专题02 函数与正比例函数-【知识大通关】2024-2025学年八年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题02 函数与正比例函数 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 常量与变量 1、定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 【注意】1、“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量. 2、变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量，如在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量. 2、判断一个量是常量还是变量的方法： 看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值)，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量. 【注意】1、常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关，与个数没有关系. 2、变量、常量与字母的指数没有关系，如y=100-2x2中,x,y是变量，而不能说x2是变量. 知识点2 函数 1、函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量， y是x的函数. 【注意】1、在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； 2、函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 2、判断一个关系是否是函数关系的方法： 一看是否在一个变化过程中； 二看是否存在两个变量； 三看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应； 以上三者(简称“三要素”)缺一不可. 3、函数值： 定义：如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 【注意】1、函数表示时两个变量之间的一种对应关系，而函数值时一个数值； 2、一个函数的函数值时随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值. 知识点3 列表法和解析法 1、列表法与解析法： 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.其中的等式叫做函数表达式(或函数解析式) 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应的函数值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些函数不能用解析法表示出来 2、自变量的取值范围： （1）定义：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围. （2）确定自变量取值范围的方法： ①要使函数关系式有意义； ②对实际问题中的函数关系，还应该使得实际问题有意义. 【注意】自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数. 3、常见函数自变量取值范围的确定： 类型 取值范围 整式型 全体实数 分式型 使分母不为0的实数 偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数 零次型 使幂的底数不为0的实数 综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分 4、求函数值及自变量的方法： ①当已知的是函数关系式时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值； ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的;当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如 y=x-1中，当y=0 时，x=±1. 知识点4 图像法 1、定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象. 【注意】（1）函数图象上的任意点P（x，y）中的x，y都满足函数表达式； （2）满足函数表达式的任意一个有序实数对（x，y）所对应的点一定在函数的图象上； （3）函数图象上的所有点的坐标时函数中的两个变量间的关系的两种不同（一种是“形”，一种是“数”）的呈现方式. 2、函数图象的画法步骤： （1）列表：列表给出自变量和函数的一些对应值； （2）描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑曲线依次连接起来. 【注意】1、函数的图象是由一些点组成的，在描点的时候应尽可能多选几个点，使图象更准确； 2、在画图象时，应考虑自变量的取值范围. 3、图像法： 表示方法 定义 优点 缺点 图像法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 知识点5 正比例函数 1、定义：一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数. 2、正比例函数（y=kx（k≠0））的图象及性质： 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线（） 过原点，从左向右是下降的直线（） 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 Y随x的增大而增大 Y随x的增大而减小 【考点精讲】 考点1 利用常量与变量的定义进行辨别 【例1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（    ） A．10、都是常量 B．10、都是变量 C．10是常量，是变量 D．10是变量，是常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量的定义，根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案． 【详解】解：由题意得：10是常量，是变量， 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）下图是淇淇在超市购买圣女果的销售标签，则在单价、质量、总价的关系中，常量是（    ）    A．总价 B．质量 C．单价 D．单价和质量 【答案】C 【分析】本题考查变量和常量，根据在一个变化的过程中，固定不变的量为常量，进行判断即可． 【详解】解：在单价、质量、总价的关系中，单价是常量，总价随着质量的变化而变化， 故选C． 【变式1-2】（23-24七年级下·重庆·期中）已知球的表面积与它的半径之间的关系式是，其中随的变化而变化，则在这个公式中变量是（    ） A．， B．， C． D．，， 【答案】B 【分析】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握定义．根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，可直接得到答案． 【详解】解：中，常量是4，，变量是、， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列说法正确的是（   ） A．在圆的面积公式中，常量是、，变量是 B．加工个零件，工作效率与时间之间的关系式是，、都是变量 C．以固定的速度向上抛一个小球，小球的高度与小球运动的时间（）之间的关系式是，常量是，变量是、 D．在匀速运动公式中，常量是，变量是、 【答案】B 【分析】本题考查了常量与变量的知识，根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【详解】A. 在圆的面积公式中，常量是，变量是、，故该选项不正确，不符合题意； B. 加工个零件，工作效率与时间之间的关系式是，、都是变量，故该选项正确，符合题意； C. 以固定的速度向上抛一个小球，小球的高度与小球运动的时间（）之间的关系式是，常量是、，变量是、，故该选项不正确，不符合题意； D. 在匀速运动公式中，常量是，变量是、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1-4】（22-23七年级下·广东河源·期中）对于球体的体积公式，下列说法中正确的是（　　） A．π是变量 B．是常量 C．V，π，R都是变量 D．V，R是变量 【答案】D 【分析】此题主要考查了常量和变量，熟练掌握“在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量”是解题的关键． 【详解】解：在球体的体积公式中，V是因变量，R是自变量，，π是常量． 故选：D． 考点2 利用变量的意义识别自变量与因变量 【例2】（23-24七年级下·山东青岛·期中）用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法： ①长方形的长和宽是两个变量； ②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量； ③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量； ④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量； ⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量． 其中正确的说法有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量．根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：①长方形的周长一定，长和宽均可改变，是两个变量， ①正确； ②铁丝的长度一定，即长方形的周长一定，是常量， ②不正确； ③长方形的周长一定，它的宽会随长的改变而改变， ③正确； ④长方形的周长一定，它的长会随宽的改变而改变， ④正确； ⑤长方形的周长一定，当它的长改变时，宽也随之改变，故它的面积也会随之改， ⑤正确． 综上，正确的说法有4个，分别是①③④⑤． 故选：C． 【变式2-1】（23-24七年级下·广东梅州·期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量是（    ） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 【答案】C 【分析】本题主要考查了因变量与自变量的定义．自变量是指由研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件．因此自变量被看作是因变量的原因．或者说，自变量是能引起因变量变化的变量，据此求解即可． 【详解】解：∵热水器里的水温随所晒时间的长短而变化， ∴自变量是所晒时间，因变量是水的温度， 故选：C． 【变式2-2】（23-24七年级下·广东河源·期中）利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　） A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量． 【详解】解：根据题意可知水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量， 故选：A． 【变式2-3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断；通过观察表格数据即可判断；根据计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断；掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数，故正确，不符合题意； 从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高，声速就增加，故 正确，不符合题意； 由可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故错误，符合题意； 故选：． 【变式2-4】（2024·贵州·一模）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（    ） A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中，如果变量A因为变量B的变化而变化，那么变量B叫做自变量，变量A叫做因变量，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，随着高度的不断增加，燃料的体积不断减少，则自变量为火箭飞行的高度， 故选：B． 考点3 利用函数的定义识别函数 【例3】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列图象中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是函数的定义，解题关键是熟练掌握函数的定义． 根据函数的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，对的每一个值，的值不唯一，故不是函数关系，不符合题意，选项错误； 选项，对的每一个值，的值不唯一，故不是函数关系，不符合题意，选项错误； 选项，对的每一个值，的值不唯一，故不是函数关系，不符合题意，选项错误； 选项，对的每一个值，都有唯一、确定的值与其对应，故是函数关系，符合题意，选项正确． 故选：． 【变式3-1】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）如图所示的曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义判断，对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应，判断解答即可． 本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】A. 对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应， 正确，不符合题意； B. 对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应， 正确，不符合题意； C. 对于x的每一个值，y都有两个值与之对应， 错误，符合题意； D. 对于x的每一个值，y都有唯一值与之对应， 正确，不符合题意； 故选C． 【变式3-2】（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）下列关系中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据函数的定义，一个变化过程中，两个变量x，y，对于每一个自变量x，变量y有唯一的值与之对应判断即可． 【详解】解：A、 ，y是x的函数； B、 ，y是x的函数；     C、 ，对于每一个自变量x，变量y不一定是唯一的值与之对应，则y不是x的函数；         D、 ，y是x的函数；     故选：C． 【变式3-3】（23-24八年级下·四川南充·期中）已知；；；以上各式中，是的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，函数概念的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，据此逐个判定，即可作答． 【详解】解：；是属于是的函数； ，每确定一个x的值，y没有唯一确定的值与之对应，故不属于是的函数； 不含未知数，故不属于是的函数； 故选：B． 【变式3-4】（23-24八年级下·北京·期中）下列式子：①②③④⑤其中y是x的函数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是函数的概念，根据函数的定义进行判断即可，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①，是的函数； ②，不是的函数； ③，是的函数； ④，当取一个值时，有两个值与之对应，故不是的函数； ⑤．是的函数； 所以其中是的函数的个数是3， 故选：． 考点4 用列表法表示函数关系 【例4】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 ____ 4000 5000 6000 … (1)表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将表格补充完整； (3)若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入－支出费用） 【答案】(1)反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量； (2)见解析 (3)每月乘坐该路公交车要达到7000人次． 【分析】此题考查的是变量与常量的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． （1）根据表格即可得出结论； （2）由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元，即可得出结论； （3）先求出每增加1人次乘坐，每月的收入就增加2元，然后求出总收入即可求出结论． 【详解】（1）解：反映了收入y与人次x两个变量之间的关系，其中x是自变量，y是因变量； （2）解：由表格可知：每增加500人次乘坐，每月的收入就增加1000元， 表格补充如下： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 3000 4000 5000 6000 … （3）解：（元） （人次）． 答：每月乘坐该路公交车要达到7000人次． 【变式4-1】（23-24七年级下·河南周口·期中）2024年春节档电影《热辣滚烫》激励和鼓舞了不少人，甚至带动了一波拳击和健身热潮．小伟每天在健身房的跑步机上跑步，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 3.6 5.4 9 (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)请将上述表格补充完整； (3)根据表中的数据，请你简单说一说小伟跑步的路程是怎样随着时间的变化而变化的． 【答案】(1)跑步的时间，跑步的路程 (2)见解析 (3)小伟每跑步，路程增加． 【分析】本题考查用列表法表示变量间的关系． （1）随着跑步时间增加，路程逐渐增加，故在这个变化过程中，自变量是跑步的时间，因变量是跑步的路程； （2）根据题意每跑步，跑步的路程增加，据此可填表； （3）根据题意，即可作答． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是跑步的时间，因变量是跑步的路程； 故答案为：跑步的时间，跑步的路程； （2）解：根据题意每跑步，跑步的路程增加， 补充表格如图， 时间 10 20 30 40 50 60 路程 3.6 5.4 9 （3）解：由表格知，小伟每跑步，跑步的路程增加． 【变式4-2】（23-24七年级下·陕西·期中）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，回答下面问题： 放水时间（分钟） 1 2 3 4 5 … 水池中水量 48 46 __ 42 40 … (1)如图所示，将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，水池中水量是随放水时间的增长而怎样变化的？ (3)当放水时间为7分钟时，水池中水量是多少立方米？ 【答案】(1)44 (2)水池中水量随放水时间的增长而减少 (3) 【分析】本题主要考查了列式计算，数字规律等知识点，从表格数据中发现规律是解决本题的关键． （1）先算出放水速度，然后列式计算即可解答； （2）根据表格数据总结规律即可解答； （3）根据表格列式计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知放水速度为：分，则第三分钟水池中的水量为． 故答案为：44． （2）解：通过观察发现：水池中水量是随放水时间的增长减少． （3）解：当放水时间为7分钟时，水池中水量． 【变式4-3】（23-24八年级下·河北邢台·期中）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 22 24 26 28 30 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？ (2)不挂重物时，弹簧长是多少？ 【答案】(1)反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系 (2) 【分析】此题考查了函数的表示方法，本题需仔细分析表中的数据，进而解决问题． （1）由表格信息可得两个变量． （2）由表中的数据可知，时，，从而可得答案， 【详解】（1）解：由表格信息可得：上表反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系； （2）不挂重物时，即， 此时弹簧长． 【变式4-4】（23-24七年级下·全国·课后作业）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表： T 100 150 200 250 300 350 K 0.15 0.20 0.25 0.35 (1)补全表格； (2)在这个过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (3)当该材料导热率为时，温度为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)温度是自变量，导热率是因变量 (3) 【分析】本题考查了函数的表示法，观察表格得出温度每增加，导热率增加是解答本题的关键． （1）根据导热率变化规律计算即可； （2）根据导热率随着温度的变化而变化即可解答； （3）根据度每增加，导热率增加求解即可． 【详解】（1）观察表格可知温度每增加，导热率增加， ， ， T 100 150 200 250 300 350 K 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 （2）∵导热率随着温度的变化而变化， ∴温度是自变量，导热率是因变量； （3）． 考点5 用解析式法表示函数关系 【例5】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）某农场要建一个如图所示的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长26m），另三边用木栏围成，木栏长40m，并且要留一个1m宽的小门（小门用其它材料）．若这个长方形鸡场垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为ym，则y随x的变化而变化．    (1)在这个问题中，自变量是______，因变量是______； (2)写出y与x的关系式； (3)老板想建一个垂直于墙的边长为7m长方形鸡场，通过计算判断是否合理？ 【答案】(1)； (2) (3)不合理，理由见解析 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，正确的写出关系式，是解题的关键： （1）根据长方形鸡场垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为ym，y随x的变化而变化，判断出自变量和因变量即可； （2）用木栏的长加上小门的宽，减去两个垂直于墙的边长，得到平行于墙的边长，列出关系式即可； （3）将代入函数关系式，求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵y随x的变化而变化， ∴自变量为，因变量为； 故答案为：； （2）由题意，得：； （3）当时，， 故不合理． 【变式5-1】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【答案】(1)下降；海拔高度h； (2)详见解析 (3) (4)该处的海拔高度是4千米 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，描点法画函数图象，列函数关系式，求自变量的值： （1）从表格获取信息作答即可； （2）描点，连线画出函数图象即可； （3）根据题意，列出函数关系式即可； （4）令，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知：随着海拔高度的升高，气温下降，因此自变量是海拔高度h； 故答案为：下降，海拔高度h； （2）描点，连线，画图如下： （3）由表格可知，海拔每上升，气温下降， ∴； （4）令， 解得：， ∴该处的海拔高度是4千米． 【变式5-2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）一台收割机在开始工作前，油箱中有柴油L，开始工作后，每小时耗油L． (1)写出油箱中的剩余油量W（L）与工作时间t（h）之间的关系式，并指出其中的自变量和因变量； (2)当工作时间为时，油箱内剩余的油量为多少？ 【答案】(1)，其中t是自变量，W是因变量 (2)当工作时间为时，油箱内剩余的油量为 【分析】本题考查了变量之间的关系，自变量、因变量，根据自变量求因变量等知识．熟练掌握变量之间的关系，自变量、因变量，根据自变量求因变量是解题的关键． （1）由题意知，，其中t是自变量，W是因变量； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，其中t是自变量，W是因变量； （2）解：当时，， ∴当工作时间为时，油箱内剩余的油量为． 【变式5-3】（23-24七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度 (2) (3)小乐与燃放烟花所在地大约相距远 【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； （3） ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 【变式5-4】（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，已知，边，，点P为边上一点，当动点P沿从点C向点B运动时，的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是_______________；因变量是_______________； (2)如果设长为，的面积为，则y与x的关系可表示为_______________； (3)当点P从点D（D为的中点）运动到点B时，则的面积从____变到_____ (4)如果设长为，的面积为，则S与x的关系可表示为________________． 【答案】(1)的长；的面积 (2) (3)15；30 (4) 【分析】本题考查的是函数关系式、自变量和因变量、求函数值： （1）根据函数自变量和因变量的概念解答即可； （2）根据三角形的面积公式列出关系式； （3）计算出的长度，求出相应的面积，求差得到答案； （4）根据三角形的面积公式列出关系式． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是的长；因变量是的面积 故答案为：的长；的面积 （2）解：y与x的关系可表示为， 故答案为：； （3）解：， , 所以，当点P从点D（D为的中点）运动到点B时，则的面积从变到， 故答案为：15；30； （4）解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 考点6 求自变量的取值范围 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 【答案】(1)全体实数 (2) (3) 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． （1）根据一次函数的自变量为一切实数解答； （2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可； （3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：中，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意得：，， 解得：； （3）由题意得：， 解得：． 【变式6-1】（2024·湖南·模拟预测）已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，等腰三角形的性质： （1）根据三角形的周长公式可得，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，再由三角形的三边关系，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵等腰三角形的周长为18，腰长为x，底边长为y， ， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：由题意可得，解得，    ∵x，x，y构成三角形的三边， ∴， 即， 解得．    综上可知，自变量x的取值范围是． 【变式6-2】（22-23八年级下·福建厦门·期中）已知点及在第一象限的动点，且，设的面积为． (1)求关于的函数关系式： (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再把变形成，再利用三角形的面积求法列函数关系式即可； （2）根据点P在第一象限可得，据此可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵在第一象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量的取值范围，解题的关键是运用数形结合和三角形的面积公式进行计算．． 【变式6-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）． (1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)当时，求剩余油量Q的值． 【答案】(1)行驶路程是自变量，剩余油量是因变量． (2) (3)17 【详解】解：（1）行驶路程是自变量，剩余油量是因变量． （2）∵该轿车平均每千米的耗油量为， ∴行驶路程与剩余油量的关系式为 ． （3）当时，． 【变式6-4】（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在一个长为10cm，宽为6cm的长方形的四个角处，都剪去一个大小相等的正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)请写出图中阴影部分的面积与小正方形的边长x（cm）之间的函数关系式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)当小正方形的边长为2cm时，图中阴影部分的面积为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）阴影部分面积y等于长方形面积减去4个角上小正方形的面积； （2）小正方形的边长x必须不大于长方形宽的一半，由此可得x的取值范围； （3）把代入函数关系式，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1） 即图中阴影部分的面积与小正方形的边长x（cm）之间的函数关系式为：． （2）自变量x应满足，即 所以自变量x的取值范围为． （3）当时， 答：图中阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查函数关系式，解题关键是理解题意后列出函数关系式． 考点7 根据函数表达式求函数值 【例7】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与成正比例，与成反比例，设，当时，；当时，，分别代入解析式，解答即可． （2）根据函数值的定义，代入求解即可． 本题考查了待定系数法，求函数值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）根据与成正比例，与成反比例， 设， 当时，；当时，，分别代入解析式，得 ， 解得， 故函数解析式为． （2）根据， 当时，． 【变式7-1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法计算每户家庭的水费．月用水量不超过5吨，按每吨2元计算；超过5吨时，超过部分按每吨3.5元计算．设每户每月用水量x（吨）时，应交水费y（元）． (1)分别写出每月用水量不超过5吨和超过5吨时，y与x之间的关系式． (2)若某户居民每月用水3.5吨，应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？ 【答案】(1) (2)某户居民每月用水3.5吨，应交水费7元，若某月交水费17元，该户居民用水7吨 【分析】本题考查函数的应用，理解题意，求出函数解析式是求解本题的关键． （1）根据题中数量关系求函数关系式． （2）根据函数关系式计算． 【详解】（1）解： 当时，， 当时，； （2）解：当时，（元）． 当时，， ∴当时，， ∴， 答：某户居民每月用水3.5吨，应交水费7元，若某月交水费17元，该户居民用水7吨． 【变式7-2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的圆环（阴影）面积也随之发生变化．（结果保留） (1)求剩下的圆环（阴影）的面积与小圆的半径的关系式； (2)当挖去小圆的半径为时，剩下的圆环（阴影）面积为多少？ 【答案】(1) (2)当挖去小圆的半径为时，剩余的圆环面积为． 【分析】（）根据圆环的面积就是大圆的面积与挖去的小圆的面积的差即可列出关系式； （）在函数解析式中把代入即可求解； 本题考查了用关系式表示的变量之间的关系，正确列出关系式是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：； （2）当时，， 答：当挖去小圆的半径为时，剩余的圆环面积为． 【变式7-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值．右边是用华氏温度表示的温度值，华氏温度值与摄氏温度值之间的关系式为．求当摄氏温度为，，时华氏温度的值． 【答案】；； 【分析】本题考查的是求解函数值，把，，，分别代入，再计算即可． 【详解】解：∵， 当时，； 当时，； 当时，． 【变式7-4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知一块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少（），再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则 _____（填“是”或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为． ①写出y与x之间的函数关系式； ②当时，求y的值． 【答案】(1)是 (2)①；②当时，y的值为1225 【分析】（1）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为，计算面积，根据函数定义判断即可． （2）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为，计算面积即可．本题考查了函数的定义，求函数值，熟练掌握定义，规范求函数值是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为， 则， 是x的函数， 故答案为：是． （2）根据题意，变化后长方形一边长为，一边长为， ①； ②当时，． 考点8 利用函数表达式表示实际问题中的数量关系 【例8】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点C是线段上的一个动点（不与点A、B重合），以 为边，在的上方作正方形，设，正方形的周长为y，求y与x之间的关系式，及当时，y的值． 【答案】，当时， 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，根据线段的和差关系得到，再根据正方形周长公式可得，据此把代入关系式中求出对应的y的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． 【变式8-1】（23-24七年级下·江西九江·期末）一只装工艺品的木制框质量为，当放满一些工艺品（每个工艺品的质量相同）后，木制框和工艺品的总质量为． (1)填表： 0 5 10 15 25 总质量 2 4.3 8.9 (2)设工艺品数是个，木制框和工艺品总质量为，则与的关系式是 ； (3)请问这只木制料框内装了多少个工艺品． 【答案】(1)6.6，13.5 (2) (3)这只木制框内装了50个工艺品 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用以及列关系式等知识． （1）根据表格数据计算出每个工艺品的重量，再分别计算当工艺品数为10和15的时候的总重量即可． （2）根据题意列出关系式即可． （3）设这只木制料框内装了x个工艺品，根据放满一些工艺品木制框和工艺品的总质量为列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当工艺品数为5的时候，总质量为， ∴每个工艺品的重量为：， 当工艺品数为10的时候，总重量为：， 当工艺品数为25的时候，总重量为：． （2）设工艺品数是个，木制框和工艺品总质量为，则与的关系式为：． 故答案为：． （3）设这只木制料框内装了x个工艺品， 根据题意有： ， 解得：， 故这只木制料框内装了50个工艺品， 【变式8-2】（23-24七年级下·四川达州·期中）某型号签字笔每支2.5元，小涵同学拿100元钱去购买了支该型号的签字笔，则所剩余的钱y（元）与x（支）的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查变量之间的关系式，根据“剩余的钱总钱数花去的钱数”作答即可，正确得到数量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 与的关系式是． 故答案为：． 【变式8-3】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏映山红，缅怀革命先烈．已知学校距离井冈山，车行驶的平均速度为，小时后刘老师距井冈山，则与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据“路程、速度、时间”之间的关系解答即可； 【详解】解：依题意， 故答案为：． 【变式8-4】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）某出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米，每增加1千米加收2元，则路程为时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系式，由车费等于3千米以内（包括3千米）费用8元，再加上超过部分的费用即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 考点9 利用函数表达式表示几何中的函数关系 【例9】（23-24八年级下·广东广州·期中）周长为的长方形，若它的一边是，面积是．用含x的式子表示S为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数解析式，正确理解题意是解题的关键． 根据长方形的面积公式写出S与x之间的关系式． 【详解】∵周长为的长方形，若它的一边是， ∴另一边长为 ∴面积． 故答案为：． 【变式9-1】（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，三角形的高，，点在边上，连接．若的长为，三角形的面积为，则与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数关系式，根据题意先求出，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵，的长为， ∴， ∵三角形的高， ∴， 故答案为：， 故答案为：． 【变式9-2】（22-23八年级下·辽宁大连·期中）正方形边长为9，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式．根据增加的面积等于新正方形的面积减去边长为9的正方形的面积，求出即可． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 【变式9-3】（22-23七年级下·四川成都·期末）张大爷要围成一个长方形花园，花园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是 ．（不需要写自变量取值范围）    【答案】 【分析】根据“用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米”可以得出与的关系式． 【详解】解：用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米， ， ， 与的关系式是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，读懂题意，正确列出关系式是解题的关键． 【变式9-4】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）一个圆的半径为，它的半径增加后，圆的面积增加 (1)这个圆的面积增加量)与半径增加量之间的关系式是什么？ (2)当这个圆的半径增加量x从变化到时(每次增加)，这个圆的面积增加量γ从 变化到 ． 【答案】(1) (2)；． 【分析】本题主要考查了列函数关系式和求函数值： （1）根据圆面积公式分别求出半径变化前后圆的面积，然后用变化后圆的面积减去变化前圆的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：在中，当时，， 当时， ∴当这个圆的半径增加量x从变化到时(每次增加)，这个圆的面积增加量γ从变化到， 故答案为：；． 考点10 函数的图象 【例10】（23-24七年级下·陕西西安·期末）某天小明去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了2分钟，其离家的路程y（单位：）与出行的时间x（单位：）变化的关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他（    ） A．仍会迟到3分钟到校 B．刚好按时到校 C．可以提前8分钟到校 D．可以提前2分钟到校 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．先求出小明骑单车的速度，再求出若小明开始时直接骑单车，则前所用的时间，接着求出前可以节约的时间，进行比较即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，小明骑单车的速度为， 若小明开始时直接骑单车，则前所用的时间为， 则可以节约， ∵先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了2分钟， ∴若小明开始时直接骑单车，可以提前2分钟到校． 故选：D． 【变式10-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．甲每分钟走100米 B．两分钟后乙每分钟走50米 C．当或6时，甲乙两人相距100米 D．甲比乙提前1.5分钟到达B地 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断A选项；根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断B选项；根据图象，可以分别计算出和时，甲乙两人的距离，从而可以判断C选项．根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断D选项； 【详解】解：由图象可得， 甲每分钟走：（米），故A选项正确，不符合题意； 两分钟后乙每分钟走：（米），故B选项正确，不符合题意； 当时，甲乙相距（米）， 当时，甲乙相距米，故C选项正确，不符合题意； 乙到达B地用的时间为：（分钟）， 则甲比乙提前分钟达到B地，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式10-2】（23-24八年级下·四川泸州·期末）小林从家里出发，先跑步去体育馆锻炼，锻炼了之后步行到超市买水，最后散步回家．如图描述了小林在路途过程中离家的距离与所花的时间x（）之间的函数关系，根据图象，下列信息正确是（  ） A．体育馆离小林家 B．小林在体育馆锻炼了 C．超市比体育馆离小林家距离更远 D．小林在超市买水花了 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的实际应用，解题的关键是根据图像中的数据结合实际情景分段分析，进而判断选项． 【详解】解：由图像可得：10分钟时小林到了体育馆，距离，锻炼了分钟，步行分钟到超市买水，分钟后开始散步回家，花了分钟到家， 故A. 体育馆离小林家，故错误，不合题意； B. 小林在体育馆锻炼了，故错误，不合题意； C. 超市离小林家，比体育馆离小林家更近，故错误，不合题意； D. 小林在超市买水花了，故正确，符合题意； 故选D． 【变式10-3】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36． 则以上结论一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用.根据所给点的坐标判断出甲、乙两人的速度是解决本题的关键. 根据甲分钟步行的路程为米，可得甲步行的速度，可判断①是否符合题意；第分钟时，乙到达终点，根据此时乙比甲多走米，列出方程即可求得乙步行的速度，可判断④是否符合题意；乙的速度乘以乙步行的时间即可求得起点到终点的距离，可判断②是否符合题意；起点到终点的距离除以甲的速度可得甲走完全程需要的时间，可判断③是否符合题意，然后根据追及问题求出值可以判断⑤. 【详解】∵甲先出发分钟，甲分钟步行的路程为米， ∴甲步行的速度为： (米/分)， 故①正确； ∵甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人休息，乙从第分钟开始行走，第分到达到达终点，此时甲乙两人相距米, ∴第分钟时，乙比甲多走米. 设乙步行的速度为米/分，根据题意得： 解得： 故④正确； 起点到终点的距离为： (米)， 故②正确； 甲走完全程的时间为： (分) 故③错误； ∵分， 故⑤正确； ∴正确的为①②④⑤， 故选:B. 【变式10-4】（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 考点11 用图象表示函数关系 【例11】（23-24八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考差了函数的图象，关键是分析出每一段函数的实际意义； 根据题意分析各段中距离随时间的变化如何变化，从而可以解答本题． 【详解】解：小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误； 小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误； 故选：B． 【变式11-1】（23-24七年级下·山东青岛·期中）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程成为解答本题的关键．根据自由落体运动速度与事件的关系进行判定即可． 【详解】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动， 即，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大． 符合条件的只有选项B． 故选：B． 【变式11-2】（2024八年级·全国·竞赛）晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象识别，理解两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．根据路程随出发时间的变化而变化的情况进行判断即可． 【详解】解：根据题意，在前20分钟，离家的距离随时间增加而增加， 当时间为分钟时，路程保持不变， 当时间为分钟时，离家的距离随时间增加而增加，且比前20分钟时，增加的要快，因此只有D符合， 故选：D． 【变式11-3】（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降， 故选：C． 【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系．解题的关键在于理解题意． 【变式11-4】（23-24七年级下·重庆·期末）小南准备观察液体中的扩散现象，他先用水管匀速在空脸盆内注满水，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开．为了验证墨水扩散速度与水的运动有关，小南在脸盆底部扎了一个口匀速放水．在整个过程中，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用图象法表示变量之间的关系，根据先匀速在空脸盆内注满水，水深随时间均匀增大，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开，此时水深保持不变，再在脸盆底部扎了一个口匀速放水，水深随时间均匀减小，即可得出答案；正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵先匀速在空脸盆内注满水， ∴水深随时间均匀增大， ∵然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开， ∴此时水深保持不变， ∵再在脸盆底部扎了一个口匀速放水， ∴水深随时间均匀减小， 综上分析可知，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是选项A中的图象， 故选：A． 考点12 用描点法画函数的图象 【例12】（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)1.0 (2)见详解 (3)1.2，8.5 【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解； （2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可； （3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为． 【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：， 由表格数据得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴； （2）解：如图所示，即为所画图像， （3）解：①当时，，由图象可知高度差， 故答案为：1.2； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为， 故答案为：． 【变式12-1】（2024·浙江·三模）欲建一个容积恒定，底面为正方形的无盖长方体蓄水池．设底面正方形的边长为（单位：），蓄水池的深度为（单位：），当时，． (1)①求蓄水池的容积； ②求关于的函数解析式，并画出函数图象； ③若要求蓄水池深度满足，求的取值范围． (2)现要在蓄水池内的底部与侧壁上贴瓷砖．请根据函数学习经验，探索取何值时，所需瓷砖面积最小？（结果精确到） 【答案】(1)①；②，见解析；③ (2)时，所需瓷砖面积最小 【分析】本题主要考查了求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，正确求出函数解析式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①设蓄水池的容积为，根据长方体的体积为底面积高，即可得出，代入当时，计算即可得出答案；②由①得，整理即可得出答案，根据解析式画出函数图象即可；③由题意得出，计算即可得出答案； （2）设瓷砖总面积为，则，再列表画出函数图象，结合函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：①设蓄水池的容积为， 由题意得：， 当时，时，代入可得； ②由①得， ∴； 画出函数图象如图1所示： ③由题意，， ， ； （2）解：设瓷砖总面积为，则， 列表得， … 1 2 3 4 5 6 … … 129 68 48 … 描点，画函数图象如图所示： 由图象可得时，最小． 【变式12-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；    (2)观察图象，发现： ①当________时，y随x的增大而________（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是________________． 【答案】(1)见解析 (2)①1，增大；② (3)或 【分析】题考查函数函数图象，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示，    （2）观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：1，增大． ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 （3）函数的图象可由函数的图象向上平移个单位得到， ∴当时，x的取值范围是或 【变式12-3】（23-24八年级下·广西南宁·期中）为探究函数的图象和性质，下面是小明同学的探究过程，请补充完整． 0 1 2 3 4 3 2 1 0 m 2 3 (1)表格为与的几组对应值．m的值：_____． (2)如图，在平面直角坐标系中，先描出上表中所有对应值的点，然后画出该函数的图象． (3)观察图象，写出函数的一条性质． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)关于直线对称（答案不唯一） 【分析】本题考查了函数的图象与性质，根据图表数据画出函数图象是解答本题的关键． （1）将代入即可求解； （2）描点连线即可； （3）观察（2）中图象，从对称轴或增减性可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 故m的值是：1， 故答案为：1； （2）解：如图，该函数图象即为所求； （3）解：由图可知，函数的图象关于直线对称（或当时，随着的增大而减小；或当时，随着的增大而增大）． 【变式12-4】（23-24七年级上·山东威海·期末）结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程． (1)自变量的取值范围为______； (2)化简函数解析式： ①当时，______； ②当时______； ③当时______； (3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)全体实数 (2)①；②；③ (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了函数的图像，函数的解析式，绝对值的化简，解绝对值方程． （1）根据函数的表达式，确定自变量取值范围是全体实数． （2）①根据正数的绝对值是它本身，化简即可． ②根据零的绝对值是零化简即可． ③根据负数的绝对值是它的相反数化简即可． （3）根据画图像的基本步骤画出图像即可． （4）利用数形结合思想，只需函数值大于2即可即，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得自变量取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数． （2）解：∵， ∴①当时，， 故答案为：． ②当时， 故答案为：． ③当时． 故答案为：． （3）解：根据题意，画图像如下： ． （4）解：根据题意，方程有两个解的条件是函数值大于2，即， 故m的取值范围是． 考点13 利用函数图像上点的坐标与函数表达式的关系求字母值 【例13】（2024·浙江台州·二模）已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的求值，求函数值，先根据题意得到，，再推出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴ ， ， 故选：A． 【变式13-1】（23-24八年级下·福建泉州·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是8和1时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 【答案】B 【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式13-2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把点代入可得的m值，进而可得函数的解析式． 【详解】把代入得：， 解得：， 故选D． 【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握和运用利用函数解析式求待定系数的方法是解题的关键． 【变式13-3】（2024八年级下·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了程序框图，一次函数的函数值．理解程序框图的运算规则是解题的关键． 当时，；当时，；由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 当时，． 由题意得，， 解得． 故选：D． 【变式13-4】（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，，即， 解得：， 故选：A． 考点14 函数三种表示方法之间的转化 【例14】（22-23七年级下·河南平顶山·期中）我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 【答案】(1)120 (2) (3)①150，②行驶时间时，行驶路程为 (4)详见解析 【分析】（1）根据表格中的数据，即可得出当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； （2）根据路程和时间的关系式，即可进行解答； （3）根据表格中的数据和图象，即可得出当时，s的值，结合图象分析点在A时的时间和路程即可得出点A表示的意义； （4）根据函数三种表示方式的优缺点进行解答即可． 【详解】（1）解：由表可得：当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； 故答案为：120； （2）解：根据题意可得：， 当 ，把代入得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由图可知：当时，， 点A表示的意义为：行驶时间时，行驶路程为． 故答案为：150，行驶时间时，行驶路程为．， （4）解：用表格表示，可以鲜明的呈现出自变量和因变量之间的数量对应关系，但只能累出部分数据，难以反应全部变化； 用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难以用关系式表示； 用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图象，往往不够准确． 【点睛】本题主要考查了函数的三种表示方式，解题的关键是掌握函数的三种表示方式：表格，关系式，图象，是解题的关键． 【变式14-1】（2023·河南郑州·二模）生命在于运动．体育运动伴随着我们每一天，科学的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心．但与此同时我们也可以看到，因为不遵循运动规律而导致身体损伤的事情时有发生，我们越来越重视科学运动．衡量科学运动的重要指标之一就是心率．研究发现，运动过程中影响心率的主要因素有年龄、性别、运动强度、运动时间、运动类型、运动项目、情绪等．数学兴趣小组在分析了以上因素后，用统计和函数的知识，深入研究了在慢跑和跳绳过程中，心率与时间的关系如下表： 实验运动时间x（秒） 慢跑平均心率y1（次/秒） 跳绳平均心率y2（次/秒） 0 83 83 10 103 110 20 111 121 30 121 127 40 128 134 50 133 140 60 141 143 70 142 154 80 146 155 90 150 161 100 156 167 110 156 166 120 153 165 130 153 174 140 160 173 150 160 177 160 160 179 170 155 177 180 160 178 计算机将慢跑时的平均心率与跳绳时的平均心率与时间的关系拟合成一次函数的图象如图1：      计算机将慢跑时的平均心率与时间的关系拟合成的另一种函数的图象如图2： (1)根据图1中的信息，你发现在哪项运动中心率随时间的变化更快？请说明理由； (2)甲同学慢跑运动后的心率为158次/分，根据图1中的信息请你估算甲同学运动的时间； (3)有同学认为，计算机将慢跑时的平均心率与时间的关系拟合成的一次函数关系与实际的测量结果误差比较大，所以又借助计算机将其拟合为另一种函数关系，如图2，请你根据实际情况说明他的分析是否合理？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)140秒 (3)见解析 【分析】(1)从表格中可以看出，增加相同的时间时，跳绳运动中心率的增加更多；或者从比较函数解析式中与，，跳绳运动心率心率随时间的变化更快． （2）把代入函数，即可求出运动时间； （3）随着慢跑运动时间的增加，心率不会一直增加，也不会出现明显的下降，但心率增加的速度会减慢，所以用图2中函数拟合更合理． 【详解】（1）跳绳这项运动中心率随时间的变化更快． （理由不唯一，可以从表格或k的值等方面说明） （2）当时，， 解得 即甲同学运动的时间大约为140秒． （3）随着慢跑运动时间的增加，心率不会一直增加，也不会出现明显的下降，但心率增加的速度会减慢，所以用图2中函数拟合更合理．（理由充分即可） 【点睛】本题主要考查运动时间与心率的函数关系，正确理解两个变量之间的关系是解题的关键． 【变式14-2】（22-23八年级·全国·假期作业）科学家研究发现，声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x(℃)有关．当气温是0℃时，音速是331米/秒；当气温是5℃时，音速是334米/秒；当气温是10℃时，音速是337米/秒；当气温是15℃时，音速是340米/秒；当气温是20℃时，音速是343米/秒；当气温是25℃时，音速是346米/秒；当气温是30℃时，音速是349米/秒． (1)请你用表格表示气温与音速之间的关系． (2)表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量? (3)当气温是35℃时，估计音速y可能是多少? (4)能否用一个式子来表示两个变量之间的关系? 【答案】(1)见解析；(2)两个变量是：传播的速度和温度，温度是自变量；(3) 352米/秒； (4) y=331+x． 【分析】(1)根据题中数据列出表格． (2)找出题中的两个变量． (3)根据传播速度与温度的变化规律进而得出答案． (4)结合(3)中发现得出两个变量之间的关系． 【详解】(1)列表如下： x(℃) 0 5 10 15 20 25 30 y(米/秒) 331 334 337 340 343 346 349 (2)两个变量是：传播的速度和温度，温度是自变量． (3) 根据表格中音速y（米/秒）随着气温x（℃）的变化规律可知， 当气温再增加5℃，音速就相应增加3米/秒，即为349+3=352（米/秒）， 当气温是35℃时，估计音速y可能是：352米/秒． (4)根据表格中数据可得出：温度每升高5℃，传播的速度增加3，当x=0时，y=331，故两个变量之间的关系为： y=331+x． 【点睛】本题考查了变量与常量以及函数表示方法，理解两个变量的变化规律是得出函数关系式的关键． 【变式14-3】（22-23八年级下·全国·课后作业）用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数． 【答案】列表法见解析，且n为整数 【分析】从一点和边上的其他点连接分成三角形的个数为点数减去2，也就是边数减2，由于三角形的内角和是180°，所以多边形内角和与它的边数关系为多边形内角和＝（边数﹣2）×180°，由此规律计算即可求解． 【详解】解： 图   例 … n边形 边   数n 3 4 5 … n 内角和m/度 180＝180×（3﹣2） 360＝180×（4﹣2） 540＝180×（5﹣2） … 180×（n﹣2） 故n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数为m＝180°（n﹣2），（n≥3且n为整数）． 【点睛】本题考查了函数的表达形式，函数的表达形式有列表法、图像法以及解析式法，熟练掌握多边形内角和的推导过程是解决本题的关键． 【变式14-4】（22-23八年级下·山东临沂·期末）下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成： （1）当x≥3时， ，当x＜3时， ； （2）画出该函数的图像； 列表： x … … y … … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质． 【答案】（1）， ；（2）见解析；（3）函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是 【分析】（1）根据题意，化简函数解析式，进而写出函数解析式； （2）根据（1）的结论，列表即可，进而描点，连线画出函数图象； （3）通过观察函数图象经过的象限以及最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）当x≥3时， ，当x＜3时，； 故答案为：， （2）列表： x … 1 3 5 … y … 1 … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）当x≥3时，函数y的值为常数；x＜3时，函数y随x的增大而减小；函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是等等，答案不唯一，写出两条即可． 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，画函数图象，掌握作函数图像的基本步骤是解题的关键． 考点15 利用数形结合法与函数解几何问题 【例15】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 【答案】(1)312 (2)减小，； (3) (4)阴影部分面积不可以达到， 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式，函数关系； （1）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （2）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积公式和长方形的面积公式列式即可； （4）根据题意求得阴影部分的最小值，比较大小，即可求解． 【详解】（1）∵剪去的四个等腰直角三角形全等， ∴剪去的四个等腰直角三角形的面积相等， 根据题意：可知阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 即：三角形的直角边长为2时，； 故答案为：312； （2）三角形的直角边长为4.5时，由表格可得； 三角形的直角边长为7时，； 即： ∴阴影部分的面积减小 故答案为：减小，； （3）阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， 据此列式可得：， 即所求关系为：． （4）阴影部分面积不可以达到，理由如下， ∵阴影部分面积等于长方形面积减去四个三角形的面积， ∵ 当时，阴影部分面积最小， ∴阴影部分面积不可以达到 【变式15-1】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象． (1)直接写出 ， ， ； (2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式； (3)直接写出，当点出发多少秒后，． 【答案】(1)5；；4 (2) (3)或 【分析】本题考查动点问题的函数图象，一元一次方程的实际应用，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据a秒时的面积可求a的值，由6.5秒时，点P与点D重合，利用路程速度时间，即可求出k的值，由时间路程速度即可求出b的值； （2）分为点P速度为每秒和点P速度为每秒，两种情况由路程速度时间，列出关系式即可； （3）分为点P在上和点P在上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据图象可得：a秒时的面积为12，即， ， ， ； 6.5秒时，点P与点D重合， ； 点P从点D运动到点B的速度为每秒， ， 长方形中，， ； （2）解：点P速度为每秒时：； 点P速度为每秒时：； 综上，； （3）解：点P在上时， 当点P加速前： ， （舍去，不符合题意）， 当点P加速后： ， ； 当点P运动到点C时，所需时间为：（秒）， 点P在上时，， ， ， 综上，当点出发或时，． 【变式15-2】（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设． 通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整： (1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下： 0 1 2 3 4 5 6                               （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）； (2)自变量x的取值范围是_______； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： (4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． （1）当时，点运动到点处，此时点与点重合，即可求出长； （2）由，可得的取值； （3）描点，连线即可； （4）做出的图形，利求出交点纵坐标即的长． 【详解】（1）解：当时，点运动到点处，此时点与点重合， ， ； （2）∵， 即当点在点处时，， 当点在点处时，， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：； （3）如图所示， （4）当时，，如图， 作的图象，与之前函数交于点，经测量点纵坐标约为， ∴长约为， 故答案为：． 【变式15-3】（2024·江西上饶·二模）如图（1），点分别是菱形的边上的动点，且的长为定值，小杰同学根据学习函数的经验，对的周长进行了探究，下面是小杰的探究过程．       (1)对于点在不同位置时，利用数学作图软件进行度量，得到了线段，的长度和的周长的几组对应值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 0.00 1.07 2.00 2.50 2.99 3.99 5.00 6.00 5.35 4.90 4.72 4.59 4.48 4.91 4.91 4.51 4.60 4.74 5.11 5.55 6.00 的周长 15.86 15.41 15.32 15.33 15.59 16.14 16.91 请补全表格，并回答问题： ①的固定值是多少； ②在线段的长度这三个量中，______的长度是自变量，的周长是这个自变量的函数． (2)在图（2）中的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的大致图象． (3)解决问题：的周长的最小值约为______．（结果保留一位小数） 【答案】(1)表见解析；①；② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画函数图象、从函数图象中获取信息、函数相关知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①根据的周长，代入表格的数据计算即可得出答案；②根据表格分析即可得出答案； （2）描点、连线即可得出函数图象； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 位置：的周长为：， 位置：的长为：， 位置：的长为：， 位置：的长为：， 补全表格如下： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 0.00 1.07 2.00 2.50 2.99 3.99 5.00 6.00 5.35 4.90 4.72 4.59 4.48 4.91 4.91 4.51 4.60 4.74 5.11 5.55 6.00 的周长 15.86 15.41 15.32 15.33 15.59 16.14 16.91 ①由表格可得： 的固定值是； ②由表格可得： 在线段的长度这三个量中，的长度是自变量，的周长是这个自变量的函数； （2）解：画出函数图象如图所示： ； （3）解：由图象可得：的周长的最小值约为． 【变式15-4】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，在中，于点，动点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积随时间的变化图像．    (1)填写图2中数据：______，______，______，______； (2)当点D在线段BC上时，写出S与的关系式：______； (3)当为何值时，？ 【答案】(1)；；； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟悉利用图象上的相关信息是解题的关键． （1）根据点的运动情况结合一次函数图象求解即可； （2）分类讨论点的运动情况列出关系式即可； （3）分类讨论点在的左右两边时的情况，再结合进行求解即可． 【详解】（1）解：当与重合时，， ∴， ∵到达点时停留后以原速度继续运动， ∴， ∴， ∴， ∴当点到达点时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵以的速度匀速运动， ∴， ∴当在上时，即，， ， 当在上停留时，即， ， 当在上时，，， ， 综合所述：； （3）∵， ∴当点在的左边时，由（2）可得：， ∴， 解得：， 当点在的右边时，由，两三角形等高，则， ∴上只运动了1s， ∴， 综合所述，当为或时，． 考点16 正比例函数的图象与性质 【例16】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质以及图象逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 当时，函数值为，故该选项不正确，不符合题意；     B. 随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；     C. 它的图象经过二、四象限，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，则它的图象一定不经过点，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式16-1】（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，请用“”表示，，的不等关系 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的图象，根据正比例函数的性质，可以判断，，的大小关系，然后即可用“”表示，，的不等关系．解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得， ，， ∴， 故答案为：． 【变式16-2】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）正方形的周长与边长之间的函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，根据正方形的周长即可解题． 【详解】解：正方形的周长， 故选：C． 【变式16-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据可得，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵点，，都在正比例函数的图象上，， ∴可得，随的增大而减小， ∴. 故选：B． 【变式16-4】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 考点17 利用正比例函数的定义和性质求函数关系式 【例17】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数，且当时，． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)画出这个正比例函数的图像． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查正比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握例函数的图像与性质． （1）将，，代入中，求出值，即可求解； （2）将点代入正比例函数的解析式中，即可求解； （3）根据题意可得该正比例函数过点，，，在坐标系中描点，连线即可． 【详解】（1）解：正比例函数中，当时，， ， 解得：， 与之间的函数解析式为：； （2）点在函数的图象上， ， 解得：； （3）根据题意可得点，，在正比例函数的图像上， 正比例的函数图像如下： 【变式17-1】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数． (1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键． （1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围； （2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围． 【详解】（1）∵函数的图象经过一、三象限， ∴， 解得． 故当时，函数的图象经过一、三象限． （2）∵y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故当时，y随x的增大而减小． 【变式17-2】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可． （2）将和分别代入函数关系式即可解决问题． 【详解】（1）设正比例函数的解析式为， 则， 解得， 所以这个正比例函数的解析式为． 函数图象如图所示， （2）将代入得， ； 将代入得， ； 因为， 所以． 【变式17-3】（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知是正比例函数． (1)求k的值和函数解析式； (2)当时，x应满足的条件． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的概念、正比例函数的性质等知识点，根据正比例函数的概念求得函数解析式成为解题的关键． 应用正比例函数的概念确定函数的解析式即可． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， ∴， ∴函数解析式为． （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当时，x应满足的条件为． 【变式17-4】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知与成正比例，当时，. (1)求与的函数表达式； (2)试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由. 【答案】(1) (2)点不在（1）中的函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、正比例函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设，再由当时，，求出的值即可得解； （2）当时，求出的值，与进行比较即可． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； （2）解：点不在（1）中的函数图象上，理由如下： 在中，当时，， 点不在（1）中的函数图象上． 考点18 利用正比例函数的图象和性质解与几何相关的问题 【例18】（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，若正比例函数图象与四条直线相交围成的长方形有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，为正比例函数图象与长方形有交点的位置的临界点，以及正比例函数的图象与性质，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，正比例函数图象越接近轴，越大， 当正比例函数图象经过时，即， 解得，， ∴时，正比例函数图象与长方形有公共点， 当正比例函数图象经过时，即， ∴时，正比例函数图象与长方形有公共点， 综上所述，或， 故答案为：或． 【变式18-1】（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中有，两点，将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点F在直线上，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据平移的性质求出点的纵坐标为3，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且， 点的纵坐标为3， 当时，，解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 【变式18-2】（22-23九年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 【答案】 【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，再利用三角形的面积求解A的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B， ∵16个边长为1的正方形面积为16， ∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5， ∵OB＝4， ∴AB＝5×2÷4＝， ∴A（，4）， 即4＝k， 解得k＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，求解A的坐标是解本题的关键． 【变式18-3】（2020·山东济南·一模）如图，，，，…，都是直角三角形，直角顶点A1，A2，…，An在x轴上，且，，…，，点B1，B2，…，Bn在直线上，已知点A1坐标为（1，0），则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】 首先根据规律得出OA1=1，OA2=2，OA3=4，OA4=8，所以可得OAn=2n−1，再根据点Bn在直线上，进而解答即可． 【详解】 解：，，，…，， ∴OA2=2，OA3=4，OA4=8，由此得出OAn=2n−1， ∴OA2018=22017， ∴点的坐标为， 点B1，B2，…，Bn在直线上，是直角三角形， 点的横坐标x=22017，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为： 【点睛】 此题考查了坐标规律的探究，点在直线上的坐标特征，关键是根据规律得出OAn=2n−1进行解答． 【变式18-4】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图所示，将6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有公共点，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标，难度不大．分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，，当经过点C时，， ∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是， 故答案为：． 【专题训练】 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　） A．C是变量，π，d是常量 B．π是变量，C，d是常量 C．C，d是变量，π是常量 D．C，d，π是变量 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，常量，变量的定义．根据常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量解答即可． 【详解】解：在圆的周长公式中， C，d是变量，π是常量， 故选：C． 2．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 【答案】C 【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数的定义可以判断变量是的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径． 【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，所以变量y是x的函数； 由图象可得，摩天轮的直径为：． 故选C． 3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围．根据分式的分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：A． 4．（22-23七年级下·内蒙古包头·期中）如图所示，在长方形中，，，P是上的动点，且不与点C，D重合，设，梯形的面积为y，则y与x之间的关系式和自变量的取值范围分别是（    ）    A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】根据可得，再根据梯形面积公式代入相应数值计算即可． 【详解】解：， ， ， 是上的动点，且不与点C，D重合， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列函数关系式，关键是掌握梯形面积公式． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知变量x，y之间的关系式为，当时，y的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】略 6．（重庆市九龙坡区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是函数的定义，根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数．掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级下·重庆长寿·期末）甲骑摩托车从地到地，乙开汽车从地到地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．设甲、乙两人相距为（单位：千米），甲、乙行驶的时间为（单位：小时），与之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发小时时，甲、乙在途中相遇；②甲、乙相距千米时，行驶的时间一定是小时；③出发小时时，甲、乙相距千米；④甲的速度是乙的速度的一半．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象获取信息，根据函数图象得出甲乙的速度，即可判断①④，进而观察函数图象，即可判断③，根据函数图象可得乙到达终点所用的时间为小时，甲得到终点所用的时间为小时，进而可得甲离地还有千米，即可判断④． 【详解】解：由图象可得：出发小时，甲、乙在途中相遇，故①正确； 甲骑摩托车的速度为：（千米小时），设乙开汽车的速度为千米小时， 则， 解得：， 乙开汽车的速度为千米小时， 甲的速度是乙速度的一半，故④正确； 根据函数图象可得甲、乙相距千米时，有两个时间段，故②不正确； 乙到达终点所用的时间为小时，甲得到终点所用的时间为小时， 当时，甲离地还有千米， 乙发小时时，甲、乙相距千米，故③不正确 正确的有①②，共个， 故选：C 8．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点的路程与运动时间的关系依次求出点在不同线段上运动的状态，分别计算即可． 【详解】解：由题得五段函数分别是点在、、、、上所形成的， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， ， 点在上运动的时间， ， 点在上运动的时间， ， 故选：C． 9．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知关于x的函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数．根据正比例函数定义可得，且，，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且，， 解得：，， ∴； 故选C． 10．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键． 如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可． 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或； 故选：D． 二、填空题 11．（23-24七年级下·重庆·期末）为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有 人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 【答案】8 【分析】本意主要考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键． 先写出栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数 (人)的函数关系式，在代入即可． 【详解】解：由已知可得，， 当时，即， 解得：． 故答案为：8． 12．（2024九年级下·山西·专题练习）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数值，正确理解题意是解题的关键． 直接把代入到中确定，再代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴ 故答案为：． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图1，动点P从长方形的顶点A出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点C，的面积随运动时间变化的图像如图2所示，则的长是 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题的关键．由图可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式求出的值，即可求得答案． 【详解】解：由题图2可知，，， 当点到达点时，的面积为， ∴， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：5． 14．（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 15．（23-24八年级上·上海普陀·阶段练习）正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数的图像与系数的关系； 根据正比例函数的图像经过第一、三象限时列式解答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，根据，结合函数解析式得出当时，正比例函数有最大值，当时，正比例函数有最小值，然后求出结果即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴y的值随x值的增大而减小， 又∵， ∴当时，正比例函数有最大值，为， 当时，正比例函数有最小值，为． 故答案为：；． 三、解答题 17．（23-24七年级下·陕西·期中）一辆汽车油箱内有油升，从某地出发，每行驶千米，耗油升，如果设油箱内剩油量为升，行驶路程为千米，则随的变化而变化． (1)写出与的关系式______． (2)这辆汽车行驶千米时剩油多少升？汽车剩油升时，行驶了多少千米？ 【答案】(1) (2)这辆汽车行驶千米时剩油升，汽车剩油升时，行驶了千米 【分析】本题考查函数关系式，正确理解数据的关系列出函数式解题关键． （1）根据题意写出关系式； （2）代入数据求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：； （2）当时，升， 当时可得，解得． 这辆汽车行驶千米时剩油升，汽车剩油升时，行驶了千米． 18．（23-24八年级下·河南南阳·期中）某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象知， ， ， ； (2)小明乘坐出租车行驶了23千米，那么他应付 元； (3)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请求出y与x之间的关系式； (4)若小明共付车费元，那么出租车共行驶 千米． 【答案】(1)8；3； (2)38 (3) (4)14 【分析】本题考查了函数的定义，函数图象的识别，列函数关系式以及求自变量的值等知识，正确识别函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象可直接得出答案； （2）根据（1）所求列式计算即可； （3）根据起步价为8元，超过3千米时，超过部分每千米收费元列关系式即可； （4）把代入求出x即可． 【详解】（1）解： 由函数图象可得：，，， 故答案为 ：8；3；； （2）解：元 ∴行驶23千米应付乘车费为38元； 故答案为：38； （3）解：由（1）知：起步价为8元，超过3千米时，超过部分每千米收费元， ∴； （4）解：把代入得：， 解得：， ∴出租车共行驶了14千米， 故答案为：14． 19．（23-24八年级上·山西晋中·期中）莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） (1)根据如图所示，将表格补充完整； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是______． (3)求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 【答案】(1)， (2) (3)护栏总长度为93米时立柱的根数为30 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量． （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：； （3）当时，代入y与x之间的关系式，求解． 【详解】（1）解：当有3根立柱时，（米）， 当有5根立柱时，（米）； 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （2）解：根据题意得：与之间的关系式为： ； （3）解：当时，， 解得：， 即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根． 20．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）某玩具公司对一款长90厘米的玩具火车做性能测试．现有一斜坡轨道，如图玩具火车从A点匀速出发，途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点．火车头到达B点时火车停留了2秒，然后进行倒车测试，火车匀速倒回点A运动停止．设运动时间为t秒，车尾离A的距离为m厘米，车头离B的距离为n厘米，记，已知火车从A向B运动过程中，和的时候与之对应的y的值互为相反数．火车从点A出发到倒回到点A，整个过程总用时36秒（含停留时间）． (1)火车从A向B运动的速度为_______厘米/秒； (2)轨道的长为________厘米； (3)求火车倒回过程中y与t的函数表达式； (4)在整个过程中，若，求t的值． 【答案】(1)45 (2)810 (3) (4)12秒或22．5秒 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列函数关系式，求自变量的值： （1）设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒，根据途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点列出方程求解即可； （2）根据（1）所求可得火车由时，进而得到，则，再根据和的时候与之对应的y的值互为相反数列出方程求解即可； （3）先求出由A到B的时间，进而求出由B到A的时间，从而求出由B到A的速度，进而表示出由B到A过程中m和n即可得到答案； （4）分由A到B和由B到A两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设火车从A向B运动的速度为x厘米/秒， 由题意得，， 解得， ∴火车从A向B运动的速度为45厘米/秒， 故答案为：45； （2） 解：火车由时， ∵， ∴， ∴ ， ∵和时y的值互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：810； （3） 解：∵（秒） ∴（秒） ∴（厘米） ∴当时  ，， ∴； （4） 解：当时，，解得； 当时 令，解得 综上的值为12秒或秒． 21．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 【答案】(1)6，2 (2)小明和妈妈相遇时距起点的距离 (3)小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米 【分析】（1）小明在前70秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离除以所用时间即可； （2）两图象的交点处表示两人相遇．因此，表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离； （3）两人有可能三次相距60米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后且、时，分别讨论计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米， 小明前70秒的速度是（米秒）． 妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是（米， 妈妈的速度是（米秒）． 故答案为：6，2． （2）解：两图象的交点处表示两人相遇， 表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离． 故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离． （3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． 当时，设小明距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． ①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得 ，解得； ②在第一次相遇后且，当两人第二次相距60米时，得 ，解得． ③当时，两人第三次相距60米时，得 ，解得． 综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米． 【点睛】本题考查用关系式表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系、一元一次方程的应用，从图象上获取有用的信息是解答本题的关键． 22．（23-24八年级下·吉林·期中）已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系找出y的取值范围． 【详解】（1）点在该正比例函数的图象上， ， 解得：； （2）由（1）知：， 正比例函数的表达式为：， 在中，， y随x的增大而增大， 当时，，当时，， 的取值范围为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与正比例函数 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 常量与变量 1、定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 【注意】1、“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母，如在匀速运动中的速度v就是一个常量. 2、变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量，如在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量. 2、判断一个量是常量还是变量的方法： 看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值)，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量. 【注意】1、常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关，与个数没有关系. 2、变量、常量与字母的指数没有关系，如y=100-2x2中,x,y是变量，而不能说x2是变量. 知识点2 函数 1、函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量， y是x的函数. 【注意】1、在函数中定义的两个变量x，y是有主次之分的，变量x的变化是主动的，称之为自变量，而变量y是随x的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数)； 2、函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系. 2、判断一个关系是否是函数关系的方法： 一看是否在一个变化过程中； 二看是否存在两个变量； 三看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应； 以上三者(简称“三要素”)缺一不可. 3、函数值： 定义：如果在自变量取值范围内给定一个数值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 【注意】1、函数表示时两个变量之间的一种对应关系，而函数值时一个数值； 2、一个函数的函数值时随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值. 知识点3 列表法和解析法 1、列表法与解析法： 表示方法 定义 优点 缺点 列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法.其中的等式叫做函数表达式(或函数解析式) 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应的函数值时，往往要经过比较复杂的计算，而且有些函数不能用解析法表示出来 2、自变量的取值范围： （1）定义：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围. （2）确定自变量取值范围的方法： ①要使函数关系式有意义； ②对实际问题中的函数关系，还应该使得实际问题有意义. 【注意】自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数. 3、常见函数自变量取值范围的确定： 类型 取值范围 整式型 全体实数 分式型 使分母不为0的实数 偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数 零次型 使幂的底数不为0的实数 综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分 4、求函数值及自变量的方法： ①当已知的是函数关系式时，求函数值实质就是利用代入法求代数式的值； ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的;当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如 y=x-1中，当y=0 时，x=±1. 知识点4 图像法 1、定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象. 【注意】（1）函数图象上的任意点P（x，y）中的x，y都满足函数表达式； （2）满足函数表达式的任意一个有序实数对（x，y）所对应的点一定在函数的图象上； （3）函数图象上的所有点的坐标时函数中的两个变量间的关系的两种不同（一种是“形”，一种是“数”）的呈现方式. 2、函数图象的画法步骤： （1）列表：列表给出自变量和函数的一些对应值； （2）描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑曲线依次连接起来. 【注意】1、函数的图象是由一些点组成的，在描点的时候应尽可能多选几个点，使图象更准确； 2、在画图象时，应考虑自变量的取值范围. 3、图像法： 表示方法 定义 优点 缺点 图像法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 知识点5 正比例函数 1、定义：一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数. 2、正比例函数（y=kx（k≠0））的图象及性质： 图象 图象形状 过原点，从左向右是上升的直线（） 过原点，从左向右是下降的直线（） 经过的象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 Y随x的增大而增大 Y随x的增大而减小 【考点精讲】 考点1 利用常量与变量的定义进行辨别 【例1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（    ） A．10、都是常量 B．10、都是变量 C．10是常量，是变量 D．10是变量，是常量 【变式1-1】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）下图是淇淇在超市购买圣女果的销售标签，则在单价、质量、总价的关系中，常量是（    ）    A．总价 B．质量 C．单价 D．单价和质量 【变式1-2】（23-24七年级下·重庆·期中）已知球的表面积与它的半径之间的关系式是，其中随的变化而变化，则在这个公式中变量是（    ） A．， B．， C． D．，， 【变式1-3】（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列说法正确的是（   ） A．在圆的面积公式中，常量是、，变量是 B．加工个零件，工作效率与时间之间的关系式是，、都是变量 C．以固定的速度向上抛一个小球，小球的高度与小球运动的时间（）之间的关系式是，常量是，变量是、 D．在匀速运动公式中，常量是，变量是、 【变式1-4】（22-23七年级下·广东河源·期中）对于球体的体积公式，下列说法中正确的是（　　） A．π是变量 B．是常量 C．V，π，R都是变量 D．V，R是变量 考点2 利用变量的意义识别自变量与因变量 【例2】（23-24七年级下·山东青岛·期中）用一定长度的铁丝围成一个长方形，则有下列说法： ①长方形的长和宽是两个变量； ②长方形的周长是自变量时，它的宽是因变量； ③长方形的长是自变量时，它的宽是因变量； ④长方形的宽是自变量时，它的长是因变量； ⑤长方形的长是自变量时，它的面积是因变量． 其中正确的说法有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-1】（23-24七年级下·广东梅州·期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量是（    ） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 【变式2-2】（23-24七年级下·广东河源·期中）利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　） A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 【变式2-3】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【变式2-4】（2024·贵州·一模）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭在我国海南文昌航天发射场点火发射．在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是（    ） A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度 C．燃料的体积 D．火箭的质量 考点3 利用函数的定义识别函数 【例3】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列图象中，能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）如图所示的曲线中，不能表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）下列关系中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级下·四川南充·期中）已知；；；以上各式中，是的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-4】（23-24八年级下·北京·期中）下列式子：①②③④⑤其中y是x的函数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点4 用列表法表示函数关系 【例4】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）某路公交车每月有x人次乘坐，每月的收入为y元，每人次乘坐的票价相同，下面的表格是y与x的部分数据： x/人次 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y/元 1000 2000 ____ 4000 5000 6000 … (1)表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请将表格补充完整； (3)若该路公交车每月的支出费用为4000元，如果该路公交车每月的利润要达到10000元，则每月乘坐该路公交车要达到多少人次？（利润＝收入－支出费用） 【变式4-1】（23-24七年级下·河南周口·期中）2024年春节档电影《热辣滚烫》激励和鼓舞了不少人，甚至带动了一波拳击和健身热潮．小伟每天在健身房的跑步机上跑步，他跑步的时间和路程的变化情况如下表： 时间 10 20 30 40 50 60 路程 3.6 5.4 9 (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)请将上述表格补充完整； (3)根据表中的数据，请你简单说一说小伟跑步的路程是怎样随着时间的变化而变化的． 【变式4-2】（23-24七年级下·陕西·期中）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，回答下面问题： 放水时间（分钟） 1 2 3 4 5 … 水池中水量 48 46 __ 42 40 … (1)如图所示，将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，水池中水量是随放水时间的增长而怎样变化的？ (3)当放水时间为7分钟时，水池中水量是多少立方米？ 【变式4-3】（23-24八年级下·河北邢台·期中）在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 20 22 24 26 28 30 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？ (2)不挂重物时，弹簧长是多少？ 【变式4-4】（23-24七年级下·全国·课后作业）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表： T 100 150 200 250 300 350 K 0.15 0.20 0.25 0.35 (1)补全表格； (2)在这个过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (3)当该材料导热率为时，温度为多少？ 考点5 用解析式法表示函数关系 【例5】（23-24八年级下·内蒙古通辽·期末）某农场要建一个如图所示的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长26m），另三边用木栏围成，木栏长40m，并且要留一个1m宽的小门（小门用其它材料）．若这个长方形鸡场垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为ym，则y随x的变化而变化．    (1)在这个问题中，自变量是______，因变量是______； (2)写出y与x的关系式； (3)老板想建一个垂直于墙的边长为7m长方形鸡场，通过计算判断是否合理？ 【变式5-1】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温t（）之间有下面的关系． 海拔高度h/千米 0 1 2 3 气温 20 14 8 2 (1)随着海拔高度的升高，气温 （填“升高”或“下降”），因此自变量是 ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并画出这些点所在的直线； (3)求气温t关于海拔高度h的函数解析式； (4)若该地某处的气温为，求该处的海拔高度． 【变式5-2】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）一台收割机在开始工作前，油箱中有柴油L，开始工作后，每小时耗油L． (1)写出油箱中的剩余油量W（L）与工作时间t（h）之间的关系式，并指出其中的自变量和因变量； (2)当工作时间为时，油箱内剩余的油量为多少？ 【变式5-3】（23-24七年级下·四川成都·期中）科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【变式5-4】（23-24七年级下·江西抚州·期中）如图，在中，已知，边，，点P为边上一点，当动点P沿从点C向点B运动时，的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是_______________；因变量是_______________； (2)如果设长为，的面积为，则y与x的关系可表示为_______________； (3)当点P从点D（D为的中点）运动到点B时，则的面积从____变到_____ (4)如果设长为，的面积为，则S与x的关系可表示为________________． 考点6 求自变量的取值范围 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 【变式6-1】（2024·湖南·模拟预测）已知等腰三角形的周长为18，设腰长为x，底边长为y． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求自变量x的取值范围． 【变式6-2】（22-23八年级下·福建厦门·期中）已知点及在第一象限的动点，且，设的面积为． (1)求关于的函数关系式： (2)求的取值范围． 【变式6-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）小明和父母一起开车到离家200km的景点旅游，出发前，轿车油箱内储油45L，当行驶了150km时，发现油箱剩余油量为30L（假设行驶过程中该轿车的耗油量是均匀的）． (1)这个变化过程中哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)写出行驶路程与剩余油量的关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)当时，求剩余油量Q的值． 【变式6-4】（22-23八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在一个长为10cm，宽为6cm的长方形的四个角处，都剪去一个大小相等的正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)请写出图中阴影部分的面积与小正方形的边长x（cm）之间的函数关系式； (2)写出自变量x的取值范围； (3)当小正方形的边长为2cm时，图中阴影部分的面积为多少？ 考点7 根据函数表达式求函数值 【例7】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【变式7-1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法计算每户家庭的水费．月用水量不超过5吨，按每吨2元计算；超过5吨时，超过部分按每吨3.5元计算．设每户每月用水量x（吨）时，应交水费y（元）． (1)分别写出每月用水量不超过5吨和超过5吨时，y与x之间的关系式． (2)若某户居民每月用水3.5吨，应交水费多少元？若某月交水费17元，该户居民用水多少吨？ 【变式7-2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的圆环（阴影）面积也随之发生变化．（结果保留） (1)求剩下的圆环（阴影）的面积与小圆的半径的关系式； (2)当挖去小圆的半径为时，剩下的圆环（阴影）面积为多少？ 【变式7-3】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度值．右边是用华氏温度表示的温度值，华氏温度值与摄氏温度值之间的关系式为．求当摄氏温度为，，时华氏温度的值． 【变式7-4】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知一块边长为的正方形草地． (1)如图1，先将正方形草地的一条边减少（），再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则 _____（填“是”或“不是”）关于x的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为． ①写出y与x之间的函数关系式； ②当时，求y的值． 考点8 利用函数表达式表示实际问题中的数量关系 【例8】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知，点C是线段上的一个动点（不与点A、B重合），以 为边，在的上方作正方形，设，正方形的周长为y，求y与x之间的关系式，及当时，y的值． 【变式8-1】（23-24七年级下·江西九江·期末）一只装工艺品的木制框质量为，当放满一些工艺品（每个工艺品的质量相同）后，木制框和工艺品的总质量为． (1)填表： 0 5 10 15 25 总质量 2 4.3 8.9 (2)设工艺品数是个，木制框和工艺品总质量为，则与的关系式是 ； (3)请问这只木制料框内装了多少个工艺品． 【变式8-2】（23-24七年级下·四川达州·期中）某型号签字笔每支2.5元，小涵同学拿100元钱去购买了支该型号的签字笔，则所剩余的钱y（元）与x（支）的关系式是 ． 【变式8-3】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）清明假期，刘老师乘车从学校到井冈山观赏映山红，缅怀革命先烈．已知学校距离井冈山，车行驶的平均速度为，小时后刘老师距井冈山，则与之间的函数关系式（无需写出的取值范围）为 ． 【变式8-4】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）某出租车的收费标准是：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米，每增加1千米加收2元，则路程为时，车费y（元）与路程x（千米）之间的关系式为： ． 考点9 利用函数表达式表示几何中的函数关系 【例9】（23-24八年级下·广东广州·期中）周长为的长方形，若它的一边是，面积是．用含x的式子表示S为 ． 【变式9-1】（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，三角形的高，，点在边上，连接．若的长为，三角形的面积为，则与之间的关系式为 ． 【变式9-2】（22-23八年级下·辽宁大连·期中）正方形边长为9，若边长增加x，则面积增加y，y与x之间的关系式为 ． 【变式9-3】（22-23七年级下·四川成都·期末）张大爷要围成一个长方形花园，花园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为26米，要围成的菜园是如图所示的长方形，设边的长为米，边的长为米，则与的关系式是 ．（不需要写自变量取值范围）    【变式9-4】（23-24七年级下·陕西渭南·期中）一个圆的半径为，它的半径增加后，圆的面积增加 (1)这个圆的面积增加量)与半径增加量之间的关系式是什么？ (2)当这个圆的半径增加量x从变化到时(每次增加)，这个圆的面积增加量γ从 变化到 ． 考点10 函数的图象 【例10】（23-24七年级下·陕西西安·期末）某天小明去上学，先步行一段路后改骑单车，结果到校时还是迟到了2分钟，其离家的路程y（单位：）与出行的时间x（单位：）变化的关系如图．若他出门时直接骑单车（车速不变），则他（    ） A．仍会迟到3分钟到校 B．刚好按时到校 C．可以提前8分钟到校 D．可以提前2分钟到校 【变式10-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y(米)与行驶时间x(分)之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．甲每分钟走100米 B．两分钟后乙每分钟走50米 C．当或6时，甲乙两人相距100米 D．甲比乙提前1.5分钟到达B地 【变式10-2】（23-24八年级下·四川泸州·期末）小林从家里出发，先跑步去体育馆锻炼，锻炼了之后步行到超市买水，最后散步回家．如图描述了小林在路途过程中离家的距离与所花的时间x（）之间的函数关系，根据图象，下列信息正确是（  ） A．体育馆离小林家 B．小林在体育馆锻炼了 C．超市比体育馆离小林家距离更远 D．小林在超市买水花了 【变式10-3】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）某湖边公园有一条笔直的健步道，甲、乙两人从起点同方向匀速步行，先到终点的人在终点休息．已知甲先出发6分钟，在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为75米/分钟；②起点到终点的距离为5940米；③甲走完全程用了78分钟；④乙步行的速度为90米/分钟；⑤图中m的值为36． 则以上结论一定正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【变式10-4】（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 考点11 用图象表示函数关系 【例11】（23-24八年级下·山西临汾·期中）小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24七年级下·山东青岛·期中）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A．   B．   C．   D．   【变式11-2】（2024八年级·全国·竞赛）晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间（分钟）之间的关系的是（    ）． A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24七年级上·湖北武汉·开学考试）睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（    ） A．     B．   C．   D．   【变式11-4】（23-24七年级下·重庆·期末）小南准备观察液体中的扩散现象，他先用水管匀速在空脸盆内注满水，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开．为了验证墨水扩散速度与水的运动有关，小南在脸盆底部扎了一个口匀速放水．在整个过程中，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是（    ） A． B． C． D． 考点12 用描点法画函数的图象 【例12】（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【变式12-1】（2024·浙江·三模）欲建一个容积恒定，底面为正方形的无盖长方体蓄水池．设底面正方形的边长为（单位：），蓄水池的深度为（单位：），当时，． (1)①求蓄水池的容积； ②求关于的函数解析式，并画出函数图象； ③若要求蓄水池深度满足，求的取值范围． (2)现要在蓄水池内的底部与侧壁上贴瓷砖．请根据函数学习经验，探索取何值时，所需瓷砖面积最小？（结果精确到） 【变式12-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式－画函数图象－利用函数图象研究函数性质－利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；    (2)观察图象，发现： ①当________时，y随x的增大而________（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为________； (3)函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当时，x的取值范围是________________． 【变式12-3】（23-24八年级下·广西南宁·期中）为探究函数的图象和性质，下面是小明同学的探究过程，请补充完整． 0 1 2 3 4 3 2 1 0 m 2 3 (1)表格为与的几组对应值．m的值：_____． (2)如图，在平面直角坐标系中，先描出上表中所有对应值的点，然后画出该函数的图象． (3)观察图象，写出函数的一条性质． 【变式12-4】（23-24七年级上·山东威海·期末）结合一次函数的学习经验，探究函数：的图像和性质，请完善下面的研究过程． (1)自变量的取值范围为______； (2)化简函数解析式： ①当时，______； ②当时______； ③当时______； (3)请在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像； (4)若关于的方程：有两个解，请直接写出的取值范围是______． 考点13 利用函数图像上点的坐标与函数表达式的关系求字母值 【例13】（2024·浙江台州·二模）已知函数，当，时，所对应的函数值分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24八年级下·福建泉州·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是8和1时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 【变式13-2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（2024八年级下·全国·专题练习）用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为和7时，输出y的值相等，则b的值是（    ） A． B． C．4 D．2 【变式13-4】（22-23七年级下·河南鹤壁·期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 考点14 函数三种表示方法之间的转化 【例14】（22-23七年级下·河南平顶山·期中）我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 【变式14-1】（2023·河南郑州·二模）生命在于运动．体育运动伴随着我们每一天，科学的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心．但与此同时我们也可以看到，因为不遵循运动规律而导致身体损伤的事情时有发生，我们越来越重视科学运动．衡量科学运动的重要指标之一就是心率．研究发现，运动过程中影响心率的主要因素有年龄、性别、运动强度、运动时间、运动类型、运动项目、情绪等．数学兴趣小组在分析了以上因素后，用统计和函数的知识，深入研究了在慢跑和跳绳过程中，心率与时间的关系如下表： 实验运动时间x（秒） 慢跑平均心率y1（次/秒） 跳绳平均心率y2（次/秒） 0 83 83 10 103 110 20 111 121 30 121 127 40 128 134 50 133 140 60 141 143 70 142 154 80 146 155 90 150 161 100 156 167 110 156 166 120 153 165 130 153 174 140 160 173 150 160 177 160 160 179 170 155 177 180 160 178 计算机将慢跑时的平均心率与跳绳时的平均心率与时间的关系拟合成一次函数的图象如图1：      计算机将慢跑时的平均心率与时间的关系拟合成的另一种函数的图象如图2： (1)根据图1中的信息，你发现在哪项运动中心率随时间的变化更快？请说明理由； (2)甲同学慢跑运动后的心率为158次/分，根据图1中的信息请你估算甲同学运动的时间； (3)有同学认为，计算机将慢跑时的平均心率与时间的关系拟合成的一次函数关系与实际的测量结果误差比较大，所以又借助计算机将其拟合为另一种函数关系，如图2，请你根据实际情况说明他的分析是否合理？并说明理由． 【变式14-2】（22-23八年级·全国·假期作业）科学家研究发现，声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x(℃)有关．当气温是0℃时，音速是331米/秒；当气温是5℃时，音速是334米/秒；当气温是10℃时，音速是337米/秒；当气温是15℃时，音速是340米/秒；当气温是20℃时，音速是343米/秒；当气温是25℃时，音速是346米/秒；当气温是30℃时，音速是349米/秒． (1)请你用表格表示气温与音速之间的关系． (2)表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量? (3)当气温是35℃时，估计音速y可能是多少? (4)能否用一个式子来表示两个变量之间的关系? 【变式14-3】（22-23八年级下·全国·课后作业）用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数． 【变式14-4】（22-23八年级下·山东临沂·期末）下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成： （1）当x≥3时， ，当x＜3时， ； （2）画出该函数的图像； 列表： x … … y … … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质． 考点15 利用数形结合法与函数解几何问题 【例15】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长为，宽为的长方形四个角上，分别剪去四个全等的等腰直角三角形，当三角形的直角边的长度变化时，阴影部分的面积也随之发生变化． 设剪去的每个三角形的直角边长为，阴影部分的面积为．如下表： 三角形的直角边长 1 2 3.2 4.5 … 阴影部分的面积 318 299.52 279.5 … (1)表中的数据 ； (2)当等腰直角三角形的直角边长由4.5增加到7时，阴影部分的面积 （填增大或减少） ． (3)写出与的关系式： ． (4)阴影部分面积可以达到吗？请说明理由． 【变式15-1】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象． (1)直接写出 ， ， ； (2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式； (3)直接写出，当点出发多少秒后，． 【变式15-2】（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设． 通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整： (1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下： 0 1 2 3 4 5 6                               （说明：补全表格时相关数值保留一位小数）； (2)自变量x的取值范围是_______； (3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： (4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）． 【变式15-3】（2024·江西上饶·二模）如图（1），点分别是菱形的边上的动点，且的长为定值，小杰同学根据学习函数的经验，对的周长进行了探究，下面是小杰的探究过程．       (1)对于点在不同位置时，利用数学作图软件进行度量，得到了线段，的长度和的周长的几组对应值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 0.00 1.07 2.00 2.50 2.99 3.99 5.00 6.00 5.35 4.90 4.72 4.59 4.48 4.91 4.91 4.51 4.60 4.74 5.11 5.55 6.00 的周长 15.86 15.41 15.32 15.33 15.59 16.14 16.91 请补全表格，并回答问题： ①的固定值是多少； ②在线段的长度这三个量中，______的长度是自变量，的周长是这个自变量的函数． (2)在图（2）中的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的大致图象． (3)解决问题：的周长的最小值约为______．（结果保留一位小数） 【变式15-4】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，在中，于点，动点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积随时间的变化图像．    (1)填写图2中数据：______，______，______，______； (2)当点D在线段BC上时，写出S与的关系式：______； (3)当为何值时，？ 考点16 正比例函数的图象与性质 【例16】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列关于正比例函数的结论中，正确的是（    ） A．当时，函数值为2 B．随的增大而增大 C．它的图象经过一、三象限 D．它的图象一定不经过点 【变式16-1】（23-24八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，请用“”表示，，的不等关系 ． 【变式16-2】（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）正方形的周长与边长之间的函数关系图象是（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）已知点，，都在正比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式16-4】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点17 利用正比例函数的定义和性质求函数关系式 【例17】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数，且当时，． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)画出这个正比例函数的图像． 【变式17-1】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数． (1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 【变式17-2】（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【变式17-3】（23-24八年级下·河南安阳·期中）已知是正比例函数． (1)求k的值和函数解析式； (2)当时，x应满足的条件． 【变式17-4】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知与成正比例，当时，. (1)求与的函数表达式； (2)试判断点是否在（1）中的函数图像上，请说明理由. 考点18 利用正比例函数的图象和性质解与几何相关的问题 【例18】（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，若正比例函数图象与四条直线相交围成的长方形有公共点，则k的取值范围是 ． 【变式18-1】（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中有，两点，将沿x轴向右平移后得到，点B的对应点F在直线上，则点D的坐标为 ． 【变式18-2】（22-23九年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 【变式18-3】（2020·山东济南·一模）如图，，，，…，都是直角三角形，直角顶点A1，A2，…，An在x轴上，且，，…，，点B1，B2，…，Bn在直线上，已知点A1坐标为（1，0），则点的坐标为 ． 【变式18-4】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图所示，将6×6的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有公共点，则的取值范围是 ．    【专题训练】 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）对于圆的周长公式，下列说法正确的是（　　） A．C是变量，π，d是常量 B．π是变量，C，d是常量 C．C，d是变量，π是常量 D．C，d，π是变量 2．（2024·北京·模拟预测）图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有与旋转时间之间的关系如图②所示．下列说法正确的是（    ） A．变量不是的函数，摩天轮的直径是65米 B．变量不是的函数，摩天轮的直径是70米 C．变量是的函数，摩天轮的直径是65米 D．变量是的函数，摩天轮的直径是70米 3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·内蒙古包头·期中）如图所示，在长方形中，，，P是上的动点，且不与点C，D重合，设，梯形的面积为y，则y与x之间的关系式和自变量的取值范围分别是（    ）    A．； B．； C．； D．； 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知变量x，y之间的关系式为，当时，y的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（重庆市九龙坡区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·重庆长寿·期末）甲骑摩托车从地到地，乙开汽车从地到地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．设甲、乙两人相距为（单位：千米），甲、乙行驶的时间为（单位：小时），与之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发小时时，甲、乙在途中相遇；②甲、乙相距千米时，行驶的时间一定是小时；③出发小时时，甲、乙相距千米；④甲的速度是乙的速度的一半．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 9．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）已知关于x的函数是正比例函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 10．（23-24八年级上·上海长宁·期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是(　　) A． B． 或 C． D． 或 二、填空题 11．（23-24七年级下·重庆·期末）为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如下表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有 人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 12．（2024九年级下·山西·专题练习）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为 ． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图1，动点P从长方形的顶点A出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点C，的面积随运动时间变化的图像如图2所示，则的长是 ．    14．（22-23六年级下·山东泰安·期末）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是 ．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    15．（23-24八年级上·上海普陀·阶段练习）正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 ． 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是 ，最小值是 ． 三、解答题 17．（23-24七年级下·陕西·期中）一辆汽车油箱内有油升，从某地出发，每行驶千米，耗油升，如果设油箱内剩油量为升，行驶路程为千米，则随的变化而变化． (1)写出与的关系式______． (2)这辆汽车行驶千米时剩油多少升？汽车剩油升时，行驶了多少千米？ 18．（23-24八年级下·河南南阳·期中）某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象知， ， ， ； (2)小明乘坐出租车行驶了23千米，那么他应付 元； (3)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请求出y与x之间的关系式； (4)若小明共付车费元，那么出租车共行驶 千米． 19．（23-24八年级上·山西晋中·期中）莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） (1)根据如图所示，将表格补充完整； (2)设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是______． (3)求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 20．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）某玩具公司对一款长90厘米的玩具火车做性能测试．现有一斜坡轨道，如图玩具火车从A点匀速出发，途中玩具火车头经过测速点2秒后，火车的尾部也经过测速点．火车头到达B点时火车停留了2秒，然后进行倒车测试，火车匀速倒回点A运动停止．设运动时间为t秒，车尾离A的距离为m厘米，车头离B的距离为n厘米，记，已知火车从A向B运动过程中，和的时候与之对应的y的值互为相反数．火车从点A出发到倒回到点A，整个过程总用时36秒（含停留时间）． (1)火车从A向B运动的速度为_______厘米/秒； (2)轨道的长为________厘米； (3)求火车倒回过程中y与t的函数表达式； (4)在整个过程中，若，求t的值． 21．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 22．（23-24八年级下·吉林·期中）已知关于x的正比例函数． (1)已知点在该正比例函数的图象上，求m的值； (2)在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$