第07讲 空间中点、直线和平面的向量表示（两大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

第07讲 空间中点、直线和平面的向量表示 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间中点的向量和直线的向量表示 3 题型02 空间中平面的向量表示 5 易错归纳 9 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 16 创新拓展 24 一、空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝________. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝____________. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的____________唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 二、空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得________________． 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝________________.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个__________向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的__________．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 题型01空间中点的向量和直线的向量表示 【解题策略】 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一 【典例分析】 【例1】　(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) (2)已知直线l1的方向向量a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 【变式演练】 【变式1】(1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C. D．3 【变式2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 . 题型02 空间中平面的向量表示 【解题策略】 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量 【典例分析】 【例2】课本例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． 【变式演练】 【变式1】已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 【变式2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1, A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 【变式3】（20-21高二·江苏·课后作业）已知，，． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面经过点A，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 易错警示　利用向量法判断直线与平面平行 已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·海南·期中）已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东梅州·期末）空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 4．（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 6．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知空间中三点，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．平面一个法向量的坐标是 三、填空题 7．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知是平面α的一个法向量，点，在平面α内，则 ． 8．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 9．（2024高二上·全国·专题练习）在平面中，点，若，且为平面的法向量，则 ， . 四、解答题 10．（22-23高二上·山东济宁·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，其中分别是平面与平面的法向量. (1)若，求.的值； (2)若且，求的值. 11．（2024高二上·江苏·专题练习）在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二上·山西大同·期中）平面的一个法向量，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·广西·开学考试）已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·新疆喀什·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 三、填空题 7．（21-22高二·全国·课后作业）已知，，，则平面的一个法向量是 ． 8．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 9．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ． 四、解答题 10．（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量． 11．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则 . 三、解答题 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，，，设，，，以,,为空间的一个基底，求直线，的一个方向向量．    【下节预览】 一、解答题 1、（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 空间中点、直线和平面的向量表示 【人教A版选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 空间中点的向量和直线的向量表示 3 题型02 空间中平面的向量表示 5 易错归纳 9 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 16 创新拓展 24 一、空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 二、空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 题型01空间中点的向量和直线的向量表示 【解题策略】 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一 【典例分析】 【例1】　(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 【答案】　AB 【解析】　∵＝(1,1,3)，M，N在直线l上，∴向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量． (2)已知直线l1的方向向量a＝(2，－3，5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是(　　) A．6和－10 B．－6和10 C．－6和－10 D．6和10 【答案】　A 【解析】　因为a∥b，a＝(2，－3,5)，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa， 即(－4，x，y)＝λ(2，－3,5)＝(2λ，－3λ，5λ)， 所以解得 所以x，y的值分别是6和－10. 【变式演练】 【变式1】(1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为________． 【答案】　(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一) 【解析】　因为DD1∥AA1，＝(0,0,1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)； 因为BC1∥AD1，＝(0,1,1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)． (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C. D．3 【答案】　A 【解析】　∵A(0，y,3)，B(－1,2，z)， ∴＝(－1,2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)， 故设＝km. ∴解得 ∴y－z＝0. 【变式2】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知直线的一个方向向量为，另一个方向向量为，则 ， . 【答案】 －20 12 【分析】由直线的方向向量平行的性质即可求解. 【详解】∵直线的方向向量平行， ∴， ∴， 故答案为：；. 【变式3】（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，都是直线l的方向向量，则x的值是 . 【答案】-1 【分析】根据两向量平行得到方程组，求出x的值. 【详解】由题意设，即， 即，解得. 故答案为：-1 题型02 空间中平面的向量表示 【解题策略】 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量 【典例分析】 【例2】课本例1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面BCC1B1的法向量； (2)求平面MCA1的法向量． 【详解】解　(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1， 所以n1＝(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量． (2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以M，C，A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2)． 因此＝(－3,2,0)，＝(0，－2,2)． 设n2＝(x，y，z)是平面MCA1的法向量， 则n2⊥，n2⊥. 所以 所以 取z＝3，则x＝2，y＝3. 于是n2＝(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量． 【变式演练】 【变式1】已知四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 【详解】解　答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量)． ∵D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)，∴＝(1,2,0)， ＝(－1,0,2)， 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1， 解得y＝－，z＝， ∴n＝， 即平面SCD的一个法向量为n＝， ∵x轴⊥平面SAB， ∴m＝(1,0,0)即为平面SAB的一个法向量． 【变式2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1, A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量． 【详解】解　设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,2)， (1)设平面BDD1B1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)， ∵＝(2,2,0)，＝(0,0,2)， 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝0， ∴平面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1,0)．(答案不唯一) (2)∵＝(2,2,0)，＝(1,0,2)， 设平面BDEF的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)． ∴即 令x2＝2，则y2＝－2，z2＝－1， ∴平面BDEF的一个法向量为m＝(2，－2，－1)．(答案不唯一) 【变式3】（20-21高二·江苏·课后作业）已知，，． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面经过点A，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线方向向量的求法求得正确答案. （2）由来求得满足的关系式. 【详解】（1）直线的一个方向向量为. （2）是的法向量，所以， 即， 即. 易错警示　利用向量法判断直线与平面平行 已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________． 错解：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u⊥a，所以l∥α. 错解分析：错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u⊥a可得l⊂α或l∥α. 正解：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u⊥a.所以l⊂α或l∥α. 防范措施：向量法证明线面平行的两个关注点 (1)明确理论依据 如果一条直线与一个平面的垂线垂直，那么，这条直线在平面内或与平面平行． (2)区分有关概念 直线与平面平行，直线一定在平面外，向量与平面平行，向量对应的直线可在平面内. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·海南·期中）已知平面平面，，的一个法向量分别为，，直线的方向向量为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示，求出并逐项判断即可. 【详解】依题意，，则，解得， 因此，，，，ACD正确，B错误. 故选：B 2．（23-24高二上·广东梅州·期末）空间直角坐标系中，已知点，向量，则过点且以为法向量的平面方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面法向量的定义可得. 【详解】设过点且以为法向量的平面上不同于P的任一点， 则，所以， 所以过点且以为法向量的平面方程为， 故选：A 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若∥，则 B．若∥β，则 C．若⊥，则 D．若∥β，则 【答案】B 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误． 故选：B． 4．（22-23高二上·山东济宁·阶段练习）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面内任意一点，由题意，由此可得，对比选项即可得解. 【详解】设平面内任意一点，则，平面的一个法向量为 所以，整理得， 而，，，， 所以对比选项可知只有在平面内. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，则（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】CD 【分析】求出、的坐标，根据共线定理判断A，与向量方向相同的单位向量是即可判断B，根据夹角公式判断C，令，计算出，，即可判断D. 【详解】因为，，， 所以，， 因为不存在实数使得，所以与不共线，故A错误. 因为，所以与向量方向相同的单位向量是，故B错误. 又，所以与夹角的余弦值是，故C正确. 不妨令，则， ，即且， 所以是平面的法向量，故D正确. 故选：CD 6．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知空间中三点，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．平面一个法向量的坐标是 【答案】BCD 【分析】由题意首先求出，对于A，判断对应坐标分量是否成比例即可；对于B，由公式直接运算验证即可；对于C，直接由公式直接运算验证即可；对于D，，只需验证是否同时成立即可. 【详解】由题意， 对于A，因为，所以与不是共线向量，故A错误； 对于B，与同向的单位向量是，故B正确； 对于C，与夹角的余弦值是，故C正确； 对于D，记，所以， 从而平面一个法向量的坐标是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．（23-24高二上·河北·阶段练习）已知是平面α的一个法向量，点，在平面α内，则 ． 【答案】9 【分析】 利用空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】 由，，得， 因为是平面的一个法向量，点A，在平面内，所以， 所以，解得． 故答案为：9 8．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点，在平面内，则 ． 【答案】9 【分析】根据法向量的概念结合条件即得. 【详解】由条件得，因为是平面的一个法向量，点A，B在平面内， 所以，所以， 所以，解得． 故答案为：9. 9．（2024高二上·全国·专题练习）在平面中，点，若，且为平面的法向量，则 ， . 【答案】 【分析】根据题意，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】由平面中，点， 可得， 因为为平面的一个法向量，则， 解得. 故答案为：；. 四、解答题 10．（22-23高二上·山东济宁·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，其中分别是平面与平面的法向量. (1)若，求.的值； (2)若且，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平面平行，得到空间向量平行，列出方程组，求出答案； （2）根据平面垂直，得到空间向量垂直，结合，列出方程组，求出答案. 【详解】（1）分别是平面与平面的法向量且， ， 令，即 所以，解得：. （2）分别是平面与平面的法向量且， ， 即， ， 又， 所以或. 11．（2024高二上·江苏·专题练习）在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式. 【答案】 【分析】根据是平面的一个法向量可得，再由向量坐标运算可得答案. 【详解】由题得， 因为是平面的一个法向量，所以，从而， 即， 所以， 整理可得，即为所求. 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）已如点，，者在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【详解】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可. 【详解】由题意知：，， 对于A，，， 与均垂直，是平面的一个法向量，A正确； 对于B，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，B错误； 对于C，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，C错误； 对于D，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，D错误. 故选：A. 3．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系，以及直线的方向向量、平面的法向量的概念求解. 【详解】因为，所以，显然， 所以，解得，，故． 故选:D. 4．（23-24高二上·山西大同·期中）平面的一个法向量，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量，验证选项即可. 【详解】设点在平面上， 因为，所以， 由， 得，依次验证选项，只有满足. 故选：D 二、多选题 5．（23-24高二上·广西·开学考试）已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】设平面的法向量为， 因为向量， 所以， 取，得， 取，得. 故选：BC. 6．（23-24高二上·新疆喀什·期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【分析】根据已知可得出点的坐标，进而求出相关向量的坐标，求出平面的法向量，即可得出答案. 【详解】由题意，，，，，. 对于A、B项，可知， ∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确； 对于C项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，可得，则C正确； 对于D项，设平面的法向量为，则. 又，， 所以有. 令，得，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题 7．（21-22高二·全国·课后作业）已知，，，则平面的一个法向量是 ． 【答案】(答案不唯一，是的非零倍数即可) 【分析】 写出的坐标，设出法向量，列出方程组，求出一个法向量. 【详解】 依题意，得，．设平面的一个法向量， 则，取，得， 所以是平面的一个法向量． 故答案为： 8．（2024高二上·全国·专题练习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 9．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）在中，．向量为平面的一个法向量，则的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量垂直求平面的法向量即可. 【详解】根据题意可得：，设， 与平面垂直，则，可得， 当时，则，的坐标为． 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 10．（2024高二上·全国·专题练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量． 【答案】答案见解析 【分析】根据空间直角坐标系的性质，利用线面垂直的性质建立合适的坐标系，再根平面法向量的性质求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以 又，，所以， 所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，    则， 所以是平面的一个法向量． 因为， 设平面的一个法向量， 则      ，取，得， 所以是平面的一个法向量． 11．（2024高二上·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，是边长为1的正三角形，是菱形，，E是的中点，F是的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一）. 【分析】首先根据面面垂直的性质可得平面，进而结合等边三角形的性质可得，再建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，从而利用，即可得到答案. 【详解】连接，因为是边长为1的正三角形，，F为的中点， 所以，又因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接AC，因为，，所以是等边三角形，又F为的中点，所以. 综上可知，直线两两垂直， 所以建立以为原点，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：    由题意，在正和正中，， 则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，化简得， 令，则，即 所以平面的一个法向量为（答案不唯一）. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东茂名·期中）已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，以A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）.则平面ABE的一个法向量为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平面ABE的法向量为，然后由，可求出其法向量. 【详解】由题意可得，，， 所以， 设平面ABE的法向量为， 由，得到，取，则， 所以平面ABE的一个法向量为， 所以是平面ABE的法向量.    故选：C. 2．（23-24高二上·云南昆明·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论． 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点， 则 平面法向量为， 故选：A． 二、填空题 3．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义，设,2,，即,,,2,,,，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,， 则，解得. 故答案为：． 三、解答题 4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在三棱台中，，，，设，，，以,,为空间的一个基底，求直线，的一个方向向量．    【答案】直线的一个方向向量是；直线的一个方向向量是 【分析】根据向量的线性运算分别计算即可． 【详解】 ， 故直线的一个方向向量是； ， 故直线的一个方向向量是． 【下节预览】 一、解答题 1、（2024高二上·江苏·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，利用坐标结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）利用空间向量的坐标运算可得为平面的一个法向量，又,且平面，即可证明. 【详解】（1）由题意易知两两互相垂直. 如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系.设. 依题意有, 则, 所以, ， 即, 又,平面, 故平面.又平面， 所以平面平面. （2）根据题意，有, 则, 故 又不共线，所以为平面的一个法向量. 又因为,且 即,且平面， 故有平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$