第08讲 集合与常用逻辑用语章末复习与测试（四大题型归纳+测试卷）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第08讲 集合与常用逻辑用语章末复习与测试 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 集合的基本概念与集合间的基本关系 3 题型02 集合的基本运算 5 题型03 充分条件与必要条件 7 题型04 全称量词与存在量词 9 单元测试 11 一、集合的基本概念与集合间的基本关系 1．理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能在集合不同的表示方法之间进行转化． 2．集合间的基本关系包括包含、真包含、相等．能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围． 3．掌握集合的基本概念与集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 二、集合的基本运算 1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 三、充分条件与必要条件 1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 四、全称量词与存在量词 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 题型01集合的基本概念与集合间的基本关系 【解题策略】 (1)解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析，更要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏． 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【变式2】（23-24高一上·河南郑州·期中）集合，则集合A的子集的个数为 个． 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型02 集合的基本运算 【解题策略】 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解． (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解． 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，则 ． 【变式2】（23-24高一上·北京顺义·期中）已知全集，集合，则 ． 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 题型03 充分条件与必要条件 【解题策略】 充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 【典例分析】 【例3】（2022高一上·全国·专题练习）若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 题型04 全称量词与存在量词 【解题策略】 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论． (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决． 【典例分析】 【例4】（23-24高一上·江西南昌·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D．，有 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一·江苏·假期作业）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 4．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 6．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合，若，则实数＝（ ） A．1 B．-1 C．0 D．±1 7．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 10．（23-24高一上·河南·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．所有三角形的内角和都是180° B．所有素数都是奇数 C．有些一元二次方程在实数范围内无解 D．存在一个实数的绝对值不是正数 11．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·全国·课后作业）方程与方程所有解组成的集合中共有 个元素． 13．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有 ．（填序号）． 14．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列表达式中，正确的序号是 ． ① ②，③ ④ 四、解答题 15．（22-23高一·全国·随堂练习）设全集，，，求，． 16．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 19．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 集合与常用逻辑用语章末复习与测试 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 集合的基本概念与集合间的基本关系 3 题型02 集合的基本运算 5 题型03 充分条件与必要条件 7 题型04 全称量词与存在量词 9 单元测试 11 一、集合的基本概念与集合间的基本关系 1．理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能在集合不同的表示方法之间进行转化． 2．集合间的基本关系包括包含、真包含、相等．能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围． 3．掌握集合的基本概念与集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 二、集合的基本运算 1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 三、充分条件与必要条件 1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 四、全称量词与存在量词 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 题型01集合的基本概念与集合间的基本关系 【解题策略】 (1)解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析，更要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏． 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 【变式演练】 【变式1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 【变式2】（23-24高一上·河南郑州·期中）集合，则集合A的子集的个数为 个． 【答案】8 【分析】由集合元素个数确定子集个数即可. 【详解】由题设，集合有3个元素，故集合A的子集的个数为个. 故答案为：8 【变式3】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 题型02 集合的基本运算 【解题策略】 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解． (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解． 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河南·期中）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】集合，， 所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·北京顺义·期中）已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】利用补集的定义直接求解. 【详解】全集，集合，则. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·北京·期中）已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由交集的定义求解 ； （2）由补集的定义求解 ； （3）由补集和并集的定义求解. 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 题型03 充分条件与必要条件 【解题策略】 充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 【典例分析】 【例3】（2022高一上·全国·专题练习）若是全集的真子集，则下列五个命题：①； ②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据交并补运算结果，借助韦恩图，对每个命题进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对①，即为，故符合； 对②，即为，故不符合； 对③，结合图可得即为，故符合； 对④，即为，故可得，但得不到，故不符合； 对⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，这与不等价， 故五个命题中，与等价的有2个， 故选：B. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的 .（请从“充分不必要条件”､“必要不充分条件”､“充要条件”､“既不充分也不必要条件”中选一个填在横线上） 【答案】必要不充分条件 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以， 则由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件 【变式2】（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合，集合，命题：，命题：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】命题，命题，由是的充分条件，得，即 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算； （2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【详解】（1） 因，则. 当时，，所以. （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以，经检验“=”满足. 所以实数m的取值范围是. 题型04 全称量词与存在量词 【解题策略】 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论． (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决． 【典例分析】 【例4】（23-24高一上·江西南昌·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D．，有 【答案】B 【分析】利用命题否定的知识直接求解即可. 【详解】易知命题“”的否定是. 故选：B 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：对，恒成立，根据恒成立问题结合一次函数列式求解. 【详解】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出方程的解，即可判断. 【详解】由，解得或， 又“，”是假命题，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解； （2）分离参数即可求解. 【详解】（1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北保定·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用集合的包含关系可得正确的选项. 【详解】由，解得或， 因为为或的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（23-24高一·江苏·假期作业）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中， 而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误． 故选：B 3．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【分析】根据集合的性质判断即可. 【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 4．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 5．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中的元素满足互异性，即可分类讨论求解. 【详解】当时，则，此时集合，符合要求， 当时，得或，而当时，不符合要求， 而当时，，符合题意， 综上可知：或， 故选：C 6．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合，若，则实数＝（ ） A．1 B．-1 C．0 D．±1 【答案】A 【分析】根据得或，分类讨论结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】由，可得或，解得：或， 当时，集合，符合题意； 当时，集合不满足集合的互异性； 综上，. 故选：A. 7．（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 8．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得. 【详解】因为“”为假命题， 所以其否定恒成立， 所以在上恒成立， 所以即， 所以的取值可以是5. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 10．（23-24高一上·河南·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．所有三角形的内角和都是180° B．所有素数都是奇数 C．有些一元二次方程在实数范围内无解 D．存在一个实数的绝对值不是正数 【答案】ACD 【分析】逐项分析判断即得. 【详解】所有三角形的内角和都是180°，则A是真命题； 2是素数，但2不是奇数，则B是假命题； 有些一元二次方程在实数范围内无解，例如，则C是真命题； 0的绝对值是0，不是正数，则D是真命题. 故选：ACD. 11．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可. 【详解】因为时，，不满足题意，故A错误； 若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误； 若，则，同时若时，，满足题意，故C正确； 当时，则，同时，则满足题意，故D正确， 故选：CD. 三、填空题 12．（23-24高一上·全国·课后作业）方程与方程所有解组成的集合中共有 个元素． 【答案】2 【分析】分别求两个方程的解，即可判断集合中元素的个数. 【详解】，得，，得， 所以两个方程的解组成的集合为，共有2个元素. 故答案为：2 13．（22-23高一上·上海金山·阶段练习）给出关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式有 ．（填序号）． 【答案】③     【分析】根据空集的的定义可判断①②，根据集合的无序性可判断③，根据集合中代表的元素可判断④. 【详解】是没有任何元素的集合，所以①②错误； 集合中的元素满足无序性，所以，③正确； 和所表示的元素不同，④错误. 故答案为：③ 14．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）下列表达式中，正确的序号是 ． ① ②，③ ④ 【答案】②④ 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐个判定，即可求解. 【详解】因为集合为有理数集，为无理数，所以，所以①错误； 因为空间时任何非空集合的真子集，所以，所以②正确； 根据集合与之间的关系，可得，所以③错误； 由集合为自然数集，为整数集，所以，所以④正确. 故答案为：②④. 四、解答题 15．（22-23高一·全国·随堂练习）设全集，，，求，． 【答案】，或. 【分析】根据补集运算定义解出，根据交集定义先求出，然后补集定义求出. 【详解】因为，， 所以； 因为，， 所以， 所以或. 16．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选条件①或②，都有，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，所以，或， 当时，， 因此，. （2）解：选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上：，因此，实数的取值范围为. 17．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 19．（23-24高一上·江苏南通·开学考试）已知集合，，，问是否存在实数，同时满足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由. 【答案】 【分析】由题意，所以，这里可以分三种情况，集合是空集、集合中只含有集合中的一个元素，集合中含有集合中的两个元素；对于是的真子集这种情况，较为简单，直接对比即可得解. 【详解】一方面：因为，又，所以； 又因为，且， 所以当,即时，集合，此时有是的真子集，所以满足题意， 当时，，此时集合不是集合的真子集，结合以上两种情况有. 另一方面：因为，所以,分以下三种情况： 情形一：集合是空集，即是空集， 所以方程无解，即， 解得; 情形二：集合中只含有集合中的一个元素，又因为， 所以或，说明方程有重根1或2， 即或， 由完全平方展开得以上情况不可能成立； 情形三：集合中含有集合中的两个元素，又因为， 所以，说明方程有两个不同的实数根或， 即，将展开得， 对比即得. 结合以上三种情形有：. 综上所述：，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$