专题04 一次函数的应用-【知识大通关】2024-2025学年八年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题04 一次函数的应用 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 一次函数模型的应用 1、利用函数解决实际问题的基本模式： 2、建立函数模型的一般步骤： （1）获取数据；（2）列表、描点；（3）观察、猜想；（4）求出函数表达式；（5）检验；并给出答案. 知识点2 选择方案 1、 选择方案： 选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，常建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解. 2、用一次函数选择方案的一般步骤： （1）“析”：分析题意，弄清数量关系； （2）“列”：列出函数表达式、不等式或方程； （3）“求”：求出自变量在不同值对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值； （4）“选”：结合实际需要选择最佳方案. 【注意】在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解). 【考点精讲】 考点1 方案分配问题 【例1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和250元． (1)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【答案】(1) (2)有三种调运方案 (3)总运费最低的调运方案是：市运往市0台，运往市6台；市运往市10台，运往市2台；最低运费4300元 【分析】本题考查的是不等式的应用和用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数随的变化，结合自变量的取值范围确定最值． （1）从A市运往D市机器x台，从市往市运送台，从市运往市台，那么从市运往市台，根据题中运费即可得到总运费关于的函数关系式； （2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求的范围． （3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数越小，越小，为使总运费最低，应取最小值． 【详解】（1）解：设A市运往D市机器x台， 由题意可知：， 化简得：． （2）由题意得， 解得：， 又∵从市运往市台， ， 综上，， 可取2，3，4． ∴有三种调运方案； （3）∵从B市最多运6台， ∴，且随的值增大而增大， 当时，的值最小，最小值元． 此时的调运方案是：市运往市0台，运往市6台；市运往市10台，运往市2台． 【变式1-1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题： (1)求A场馆和B场馆的门票价格； (2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观； ①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值； ②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案． 【答案】(1)A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元 (2)①此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；②购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C场馆门票 【分析】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论． （2）①购设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，求出a的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为w元，则有，最后根据函数系数的性质确定最值问题．②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，可得．根据m、n为正整数，且让去A场馆的人数尽量的多，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据题意得： ， 解得． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元． （2）解：①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，依题意得： ，解得：． 设此次购买门票所需总金额为w元，则 ， ∵， ∴w随a的增大而减小 ． ∵，且a为整数， ∴当时，w取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． ②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，依题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或或， 当时，，符合题意． 当时，，符合题意． 当时，，符合题意，舍去； ∵让去A场馆的人数尽量的多， ∴购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，解题的关键是根据题意列出相应的方程和不等式． 【变式1-2】（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； (2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 【答案】(1)甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元 (2)该公司有3种购买方案，该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元 【分析】本题考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用． （1）设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，利用二元一次方程组解决问题； （2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值． 【详解】（1）解：设甲型机器人每台价格是万元，乙型机器人每台价格是万元，根据题意得 解这个方程组得： 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是万元、万元； （2）设该公司可购买甲型机器人台，乙型机器人台，根据题意得 解这个不等式组得 为正整数 的取值为，，， 该公司有种购买方案 设该公司的购买费用为万元，则 ， 随的增大而增大 当时，最小，最小万元 该公司购买甲型机器人台，乙型机器人台这个方案费用最低，最低费用是万元． 【变式1-3】（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元 (2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解； （2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解． 【详解】（1）解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元． 依题意，得， 解得：， 答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元； （2）解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元， 则， 由题意得：， ∴， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，， （个）． 答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元． 【变式1-4】（22-23八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 考点2 利润问题 【例2】（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件； (2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解； （2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值． 【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件， 由题意可得， 解得， 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装， 由题意可得， 解得：， 设利润为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴（元）． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 【变式2-1】（23-24八年级下·四川德阳·期末）药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元． (1)求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围） (2)如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多为1740元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）根据题意可知购进乙种口罩袋，根据利润单袋利润数量分别求出甲种口罩和乙种口罩，然后求和即可得到答案； （2）先根据题意求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍， ∴， ∴， ∵，， ∴W随x增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， ∴， ∴该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多为1740元． 【变式2-2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元 (2)共有3种购买方案 (3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； （2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，62，64， ，7，4， 共有3种购买方案． （3）设商家获得总利润为y元， ， ， ， 随x的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元． 【变式2-3】（23-24八年级下·四川眉山·期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)现在商场准备一次性购进两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大的利润． 【答案】(1)每台空调进价为元，电冰箱进价为元 (2)当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是： （1）根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以求得每台电冰箱与空调的进价分别是多少； （2）根据题意，可以写出与的函数关系式，然后根据一次函数的性质和不等式的性质，可以求得获利最大的方案以及最大利润． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为元，每台电冰箱的进价为元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 则， 答：每台空调进价为1600元，电冰箱进价为2000元． （2）设购进电冰箱台，则进购空调台， ， 购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍， ， 解得， 为正整数，，， 随的增大而减小， 当时，的值最大，即最大利润为（元）， 故当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元． 【变式2-4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 【答案】(1)A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元 (2)①；②，最大利润为1900元 【分析】(1)设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，根据购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元，列出方程组，解方程组即可； (2)①该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，购进A种礼品m个，B种礼品n个，结合（1）中求出的进价，得到购进A种礼品需要元，B种礼品需要元，列出二元一次方程，整理可得n关于m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出W与m的关系式，根据W随m的变化情况及m的取值范围求最大利润即可． 本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意得，， 解得， 故A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元；． （2）(2)①依题意得，， ∴． ②∵W表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最大值．即A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为， (元)． 考点3 行程问题 【例3】（23-24八年级下·天津河西·期末）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，下面图象反映了这个过程中小明离甲地的距离ym与离开甲地的时间之间的对应关系． (1)甲、乙两地的距离为________m， ______； (2)求小明从乙地返回甲地的过程中，y与x之间的函数关系式； (3)在小明从甲地出发的同时，小红以的速度从乙地匀速步行至甲地，并停在甲地，小明从甲地出发______与小红相距400m？（直接写出答案即可） 【答案】(1)2000，14 (2)； (3)5或7.5或22． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象有效的获取信息，是解题的关键． （1）由图象，直接获取信息即可； （2）设，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分两人相遇前，相遇后，以及小明返回甲地时三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：甲、乙两地的距离为， ∵小明以相同的速度返回， ∴两次所用时间相同， ∴， ∴； 故答案为：2000，14； （2）解：设， 由图象可知，直线过两点， ∴，解得：， ∴； （3）解：由图象可知：小明的速度为：， 小红到达甲地所需时间为：； 当两人相遇前：，解得：； 当两人相遇后： ，解得：； 当小明从乙地返回时，，解得：； 综上：小明从甲地出发5或7.5或22时，与小红相距400m． 【变式3-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1) ______米/秒， ______秒； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【答案】(1)8，20 (2)； (3)2秒或10秒或16秒． 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得甲无人机单独表演所用时间为秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解 【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为米/秒， ， 故答案为：8，20； （2）解：由图象知，， ∵甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为秒， 甲无人机单独表演所用时间为秒， ∴秒， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意，， 同理线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发，沿同一路线前往乙地，两车出发1.5h，货车出现故障停车，轿车立刻掉头按原路加速返回帮忙修车（掉头的时间忽略不计），货车修好后，轿车与货车均按照各自在货车出现故障前的速度继续开往乙地，两车距甲地的路程y（单位：km）与离开甲地的时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)图中a的值是________；b的值是________；轿车在货车出现故障前的速度是________km/h； (2)求货车从甲地前往乙地的过程中，货车距甲地的路程y与离开甲地的时间x之间的函数关系式； (3)直接写出轿车在行驶过程中，从甲地出发多长时间与货车相距20km． 【答案】(1)150，2，100； (2)； (3)或或3h． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据图象分别求出轿车未加速时的速度以及货车的速度，根据路程等于速度乘以时间，逐一进行计算即可； （2）分，，三种情况，进行讨论求解即可． （3）分货车故障前，故障中，故障后，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车小时，行驶了90千米，轿车从2.5小时到5.2小时行驶了千米， ∴货车的速度为（千米/小时），轿车的速度为：（千米/小时）， ∴，， 故答案为：150，2，100； （2）由（1）知货车的速度为， ∴， 当时，， 当时，， 当时，设， 图象过：， ∴，解得：， ∴， 综上：； （3）当时，，解得， 当时，， 当时，，解得； 综上：或或3． 【变式3-3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【答案】(1)30，40 (2)的函数解析式是 (3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键． （1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得； （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案； （3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（） ∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h， ∴乙货车速度， 故答案为：30；40 （2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点 设 ∴ 解得：， ∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式 （3）（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等， ①两车到达配货站之前：， 解得：, ②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：， 解得：， ③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：， 解得：， 答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【变式3-4】（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 考点4 工程问题 【例4】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； (2)15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【变式4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为了给同学们营造更好的学习环境，经过批准，计划在假期对学校进行翻新装修．经过筛选后确定了甲、乙两家装修公司，已知甲装修公司单独完成此项工程需要18天，乙装修公司单．独完成需要12天，其中甲装修公司的费用为1000元/天，乙装修公司为1800元/天．学校决定先由甲装修公司完成x天，剩下的工作再由乙装修公司完成，设装修的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)为确保学校正常开学，要求甲、乙两个装修公司工作的总天数不超过15天，请问学校应该如何安排两个装修公司的工作天数使装修总费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)甲装修公司工作9天，乙装修公司工作6天，最少费用为19800元 【分析】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是本题的关键． （1）甲、乙两家装修公司的工作效率分别是和；设剩下的工作乙装修公司需天完成，根据题意列关于的方程，并将表示为的函数，从而根据“装修的总费用甲装修公司的费用每天的费用甲装修公司工作的天数乙装修公司的费用每天的费用乙装修公司工作的天数”写出与之间的函数关系式即可； （2）甲、乙两个装修公司工作的总天数为天，将关于的函数关系式代入，根据题意列关于的一元一次不等式并求解；根据（1）中求得的函数的增减性和的取值范围，确定当为何值时的值最小，求出其最小值，并将此时的值代入关于的函数关系式求出的值即可． 【详解】（1）解：设剩下的工作乙装修公司需天完成， 根据题意，得， 解得， 则，即， 与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得， 解得； ，， 随的增大而减小， 当时，的值最小，，此时， 甲装修公司工作9天，乙装修公司工作6天，装修总费用最少，最少费用是19800元． 【变式4-2】（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【答案】(1)180，90，360，900 (2) (3) (4)6（天） 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （3）根据函数图象中的数据运用待定系数法即可求解； （4）根据前三问求出公路总长即可解答． 【详解】（1）解：根据函数图象可得乙工程队每天修路（米）， ∵当修了a（米）时，乙工程队用了2天，甲工程队用了4天， ∴甲工程队每天修路（米）， ∴，， 故答案为：180，90，360，900； （2）解：设甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为，将点代入得， ∴甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （3）解：设乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得： ， 解得：， ∴乙工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式为； （4）解：公路总长为（米）， 甲、乙两工程队从开始就合作施工，每天修路（米）， ∴需要（天）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． 【变式4-3】（23-24八年级上·上海嘉定·期末）某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式： ； (2)甲工程队前4天平均每天修路 米，后12天平均每天修路 米； (3)该公路的总长度为 米． 【答案】(1) (2)90；50 (3)1800 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）设出正比例函数解析式，把代入可得所求函数解析式； （2）让前4天修路的总路程除以4即可得到甲工程队前4天平均每天修路米数，求得甲在第4天到第16天的函数解析式，进而求得后12天修路的总路程，除以12即为后12天平均修路的米数； （3）让甲修路的总路程乙修路的总路程即为公路的总长度． 【详解】（1）解：设， 经过， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：甲工程队前4天平均每天修路米数为； 当时，， 设当时，甲工程队的函数解析式为， ， 解得， ， 当时，， 后12天平均每天修路米数为． 故答案为：90；50； （3）解：公路的总长度为米， 故答案为：1800． 【变式4-4】（23-24八年级下·全国·课后作业）在国道202公路改建工程中，某路段长，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路． (1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，要使该工程的施工费用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？ 【答案】(1)甲队每天修路，乙队每天修路 (2)甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元 【分析】此题考查了一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出方程组和一次函数是解题的关键． （1）设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m，根据甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天，先求出.设总费用为W万元，得到 .再根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲队每天修路x m，乙队每天修路y m， 解得 答：甲队每天修路，乙队每天修路. （2）设甲工程队需做a天，乙工程队需做b天， ， ， ∵， ∴， 解得. 又∵， ∴. 设总费用为W万元，依题意，得 . ∵， ∴当时， (万元)， ∴ (天). ∴甲队做30天，乙队做20天，最低费用为25万元 考点5 几何问题 【例5】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 直线：与x轴交于点 A， 与y轴交于点 B， 直线与x轴交于点C，与y轴交于 D 点， ． (1)求直线的解析式； (2)连接， 点P 为直线上一动点， 若有，请求出 P 点坐标， (3)点M为直线 上一动点，是否存在满足条件的点 M使得 ，若存在请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在满足条件的点 M使得 ，此时点M的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定．解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数与坐标轴交点坐标求法． （1）先求出点C，D的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）设点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，根据，可得到关于m的方程，即可求解； （3）根据题意可得点在的垂直平分线上，可求出点M的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线：， ∴ 当时，， 此时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点， 设直线的解析式的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式的解析式为； （2）解：对于直线：， 当时，， ∴点， 由（1）得：， ∴， 设点P的坐标为，则点P到x轴的距离为， ∵， ∴， 解得：或1， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在满足条件的点 M使得 ． 如图， ∵， ∴， ∴点M在的垂直平分线上， ∴点M的横坐标为， 对于直线：， 当时，， ∴点M的坐标为． 【变式5-1】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标，点C在直线上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接，以为直角边在右侧构造一个等腰，且． (1)求直线的解析式以及C点坐标； (2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标； (3)如图2，连接，请直接写出使得周长最小时，点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，等腰直角三角形的性质、点的对称性等． （1）把代入中，得，解得：，即可求解； （2）证明，则，，，则； （3）过点O作直线l的对称点，连接交直线l于点，则点为所求点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得：， ∴， 把代入，得， ∴； （2）解：作轴于点F，轴于点G， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：点， 设， 则， 故点E在直线上， 当时，，当时， ∴直线l交y轴于点，交轴于点， ∴， ∴ 过点O作直线l的对称点，连接，,则 ∴， 连接交直线l于点，连接，如图，则， 又是常数， 周长为最小， 设直线的解析式为 把，代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：yx 联立， 解得：， 故：． 【变式5-2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，直线的函数关系式分别是和，两直线的交点为C． (1)求点C的坐标，并直接写出时x的范围； (2)在直线上找点D，使的面积是的一半，求点D的坐标； (3)点是x轴上的任意一点，过点M作直线轴，分别交直线、于点E、F，当E、F两点间的距离不超过4时，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两条直线的交点坐标，坐标与图形性质，线段中点坐标公式，利用了数形结合的思想，弄清题意是解本题的关键． （1）联立两直线解析式求出与的值，即为坐标，根据坐标，利用函数图象找出时的范围即可； （2）由列出方程求解即可； （3）表示出的长，根据的长不超过4列出，即可确定出的范围． 【详解】（1）解：联立两个方程可得：， 解得：， 所以； 可得：当； （2）设， 由得， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴点的坐标为或； （3）∵， 可得：， ， 得， 解得：， 由图象可知． 【变式5-3】（22-23八年级下·天津南开·期末）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【答案】(1)，；，； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （）根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，求出解析式，可求点坐标和周长的最小值； （）作于，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【详解】（1）①∵矩形，，， ∴，，， ，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式，过点，点， ∴， ∴， ∴直线解析式， 故答案为，； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小， ∵，， ∴设直线解析式， ∴，解得 ∴直线解析式， 当时，y， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． （2）如图：作于， ∵， ∴且， ∴，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， 则有， ∴， ∴直线解析式． 【变式5-4】（23-24八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． (1)求该一次函数的表达式； (2)当图象与轴有交点时，求的取值范围； (3)当图象最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查是一次函数综合题， （1）将点代入求出的值即可； （2）求出当时，的值即可得； （3）先求出点的纵坐标，再根据图像最高点与最低点的纵坐标之差为建立方程，解方程即可得； （4）分点在点的上方，点在点的下方两种情况，分别建立关于的不等式组，求解即可； 根据的坐标并结合正方形的性质得到四点坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得： ∴该一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得： ∴当图像与轴有交点时，， ∴m的取值范围为； （3）解：当时，，即， ∵，图像最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得：或， ∴的值为或； （4）解：如图，由题意可知，点在直线上， ∵以点为对称中心构造正方形，轴， ∴点也在直线上，，， ∵点在一次函数的图像上，其横坐标为， ∴， 当点在点的上方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当点在点的下方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ①若点在第一象限，则 ， 该不等式组的解集为空集； ②若点在第一象限，则 ， 解得：； 综上所述，的取值范围是或． 考点6 其他问题 【例6】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）甲、乙两个蓝莓采摘园为吸引顾客，在蓝莓单价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买元门票，采摘的蓝莓全部打六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘的蓝莓不超过的按原价收费，超过时，超过的部分打折优惠，若某顾客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲、乙两园采摘的总费用分别为（元），（元），y与x之间的函数图象如图所示． (1)求乙采摘园蓝莓优惠前的销售单价； (2)分别求出和时关于x的函数关系式； (3)当顾客购买蓝莓时，在哪家采摘园采摘更省钱？能省下多少钱？请你通过计算说明． 【答案】(1)元/千克 (2)； (3)甲采摘园更便宜，能省下元 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式等知识．熟练掌握函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）由图象可知，乙园顾客免门票，可知乙采摘园优惠前的蓝莓单价是，计算求解即可； （2）由两家蓝莓价格相同，可知甲采摘园蓝莓优惠前的销售价格也为元/千克，则打六折优惠后的销售价格为（元/千克），进而可得甲函数的表达式为：；当时，设，将和代入，可求，进而可得乙的表达式． （3）当时，（元），（元），（元），然后作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙园顾客免门票， ∵， ∴乙采摘园优惠前的蓝莓单价是元/千克． （2）解：∵两家蓝莓价格相同， ∴甲采摘园蓝莓优惠前的销售价格也为元/千克， 打六折优惠后的销售价格为（元/千克）， ∴甲函数的表达式为：； 当时，设， 将和代入得，， 解得，， ∴乙的表达式为． （3）解：当时，（元），（元）， ∵（元）， ∴甲采摘园更便宜，能省下元． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建漳州·期末）杆秤是我国传统的计重工具，如图是某兴趣小组利用物理学中的杠杆原理制作的简易杆秤．称重时，秤钩所挂重物为（单位：）时，秤砣到秤纽的水平距离为（单位：），且是的一次函数．下表是兴趣小组记录的四组数据： 组数 (1)求与的函数表达式； (2)若该杆秤称重的重量为，求称砣到秤纽的水平距离的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法即可求得一次函数的函数解析式，一次函数的性质与应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得一次函数的函数解析式． （2）根据，得随的增大而增大，当时，的最小值为，当时，的最大值为，即可得出称砣到秤纽的水平距离的范围． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将和分别代入上式， 可得：， 解得：， 与的函数表达式为． （2）， 随的增大而增大， 当时，的最小值为， 当时，的最大值为， 秤砣到秤纽的水平距离的范围为：． 【变式6-2】（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 【变式6-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比叶面积是指叶片的单叶面积与单叶重量之比，可作为叶片遮荫度的指数使用．通过对某种温带森林植物的研究，发现这种植物的比叶面积y（）与年均降水量x（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下表： 年均降水量（） … … 比叶面积y（） … … 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)当年均降水量为时，这种植物的比叶面积是多少？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为 (2)当年均降水量为时，这种植物的比叶面积是 【分析】此题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式， 将分别代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）将代入中， 得． 答：当年均降水量为时，这种植物的比叶面积是． 【变式6-4】（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．    (1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同： (3)若乙容器底面积为（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积． 【答案】(1)20，140 (2)注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同 (3) 【分析】（1）借助图像可知折线是乙容器睡得高度随时间的变化图象，分析图象可以得到答案； （2）分别求出线段、的解析式，然后联立解方程组即可解题； （3）先求出铁块的底面积，然后计算出铁块的体积即可解题． 【详解】（1）解：由图像可知，折线是乙容器睡得高度随时间的变化图象，即可以得到原有水的高度是，铁块的高度是； 故答案为：20，140． （2）设线段的解析式为：， 将点和代入得，解得， 设线段的解析式为：， 将点和代入得， ，解得， ， 令， 解得， 注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同． （3）解：由图象知：当水槽中没过铁块时4分钟水面上升了120mm，即1分钟上升30mm， 当水面没有没过铁块时，2分钟上升了50mm，即1分钟上升25mm． 设铁块的底面积为． 匀速注水， 1分钟非水量是相等的． 乙水槽中放入铁块时，1分钟注水的体积为： 不放铁块时，1分钟注水的体积为：， ，解得， 铁块的体积为：． 【点睛】本题考查一次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． 【专题训练】 1．（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键． （1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可； （2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求解． 【详解】（1）解：第①种应实付款， 第②种应实付款，        ， 令，解得 当智能机器人的总价万元时，采取第①种方式较省钱； 当智能机器人的总价万元时，两种方式一样； 当智能机器人的总价万元时，采取第②种方式较省钱． （2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 因为，所以 ∴采取第①种方式可早日结清余款． 2．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为21760元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力企业和产业发展的作用．某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少，无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同． (1)求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量． (2)该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，政府要求采购A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的．请计算该镇采购两种型号各多少件时，费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为 (2)该镇采购A种型号5件，B种型号15件时，费用最少375000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数． （1）设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，根据无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设采购m台A型号喷药无人机，则采购台B型号喷药无人机，利用总费用=单价×数量，结合A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的，可列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为； （2）解：设采购m台A型号喷药无人机，则采购台B型号喷药无人机，费用为W元． 根据题意得：， ∵A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的， ∴， 则， ∵， ∴W随m的增大而减小，当时，元， 此时（台）， 答：该镇采购A种型号5件，B种型号15件时，费用最少375000元． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）为迎接校园艺术节的到来，学校啦啦操社团欲购买A，B两种不同类型的花球，已知1个A型花球比1个B型花球贵3元，用180元购进A型花球的数量与用120元购进B型花球的数量相同． (1)求A、B两种类型花球的单价各是多少元． (2)若啦啦操社团计划购买这两种花球共50个，其中购买A型花球a个，购买两种型号的总费用为W元，请求出W与a之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A型花球的数量不少于B型花球的2倍．请求出当购买A型花球多少个时，总费用最少，并求出最少总费用． 【答案】(1)A型花球单价是9元，型花球的单价是6元； (2)； (3)当型花球购买34个时，总费用最少，最少总费用是402元． 【分析】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，掌握一次函数的增减性是解题的关键． （1）设型花球单价是元，型花球的单价是元，根据题意列方程组并求解即可； （2）型花球购买个，根据“总费用型花球单价购买型花球数量型花球单价购买型花球数量”写出与之间的函数关系式； （3）根据该关系的增减性和的取值范围，确定当为何值时的值最小，求出最小值即可． 【详解】（1）解：设型花球单价是元，型花球的单价是元．根据题意，得： ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 型花球单价是9元，型花球的单价是6元； （2）解：购买型花球个，则型花球购买个，则， 与之间的函数关系式为； （3）解：依题意得： ， 解得：， ，， 随的减小而减小， 当时，值最小，（元）， 当型花球购买34个时，总费用最少，最少总费用是402元． 5．（2023·浙江台州·模拟预测）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班． 王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度（米/分）随时间（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段和组成． 设线段OC上有一动点，直线过点T且与横轴垂直，梯形在直线左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）． (1)①当分钟时，速度_______米/分钟，路程_______米； ②当分钟时，速度_______米/分钟，路程______米． (2)当和时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式； (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，；当时， (3)王叔叔该天上班从家出发行进了米时用了4分钟 【分析】此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析式． （1）①根据图象得出直线的解析式，代入解答即可； ②根据图象得出时的速度，并计算其路程即可； （2）利用待定系数法得出和时的解析式即可； （3）根据当时的解析式，将代入解答即可． 【详解】（1）解：①由图象可知分钟内速度由增加到米/分钟，每分钟增加米，故当分钟时，速度米/分钟，此时路程（米）． 故应填，；   ②由图象可知当分钟时，速度米/分钟，路程（米）． 故应填，； （2）①当时，设直线的解析式为，由图象可知点， ∴，解得，则． 设与的交点为，则， ∴． ②当时，设与的交点为，则， ∴． （3）∵当时，， 当时，， 则令，解得． 所以，王叔叔该天上班从家出发行进了米时用了分钟． 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚小时到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时间的关系如图所示． (1)图中表示的自变量是__________，因变量是__________． (2)甲乙两地之间的路程为__________；快车的速度为__________；慢车的速度为____________． (3)出发_______小时，快慢两车距各自出发地的路程相等． (4)快慢两车出发__________小时相距． 【答案】(1)快慢车出发的时间，快慢两车距各自出发地的路程 (2) (3) (4)或或 【分析】本题主要考查一次函数图象与行程问题的运用，理解一次函数图象的性质，掌握行程问题的数量关系，准确列式时解题的关键． （1）根据一次函数图象信息即可求解； （2）根据图象可得快车出发到乙地的时间为3小时，慢车的时间为6小时，由此即可求解； （3）分别计算出快慢车各段的函数解析式，分类讨论即可求解； （4）分类列方程讨论即可． 【详解】（1）解：根据函数图象可知，快慢车出发的时间，快慢两车距各自出发地的路程， 故答案为：快慢车出发的时间，快慢两车距各自出发地的路程； （2）解：根据题意，甲乙两地之间的路程为， 快车行驶全程的时间为，慢车行驶全程的时间为， ∴快车的速度为，慢车的速度为， 故答案为：； （3）解：根据题意，， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得，，即直线的解析式为； 同理，设直线的解析式为， ∴， 解得，； 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； 当快车与慢车距各组出发地路程相等时，， ∴， 解得，； 故答案为：； （4）解：第一次未相遇时相距， ∴， 解得，； 第二次相遇后相距， ∴， 解得，； 第三次快车返回时相距， ， 解得，； ∴快慢出出发或或时相距， 故答案为：或或． 7．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，直线与相交于点，这两条直线与x轴分别交于点A，B． (1)直接写出______；若的面积为9，则______； (2)依据图象直接写出，当时，x的取值范围是______； (3)如图2，在图1条件下，连接；x轴正半轴上有一点C，，y轴负半轴有点，求的面积． 【答案】(1)3；1； (2) (3)12 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、坐标与图形性质、一次函数的应用、三角形面积等知识；熟练掌握一次函数的性质和勾股定理是解题的关键． （1）将点代入，即可求出m的值； （2）求出点A的横坐标为4，点B横坐标为：，得出，由即可得出k的值； （3）由图1和一次函数的性质即可得出结论； （4）设直线的解析式为，把代入，求得的值，设直线交轴于点，过点P作轴于T，则，证明是等腰直角三角形，得到，求得，再根据可求结论． 【详解】（1）解：将点坐标代入， ， ∵，当时， ∴， ∴点A的横坐标为4， ∵，当时，， ∴， ∴点B横坐标为：， ∴， ∵点P的纵坐标为3， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 故答案为：3，1； （2）解：由图1可知：时，， 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， 设直线交轴于点，则， ∴． 过点P作轴于T，则 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）根据直线性质，求出与轴交点，与轴交点的坐标，再由图形平移得到点的平移即可确定点的坐标； （2）根据平移性质，结合平行四边形性质得到，数形结合，通过间接表示，代值求解即可得到答案； （3）连接相交于点，如图所示，求出，联立得到点坐标，代入直线即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ， 当时，，解得， ， 将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段， ； （2）解：线段平移得到线段， ，且； 四边形是平行四边形， ， 延长交轴于点，如图所示： 设， 将代入得， ， 当时，，解得， ， ， ， ； （3）解：连接相交于点，如图所示： 设， 将代入得，解得：， ， 联立，解得， 点坐标为， 将代入直线，解得． 【点睛】本题考查直线与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、图形平移、点的平移、待定系数法确定函数表达式、平行四边形的判定与性质、直线的交点坐标及直线等分四边形面积等知识，读懂题意，灵活掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 9．（23-24八年级下·四川乐山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 印制x（张） … 100 200 300 … 收费y（元） … 15 30 45 … 乙印刷社的收费方式为：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按每张0.10元收费． (1)根据表中规律，求甲、乙两家印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式； (2)若在甲、乙印刷社中只选一家印刷，请问应选择哪家印刷社比较划算？ 【答案】(1)甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为，乙印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为 (2)当印数小于1000张时，甲印刷社收费低，选择甲印刷社比较划算；当印数等于1000张时，甲 ，乙印刷社收费一样，选择两家印刷社皆可；当印数大于1000张 时，乙印刷社收费低，选择乙印刷社比较划算 【分析】本题考查了一元函数的应用，解题的关键是： （1）设甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为，由待定系数法求出其解，根据乙印刷社的收费方式列式即可； （2）分别计算在两家印刷社印刷的费用，比较大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为， 由题意，得， 解得， ∴， 把代入，得，符合题意， ∴甲印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为， 当时，乙印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为 当时，乙印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为 ∴乙印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式为； （2）解：当时，，故甲印刷社收费低．选择甲印刷社比较划算； 当时， 若， ，则当印数小于1000张时，甲印刷社收费低．选择甲印刷社比较划算， 若， ，则当印数等于1000张时，甲 ，乙印刷社收费一样．选择两家印刷社皆可， 若，，则当印数大于1000张 时，乙印刷社收费低．选择乙印刷社比较划算， 综上，当印数小于1000张时，甲印刷社收费低，选择甲印刷社比较划算；当印数等于1000张时，甲 ，乙印刷社收费一样，选择两家印刷社皆可；当印数大于1000张 时，乙印刷社收费低，选择乙印刷社比较划算． 10．（2024·河北·三模）近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %； (2)求段的函数解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1)30 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）利用3小时的所充电池电量除以3即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先利用该汽车电池电量从充至所充电量除以普通充电器对该汽车每小时的充电量求得普通充电器所用时间，再把代入求得快充电器所用时间，即可求解． 【详解】（1）解：普通充电器对该汽车每小时的充电量为， 故答案为：30； （2）解：设直线的表达式为， 把、代入得，， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由（1）可得，普通充电器对该汽车每小时的充电量为， ∴该汽车电池电量从充至，普通充电器所用时间为， 把代入得，， 解得， ∴该汽车电池电量从充至，快充电器所用时间为， ∴快速充电器比普通充电器少用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的应用 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 一次函数模型的应用 1、利用函数解决实际问题的基本模式： 2、建立函数模型的一般步骤： （1）获取数据；（2）列表、描点；（3）观察、猜想；（4）求出函数表达式；（5）检验；并给出答案. 知识点2 选择方案 1、 选择方案： 选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，常建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解. 2、用一次函数选择方案的一般步骤： （1）“析”：分析题意，弄清数量关系； （2）“列”：列出函数表达式、不等式或方程； （3）“求”：求出自变量在不同值对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值； （4）“选”：结合实际需要选择最佳方案. 【注意】在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解). 【考点精讲】 考点1 方案分配问题 【例1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．已知从A市调运一台机器到C市和D市的运费分别为200元和400元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和250元． (1)设A市运往D市机器x台，求总运费w关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过5000元，共有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【变式1-1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题： (1)求A场馆和B场馆的门票价格； (2)参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观； ①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值； ②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案． 【变式1-2】（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； (2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有几种购买方案?哪个方案费用最低，最低费用是多少万元? 【变式1-3】（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【变式1-4】（22-23八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 考点2 利润问题 【例2】（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 (1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； (2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【变式2-1】（23-24八年级下·四川德阳·期末）药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元． (1)求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围） (2)如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润． 【变式2-2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2-3】（23-24八年级下·四川眉山·期末）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)现在商场准备一次性购进两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大的利润． 【变式2-4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 考点3 行程问题 【例3】（23-24八年级下·天津河西·期末）小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，下面图象反映了这个过程中小明离甲地的距离ym与离开甲地的时间之间的对应关系． (1)甲、乙两地的距离为________m， ______； (2)求小明从乙地返回甲地的过程中，y与x之间的函数关系式； (3)在小明从甲地出发的同时，小红以的速度从乙地匀速步行至甲地，并停在甲地，小明从甲地出发______与小红相距400m？（直接写出答案即可） 【变式3-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1) ______米/秒， ______秒； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发，沿同一路线前往乙地，两车出发1.5h，货车出现故障停车，轿车立刻掉头按原路加速返回帮忙修车（掉头的时间忽略不计），货车修好后，轿车与货车均按照各自在货车出现故障前的速度继续开往乙地，两车距甲地的路程y（单位：km）与离开甲地的时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)图中a的值是________；b的值是________；轿车在货车出现故障前的速度是________km/h； (2)求货车从甲地前往乙地的过程中，货车距甲地的路程y与离开甲地的时间x之间的函数关系式； (3)直接写出轿车在行驶过程中，从甲地出发多长时间与货车相距20km． 【变式3-3】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【变式3-4】（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 考点4 工程问题 【例4】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【变式4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校为了给同学们营造更好的学习环境，经过批准，计划在假期对学校进行翻新装修．经过筛选后确定了甲、乙两家装修公司，已知甲装修公司单独完成此项工程需要18天，乙装修公司单．独完成需要12天，其中甲装修公司的费用为1000元/天，乙装修公司为1800元/天．学校决定先由甲装修公司完成x天，剩下的工作再由乙装修公司完成，设装修的总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)为确保学校正常开学，要求甲、乙两个装修公司工作的总天数不超过15天，请问学校应该如何安排两个装修公司的工作天数使装修总费用最少，并求出最少费用． 【变式4-2】（22-23八年级下·吉林·期末）为了推进乡村振兴发展，某地决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后，因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．甲、乙两个工程队修筑公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：    (1)乙工程队每天修路___米，甲工程队每天修路___米，a的值为___，b的值为___； (2)直接写出：甲工程队修公路的长度y（米）与甲施工队施工时间x（天）之间的函数关系式； (3)求乙工程队修公路的长度y（米）与甲工程队施工时间x（天）之间的函数关系式； (4)若该项工程由甲、乙两工程队从开始就合作施工，直到任务完成，直接写出：完成任务所需的时间． 【变式4-3】（23-24八年级上·上海嘉定·期末）某县在实施“村村通”工程中，决定在、两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从、两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度（米与修筑时间（天之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)写出乙工程队修道路的长度与修筑时间之间的函数关系式： ； (2)甲工程队前4天平均每天修路 米，后12天平均每天修路 米； (3)该公路的总长度为 米． 【变式4-4】（23-24八年级下·全国·课后作业）在国道202公路改建工程中，某路段长，由甲、乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成．已知两个工程队各有10名工人（设甲、乙两个工程队的工人全部参与改建，两工程队内每人每天的工作量相同）．甲工程队1天、乙工程队2天共修路；甲工程队2天、乙工程队3天共修路． (1)试问甲、乙两个工程队每天分别修路多少米？ (2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，要使该工程的施工费用最低，甲，乙两队需各做多少天？最低费用为多少？ 考点5 几何问题 【例5】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 直线：与x轴交于点 A， 与y轴交于点 B， 直线与x轴交于点C，与y轴交于 D 点， ． (1)求直线的解析式； (2)连接， 点P 为直线上一动点， 若有，请求出 P 点坐标， (3)点M为直线 上一动点，是否存在满足条件的点 M使得 ，若存在请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标，点C在直线上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连接，以为直角边在右侧构造一个等腰，且． (1)求直线的解析式以及C点坐标； (2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标； (3)如图2，连接，请直接写出使得周长最小时，点E的坐标． 【变式5-2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，直线的函数关系式分别是和，两直线的交点为C． (1)求点C的坐标，并直接写出时x的范围； (2)在直线上找点D，使的面积是的一半，求点D的坐标； (3)点是x轴上的任意一点，过点M作直线轴，分别交直线、于点E、F，当E、F两点间的距离不超过4时，求t的取值范围． 【变式5-3】（22-23八年级下·天津南开·期末）如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【变式5-4】（23-24八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． (1)求该一次函数的表达式； (2)当图象与轴有交点时，求的取值范围； (3)当图象最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (4)平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 考点6 其他问题 【例6】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）甲、乙两个蓝莓采摘园为吸引顾客，在蓝莓单价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买元门票，采摘的蓝莓全部打六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘的蓝莓不超过的按原价收费，超过时，超过的部分打折优惠，若某顾客的蓝莓采摘量为x（千克），在甲、乙两园采摘的总费用分别为（元），（元），y与x之间的函数图象如图所示． (1)求乙采摘园蓝莓优惠前的销售单价； (2)分别求出和时关于x的函数关系式； (3)当顾客购买蓝莓时，在哪家采摘园采摘更省钱？能省下多少钱？请你通过计算说明． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建漳州·期末）杆秤是我国传统的计重工具，如图是某兴趣小组利用物理学中的杠杆原理制作的简易杆秤．称重时，秤钩所挂重物为（单位：）时，秤砣到秤纽的水平距离为（单位：），且是的一次函数．下表是兴趣小组记录的四组数据： 组数 (1)求与的函数表达式； (2)若该杆秤称重的重量为，求称砣到秤纽的水平距离的范围． 【变式6-2】（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【变式6-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）比叶面积是指叶片的单叶面积与单叶重量之比，可作为叶片遮荫度的指数使用．通过对某种温带森林植物的研究，发现这种植物的比叶面积y（）与年均降水量x（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下表： 年均降水量（） … … 比叶面积y（） … … 根据以上信息，解答下列问题： (1)求出y与x之间的函数表达式； (2)当年均降水量为时，这种植物的比叶面积是多少？ 【变式6-4】（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．    (1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm； (2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同： (3)若乙容器底面积为（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积． 【专题训练】 1．（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 2．（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 3．（23-24八年级下·河南南阳·期末）2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力企业和产业发展的作用．某镇计划引进无人机田间喷洒农药技术，无人机喷洒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少，无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同． (1)求无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量． (2)该镇计划采购A，B两种型号喷药无人机共20台，已知A型号喷药无人机每台15000元，B型号喷药无人机每台20000元，政府要求采购A型号喷药无人机的数量不高于B型号喷药无人机的．请计算该镇采购两种型号各多少件时，费用最少？并求出最少费用． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）为迎接校园艺术节的到来，学校啦啦操社团欲购买A，B两种不同类型的花球，已知1个A型花球比1个B型花球贵3元，用180元购进A型花球的数量与用120元购进B型花球的数量相同． (1)求A、B两种类型花球的单价各是多少元． (2)若啦啦操社团计划购买这两种花球共50个，其中购买A型花球a个，购买两种型号的总费用为W元，请求出W与a之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若A型花球的数量不少于B型花球的2倍．请求出当购买A型花球多少个时，总费用最少，并求出最少总费用． 5．（2023·浙江台州·模拟预测）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班． 王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度（米/分）随时间（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段和组成． 设线段OC上有一动点，直线过点T且与横轴垂直，梯形在直线左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）． (1)①当分钟时，速度_______米/分钟，路程_______米； ②当分钟时，速度_______米/分钟，路程______米． (2)当和时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式； (3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t． 6．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚小时到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程与所用的时间的关系如图所示． (1)图中表示的自变量是__________，因变量是__________． (2)甲乙两地之间的路程为__________；快车的速度为__________；慢车的速度为____________． (3)出发_______小时，快慢两车距各自出发地的路程相等． (4)快慢两车出发__________小时相距． 7．（23-24八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，直线与相交于点，这两条直线与x轴分别交于点A，B． (1)直接写出______；若的面积为9，则______； (2)依据图象直接写出，当时，x的取值范围是______； (3)如图2，在图1条件下，连接；x轴正半轴上有一点C，，y轴负半轴有点，求的面积． 8．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段向右平移7个单位长度，向上平移1个单位长度，得到线段，连接． (1)求点的坐标； (2)求四边形的面积； (3)若直线将四边形分成面积相等的两部分，请求出的值． 9．（23-24八年级下·四川乐山·期中）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下： 甲印刷社收费y（元）与印制数x（张）的函数关系如下表： 印制x（张） … 100 200 300 … 收费y（元） … 15 30 45 … 乙印刷社的收费方式为：500张以内（含500张），按每张0.20元收费；超过500张部分，按每张0.10元收费． (1)根据表中规律，求甲、乙两家印刷社收费y（元）与印数x（张）的函数关系式； (2)若在甲、乙印刷社中只选一家印刷，请问应选择哪家印刷社比较划算？ 10．（2024·河北·三模）近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是折线；用普通充电器时，汽车电池电量（占电池容量的%）与充电时间x（单位：h）的函数图像是线段． 根据以上信息，回答下列问题： (1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为 %； (2)求段的函数解析式； (3)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$