第13讲 空间向量与立体几何章末与测试（四大题型归纳+测试卷）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第13讲 空间向量与立体几何章末与测试 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的概念及运算 3 题型02 利用空间向量证明位置关系 5 题型03 利用空间向量计算距离 8 题型04 利用空间向量计算距离 13 单元测试 19 一、空间向量的概念及运算 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力． 二、利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 三、利用空间向量计算距离 1．空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为 (如图)． (2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)． 2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 四、利用空间向量求空间角 1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 题型01空间向量的概念及运算 【解题策略】 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【典例分析】 【例1】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知，，三点共线，则 . 【变式3】（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 题型02 利用空间向量证明位置关系 【解题策略】 　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证)． 【典例分析】 【例2】（23-24高二下·上海·开学考试）空间中，设、是两条直线，、是两个平面，下列命题中，正确的是（    ） A．对于空间中的直线，若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若直线上存在两点到平面的距离相等，则 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【变式2】（23-24高二上·河南信阳·期末）已知，平面的法向量，若，则 ． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 题型03 利用空间向量计算距离 【解题策略】 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可． 【典例分析】 【例3】（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为 . 【变式3】（2022高二上·全国·专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 题型04 利用空间向量求空间角 【解题策略】 (1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标． (2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角，此类问题有两种思路：①转化为两条直线所成的角求解；②利用平面的法向量求解． 【典例分析】 【例4】（23-24高二下·江苏南京·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的范围是 ． 【变式3】（23-24高二下·江苏泰州·期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.    (1)求二面角的余弦值： (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·期中）若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（    ） A． B． C． D．与位置关系不确定 2．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 6．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·湖北·阶段练习）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为．则（    ） A．平面 B．平面平面 C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高二上·广东深圳·期末）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 . 13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 14．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 四、解答题 15．（23-24高二下·广西柳州·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．    (1)证明：平面BDM． (2)求平面BDM与平面夹角的余弦值． 16．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 17．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标． (2)若向量分别与、垂直，且，求的坐标． (3)求以、为邻边的平行四边形的面积． 18．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 19．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．    (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 空间向量与立体几何章末与测试 目录 题型归纳 1 题型01 空间向量的概念及运算 3 题型02 利用空间向量证明位置关系 5 题型03 利用空间向量计算距离 8 题型04 利用空间向量计算距离 13 单元测试 19 一、空间向量的概念及运算 1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，减法的几何意义，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础． 2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生的数学运算能力． 二、利用空间向量证明位置关系 1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明． 2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 三、利用空间向量计算距离 1．空间距离的计算思路 (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为 (如图)． (2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为 (如图)． 2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 四、利用空间向量求空间角 1．空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成的角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β的夹角θ满足cos θ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力． 题型01空间向量的概念及运算 【解题策略】 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y. 【典例分析】 【例1】（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可. 【详解】   如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·福建厦门·期末）已知，，三点共线，则 . 【答案】1 【分析】，，三点共线,即，根据空间向量平行列式即可得出答案. 【详解】,, 由题得，所以，解得1， 故答案为：1. 【变式3】（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）利用空间向量的数量积公式求出的值，然后利用三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积 【详解】（1）由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. （2）由题可得：，， 所以，因为，所以， 则，所以，以、为邻边的平行四边形的面积为. 题型02 利用空间向量证明位置关系 【解题策略】 　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证)． 【典例分析】 【例2】（23-24高二下·上海·开学考试）空间中，设、是两条直线，、是两个平面，下列命题中，正确的是（    ） A．对于空间中的直线，若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若直线上存在两点到平面的距离相等，则 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；利用平面的法向量的定义可判断B；利用线面位置关系可判断CD. 【详解】对于A，当，，，时，只有相交时才有，故A错误； 对于B，若，，则分别是平面的一个法向量， 又，则，则，故B正确； 对于C，若，，，则与可以相交，故C错误； 对于D，若直线上存在两点到平面的距离相等，则或与相交，故D错误. 故选：B. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由直线的方向向量是，平面的法向量是， 得，即， 所以或. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·河南信阳·期末）已知，平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以与共线， 又，，则， 所以，. 故答案为：. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，为的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量法可证 【详解】因为底面为矩形，底面，所以AB，AD，AO两两互相垂直， 所以分别以AB，AD，AO所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为， 则，即 ，取，得 所以 又平面，所以直线平面 题型03 利用空间向量计算距离 【解题策略】 利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可． 【典例分析】 【例3】（23-24高二上·湖南张家界·阶段练习）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点线距离. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以， 则点到直线的距离是. 故选：D 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，点分别为的中点，是线段的中点，，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，首先用向量法证明直线面，再用向量法求点到面的距离即可. 【详解】易知，，两两垂直，则以为坐标原点，，，的放向分别为轴，轴，轴正方向，建立如空间直角坐标系. 由题意，得 所以.设为平面的法向量， 则令，得. 又，所以， 且平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 设为，因为，所以. 故选：D    【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）在三棱锥中，，，.记的中点为，的中点为，则异面直线与的距离为 . 【答案】 【分析】将三棱锥补成正六面体为利用勾股定理求解长、宽、高，再建立直接坐标系后，求出和的法向量，便可求得直线与的距离. 【详解】解：三棱锥的三组对棱分别相等，因此三棱锥的外接平行六面体为长方体，将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，，，且即解得 因此以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，. ，. 设垂直于和，所以 令，则，，所以. 又，所以异面直线与的距离. 故答案为： 【变式3】（2022高二上·全国·专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【详解】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 题型04 利用空间向量求空间角 【解题策略】 (1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标． (2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角，此类问题有两种思路：①转化为两条直线所成的角求解；②利用平面的法向量求解． 【典例分析】 【例4】（23-24高二下·江苏南京·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间坐标系，利用向量求解异面直线所成角的余弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 不妨设，则，， , 设异面直线与所成角为，. 故选：C    【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，E是棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面， 可把该几何体补成一个正方体，设该正方体的棱长为，如图所示， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 可得， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为，其中， 则， 则，即直线与平面所成角为. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的范围是 ． 【答案】 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，向量法求线面角的正弦值，利用函数思想求取值范围． 【详解】设正方体边长为2，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 因点在线段上，设，． 则，，，， ，． 设平面的一个法向量为，则， 令，则，得． 设与平面所成角为， 则． 注意到， 由，则当时，有最小值2；当或时，有最大值3， 则有，， 所以的取值范围为． 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·江苏泰州·期中）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.    (1)求二面角的余弦值： (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式计算可得答案； （2）设，得到点坐标，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，结合二次函数的知识，即可求出结果. 【详解】（1）因为在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形， 所以以为原点，、、分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量为，则，令，则 所以， 因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值. （2）由(1)知，，，， 因为点为线段上的任意一点，设，所以， 则，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成角为， 所以， 则， 令，则，所以， 则，， 所以，则， 所以，则当， 即时，直线与平面所成角的正弦值最大值，最大值为. 【单元测试】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·期中）若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（    ） A． B． C． D．与位置关系不确定 【答案】A 【分析】根据方向向量与法向量共线即可判断. 【详解】由于直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,， 由于，所以直线与平面的法向量共线，所以． 故选：A． 2．（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中点在坐标轴和坐标平面上的射影的特点进行求解. 【详解】点在x轴上的射影横坐标不变，纵坐标和竖坐标为0，即， 点在平面上的射影横坐标和竖坐标不变，纵坐标为0，即. 故选：D. 3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为所以所以． 故选：D. 4．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可. 【详解】结合图形可知： 是的中点，,, ， 是的中点，, , 即, ，，. 故选：C. 5．（23-24高二上·云南昆明·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用基底法表示得与，再利用空间向量的数量积运算即可得解 . 【详解】依题意，记，，， 则，，则， 因为， ， 所以. 故选：D. 6．（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案. 【详解】. 故选：B. 7．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 8．（23-24高二下·湖北·阶段练习）长方体中，，，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求出正弦值，再求正切值即可. 【详解】    以为原点建立空间直角坐标系，必有，，， ，设，而，， 由题意得，故，得，故， 故，，易知面的法向量， 故， 若最大，则最大， 由二次函数性质得当时，最大， 此时，， 此时最大，且，显然A正确. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为．则（    ） A．平面 B．平面平面 C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，判断与平面的一个法向量是否垂直即可判断A；根据平面和平面的法向量是否垂直判断出B；由线面夹角的正弦的公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；由点到平面的距离公式即可判断D． 【详解】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 连接，与交点为，连接，则平面， 因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为， 所以，，点坐标为， 所以，则， 又，，，，， 对于A：，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于B：由A得平面的一个法向量为， ，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 因为，即，所以平面平面，故B正确； 对于C：由A得平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则， 所以，即与平面所成角的余弦值为，故C正确； 对于D：由A得平面的一个法向量为， 因为， 所以点到平面的距离，故D正确； 故选：BCD． 11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D. 【详解】设正三棱柱的棱长为2， 以，，为基底向量，则， ，， 可得 ， 若，则， 则， 即， 所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误； 又，故，，，在同一平面内， 连接、、，依题意，，，平面， 所以平面，要使，所以需在上， 由，即， 所以， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 12．（22-23高二上·广东深圳·期末）设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 . 【答案】 【分析】利用空间位置关系的向量证明可得，再列式计算即得. 【详解】由，得，则，所以. 故答案为：1 13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案. 【详解】解：连接，如图所示： 因为是的中点，分别是，的中点， 所以 , 又因为， 所以， 所以. 故答案为： 14．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·广西柳州·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，M，N分别为，AD的中点．    (1)证明：平面BDM． (2)求平面BDM与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】（1）由题意可得，以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明平面，从而得证. （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）连接，由四边形是菱形，， ∴是等边三角形，又E是的中点，则，故，             在直四棱柱中，平面， 而平面，平面， 所以， 所以两两互相垂直， 以D为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，则，即， 而， 又平面， ∴平面． （2）由（1）知平面的一个法向量 ， 结合图形可知平面的一个法向量可以为， 设平面与平面所成角为， 则 ∴平面与平面所成角的余弦值为． 16．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 17．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间三点、、. (1)若向量与平行，且，求的坐标． (2)若向量分别与、垂直，且，求的坐标． (3)求以、为邻边的平行四边形的面积． 【答案】(1)或；(2)或；(3) 【分析】（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可得出向量的坐标； （2）求出平面的一个法向量的坐标，设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可得出向量的坐标； （3）利用空间向量的数量积可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得以、为邻边的平行四边形的面积. 【详解】（1）解：由已知可得， 因为向量与平行，设，其中， 则，解得. 所以，或. （2）解：设平面的一个法向量为，，， 则，解得，取，可得， 因为向量分别与、垂直，则，设，其中， 则，解得， 所以，或. （3）解：，因为，则， 所以，以、为邻边的平行四边形的面积. 18．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 19．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．    (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【详解】（1）   因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$