第10讲 用空间向量研究距离问题（两大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第10讲 用空间向量研究距离问题 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 点到直线的距离 2 题型02 点、直线、平面到平面的距离 6 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 20 创新拓展 35 一、点到直线的距离 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 二、点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 题型01点到直线的距离 【解题策略】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 【典例分析】 【例1】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离． 【变式3】（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 题型02 点、直线、平面到平面的距离 【解题策略】 用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 【典例分析】 【例2】课本例6　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 【变式演练】 【变式1】如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【变式2】如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高． 【变式3】（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东·阶段练习）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·浙江·期末）已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 6．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为 三、填空题 7．（21-22高二·全国·课后作业）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 8．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 11．（21-22高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 3．（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（    ） A．若为的中点，则 B．若为的中点，则到的距离为 C．若，则平面 D．的周长的最小值为 6．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 三、填空题 7．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ． 8．（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 9．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知正方体边长为1，，平面BED，平面，平面交于一点M，则点M到平面的距离为 ． 四、解答题 10．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 11．（23-24高二下·上海金山·期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求证：； (2)求点到侧面的距离. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为 ． 三、解答题 3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 4．（23-24高二上·湖北孝感·期中）在四棱锥中，底面是正方形，平面是的中点. (1)证明：平面； (2)若点在棱上，且，在棱上求一点，使得平面. 【下节预览】 一、选择题 1.（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 二、解答题 2.（23-24高二下·江苏常州·期中）如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 用空间向量研究距离问题 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 点到直线的距离 2 题型02 点、直线、平面到平面的距离 6 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 20 创新拓展 35 一、点到直线的距离 点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 注意点： 如果两条直线l，m互相平行，可在其中一条直线l上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到直线m的距离求解 二、点、直线、平面到平面的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ＝. 注意点： (1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 题型01点到直线的距离 【解题策略】 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 【典例分析】 【例1】在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 【详解】解　方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)， ∴＝(－2,0,2)，＝(－2,3,0)， ∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4， 取a＝＝(－2,0,2)，u＝＝， ∴a·u＝， ∴O1到直线AC的距离 d＝＝. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y,0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)． ∵＝(－2,3,0)，⊥，∥， ∴解得 ∴D， ∴||＝＝. 即O1到直线AC的距离为. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 可得在方向上的投影为， 又， 由勾股定理可得点到直线的距离为. 故答案为： 【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O到直线A1E的距离． 【详解】解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1,0,1)，E，O， 因为＝， u＝＝， 取a＝＝， 所以a2＝，a·u＝－. 所以点O到直线A1E的距离为＝＝. 【变式3】（2024高二上·江苏·专题练习）如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 则， 所以点E到直线PD的距离. 题型02 点、直线、平面到平面的距离 【解题策略】 用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 【典例分析】 【例2】课本例6　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 【详解】解　以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，C1(0,1,0)，E，F， 所以＝(0,1,0)，＝(－1,1，－1)，＝， ＝，＝，＝. (1)取a＝＝(0,1,0)，u＝＝(－1,1，－1)，则a2＝1，a·u＝. 所以，点B到直线AC1的距离为＝＝. (2)因为＝＝，所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1.所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 所以所以 取z＝1，则x＝1，y＝2. 所以，n＝(1,2,1)是平面AEC1的一个法向量．又因为＝，所以点F到平面AEC1的距离为＝＝. 即直线FC到平面AEC1的距离为. 【变式演练】 【变式1】如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 解　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E，F. 设DH⊥平面PEF，垂足为H， 则＝x＋y＋z ＝，x＋y＋z＝1， ＝，＝， 所以·＝x＋y＋－z ＝x＋y－z＝0. 同理，·＝x＋y－z＝0， 又x＋y＋z＝1，解得x＝y＝，z＝. 所以＝，所以||＝. 因此，点D到平面PEF的距离为. (2)由题意得，AC∥EF，直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，由(1)知＝， 平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)， 所求距离为＝＝. 【变式2】如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高． 解　设正四棱柱的高为h(h>0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1，1，h)， 则＝(1,0，－h)，＝(0,1，－h)，＝(1,1,0)， 设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 取z＝1，得n＝(h，h,1)， 所以点C到平面AB1D1的距离为d＝＝＝， 解得h＝2. 故正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为2. 【变式3】（2022高二·全国·专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【详解】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【详解】根据题意，， 则， 设向量是直线的单位方向向量，， ， 则点C到直线AB的距离为. 故选：A. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 3．（22-23高一下·重庆·阶段练习）已知正方体的棱长为，则点到面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出面的法向量为，则到平面的距离，即可得出答案. 【详解】解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    所以， ， 设面的法向量为， ， 所以， 令，则， 所以， ， 所以到平面的距离， 故选：C. 4．（23-24高二下·广东·阶段练习）AD为三角形ABC边BC上的高，在空间直角坐标系中，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量的坐标，再利用空间向量求出点到直线的距离即可. 【详解】依题意，，则，， 所以. 故选：B 二、多选题 5．（23-24高二上·浙江·期末）已知空间四点，则下列说法正确的是（    ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．点O到直线的距离为 D．O，A，B，C四点共面 【答案】AC 【分析】对于A，直角由向量数量积的坐标运算即可得解；对于B，由向量夹角余弦公式、三角函数平方关系以及三角形面积公式即可验算；对于C，发现，进一步只需求即可验算；对于D，设，判断该方程组是否有解即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 从而以为邻边的平行四边形的面积为，故B错误； 对于C，，因为，所以， 所以点O到直线的距离为，故C正确； 对于D，，设， 则，而该方程组无解，所以O，A，B，C四点不共面. 故选：AC. 6．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为 【答案】CD 【分析】由直线，线面平行，面面垂直的向量方法，空间距离的向量求法逐项判断即可. 【详解】对于A，由于直线的方向向量为，直线的方向向量为， 则，故直线和直线不平行，故A错误； 对于B，直线的方向向量为，平面的法向量为， 则，故B错误； 对于C，平面的法向量分别为， 则，故C正确； 对于D，由于，则，方向向量为， 所以，，故，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 7．（21-22高二·全国·课后作业）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 8．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中、，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据与平面的法向量垂直可求出，然后利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】因为、，所以, 记平面的一个法向量为， 则，解得， 故平面的一个法向量为. 因为，所以, 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 9．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】设为三角形的边上的高，由三点共线，以及，可通过待定系数得出，结合模长公式即可得解. 【详解】由题意设为三角形的边上的高，而， 因为三点共线，设， 因为，所以，解得， 所以，所以点到直线的距离为. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 11．（21-22高二·湖南·课后作业）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 【答案】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面EFBD的法向量，并证明平面平面EFBD.于是两平面的距离转化为点到平面的距离．利用向量距离公式求出即可. 【详解】以D为坐标原点，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴． 则， . 设是平面EFBD的一个法向量， 则，即，解得，所以 ． 又因为， 所以，从而，所以平面， 所以平面平面EFBD，所以两平面的距离即是点A到平面BDEF的距离． 从而两平面间距离为． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将则点到平面的距离表示出来即可求得最值. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点到平面的距离为， 又，所以当时， 点到平面的距离取得最小值为． 故选：D． 3．（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可. 【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，， 所以,, 设, 则, 而, 所以点到直线的投影数量的绝对值为 , 所以点到直线的距离为 ， 当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为， 故选：C. 4．（23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体中，，，，分别是棱和上的两个动点，且，则的中点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合，利用两点间距离公式，求出的长即可． 【详解】取的中点，连接， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为是的中点，所以， 所以，而， 所以，即，所以点到的距离就是， 因为， 所以，即， 所以，即， 所以的中点到的距离为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发现，再利用整体法即可得解. 二、多选题 5．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（    ） A．若为的中点，则 B．若为的中点，则到的距离为 C．若，则平面 D．的周长的最小值为 【答案】BCD 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，结合选项依次判断即可. 【详解】解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 可得平面的一个法向量为． 若为的中点，则， ，， 则到的距离，A不正确，B正确． 若，则，则， 因为平面，所以平面，C正确． 将平面沿着翻折至与平面共面， 当三点共线时，的周长最小，此时， 翻折前，故的周长的最小值为，D正确． 故选：BCD 6．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解. 三、填空题 7．（23-24高二上·陕西渭南·期末）直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】依题意，， 所以点到的距离. 故答案为： 8．（23-24高二上·北京昌平·阶段练习）在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 9．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知正方体边长为1，，平面BED，平面，平面交于一点M，则点M到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定的正方体建立空间直角坐标系，利用平面基本事实确定点位置，并求出其坐标，利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】令，连接，显然平面平面， 平面平面，则，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 在平面内，直线方程为，直线的方程为，联立解得， 令，则，， 由，得，解得，即点，， ，设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离，而正方体的棱长为1， 所以点M到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：确定三个平面的公共点，利用平面的基本事实，先求出其中两个平面的交线，再求出另两个平面的交线即可. 四、解答题 10．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 11．（23-24高二下·上海金山·期中）如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求证：； (2)求点到侧面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）由点在底面上的投影为的中点，知平面， 又平面，， 是以为斜边的等腰直角三角形，， 平面，平面， 平面，. （2），是中点，侧面是菱形，， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ，， 由（1）知直线，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得 点到平面的距离为：. 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算向量以及向量的模，根据点到直线距离的向量公式直接计算即可. 【详解】点，点. 又直线的方向向量为 所以点到的距离. 故选：B. 二、填空题 2．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意得面面，结合菱形性质，得两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，由空间向量法求点到直线的距离即可得解. 【详解】 折起前，连接菱形的对角线交于点， 所以，所以折起后有， 因为菱形的边长为1， 所以， 又因为，，且 所以在中，有， 所以， 所以折起前后四边形的面积固定， 若以为折痕将折起， 当点到达的位置时，四棱锥的体积最大， 则此时点到平面的距离最大， 则此时有面面， 又面面，，面， 所以面， 又面， 所以， 又， 所以两两互相垂直， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系： 则， 过点作于点，则， 又因为， 所以，即， 所以， 因为三点共线， 所以不妨设 ， 所以点到直线的距离 ， 所以当时，， 所以到距离最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解题关键是得到面面，结合菱形性质，建立适当的空间直角坐标系，由此即可顺利得解. 三、解答题 3．（23-24高二上·安徽亳州·期末）如图，在三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点为的中点，点为的中点． (1)点到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明线面垂直，再得线线垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法求点到直线的距离； （2）利用法向量求解点面距. 【详解】（1）由三棱柱中，所有棱长都为2， 则四边形为平行四边形，且棱长都相等，即为菱形， 又都为等边三角形，连接， 所以为等边三角形， 取中点，连接，则， 又平面面，平面平面，面， 所以平面，则， 又因为，所以两两垂直. 则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图示， ， 由 则， 所以， 则， 所以点到直线的距离为. （2）由（1）知， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离. 4．（23-24高二上·湖北孝感·期中）在四棱锥中，底面是正方形，平面是的中点. (1)证明：平面； (2)若点在棱上，且，在棱上求一点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为棱的中点 【分析】（1）解法一：设交于，连接.利用线面平行的判定定理即可证明；解法二：利用空间向量可证得，从而，即可证明； （2）由题意求出点G的坐标，进而求出平面的法向量，设，利用建立方程，解出即可求解. 【详解】（1）解法一：连接交于，连接.则在中，. 而平面平面 所以平面. 解法二：以为坐标原点，射线分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系. 设.连接交于，连接. 依题意得.因为底面是正方形， 所以是此正方形的中心，故点的坐标为， 所以. 则，故.而平面平面， 所以平面. （2）因为，得 设平面的法向量为， 故，令，则，故， 又， 设， 又因为平面， 所以，即，解得， 所以点为棱的中点时，平面. 【下节预览】 一、选择题 1.（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【答案】C 【分析】连接，交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，代入向量夹角公式，求出与平面夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案． 【详解】连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系， 由正四棱锥的棱长均为，点为的中点， 则,,,,,,， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得， 设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于， 则，则， 故与平面不平行，且与平面所成的角小于． 故选：C． 二、解答题 2.（23-24高二下·江苏常州·期中）如图1所示，为等腰直角三角形，分别为中点，将沿直线翻折，使得，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，即可证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）由题可知，因为分别为中点，所以， 所以， 又因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知，因为， 所以，所以两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，    建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 易得平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，即，取， 所以. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$