第07讲 全称量词与存在量词（三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第07讲 全称量词与存在量词 目录 题型归纳 1 题型01 全称量词命题和存在量词命题的判断 2 题型02 含有一个量词的命题的否定 4 题型03 全称量词命题与存在量词命题的应用 6 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示． (2)含有________的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为________． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示． (2)含有________的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“________” 3．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：________； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：________ 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 题型01全称量词命题和存在量词命题的判断 【解题策略】 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： 1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”. 2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)所有有理数都是实数； (2)，． 【变式演练】 【变式1】（21-22高一·全国·单元测试）已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）在下列存在量词命题中是真命题的有 . ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. 【变式3】（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（     ） ①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 含有一个量词的命题的否定 【解题策略】 含有一个量词的命题的否定的方法 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【典例分析】 【例2】（22-23高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形. 【变式演练】 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是 . 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形． 题型03 全称量词命题与存在量词命题的应用 【解题策略】 求解含有量词的命题中参数范围的策略 1 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin. 2对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax. 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式3】．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022·福建厦门·模拟预测）已知集合M，N满足，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．“，使得”是真命题 C． D．“，”是真命题 三、填空题 5．（22-23高一·全国·课后作业）写出下列语句的否定形式． （1）“都是”的否定形式是 ； （2）“大于等于”的否定形式是 ； （3）“且”的否定形式是 ． 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）“，使”的否定是 . 7．（20-21高一上·上海嘉定·期中）“或”的否定形式为 ． 四、解答题 8．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假： (1)任意实数的平方大于0； (2)有的实数的平方等于它本身； (3)两个有理数的乘积仍为有理数. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（    ） A．命题“”是假命题 B．命题“”的否定是“” C．命题“”是真命题 D．命题“”的否定是“” 2．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（21-22高一·全国·单元测试）已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．“，使得”是真命题 C． D．“，”是真命题 6．（23-24高一上·重庆·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 三、填空题 7．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 8．（20-21高一上·上海嘉定·期中）“或”的否定形式为 ． 9．（23-24高一上·江西赣州·期中）“，使”的否定是 . 四、解答题 10．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【创新拓展】 一、单选题 1．（20-21高一·全国·课后作业）设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 2．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）设，关于，的方程组，下列命题中是真命题的是（    ） A．存在，使得该方程组有无数组解； B．对任意，该方程组均有唯一一组解； C．对任意，使得该方程组有无数组解； D．存在，该方程组均有唯一一组解. 三、填空题 3．（22-23高一下·山东东营·阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为 . 四、解答题 4．（22-23高一上·四川凉山·期中）（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围． 【下节预览】 一、解答题 1．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 2．（2023高一·全国·专题练习）甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 全称量词与存在量词 目录 题型归纳 1 题型01 全称量词命题和存在量词命题的判断 2 题型02 含有一个量词的命题的否定 4 题型03 全称量词命题与存在量词命题的应用 6 分层练习 23 夯实基础 12 能力提升 18 创新拓展 18 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 3．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 题型01全称量词命题和存在量词命题的判断 【解题策略】 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： 1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得px不成立即可这就是通常所说的“举出一个反例”. 2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)所有有理数都是实数； (2)，． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据全称命题的定义判断即可； （2）根据存在量词的命题判断即可． 【详解】（1）该命题是全称量词命题． 所有有理数都是实数，故该命题是真命题． （2）该命题是存在量词命题． 当时，，故该命题是假命题． 【变式演练】 【变式1】（21-22高一·全国·单元测试）已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可. 【详解】A：显然，，所以本选项不正确； B：显然，，所以本选项正确； C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确； D：因为，，所以本选项不正确， 故选：B 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）在下列存在量词命题中是真命题的有 . ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. 【答案】①②③ 【分析】根据无限不循环小数、等腰三角形、菱形和正方形的定义逐个分析可得答案. 【详解】实数是无限不循环小数，故①为真命题； 边长为3,4,5的三角形不是等腰三角形，故②为真命题； 对角线长相等的菱形是正方形，故③为真命题. 故答案为：①②③ 【变式3】（23-24高一上·广西贺州·期末）下列结论中正确的个数是（     ） ①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“”是真命题； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义，利用存在量词命题的否定及全称量词命题真假的判断依据即可求解. 【详解】对①，“有些”为存在量词，所以命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；故①正确； 对②，“”为任意，即为全称量词，所以命题“”是全称量词命题，故②正确； 对③，命题“”的否定为“”；故③错误； 对④，，故该命题为真命题，故④正确， 所以正确的有个. 故选：D. 题型02 含有一个量词的命题的否定 【解题策略】 含有一个量词的命题的否定的方法 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 【典例分析】 【例2】（22-23高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形. 【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题. (2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题 (3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题 (4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题. 【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可. 【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题. （2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题. （3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题. （4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题. 【变式演练】 【变式1】（2022高一上·全国·专题练习）命题“，”的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由特称量词命题的否定是全称量词命题即可判断得解. 【详解】命题“，”是特称量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为：，. 故选：C 【变式2】（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是 . 【答案】， 【分析】根据全称命题的否定求解. 【详解】命题“，”的否定是：，. 故答案为：， 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据存在量词命题的否定分析判断. 【详解】（1）命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”， 即“所有实数的绝对值都不是正数”，它为假命题． （2）命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”， 即“每一个平行四边形都不是菱形”，它为假命题． 题型03 全称量词命题与存在量词命题的应用 【解题策略】 求解含有量词的命题中参数范围的策略 1 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ymax或a＜ymin. 2对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ymin或a＜ymax. 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据命题真假的定义判断，注意全称命题与特称命题的区别． 【详解】“，”为真命题，则，“，”为真命题，则， 故选：C． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，转化为求函数的值域． 【详解】，因此由得，即存在，成立， 时，，因此， 故选：C． 【变式2】（23-24高一上·广西玉林·阶段练习）已知集合，若命题“，恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为最值问题，由一次函数性质列式求解． 【详解】由题意得时，， 则，解得， 故答案为： 【变式3】．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题目条件，结合含有量词的命题的否定即可求解． 【详解】命题“，”的否定是，． 故选：A． 2．（2022·福建厦门·模拟预测）已知集合M，N满足，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的交集的定义结合举反例，即可判断出答案. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，根据集合交集的定义可知，，故C正确， 对于D，取，满足，但，不成立，D错误， 故选：C 二、多选题 3．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】利用集合间的基本关系判定即可. 【详解】因为集合，， 所以B是A的真子集，所以，或，. 故选：AD. 4．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．“，使得”是真命题 C． D．“，”是真命题 【答案】ABC 【详解】利用图像中集合M与集合N中元素的关系逐一判断. 【解答】对于A：由图可知集合M与集合N有公共部分，故A正确； 对于B：当位于集合M与集合N的公共部分时，可知B正确； 对于C：，C正确； 对于D：易知中含有一部分元素在M中，所以D错误； 故选：ABC 三、填空题 5．（22-23高一·全国·课后作业）写出下列语句的否定形式． （1）“都是”的否定形式是 ； （2）“大于等于”的否定形式是 ； （3）“且”的否定形式是 ． 【答案】 不都是 小于 或 【分析】逐项对语句进行否定即可 【详解】（1）“都是”的否定形式是“不都是”， （2）“大于等于”的否定形式是“小于”， （3）“且”的否定形式是“或”. 故答案为：不都是；小于；或. 6．（23-24高一上·江西赣州·期中）“，使”的否定是 . 【答案】，有 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到结果. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题， 故“，使”的否定是“，有” 故答案为：，有. 7．（20-21高一上·上海嘉定·期中）“或”的否定形式为 ． 【答案】“且” 【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解. 【详解】由题意“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且”. 四、解答题 8．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假： (1)任意实数的平方大于0； (2)有的实数的平方等于它本身； (3)两个有理数的乘积仍为有理数. 【答案】(1)，假命题 (2)，真命题 (3)，真命题 【分析】（1）将文字语言改为符号语言，利用反例知原命题为假； （2）将文字语言改为符号语言，利用特殊值知原命题为真； （3）将文字语言改为符号语言，利用有理数的性质知原命题为真. 【详解】（1）“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为：； 当时，，不合题意，所以为假命题； （2）“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为：； 当时，，所以为真命题； （3）“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为：； 当时，根据有理数的性质知，所以为真命题. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法正确的是（    ） A．命题“”是假命题 B．命题“”的否定是“” C．命题“”是真命题 D．命题“”的否定是“” 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的知识确定正确答案. 【详解】A选项，自然数都是整数，所以命题“”是真命题，A选项错误. B选项，命题“”的否定是“”， B选项错误. C选项，当时，，所以“”是真命题，C选项正确. D选项，命题“”的否定是“”， D选项错误. 故选：C 2．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知“，”为真命题；“，”为真命题，那么p，q的取值范围为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据命题真假的定义判断，注意全称命题与特称命题的区别． 【详解】“，”为真命题，则，“，”为真命题，则， 故选：C． 3．（21-22高一·全国·单元测试）已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据子集的定义，结合任意性和存在性的定义逐一判断即可. 【详解】A：显然，，所以本选项不正确； B：显然，，所以本选项正确； C：因为，所以不存在，，因此本选项不正确； D：因为，，所以本选项不正确， 故选：B 4．（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例否定选项ABD，利用绝对值定义可得选项C正确. 【详解】当时，.故选项A判断错误； 由可得，.故选项B判断错误； .故选项C判断正确； 由，可得选项D判断错误. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一上·浙江·期中）已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．“，使得”是真命题 C． D．“，”是真命题 【答案】ABC 【详解】利用图像中集合M与集合N中元素的关系逐一判断. 【解答】对于A：由图可知集合M与集合N有公共部分，故A正确； 对于B：当位于集合M与集合N的公共部分时，可知B正确； 对于C：，C正确； 对于D：易知中含有一部分元素在M中，所以D错误； 故选：ABC 6．（23-24高一上·重庆·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 【答案】BD 【分析】可通过举例逐项判断. 【详解】当时，，故A错， 当时，同时被3和4整除，B对， 当时，，故C错， 当时，，故D对； 故选：BD. 三、填空题 7．（2023高一·江苏·专题练习）下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 (填序号). （1）每一个矩形的对角线都互相平分；（2）有些集合无真子集；（3）能被8整除的数也能被2整除. 【答案】 （1）（3） （2） 【分析】根据全称量和存在量词定义分别判断即可. 【详解】（1）中含有全称量词“每一个”，（3）中陈述的是所有满足条件的数，所以（1）（3）是全称量词命题； （2）中含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题． 故答案为：（1）（3）；（2）. 8．（20-21高一上·上海嘉定·期中）“或”的否定形式为 ． 【答案】“且” 【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解. 【详解】由题意“或”的否定形式为“且”. 故答案为：“且”. 9．（23-24高一上·江西赣州·期中）“，使”的否定是 . 【答案】，有 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到结果. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题， 故“，使”的否定是“，有” 故答案为：，有. 四、解答题 10．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【创新拓展】 一、单选题 1．（20-21高一·全国·课后作业）设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由已知得，再依次判断选项. 【详解】因为非空集合P，Q满足，所以， 对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故A正确，C错误； 对于BD，由，分类讨论：若P是Q的真子集，则，；若，则，；故 BD错误． 故选：A． 二、多选题 2．（22-23高一上·辽宁·阶段练习）设，关于，的方程组，下列命题中是真命题的是（    ） A．存在，使得该方程组有无数组解； B．对任意，该方程组均有唯一一组解； C．对任意，使得该方程组有无数组解； D．存在，该方程组均有唯一一组解. 【答案】AD 【分析】根据二元一次方程组有解的条件判断即可 【详解】A．二元一次方程组有无数组解的条件是两方程相同， 所以，此时方程为，使方程组有无数组解，故本选项符合题意； B．把代入得：， 所以方程组要有唯一解必须满足，故本选项不符合题意； C．由选项A可知，只有时，方程组才有无数组解，故本选项不符合题意； D．由选项B可知，只要，也即存在a，使得方程组只有唯一解，故本选项符合题意． 故选：AD． 三、填空题 3．（22-23高一下·山东东营·阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案. 【详解】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 4．（22-23高一上·四川凉山·期中）（1）已知集合，集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分析可知，，且，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组， 由此可解得实数的取值范围； （2）由题意可知，关于的方程有实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】解：（1）因为是成立的充分不必要条件，所以，， 因为，则，所以，， 所以，，解得， 当时，，满足， 所以，存在实数满足题意，且实数的取值范围是； （2）因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题． 则关于x的方程有实根． 当时，则有，解得，合乎题意； 当时，则有，解得且. 综上所述，的取值范围为 【下节预览】 一、解答题 1．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆，再根据题意列出不等式组即可. 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 2．（2023高一·全国·专题练习）甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？ 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法比较代数式的大小即可； 【详解】设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为，一张全票价为a元， 则 当时，； 当，即时，． 因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$