专题01 平面直角坐标系-【知识大通关】2024-2025学年八年级数学上册核心题型与考点过关讲练测（沪科版）

专题01 平面直角坐标系 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 平面直角坐标系 1、坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 2、平面直角坐标系： （1）定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. （2）相关概念：水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点为原点.如图11.1—1. 【注意】1、平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直. 2、一般情况下两条数轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同. 知识点2 点的坐标 1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点，过点作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为，过点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为，则有序实数对叫做点的坐标，其中叫做横坐标，叫做纵坐标. 【注意】1、在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； 2、点的坐标是有序实数对，和虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置不同.当时，这两个坐标表示的是两个不用的点； 3、已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置. 2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： （1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应； （2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应. 知识点3 平面直角坐标系中各区域的点的坐标 1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 图11.1—2 【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改； 2、坐标原点既在轴上，又在轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点． 2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征． 点所处的位置 坐标特征 象限内的点 点在第一象限 点在第二象限 点在第三象限 点在第四象限 坐标轴上的点 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 知识点4 特殊位置的点的坐标特征 1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等； （2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数． 2、平行于轴、轴的直线上的点的坐标特征： 图11.1—3 如图11.1—3所示，直线 // 轴，直线直线 // 轴，因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的横坐标都相等且不为0. 3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值； 若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 【注意】1、若AB//轴，则，的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0 ，即， ；反之，若，，且，，则AB//轴； 2、若//轴，则，的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等， 即，；反之，若，，，则 //轴. 知识点5 用坐标表示点的平移 1、 点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化. 2、 点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即: 【注意】1、将点左右平移，纵坐标不变； 2、将点上下平移，横坐标不变； 3、点的平移遵循 上加下减，右加左减. 知识点6 用点的坐标表示图形的平移 1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 【注意】 图形在坐标平面中平移变换的实质： 1、 图形的位置及表示位置的坐标发生变化； 2、图形的性质、大小、方向不变. 2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系： （1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况； （2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况. 【注意】1、图形的平移首先应转化为图形顶点的平移，再按照点的平移规律进行平移； 2、一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 【考点精讲】 考点1 在平面上确定点的位置 【例1】（23-24七年级下·山西大同·期中）如图是一个教室的平面示意图，把小强的作为“第2列第4排”记为．若小华的座位为，则下列四个座位中，与小华的座位相邻的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，W对应的有序实数对为，有一个英文单词的字母，按顺序对应图中的有序实数对，分别为，则这个英文单词为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级上·云南昆明·期中）一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（　　）    A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24八年级上·广东清远·期末）如图是某学校的平面示意图，下列表示科技楼位置正确的是（    ） A．区 B．区 C．区 D．区 考点2 平面直角坐标系的定义识别 【例2】（2024七年级下·云南·专题练习）下列平面直角坐标系中，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-1】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）“猫在老鼠南偏西方向50米处”与这句话对应的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23八年级上·广西百色·期中）在图中，所画的平面直角坐标系正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是(     ) A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的 B．平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的 C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的 D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同 【变式2-4】（22-23七年级·全国·课后作业）下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是(  ) A． B． C． D． 考点3 利用点的坐标的定义读点的坐标 【例3】（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中有A，B，C，D，E五个点，写出这五个点的坐标． 【变式3-1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图是某野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系； (2)分别写出“百虎山”“熊猫乐园”的坐标． 【变式3-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图所示是一所学校的平面示意图，如果图书馆的坐标为； (1)请在方格纸中建立符合题意的平面直角坐标系； (2)分别写出教学楼、校门、旗杆、实验楼的坐标． 【变式3-3】（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为____________的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系； (3)校门在第____________象限；图书馆的坐标是____________；操场的坐标是____________． (4)若宿舍楼的坐标是，并在图上标出来． 【变式3-4】（23-24七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点A，B的坐标分别为________，________． (2)作出点． (3)在（2）的条件下，D为y轴左侧一点，且，，则点D的坐标为________． 考点4 已知点的坐标在平面直角坐标系中描点 【例4】（23-24七年级下·全国·假期作业）在平面直角坐标系中描出下列各点：． (1)连接，写出它们的中点坐标； (2)将上述中点横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？写出你的发现． 【变式4-1】（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：．依次连接各点，观察得到的图形，你觉得它像什么? 【变式4-2】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图 (1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，P的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，，． 【变式4-3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点，并写出各点所在的象限或坐标轴．． 【变式4-4】（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知平面直角坐标系． (1)在图中描出点，，． (2)写出图中点E，G的坐标． 考点5 利用点到坐标轴的距离确定点的坐标 【例5】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，在第一象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，那么点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-2】（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）若点P在第二象限，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，则P点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24七年级下·云南昭通·期中）平面直角坐标系内点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4．点A的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，点P是第三象限内的点，它到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 考点6 利用点的位置特征求字母的值（取值范围） 【例6】（23-24七年级下·江西宜春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)若点，且直线轴，求线段MN的长． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建漳州·期末）已知点在第一象限，且到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【变式6-2】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点的坐标为． (1)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为，求点的坐标； (2)若点的位置在轴的左侧，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【变式6-3】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在同一平面直角坐标系内有、两点．点在第二象限，且到轴的距离为，到轴的距离为；点在第三象限． (1)直接写出点的坐标； (2)求的取值范围； (3)连接，且垂直于轴，求点的坐标． 【变式6-4】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数）．例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求t的取值范围． 考点7 利用特殊位置点的坐标特征求值 【例7】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知在y轴负半轴上，直线轴，且线段长度为4． (1)求点M的坐标； (2)求的值； (3)求N点坐标． 【变式7-1】（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求+的值． 【变式7-2】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知点的坐标满足方程组，点P在第三象限． (1)请用含a的代表式表示x； (2)请求出a的取值范围． 【变式7-3】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标： (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y 轴的距离相等，求的值． 【变式7-4】（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标 (1)点在轴上． (2)到轴的距离为3，且在第四象限． (3)在第一、三象限角平分线上． (4)点在第一象限，则的取值范围． 考点8 利用坐标系解决几何图形的定点坐标问题 【例8】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图．在梯形ABCD中，．在原图中建立适当的直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 【变式8-1】（22-23八年级上·全国·课后作业）已知长方形的长为2，宽为1．以所在的直线为x轴，的中点为原点，建立直角坐标系，如图．求长方形各个顶点的坐标． 【变式8-2】（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，正方形经平移后得到，点A的对应点为． (1)请在平面直角坐标系内画出正方形； (2)若点在正方形内（不包含边界），求a的取值范围． 【变式8-3】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A、B、C三点，其中点A坐标为． (1)请根据点A的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系； (2)直接写出点B、C坐标； (3)点F是y轴上一点，连结，，，，，若的面积等于的面积，则点F的坐标为__________． 【变式8-4】（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)__________，__________，点的坐标为__________； (2)当点运动4秒时，求出点的坐标； (3)在运动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，求点运动的时间； (4)已知点在轴上，且三角形的面积为4，求点的坐标． 考点9 利用等积法求平面直角坐标系中点的坐标 【例9】（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． (3)在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-1】（2024七年级下·江苏·专题练习）已知，点，， (1)在坐标系中描出点、点、点，把向左平移3个单位得到△，画出△； (2)已知点在轴上，以、、为顶点的三角形与△的面积相等，求点的坐标． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知平面直角坐标系中，． (1)在坐标系中描出各点，并画出三角形 (2)求三角形的面积； (3)若点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标． 【变式9-3】（23-24七年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式9-4】（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知三角形的三个顶点的坐标分别是，现将三角形先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形．（点A对应点，点对应点，点对应点）．    (1)在图中画出三角形； (2)点D的坐标为_________．与的关系是_________； (3)若y轴上有一点P，使三角形是三角形面积的2倍，请直接写出点P的坐标． 考点10 利用割补法求平面直角坐标系中不规则图形的面积 【例10】（23-24七年级下·河南濮阳·期中）2009年是执行法定节日的第一年，法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们可以用坐标法来表示这些节日：如元旦1月1日用表示；清明节4月4日用表示；端午节5月初5用表示． (1)请用坐标法表示出中秋节（ ）；国庆节（ ）； (2)依次连接，在给出的坐标系中画出来，并求出所画图形的面积． 【变式10-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C，．    (1)点A，B，C的坐标分别为______，______，______； (2)点D在第______象限，画出点D并按从点的顺序用线段连接各点，画出四边形； (3)求四边形的面积． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积． 【变式10-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积． 【变式10-4】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 考点11 利用找规律法求运动中点的坐标 【例11】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【变式11-1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【变式11-2】（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律： ，，，，，…． 【归纳·应用】 (1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______； (2)若点的坐标为，求n的值． 【变式11-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 【变式11-4】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 考点12 点在坐标系中的平移 【例12】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知：，，．    (1)在坐标系中描出各点，画出三角形； (2)将三角形向左平移3个单位长度，得到三角形，画出三角形，并写出、、三点的坐标． 【变式12-1】（22-23八年级下·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024·浙江丽水·二模）在平面直角坐标系中，将点沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，若点N的横、纵坐标相等，则a的值是（    ） A．9 B．5 C．3 D． 【变式12-3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式12-4】（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知 ， ，将线段平移后得到线段，若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 考点13 图形在坐标系中的平移 【例13】（23-24七年级下·广西河池·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【变式13-1】（2024七年级下·全国·专题练习）三个顶点的坐标分别为，将平移到了，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式13-2】（22-23八年级下·河南平顶山·期末）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（    ）      A．4 B． C．2 D． 【变式13-3】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式13-4】（23-24七年级下·江西南昌·期中）线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点，则点的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点14 利用平移坐标系比较其坐标变化规律 【例14】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点M从开始移动，规律为：第1次平移后得到点，第2次平移后得到点，第3次平移后得到点，第4次平移后得到点……那么第20次平移后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式14-4】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．若点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，其中，按甲方式移动了m次，则（    ） A． B． C． D．30 考点15 利用坐标的变化确定平移方式 【例15】（23-24七年级下·广东汕头·期中）将平移得到，若已知对应点和，则的对应点B1的坐标为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式15-1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，点的坐标为，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【变式15-2】（23-24九年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，将线段平移后得到线段，点A、B的对应点分别是点、． 若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式15-3】（21-22七年级下·河南商丘·期中）如图：，若将线段平移至，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D．10 【变式15-4】（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，将线段平移后得到线段，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，则的值为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．11 考点16 利用图形平移的坐标变化求其覆盖坐标平面的面积 【例16】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系，线段的两个端点坐标依次为，将线段向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到对应线段，则四边形的面积为（    ） A．7.5 B．10.5 C．15 D．18 【变式16-1】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任意一点在平移后的对应点为，其中． （1）若点C与点B恰好重合，则 ， ． （2）若，且平移后三角形的面积最大，则此时 ． 【变式16-2】（23-24七年级下·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，线段CD是由线段AB平移所得，已知，则下列4个结论中，正确的有 ．（填序号） 1 ；②；③四边形ABCD的面积为10；④点D坐标为． 【变式16-3】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，连结、，得到平行四边形．则平行四边形的面积为 ． 【变式16-4】（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将向下平移2个单位长度得到，与x轴交于点G，，则阴影部分面积是 ．      考点17 利用平移建立坐标系确定点的坐标 【例17】（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，把微信表情中“笑脸”放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标为，现将该“笑脸”向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（23-24七年级下·广西防城港·期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（23-24七年级下·重庆·期中）如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（    ） 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ， 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． A． B． C． D． 【变式17-4】（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）北京2022年冬奥会吉祥物冰墩墩火了！如图，把冰墩墩放在单位长度为1的网格中，它的两只眼睛在格点上，已知右眼B的坐标是，现将此冰墩墩向左平移6个单位后，再向下平移1个单位，则左眼A平移后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【专题训练】 一、单选题 1．（23-24八年级下·重庆万州·期末）已知点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）根据下列表述，不能确定具体位置的是（    ） A．青县众视影城1号厅的3排4座 B．青县清州镇新华西路226号 C．某灯塔南偏西方向 D．东经，北纬 3．（23-24七年级下·重庆江津·期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（    ） A．向右平移了3个单位长度 B．向左平移了3个单位长度 5．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（    ）    A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 6．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点的坐标分别为，．现将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 8．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 二、填空题 9．（23-24七年级下·云南·期末）在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点，我们称为“整点”；点在第四象限上，且是整点，则的坐标是 ． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）点到轴的距离为4个单位长度，到轴的距离为3个单位长度，则点的坐标为 ． 11．（21-22七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中， (1)已知点在轴上，则点的坐标为 ． (2)已知两点，，若轴，点在第一象限，且线段的长度是，则以点、、为顶点的三角形的面积为 ． 12．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，已知点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，则的坐标为 ，的横坐标为 ，按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ．    三、解答题 13．（23-24七年级下·青海果洛·期中）如图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列这个游乐设施的位置：跷跷板______； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来． 14．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中、、、四点的坐标分别为，，，． (1)在平面直角坐标系中描出各点，并画出四边形． (2)网格中每个小正方形的边长均为1，求四边形的面积． 15．（23-24七年级下·河南焦作·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，途中“鱼”的各个顶点都在格点上． (1)把“鱼”先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (2)写出A、B、C三个点平移后的对应点、、的坐标． 16．（21-22七年级下·天津宝坻·期末）已知点，，． (1)在平面直角坐标系中描出A，B，C三点； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 17．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标： ， ， ； (2)若点是内部一点，平移后对应点的坐标为，求和的值； (3)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系 【核心知识】 【考点速览】 【知识串讲】 知识点1 平面直角坐标系 1、坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标. 2、平面直角坐标系： （1）定义：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. （2）相关概念：水平的数轴叫做轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做轴或纵轴，取向上为正方向，两轴交点为原点.如图11.1—1. 【注意】1、平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直. 2、一般情况下两条数轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同. 知识点2 点的坐标 1、点的坐标定义：若平面直角坐标系中有一点，过点作横坐标的垂线，垂足在横轴上表示的数为，过点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为，则有序实数对叫做点的坐标，其中叫做横坐标，叫做纵坐标. 【注意】1、在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； 2、点的坐标是有序实数对，和虽然数字相同，但由于顺序不同，表示的位置不同.当时，这两个坐标表示的是两个不用的点； 3、已知点的位置可以读出点的坐标，反之已知点的坐标可以在平面直角坐标系中标出点的位置. 2、平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系： （1）坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（点的坐标）与它对应； （2）任意一个有序实数对（点的坐标）在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应. 知识点3 平面直角坐标系中各区域的点的坐标 1、象限的划分：如图11.1—2，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，III，IV四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 图11.1—2 【注意】1、象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，各象限的名称是一种规定，不能随意更改； 2、坐标原点既在轴上，又在轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点． 2、平面直角坐标系中个区域的点的坐标特征． 点所处的位置 坐标特征 象限内的点 点在第一象限 点在第二象限 点在第三象限 点在第四象限 坐标轴上的点 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 点在轴上 在轴正半轴上： 在轴负半轴上： 知识点4 特殊位置的点的坐标特征 1、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征： （1）第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等； （2）第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数． 2、平行于轴、轴的直线上的点的坐标特征： 图11.1—3 如图11.1—3所示，直线 // 轴，直线直线 // 轴，因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的纵坐标都相等且不为0；因为由上的任意一点向轴作垂线，垂足都是同一个点（不与原点重合），所以上的所有点的横坐标都相等且不为0. 3、若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值； 若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 【注意】1、若AB//轴，则，的横坐标不相等，纵坐标相等且不为0 ，即， ；反之，若，，且，，则AB//轴； 2、若//轴，则，的横坐标相等且不为0，纵坐标不相等， 即，；反之，若，，，则 //轴. 知识点5 用坐标表示点的平移 1、 点在坐标系中的平移：在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化. 2、 点的平移与坐标变化的关系：根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即: 【注意】1、将点左右平移，纵坐标不变； 2、将点上下平移，横坐标不变； 3、点的平移遵循 上加下减，右加左减. 知识点6 用点的坐标表示图形的平移 1、图形在坐标平面中的平移：是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 【注意】 图形在坐标平面中平移变换的实质： 1、 图形的位置及表示位置的坐标发生变化； 2、图形的性质、大小、方向不变. 2、图形的平移与图形上各点的坐标变化的关系： （1）因为图形的平移是图形的整体平移，所以已知图形的平移情况，即可得到图形上个点坐标的变化情况； （2）平移时，因为图形上各点的变化情况相同，所以已知图形上某点的坐标变化情况，即可知道图形的平移情况. 【注意】1、图形的平移首先应转化为图形顶点的平移，再按照点的平移规律进行平移； 2、一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到. 【考点精讲】 考点1 在平面上确定点的位置 【例1】（23-24七年级下·山西大同·期中）如图是一个教室的平面示意图，把小强的作为“第2列第4排”记为．若小华的座位为，则下列四个座位中，与小华的座位相邻的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，关键是根据有序数对表示点的位置，根据点的坐标确定位置． 根据小华的座位为，结合四个选项中的座位坐标，判断四个选项中与其相邻的座位，即可得出答案． 【详解】解：∵小华的座位为， ∴与小华的座位相邻的是， 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，W对应的有序实数对为，有一个英文单词的字母，按顺序对应图中的有序实数对，分别为，则这个英文单词为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据W对应的有序实数对为，判定对应的字母依次是，判断选择即可，本题考查了有序实数对确定位置，掌握理解有序实数对的应用是解题的关键． 【详解】根据W对应的有序实数对为， 故对应的字母依次是， 故选C． 【变式1-2】（23-24七年级上·云南昆明·期中）一只跳蚤每秒跳一格，起点A处用有序数对表示为，按如图所示的规律一直跳下去，第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标类规律探索，先根据图形找到点的变化规律，再求出周期，即可求解． 【详解】解：由图可得：从起点开始，坐标依次为，，，，，，，，，……， ∴纵坐标的循环周期为8， ， 纵坐标为0， 横坐标每个周期增加4， ∴横坐标为：， 即第2024秒时跳蚤的位置用有序数对表示为， 故选：C． 【变式1-3】（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对（规定列号在前，行号在后）可能是医院的位置（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，根据医院与图书馆、教学楼在同一直线上，结合图形画出经过图书馆、教学楼的直线即可得到答案． 【详解】解：画出过图书馆、教学楼的直线，如图， 所以，点在这条直线上， 故选：D． 【变式1-4】（23-24八年级上·广东清远·期末）如图是某学校的平面示意图，下列表示科技楼位置正确的是（    ） A．区 B．区 C．区 D．区 【答案】C 【分析】本题考查了平面上确定物体的位置，由图可得科技楼位置为区，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：科技楼位置为区， 故选：C． 考点2 平面直角坐标系的定义识别 【例2】（2024七年级下·云南·专题练习）下列平面直角坐标系中，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的定义：在同一平面内画两条有公共原点且互相垂直的数轴．熟记定义是解题关键．根据平面直角坐标系的定义判断即可． 【详解】解：A、是平面直角坐标系，则此项符合题意； B、轴的负半轴不能标0，不是平面直角坐标系，则此项不符合题意； C、轴的数字标错，不是平面直角坐标系，则此项不符合题意； D、轴的负半轴不能标0，不是平面直角坐标系，则此项不符合题意； 故选：A． 【变式2-1】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）“猫在老鼠南偏西方向50米处”与这句话对应的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用方向角与距离表示物体的位置，理解方向角的含义是解本题的关键．根据上北下南，左西右东，确定方向，再根据方向角与距离确定位置即可． 【详解】解：“猫在老鼠南偏西方向50米处”对应的图形是： 故选：A． 【变式2-2】（22-23八年级上·广西百色·期中）在图中，所画的平面直角坐标系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可． 【详解】解：A、原点的位置错误，坐标轴上y的字母位置错误，错误； B、两坐标轴不垂直，错误； C、符号平面直角坐标系的定义，正确； D、x轴和y轴的方向有错误，坐标系无箭头，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系，在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系，解题关键是掌握平面直角坐标系坐标轴的位置． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是(     ) A．平面直角坐标系是由两条互相垂直的直线组成的 B．平面直角坐标系是由两条相交的数轴组成的 C．平面直角坐标系中的点的坐标是唯一确定的 D．在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标相同 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系的定义即可知选项A、B错误；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，可得选项D错误，由此即可解答. 【详解】在平面内两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系，所以选项A、B错误；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应，选项C正确；在平面上的一点的坐标在不同的直角坐标系中的坐标不一定相同，选项D错误. 故选C. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，熟知平面直角坐标系的定义及坐标平面内的点与有序实数对是一一对应是解决问题的关键. 【变式2-4】（22-23七年级·全国·课后作业）下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系的定义判断即可． 【详解】解：A．x轴与y轴不垂直，故本选项不符合题意； B．符合平面直角坐标系的定义，故本选项符合题意； C．x轴的正方向错误，故本选项不符合题意； D．x轴与y轴没有标注正方向，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． 考点3 利用点的坐标的定义读点的坐标 【例3】（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中有A，B，C，D，E五个点，写出这五个点的坐标． 【答案】见解析 【分析】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键，根据点的坐标特点写出即可． 【详解】解：点A的坐标为， 点B的坐标为， 点C的坐标为， 点D的坐标为， 点E的坐标为． 【变式3-1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图是某野生动物世界部分景点的分布示意图，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，并且“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和． (1)根据题意，画出正确的平面直角坐标系； (2)分别写出“百虎山”“熊猫乐园”的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)“百虎山”的坐标为，“熊猫乐园”的坐标为 【分析】本题考查了坐标确定位置． （1）根据题意，“五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和，建立平面直角坐标系，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解： “五彩广场”和“考拉园”的坐标分别是和， 平面直角坐标系如图所示， （2）解：由（1）中所建平面直角坐标系可知， “百虎山”的坐标为，“熊猫乐园”的坐标为． 【变式3-2】（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图所示是一所学校的平面示意图，如果图书馆的坐标为； (1)请在方格纸中建立符合题意的平面直角坐标系； (2)分别写出教学楼、校门、旗杆、实验楼的坐标． 【答案】(1)建立坐标系见解析 (2)教学楼，校门，旗杆，实验楼 【分析】本题考查图形与坐标，涉及由已知点的坐标见平面直角坐标系、由坐标系中点的位置写坐标等，熟记图形与坐标的定义与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题中图书馆的坐标为即可建立平面直角坐标系； （2）由（1）中建立的平面直角坐标系，结合教学楼、校门、旗杆、实验楼的位置即可得到具体坐标． 【详解】（1）解：图书馆的坐标为， 建立坐标系如图所示： （2）解：由（1）中所建坐标系，如图所示： 教学楼，校门，旗杆，实验楼． 【变式3-3】（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是． (1)坐标原点应为____________的位置． (2)在图中画出此平面直角坐标系； (3)校门在第____________象限；图书馆的坐标是____________；操场的坐标是____________． (4)若宿舍楼的坐标是，并在图上标出来． 【答案】(1)高中楼 (2)见解析 (3)四，， (4)见解析 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据初中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （2）由（1）即可得到答案； （3）根据坐标系中的位置即可得到答案， （4）根据坐标系解答即可． 【详解】（1）解：初中楼的坐标是，实验楼的坐标是， ∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处， 即坐标原点应为高中楼的位置， 故答案为：高中楼； （2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示： （3）解：由坐标系可知，校门在第四象限， 图书馆的坐标为， 操场的坐标为， 故答案为：四，，； （4）解：宿舍楼如图所示， 【变式3-4】（23-24七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点A，B的坐标分别为________，________． (2)作出点． (3)在（2）的条件下，D为y轴左侧一点，且，，则点D的坐标为________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系． （1）根据平面直角坐标系即可写出点A，B的坐标； （2）根据平面直角坐标系作出点 （3）根据平面直角坐标系即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为， （2）解： （3）由平面直角坐标系可得 ∵， ∴点D的坐标为 考点4 已知点的坐标在平面直角坐标系中描点 【例4】（23-24七年级下·全国·假期作业）在平面直角坐标系中描出下列各点：． (1)连接，写出它们的中点坐标； (2)将上述中点横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？写出你的发现． 【答案】(1)中点坐标为中点坐标为中点坐标为中点坐标为中点坐标为 (2)中点的横坐标是对应线段两个端点的横坐标和的，中点的纵坐标是对应线段两个端点的纵坐标和的 【分析】先在平面直角坐标系中描出各点，再找出四条线段的中点坐标吗，然后比较中点的横坐标 纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标可得：线段中点的横坐标为线段两端点的横坐标的平均数，线段中点的纵坐标为线段两端点的纵坐标的平均数． 本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住特殊位置点的坐标特征． 【详解】（1）解：如图，线段的中点的坐标为；线段的中点的坐标为；线段的中点的坐标为，线段的中点的坐标为；线段的中点的坐标为； （2）解：由上述中点的横坐标与纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较得到线段中点的横坐标为线段两端点的横坐标的平均数，线段中点的纵坐标为线段两端点的纵坐标的平均数． 即中点的横坐标是对应线段两个端点的横坐标和的，中点的纵坐标是对应线段两个端点的纵坐标和的． 【变式4-1】（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：．依次连接各点，观察得到的图形，你觉得它像什么? 【答案】见解析 【分析】此题考查了已知点坐标描出各点，根据各点坐标，在坐标系中找到各点，再连接即可，正确理解各点坐标确定点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，图形像铅笔 【变式4-2】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图 (1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，P的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，，． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系： （1）根据坐标系中点的位置写出对应点的坐标即可； （2）根据点的坐标在坐标系中描出对应的点即可． 【详解】（1）解：，，， （2）解：如图 【变式4-3】（23-24八年级上·广东梅州·期中）建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点，并写出各点所在的象限或坐标轴．． 【答案】描点见解析，在第一象限；在第一象限；在第二象限；在第三象限；在轴上；在轴上 【分析】本题考查图形与坐标，先将各点在平面直角坐标系中标出，再由各象限及坐标轴上点的坐标特征判定即可得到答案，熟练掌握图形与坐标相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：   ； 在第一象限；在第一象限；在第二象限；在第三象限；在轴上；在轴上． 【变式4-4】（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知平面直角坐标系． (1)在图中描出点，，． (2)写出图中点E，G的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标特点， （1）根据四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可求解； （2）根据四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点A，B，C即为所求． （2）解：点，． 考点5 利用点到坐标轴的距离确定点的坐标 【例5】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，在第一象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为2，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，根据第一象限内点的横坐标是正数，纵坐标是正数以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点在第一象限内， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为正数， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的坐标为， 故选：D． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，那么点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，根据平行于轴的直线上的点纵坐标相同得到，再根据点到轴的距离为横坐标的绝对值得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于轴的直线上， ∴， ∵到轴的距离等于4， ∴， ∴， ∴点的坐标是或， 故选：B． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）若点P在第二象限，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，则P点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查象限内点的符号特征，点到坐标轴的距离，根据第二象限内点的符号为，且点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点P在第二象限，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位， ∴， ∴， ∴P点的坐标是； 故选B． 【变式5-3】（23-24七年级下·云南昭通·期中）平面直角坐标系内点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4．点A的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握“到轴的距离为，到轴的距离为．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 A. 到轴的距离为，到轴的距离，故符合题意； B. 到轴的距离为，到轴的距离，故不符合题意； C. 到轴的距离为，到轴的距离，故不符合题意； D. 到轴的距离为，到轴的距离，故不符合题意； 故选：A． 【变式5-4】（23-24七年级下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，点P是第三象限内的点，它到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：设点P的坐标为， 点在第三象限， ∴，， ∵它到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍， ∴， 即， 则四个选项中符合题意的只有，故C正确． 故选：C． 考点6 利用点的位置特征求字母的值（取值范围） 【例6】（23-24七年级下·江西宜春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)若点，且直线轴，求线段MN的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征. （1）根据点在y轴上横坐标为0求解； （2）根据平行于y轴的点横坐标相等，求出m的值，进而求出M点坐标，从而求出的长． 【详解】（1）解：∵点M在轴上， ∴， ∴； （2）∵轴， ∴点M与点N的横坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（23-24八年级下·福建漳州·期末）已知点在第一象限，且到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，根据到两坐标轴的距离相等列出方程是解题的关键．根据到两坐标轴的距离相等的点的特点解答即可． 【详解】解：点在第一象限，且到轴、轴的距离相等， ， ， ， 点的坐标为． 【变式6-2】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知点的坐标为． (1)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为，求点的坐标； (2)若点的位置在轴的左侧，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点． （1）根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数，且到两坐标轴的距离之和为，列出方程，解方程求出的值即可； （2）先根据点到两坐标轴的距离相等，分别列出方程，求出点的坐标，再根据点的位置在轴的左侧进行判断． 【详解】（1）解：∵点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴或， 解得：或， ∴或， 又∵点的位置在轴的左侧， ∴． 【变式6-3】（23-24八年级下·河北唐山·期中）在同一平面直角坐标系内有、两点．点在第二象限，且到轴的距离为，到轴的距离为；点在第三象限． (1)直接写出点的坐标； (2)求的取值范围； (3)连接，且垂直于轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查点的坐标，坐标与图形，解一元一次不等式； （1）根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，即可求解； （2）根据第三象限点的横，纵坐标都为负，建立一元一次不等式组，解不等式组，即可求解； （3）根据垂直于轴，则的横坐标为，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为1； ∴ （2）依题意， 解得 （3）垂直于轴 ． 【变式6-4】（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）定义“点P的k阶点”：若点P的坐标为，则把坐标为的Q点称为点P的k阶点（其中k为正整数）．例如：点的2阶点为点即． (1)若点的3阶点为点，求点P的坐标； (2)若点的2阶点为点Q，将点Q先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点，点在第一象限，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，以及根据点所在象限求参数等知识，掌握定义“点P的k阶点”是解题的关键． （1）根据定义“点P的3阶点”为点，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据点的2阶点为点Q可得出点Q的坐标，再根据平移的性质得出点的坐标，再根据点在第一象限可得出关于t的一元一次不等组，解不等式组即可得出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意， 解得： ∴点P的坐标为； （2）由题意点Q的坐标为，即， 将点Q先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点， 则点的坐标为， ∵点在第一象限， ∴ 解得：， ∴t的取值范围为． 考点7 利用特殊位置点的坐标特征求值 【例7】（23-24七年级下·山东临沂·期中）已知在y轴负半轴上，直线轴，且线段长度为4． (1)求点M的坐标； (2)求的值； (3)求N点坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键． （1）由点M在y轴负半轴上，可得点M的横坐标等于0，列出关于a的绝对值方程，可解得a的值，则点M的坐标可求得； （2）将（1）中所求得的a的值代入计算即可； （3）由直线轴及点M的坐标，可设，结合线段长度为4，可得关于x的方程，解得x的值，则点N的坐标可得． 【详解】（1）解：在y轴负半轴上， ， 当时，， 当时，， ， ， 点M的坐标为． （2）解：， （3）解：直线轴，点M的坐标为， 设点N的坐标为， 又线段长度为4， ， 点N的坐标为或． 【变式7-1】（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求+的值． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，求代数式的值，求一个数的立方根等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，确定a的值，即可得出结果； （2）根据题意确定，，，得出a的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：直线轴， ， ， ， ； （2）点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，，， ， ， 原式 ． 【变式7-2】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）已知点的坐标满足方程组，点P在第三象限． (1)请用含a的代表式表示x； (2)请求出a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式组，根据点所在象限，求参数的范围． （1）直接解方程组即可； （2）求出方程组的解，根据第三象限点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）（2）， 得：， ， ∵点在第三象限， ∴， 解得：． 【变式7-3】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标： (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y 轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点． （1）根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同得到，求出a的值，进而求出即可得到答案； （2）根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为x轴的绝对值结合第二象限横坐标为负，纵坐标为正列出方程求出a的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限，且它到x轴、y 轴的距离相等， ∴， ∴， ∴． 【变式7-4】（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标 (1)点在轴上． (2)到轴的距离为3，且在第四象限． (3)在第一、三象限角平分线上． (4)点在第一象限，则的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点在轴上y为0，列式求解即可得到答案； （2）根据点到轴的距离是列式求解，并结合点在第四象限选择，即可得到答案； （3）根据一三象限角平分线上点横纵坐标相同列式求解即可得到答案； （4）根据第一象限点横纵坐标都大于0直接列不等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， 此时点P为：； （2）解：∵到轴的距离为3，点在第四象限， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在第一、三象限角平分线上， ∴， 解得：， ∴； （4）解：∵点在第一象限， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查平面内点坐标的特征：x轴上点y为0，y轴上点x为0，点到坐标轴的距离是另一坐标轴的绝对值，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 考点8 利用坐标系解决几何图形的定点坐标问题 【例8】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图．在梯形ABCD中，．在原图中建立适当的直角坐标系，并写出各顶点的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】以点为坐标原点，以边所在直线为x轴，边所在直线为y轴，建立直角坐标系，根据题意，写出点的坐标即可． 【详解】解：以点为坐标原点，以边所在直线为x轴，边所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： ∵， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形．根据图形的特点，建立的合适的坐标系，是解题的关键． 【变式8-1】（22-23八年级上·全国·课后作业）已知长方形的长为2，宽为1．以所在的直线为x轴，的中点为原点，建立直角坐标系，如图．求长方形各个顶点的坐标． 【答案】， 【分析】根据长方形的长为2，宽为1，为的中点，求出，即可得到各个顶点的坐标． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵长方形的宽为：1， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形．根据图形的位置，确定点的坐标，是解题的关键． 【变式8-2】（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，正方形经平移后得到，点A的对应点为． (1)请在平面直角坐标系内画出正方形； (2)若点在正方形内（不包含边界），求a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平移及不等式组的应用： （1）根据平移的性质即可求解； （2）根据点的横坐标在1和4之间列不等式组，求解即可； 熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，正方形，即为所求： （2）∵点在正方形内（不包含边界）， ∴， 解得． 【变式8-3】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A、B、C三点，其中点A坐标为． (1)请根据点A的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系； (2)直接写出点B、C坐标； (3)点F是y轴上一点，连结，，，，，若的面积等于的面积，则点F的坐标为__________． 【答案】(1)见解析 (2)点B的坐标为，点C的坐标为 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，解题的关键是正确建立坐标系， （1）根据点A的坐标确定原点的位置，然后建立平面直角坐标系； （2）根据点B和点C在坐标系中的位置求解即可； （3）根据三角形同底等高面积相等求解即可． 【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示， （2）由（1）可得， 点B的坐标为，点C的坐标为； （3）∵的面积等于的面积 ∴点C到的距离等于点F到的距离 ∴如图所示，点和即为所求， ∴点F的坐标为或． 【变式8-4】（23-24七年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且满足，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)__________，__________，点的坐标为__________； (2)当点运动4秒时，求出点的坐标； (3)在运动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，求点运动的时间； (4)已知点在轴上，且三角形的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点运动的时为为秒或秒 (4)点的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到距离； （2）如图，根据矩形的性质和平面直角坐标系中点的坐标特征即可得到距离； （3）根据题意列方程即可得到距离； （4）设点的坐标为，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 本题考查了图形与坐标，长方形的性质，三角形的面积公式，点的坐标特征，非负数的性质，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ，，， ，， ； 故答案为：，2，； （2）解：∵四边形是长方形，且，点的坐标为 ∴ 如图， 点从点出发，以每秒2个单位长度运动， 点移动4秒的距离为8个单位长度， 则， 即 ∴点P在y轴上， 点的坐标为； （3）解：在移动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，点在线段或线段上， 则点在线段时，； 则点在线段时， 点移动的时间为秒或秒； （4）解：依题意，设， ∵三角形的面积为4，且 ， 解得或， 点的坐标为或． 考点9 利用等积法求平面直角坐标系中点的坐标 【例9】（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)求a、b的值． (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示三角形的面积． (3)在（2）条件下，当时，在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查非负数的性质、坐标与图形问题，列代数式等知识，点的坐标转化为点到坐标轴的距离时注意符号问题． （1）根据非负数性质可得、的值； （2）根据三角形面积公式列式整理即可； （3）根据（2）的结论得出，设，则，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）如图1所示， 过作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴． （3）解：时，， 设，则， ， ∴， 解得， ∴或． 【变式9-1】（2024七年级下·江苏·专题练习）已知，点，， (1)在坐标系中描出点、点、点，把向左平移3个单位得到△，画出△； (2)已知点在轴上，以、、为顶点的三角形与△的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查的是平移的作图，坐标与图形，用到的知识点为：图形的平移要归结为各顶点的平移；求点的坐标应根据所在象限确定符号，根据距离原点的水平距离和竖直距离确定具体坐标；同底等高的三角形的面积相等． （1）根据三点所在的象限的符号特点及距坐标轴距离得到三点的坐标，把三角形的各顶点向左平移3个单位得到平移后的各点，顺次连接平移后的各顶点即为平移后的三角形； （2）找到在轴上，且到的距离为2的点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）解：∵以、、为顶点的三角形与△的面积相等， ∴到的距离为2； 点坐标或． 【变式9-2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知平面直角坐标系中，． (1)在坐标系中描出各点，并画出三角形 (2)求三角形的面积； (3)若点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）根据点的坐标先描出A、B、C，再顺次连接A、B、C即可； （2）利用割补法求解即可； （3）根据（2）所求结合三角形面积公式求出即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：； （3）解：由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 【变式9-3】（23-24七年级下·四川广安·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了非负数的性质，用代数式表示式，四边形面积的求法，解决本题的关键是根据非负数的性质求出a，b，c． （1）用非负数的性质求解； （2）把四边形的面积看成两个三角形面积和，用m来表示； （3）先求出的面积，根据题意，列出m方程即可解决问题． 【详解】（1）解：由已知， 可得：，，； 故答案为：，，；． （2）∵，， ∴， 即； 故答案为：． （3）∵，， ∴， 则， 所以存在点使． 故答案为：存在，． 【变式9-4】（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知三角形的三个顶点的坐标分别是，现将三角形先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到三角形．（点A对应点，点对应点，点对应点）．    (1)在图中画出三角形； (2)点D的坐标为_________．与的关系是_________； (3)若y轴上有一点P，使三角形是三角形面积的2倍，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)； (3)或． 【分析】（1）根据，，，利用平移的性质即可在图中画出三角形； （2）结合（1）即可得点，，的坐标； （3）由网格可得三角形面积，根据三角形是三角形面积的2倍，通过三角形的面积公式列式计算，即可在轴上找到点． 本题考查了作图平移变换，三角形的面积，解决本题的关键是掌握平移的性质． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；    （2）解：点D的坐标为， ∵三角形是经过平移得到三角形， ∴与的关系是； （3）解：依题意，， ∵若y轴上有一点P，使三角形是三角形面积的2倍， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得或， ∴点的坐标为或． 考点10 利用割补法求平面直角坐标系中不规则图形的面积 【例10】（23-24七年级下·河南濮阳·期中）2009年是执行法定节日的第一年，法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们可以用坐标法来表示这些节日：如元旦1月1日用表示；清明节4月4日用表示；端午节5月初5用表示． (1)请用坐标法表示出中秋节（ ）；国庆节（ ）； (2)依次连接，在给出的坐标系中画出来，并求出所画图形的面积． 【答案】(1)8，15；10，1 (2)49 【分析】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．计算坐标系中不规则图形的面积时，可运用割补的方法把不规则的图形转化为常见图形的和差求其面积． （1）根据已知条件，和中秋节、国庆节具体日期，月为横坐标，日为纵坐标确定其坐标； （2）先在坐标系中找到各点的位置，再按的顺序连接画出图形；运用割补的方法求出图形的面积． 【详解】（1）中秋节，国庆节； （2）如图： 将图形补成一个长方形 则：，，， ∴． 答：该图形的面积为49． 【变式10-1】（23-24七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B，C，．    (1)点A，B，C的坐标分别为______，______，______； (2)点D在第______象限，画出点D并按从点的顺序用线段连接各点，画出四边形； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)一，图见详解 (3)11.5 【分析】本题考查了坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接读取平面直角坐标系的信息，作答即可． （2）易得点D在第一象限，根据要求作图即可； （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系，得出； 故答案为： （2）解：∵ ∴点D在第一象限， 如图所示：    （3）解：依题意 四边形的面积． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质：： （1）根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0进行求解即可； （2）由（1）得，则，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴ ． 【变式10-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，求四边形的面积． 【答案】15 【分析】本题主要考查了利用直角坐标系求多边形的面积，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F，即可知，代入求解即可． 【详解】解：如下图，过点B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为点E，F． ∵点，，， ∴，， ∴，，，， ． 所以四边形的面积是15． 【变式10-4】（23-24七年级下·湖北荆门·期末）已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．    (1)则______，______，______； (2)若D是x轴上一点，且三角形的面积等于3，试求D点坐标； (3)E是线段上一点，若平分四边形的面积，点N为中点，试求点N的坐标． 【答案】(1)5，4，3 (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查了算术平方根的的非负性及面积的计算，熟练掌握分割面积求点的坐标是关键． （1）根据非负数的性质进行解答即可； （2）根据三角形的面积等于3，得，求解即可； （3）由（1）可知，，过点作轴，轴，根据，平分四边形的面积，可求得点E的坐标，再根据中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ，，， 故答案为：5，4，3． （2）由（1）可知，，    ∵三角形的面积等于3， ∴，则 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）由（1）可知，， 过点作轴，轴，则，，，， 则，， ∴ ，    ∵平分四边形的面积， ∴，即：， ∴，即：， ∵点为中点， ∴点的坐标为：， 即：点的坐标为． 考点11 利用找规律法求运动中点的坐标 【例11】（23-24七年级下·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（n是正整数）：（______，______）； (3)求出的坐标． 【答案】(1)2，0，4，0 (2)，0 (3) 【分析】本题考查了点的坐标规律求解，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）由图即可求解； （2）根据点的坐标规律可知，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可直接写出，， 故答案为2，0，4，0． （2）解：根据点的坐标规律可知，， 故答案为，0． （3）解：∵， ∴． 【变式11-1】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 【变式11-2】（2024·安徽阜阳·三模）【观察·发现】如图，观察下列各点的排列规律： ，，，，，…． 【归纳·应用】 (1)直接写出点的坐标为______；点的坐标为______； (2)若点的坐标为，求n的值． 【答案】(1)； (2)1012 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，以及坐标找规律，一元一次方程的应用，解题的关键在于通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据图形写出坐标即可； （2）根据题意得到，，，，依此类推得到，再根据点的坐标为建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图知，点的坐标为， 点的坐标为； 故答案为：；． （2）解：，，，，， 且，，，，依此类推， ，即， 点的坐标为， ，解得． 【变式11-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查规律型中的点的坐标， （1）根据点的下标（分偶数和奇数两种情况）以及平移规律“向右平移个单位，再向上平移个单位”，可找出点与点的坐标； （2）根据（1）中的平移规律即可得出和点的坐标； （3）根据（2）的结论即可求解； 找出点的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：当点的下标为偶数或奇数时，发现点平移的规律：向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （2）由（1）中的平移的规律可得： 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）由（2）知：点的坐标为，点的坐标为， 当时， 解得：， 由，符合题意； 当时， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为． 【变式11-4】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 考点12 点在坐标系中的平移 【例12】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知：，，．    (1)在坐标系中描出各点，画出三角形； (2)将三角形向左平移3个单位长度，得到三角形，画出三角形，并写出、、三点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平移作图，解题的关键是作出平移后对应点的位置． （1）根据点的坐标，在平面直角坐标系中描点，然后画出三角形即可； （2）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接得出三角形，再写出点、、的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求作的三角形； （2）解：如图，三角形即为所求作的三角形；，，． 【变式12-1】（22-23八年级下·山东潍坊·期末）把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标平移的规则得到点的坐标为，由点正好落在轴上求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， 点的坐标为， 点正好落在轴上， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握坐标平移的规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 【变式12-2】（2024·浙江丽水·二模）在平面直角坐标系中，将点沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，若点N的横、纵坐标相等，则a的值是（    ） A．9 B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 直接利用平移点的变化规律求解即可． 【详解】解：将点沿轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点，即点的坐标是为， 点的横、纵坐标相等， ， ． 故选：B． 【变式12-3】（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解． 【详解】解：∵将点)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式12-4】（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知 ， ，将线段平移后得到线段，若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．先根据平移的规律求出a，b的值，再代入到计算即可. 【详解】解：∵， ，将线段平移后得到线段，若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， ∴， 即， 解得：， ∴， 故选：C． 考点13 图形在坐标系中的平移 【例13】（23-24七年级下·广西河池·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可求解，掌握平移中点的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到的，点的对应点为， ∴点的横坐标由点的横坐标得到，纵坐标由点的纵坐标得到， ∴点的对应点的坐标为， 故选：． 【变式13-1】（2024七年级下·全国·专题练习）三个顶点的坐标分别为，将平移到了，其中，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据A和的坐标求出平移规律，再利用规律，进而得出答案． 【详解】解：∵顶点的A的坐标为，将平移到了，其中， ∴横坐标减3，纵坐标加2， ∵， ∴对应点的坐标为：． 故选：C． 【变式13-2】（22-23八年级下·河南平顶山·期末）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是（    ）      A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，，，，可得，，计算求解，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，， 解得，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式13-3】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点C的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质，得到四边形为平行四边形，进而得到四边形的面积，进而求出的长，即可得到平移距离，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵把沿x轴向右平移到， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴沿x轴向右平移3个单位得到，点为点平移后的对应点， ∴，即：； 故选C 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与平移．熟练掌握平移的性质，得到四边形为平行四边形，是解题的关键． 【变式13-4】（23-24七年级下·江西南昌·期中）线段是由线段经过平移得到的，若点的对应点，则点的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的平移与坐标的变化，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律． 对应点之间的坐标变化关系是横坐标加，纵坐标加，从而作出判断． 【详解】解：由点的对应点可得， 线段经过平移后对应点的坐标变化为横坐标加，纵坐标加， ∴点的对应点D的坐标是， 故选：A． 考点14 利用平移坐标系比较其坐标变化规律 【例14】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点M从开始移动，规律为：第1次平移后得到点，第2次平移后得到点，第3次平移后得到点，第4次平移后得到点……那么第20次平移后得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点在坐标系中的变化规律，根据点的坐标的变化找出规律是解题的关键．由点的坐标变化得，坐标变化满足每2次一周期，每周期纵坐标加1，横坐标加2，按此规律计算即可． 【详解】解：由点的坐标变化得，坐标变化满足每2次一循环，每周期纵坐标加1，横坐标加2， 点M从开始移动，第20次平移后得到的点的横坐标为，纵坐标为， 所以第20次平移后得到的点的坐标为． 故选：A． 【变式14-1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的平移，坐标规律．根据平移方式先求得，，，的坐标，找到规律求得的横坐标，进而求得的横坐标． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐为标， 点的横坐标为， 点的横坐标为， … 按这个规律平移得到点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故选：B． 【变式14-2】（23-24七年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系上有点，点A一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，…依此规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解． 【详解】解：，，，，，，，… （n为正整数）， 解得， ． 故选：C． 【变式14-3】（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，…；按此做法进行下去，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【详解】解：解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， ∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点， ∵O到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴可以看作每四次坐标变换为一个循环， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， 点的坐标为， 故选：A． 【变式14-4】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．若点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，其中，按甲方式移动了m次，则（    ） A． B． C． D．30 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．由题意可得：点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为，再得出点，按照乙方式移动次后得到的点的横坐标和纵坐标，即得结果 【详解】解：点按照甲方式移动了次，点从原点出发连续移动10次， 点按照乙方式移动了次， 点按照甲方式移动次后得到的点的坐标为， 点按照乙方式移动次后得到的点的横坐标为，纵坐标为， ，， ． 故选：D 考点15 利用坐标的变化确定平移方式 【例15】（23-24七年级下·广东汕头·期中）将平移得到，若已知对应点和，则的对应点B1的坐标为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化——平移，根据点A平移前后坐标判断出平移方式，即可求解． 【详解】解：点的对应点为，即， 点向右平移了m个单位，向上平移了n个单位， 的对应点B1的坐标为， 故选B． 【变式15-1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，点的坐标为，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据点B和点B对应点的坐标判断出平移方式，进而求出a的值即可． 【详解】解：∵平移后得到点的坐标为， ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移2个单位， ∴． 故选：D． 【变式15-2】（23-24九年级上·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知，将线段平移后得到线段，点A、B的对应点分别是点、． 若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，掌握平移变换的规律是解题的关键． 先通过点B的对应点为D，进而确定平移方式，然后利用平移变换的规律即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点向右平移4个单位，向下平移3个单位得点， ∴点向右平移4个单位，向下平移3个单位得点． 故选：B． 【变式15-3】（21-22七年级下·河南商丘·期中）如图：，若将线段平移至，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】根据图中信息，确定平移的方向和距离，确定的值，再代入代数式求解即可． 【详解】由图可知：，平移至，, ，, 线段向右平移2个单位，向上平移2个单位平移至, ，, 则, ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据已知坐标确定平移的方式，数形结合是解题的关键． 【变式15-4】（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，将线段平移后得到线段，已知点A和D是对应点，点A、B、C、D的坐标分别为，，，，则的值为（    ）    A．8 B．9 C．12 D．11 【答案】C 【分析】根据点A、 D横坐标判定出向右平移了5个单位，从而可由点B、C坐标求出b；根据点B、C纵坐标判定出向上平移了1个单位，从而可由点A、 D纵坐标求出a；然后代入计算即可． 【详解】解：∵将线段平移后得到线段，，，，， ∴将线段向右平移了5个单位，向上平移了1个单位后得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查根据平移后点的坐标，判定平移方式，再根据平移方式确定平移后点的坐标，熟练掌握平移坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 考点16 利用图形平移的坐标变化求其覆盖坐标平面的面积 【例16】（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系，线段的两个端点坐标依次为，将线段向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到对应线段，则四边形的面积为（    ） A．7.5 B．10.5 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，分割法求图形面积．根据平移规则，求得的坐标，用长方形的面积减去两个直角三角形的面积求解即可．掌握点的平移规则：左减右加，上加下减，是解题的关键． 【详解】解：由题意，， ∴四边形的面积为； 故选C． 【变式16-1】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任意一点在平移后的对应点为，其中． （1）若点C与点B恰好重合，则 ， ． （2）若，且平移后三角形的面积最大，则此时 ． 【答案】 4 2 6 【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移： （1）根据A，B点坐标确定平移方式，即可求解； （2）由平移前后对应坐标可知只能向右平移或向下平移，无论如何平移，线段的长度不变，因此当上的高最大时，面积最大，根据可得当向下平移6个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大． 【详解】解：（1）点C与点B恰好重合，即点， 线段向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得到线段， 线段上任意一点在平移后的对应点为， ，， 故答案为：4，2； （2）∵线段上任意一点在平移后的对应点为， ∴只能向右平移或向下平移， ∵无论如何平移，线段的长度不变， ∴当上的高最大时，面积最大， 即点B距离最远时，面积最大， ∵， ∴当向下平移6个单位时，水平位置不动时，点B距离最远，面积最大，如图所示： 此时． 故答案为：6． 【变式16-2】（23-24七年级下·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，线段CD是由线段AB平移所得，已知，则下列4个结论中，正确的有 ．（填序号） ①；②；③四边形ABCD的面积为10；④点D坐标为． 【答案】①②③ 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质对四个结论依次进行判断即可． 【详解】解：线段是由线段平移所得， ． 故①正确． 线段是由线段平移所得， ，， ， ． 故②正确． ，，，且点是点平移之后的对应点， 线段是由线段向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 点的坐标为． ， ． 故③正确． 故④错误． 故答案为：①②③． 【变式16-3】（23-24九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，连结、，得到平行四边形．则平行四边形的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点A、C的横坐标，点B、D的纵坐标确定出平移规律，再根据平移规律求出C、D的坐标，然后利用割补法求解即可． 【详解】解∶∵线段平移到线段，点A的对应点为C，点B的对应的为D，，，，， ∴平移规律为向左平移3个单位，向上4个单位， ∴的对应点C的坐标为， 的对应点D的坐标为， 如图，过D、A作x轴的平行线，过C、B作y轴的平行线，两两相交于M、N、F、E， ∴平行四边形的面积为， 故答案为：36． 【变式16-4】（22-23八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将向下平移2个单位长度得到，与x轴交于点G，，则阴影部分面积是 ．      【答案】14 【分析】利用的面积减去的面积即可． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：14． 【点睛】本题考查坐标与图形变化−平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 考点17 利用平移建立坐标系确定点的坐标 【例17】（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，把微信表情中“笑脸”放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是，右眼B的坐标为，现将该“笑脸”向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减； 纵坐标上加，下减．首先根据左眼，右眼坐标，得到嘴唇C的坐标，再根据平移的性质即可解题． 【详解】解：∵左眼A的坐标是，右眼B的坐标， ∴嘴唇C的坐标是， ∴将此微信表情中“笑脸”向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是， 故选D． 【变式17-1】（23-24七年级下·广西防城港·期中）如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据点与点的相对位置即可求解． 【详解】解：由图可知：点向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度即可得到点， 故点C的坐标为，即：， 故选：D 【变式17-2】（23-24七年级下·四川南充·期中）如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为． 故选A． 【变式17-3】（23-24七年级下·重庆·期中）如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（    ） 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ， 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据升的位置相当于千向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的进行求解即可． 【详解】解：观察可知，升的位置相当于千向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的， ∵“千”用表示， ∴“升”可以表示为， 故选：B． 【变式17-4】（23-24九年级下·四川绵阳·阶段练习）北京2022年冬奥会吉祥物冰墩墩火了！如图，把冰墩墩放在单位长度为1的网格中，它的两只眼睛在格点上，已知右眼B的坐标是，现将此冰墩墩向左平移6个单位后，再向下平移1个单位，则左眼A平移后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平移变换的知识，先确定左眼A的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案． 【详解】∵右眼B的坐标是， ∴左眼A的坐标为， ∴向左平移6个单位后，再向下平移1个单位，则左眼A的坐标为，即 即， 故选：A． 【专题训练】 一、单选题 1．（23-24八年级下·重庆万州·期末）已知点在第二象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号解答．熟知各个象限的点的坐标的符号特点是关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴点在第四象限． 故选：D． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）根据下列表述，不能确定具体位置的是（    ） A．青县众视影城1号厅的3排4座 B．青县清州镇新华西路226号 C．某灯塔南偏西方向 D．东经，北纬 【答案】C 【分析】本题考查了有序实数对表示位置，理解有序实数对表示位置是解题的关键．根据有序实数对表示位置，逐项分析即可． 【详解】解：A、青县众视影城1号厅的3排4座，能确定具体位置，故该选项不符合题意； B、青县清州镇新华西路226号，能确定具体位置，故该选项不符合题意； C、某灯塔南偏西方向，不能确定具体位置，故该选项符合题意； D、东经，北纬，能确定具体位置，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·重庆江津·期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，且点P到x轴的距离为2，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标、坐标与图形，根据点到轴的距离为2，点在轴上，可得，，进而得出、 的值，代入即可得出答案，熟练掌握点的坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为2，点在轴上， ，， ，或， 或． 故选：D． 4．（23-24七年级下·四川广安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（    ） A．向右平移了3个单位长度 B．向左平移了3个单位长度 C．向上平移了3个单位长度 D．向下平移了3个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查图形的平移，根据点的平移规则，横坐标左减右加，纵坐标上加下减，判断即可． 【详解】解：∵图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3， ∴图形与原图形相比向下平移了3个单位长度； 故选：D． 5．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）如图所示，下列可以描述学校相对于淇淇家的位置的是（    ）    A．南偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查用方向角和距离表示位置，根据图示给的信息，作答即可． 【详解】解：由图可知：学校相对于淇淇家的位置的是北偏东； 故选：D． 6．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，将一块直角三角尺的直角顶点与原点重合，另两个顶点的坐标分别为，．现将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：∵将三角尺沿轴向左平移，使点与点重合， ∴三角尺沿轴向左平移2个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 即：点的坐标是， 故选：A． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 8．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（    ） A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴，故选项A错误； ∵点为“整点”， ， ∴整数a为，，0，1， ∴点P的个数为4个，故选项B错误； ∴“整点”P为，，，， ∵，，， ∴“超整点”P为，故选项C正确； ∵点为“超整点”， ∴点P坐标为， ∴点P到两坐标轴的距离之和，故选项D错误， 故选：C． 二、填空题 9．（23-24七年级下·云南·期末）在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点，我们称为“整点”；点在第四象限上，且是整点，则的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角坐标系中的点的特征，结合不等式组，熟练掌握各象限的点的特征是解题的关键．利用在第四象限上，得出的取值范围，再利用点是整点，得出的值即可． 【详解】解：∵在第四象限上， ∴， 解得：， ∵要使点是整点， ∴为整数即可， ∴或， ∴点坐标为或， 故答案为：或． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）点到轴的距离为4个单位长度，到轴的距离为3个单位长度，则点的坐标为 ． 【答案】或或或 【解析】略 11．（21-22七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中， (1)已知点在轴上，则点的坐标为 ． (2)已知两点，，若轴，点在第一象限，且线段的长度是，则以点、、为顶点的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据y轴上点的横坐标为列方程求出的值，再求解即可； （2）根据第一象限内点的横坐标是正数，平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，先确定出点到的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）点在轴上， ， 解得， 所以，， 故答案为：； （2）轴， ， 点在第一象限， ， ，； ，的纵坐标都为， 点到的距离为， 以、、为顶点的三角形的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标，两点间的距离，三角形的面积，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键.在图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 12．（22-23八年级下·河北沧州·期中）如图，已知点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点，则的坐标为 ，的横坐标为 ，按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ．    【答案】 255 【分析】根据平移方式得出点，，的坐标，然后找出横坐标的一般性规律，再利用规律解答． 【详解】解：由题意知，点，，，…， 而点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为，…， ∴点的横坐标为， ∴的横坐标为， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，熟练掌握平移的性质，得出坐标的变化规律是解题的关键． 三、解答题 13．（23-24七年级下·青海果洛·期中）如图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列这个游乐设施的位置：跷跷板______； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了用有序数对表示位置； （1）根据题意找到跷跷板的位置； （2）根据位置标出坐标即可； （3）根据位置标出坐标即可求解． 【详解】（1）解：跷跷板 （2）如图所示，秋千的位置是 （3）如图所示，旋转木马的位置是 14．（23-24七年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中、、、四点的坐标分别为，，，． (1)在平面直角坐标系中描出各点，并画出四边形． (2)网格中每个小正方形的边长均为1，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)14.5 【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中描点、坐标与图形等知识，正确在平面直角坐标系中描出、、、四点是解题关键． （1）在平面直角坐标系中描出各点，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：四边形的面积． 15．（23-24七年级下·河南焦作·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，途中“鱼”的各个顶点都在格点上． (1)把“鱼”先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． (2)写出A、B、C三个点平移后的对应点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)、、． 【分析】本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求作图． （1）将关键点先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，顺次连接即可； （2）结合坐标系，可得到、、的坐标． 【详解】（1） 解：如图所示． （2）结合坐标系可得：、、． 16．（21-22七年级下·天津宝坻·期末）已知点，，． (1)在平面直角坐标系中描出A，B，C三点； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，当的面积为6时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)18 (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积， （1）确定出点A、B、C的位置即可； （2）根据三角形的面积求解可得； （3）利用三角形的面积为6，得出P到的距离进而得出答案． 解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 【详解】（1）如图所示， ； （2）∵，，， ∴，点C到x的距离是； ∴的面积是：； （3）∵点P在y轴上，且三角形的面积为6， ∴P到的距离为：2， 故点P的坐标为：，． 17．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)分别下列各点的坐标： ， ， ； (2)若点是内部一点，平移后对应点的坐标为，求和的值； (3)求的面积． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查作图——平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会割补法求三角形面积． （）根据点的位置写出坐标即可； （）利用平移变换的性质，构建方程组求解即可； （）利用三角形所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积即可； 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知：，，， 故答案为：，，； （2）∵的对应点， ∴向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 解得：， （3） ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$