形是菱形时，如图， ，则设的横坐标是，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）． 则的坐标是， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$