第12讲 概率的进一步认识-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第12讲 概率的进一步认识 【北师大版】 ·模块一 用树状图或表格求概率 ·模块二 用频率估计概率 ·模块三 课后作业 模块一 用树状图或表格求概率 1.概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 2.用列表法、树状图法求概率 列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。 树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。 （2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。 【考点1 几何概率】 【例1.1】（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 ． 【例1.2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）用如图所示的正方形，制成一副七巧板（如图甲），将它拼成“小天鹅”图案（如图乙），若从图乙中随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ． 【变式1.1】（2024·江苏苏州·二模）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【变式1.2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【变式1.3】（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，已知正方形的边长为，分别以点，为圆心，为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【考点2 列举法求概率】 【例2.1】（2024·内蒙古赤峰·二模）从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023·广东肇庆·三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【变式2.2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2.3】（23-24九年级上·湖北·周测）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是（    ） A． B． C． D． 【考点3 列表法或树状图法求概率】 【例3.1】（2024·湖北武汉·模拟预测）十字路口绿灯时，可以直行，左转，右转，甲乙两辆车经过这个十字路口时它们的方向选择是均等，则过十字路口后，两车行走方向相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【例3.2】（2024·内蒙古包头·中考真题）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【例3.3】（2024·湖北武汉·中考真题）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白、红三种除颜色不同外其余都相同的球，其中白球3个，红球4个，且从中任意摸出一个球，是白球的概率为，若在这个不透明的纸盒中第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24九年级下·重庆·期中）某班要从小明、小刚、小西、小芳四名学生中选取两人作为毕业晚会的主持人，若每人被选中的概率都相同，则恰好选中小刚和小西的概率是 ． 【变式3.3】（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）有四张正面分别标有数字、0、1、2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀． (1)随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率； (2)随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的数字之积是正数的概率． 【考点4 游戏的公平性】 【例4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 【变式4.1】（2024·陕西榆林·三模）2024世界泳联跳水世界杯总决赛在西安奥体中心游泳跳水馆举行，小明和小乐均想去观赛，但仅有一张门票，他们准备了如图所示的甲、乙两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内标上数字，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域得到的两个数字之和大于1，则小明获得门票，否则小乐获得门票．若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止． (1)若转动转盘甲，则转盘指针指向的数字是正数的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，判断该游戏规则对双方是否公平． 【变式4.2】（2024·陕西西安·模拟预测）某校在七年级各班开展了“红五月、唱红歌、颂祖国”合唱比赛，小明、小红和小亮都想成为本次活动的“班级领唱”（三个人的演唱水平都一样），为了决定让谁来“领唱”，王老师设计了一个摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的一黄、一白两个乒乓球，三个人先后从袋子中摸出一个乒乓球，记下颜色后放回，下一个人再摸，然后记下颜色，重复这样的过程，直至三个人都记下所摸出乒乓球的颜色时，游戏结束．王老师说如果摸出“两黄一白”小明领唱，如果摸出“两白一黄”小亮领唱，如果摸出“三个同色”则小红领唱，你认为王老师的方案是否公平？请用树状图说明理由． 【变式4.3】（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）某中学为减轻学生的学习压力，准备组织初三年级周末进行徒步活动，现已想好两个徒步地点：长虫山、抚仙湖．准备以抽签的方式决定徒步地点．规则为：一个不透明纸箱里，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，先后从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去长虫山；否则，去抚仙湖． (1)求第一次摸到红球的概率为________； (2)请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果； (3)请用概率知识判断两个徒步地点被选中的可能性是否相同？若不相同，你认为更容易选中哪个地点． 模块二 频率估计概率 频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率稳定于某个常数，那么事件A 发生的概率 【考点1 计算频率】 【例1】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【变式1.2】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 【考点2 频率估计概率】 【例2】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 ．(精确到0.1) 【变式2.1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某种树苗移植的成活情况记录如下：估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）． 移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000 移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801 移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801 【变式2.2】（2024·湖南长沙·三模）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 【变式2.3】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率                                    (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； (3)若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 模块三 课后作业 1．（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 2．（2024·湖北武汉·二模）如图，五一期间某景区有A，B，C三个入口，D，E两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A或B入口进入，从D出口离开的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 4．（2024·山东济南·三模）两千多年前我们的祖先使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 〇 横式 用“算筹”表示数时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502，从“”、“”、“”、“”、“”可以组成的所有两位数中，随机抽取一个数，是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务.小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宜讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年七年级下学期6月期末数学试题）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径是小圆半径的2倍，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞每次都落在游戏板上)，则击中阴影部分的概率是 ． 7．（23-24七年级下·重庆·期末）一个不透明的布袋中装有若干个红球和白球，其中白球的个数比红球的个数多3个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中的红球一共有 个． 8．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是 ． 9．（2024·浙江温州·三模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒．当车辆随意经过该路口时，遇到绿灯的概率是 ． 10．（2024·山西太原·模拟预测）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是 ． 11．（2024·陕西·模拟预测）甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小珊在了解甲骨文后．制作了如图所示的正面写有“文”、“明”、“自”、“由”的四张卡片A、B、C、D，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)若随机抽取一张卡片，则抽到的卡片正面文字是“自”的概率为______． (2)小珊从中随机抽取一张卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求小珊抽取的卡片正面文字恰好组成“文明”一词的概率． 12．（23-24七年级下·河南郑州·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 13．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 14．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 概率的进一步认识 【北师大版】 ·模块一 用树状图或表格求概率 ·模块二 用频率估计概率 ·模块三 课后作业 模块一 用树状图或表格求概率 1.概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 2.用列表法、树状图法求概率 列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。 树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。 （1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。 （2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。 【考点1 几何概率】 【例1.1】（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了几何概率的求法，正方形多边形与圆，解答此题除了熟悉几何概率的定义外，还要熟悉圆内接正方形和圆外切正方形的关系． 首先分别求出小正方形与大正方形的面积，再求出小正方形面积与大正方形面积的比即为小球落在小正方形内部区域阴影部分的概率． 【详解】设小正方形的边长为a，则其面积为. ∵圆的直径正好是大正方形边长， ∴根据勾股定理,其小正方形对角线为, 即圆的直径为， ∴大正方形的边长为， 则大正方形的面积为, 则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为； 故答案为：． 【例1.2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）用如图所示的正方形，制成一副七巧板（如图甲），将它拼成“小天鹅”图案（如图乙），若从图乙中随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为 ． 【答案】/0.3125 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 设正方形的边长为1，则正方形面积为，先求出空白部分面积，再拿正方形面积减去空白部分面积即阴影部分面积，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：如图： 设正方形的边长为1，则正方形面积为 则， ， ∴ ∴这个点取在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【变式1.1】（2024·江苏苏州·二模）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：    设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的 ，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 【变式1.2】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 【变式1.3】（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，已知正方形的边长为，分别以点，为圆心，为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何概型求解概率问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将阴影部分分成两个小弓形，从而求解处出阴影部分的面积，进一步求出概率即可． 【详解】解：阴影部分的面积是， 正方形面积 ∴此点取自阴影部分的概率是， 故选：C 【考点2 列举法求概率】 【例2.1】（2024·内蒙古赤峰·二模）从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有情况，找出组成的两位数是3的倍数的情况，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：组成的两位数有，共12种情况，其中成的两位数是3的倍数的情况有，共4种， ∴； 故选C． 【变式2.1】（2023·广东肇庆·三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法．设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原理可得． 【详解】解：设5名同学票用A，B，C，D，E来表示， 若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法， 设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位， 则有共9种坐法， 则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种， 故选：B． 【变式2.2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知的三边a，b，c（）均为整数且周长为24，其中最长边a满，若从这样的三角形中任取一个，则它是直角三角形的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先根据题意找到满足条件的三角形个数，再找到其中是直角三角形的个数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵的三边a，b，c（）均为整数且周长为24， ∴或或或或或或或或或或或，一共12种情况， ∵是直角三角形的有，只有1种情况， ∴从这样的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率是． 故选：A． 【变式2.3】（23-24九年级上·湖北·周测）甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查利用列举法求概率，求出所有的传球方法共有多少种，找出第4次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过4次传球后，球仍在甲手中的概率． 【详解】解：用甲→乙→丙→甲→乙表示一种传球方法， 所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙→甲； 甲→乙→甲→乙→丙； 甲→乙→甲→丙→甲； 甲→乙→甲→丙→乙； 甲→乙→丙→乙→甲； 甲→乙→丙→乙→丙； 甲→乙→丙→甲→丙； 甲→乙→丙→甲→乙； 甲→丙→甲→乙→甲； 甲→丙→甲→乙→丙； 甲→丙→甲→丙→甲； 甲→丙→甲→丙→乙； 甲→丙→乙→丙→甲； 甲→丙→乙→丙→乙； 甲→丙→乙→甲→丙； 甲→丙→乙→甲→乙； 则共有16种传球方法，第4次球恰好传回给甲的有6种情况， ∴经过4次传球后，球仍在甲手中的概率是， 故选B 【考点3 列表法或树状图法求概率】 【例3.1】（2024·湖北武汉·模拟预测）十字路口绿灯时，可以直行，左转，右转，甲乙两辆车经过这个十字路口时它们的方向选择是均等，则过十字路口后，两车行走方向相同的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两车行走方向相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （直行，左转） （直行，右转） 左转 （左转，直行） （左转，左转） （左转，右转） 右转 （右转，直行） （右转，左转） （右转，右转） 共有9种等可能的结果，其中两车行走方向相同的结果有3种， ∴两车行走方向相同的概率为． 故选：C． 【例3.2】（2024·内蒙古包头·中考真题）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到同一个阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能， ∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是， 故选：D． 【例3.3】（2024·湖北武汉·中考真题）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有9种情况，至少一辆车向右转有5种， ∴至少一辆车向右转的概率是， 故选：D． 【变式3.1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白、红三种除颜色不同外其余都相同的球，其中白球3个，红球4个，且从中任意摸出一个球，是白球的概率为，若在这个不透明的纸盒中第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，设黑球有个，根据概率公式得出黑球有2个，进而根据列表法求概率，即可求解． 【详解】解：设黑球有个，依题意，， 解得：， ∴黑球有2个． 列表如下： 黑 黑 白 白 白 红 红 红 红 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） （黑，红） （黑，红） （黑，红） （黑，红） 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，白） （黑，红） （黑，红） （黑，红） （黑，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，黑） （红，黑） （红，白） （红，白） （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 共有72种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的结果有20种， ∴两次摸到的球颜色相同的概率为 故选：D． 【变式3.2】（23-24九年级下·重庆·期中）某班要从小明、小刚、小西、小芳四名学生中选取两人作为毕业晚会的主持人，若每人被选中的概率都相同，则恰好选中小刚和小西的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中小刚和小西的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 小明 小刚 小西 小芳 小明 （小明，小刚） （小明，小西） （小明，小芳） 小刚 （小刚，小明） （小刚，小西） （小刚，小芳） 小西 （小西，小明） （小西，小刚） （小西，小芳） 小芳 （小芳，小明） （小芳，小刚） （小芳，小西） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中小刚和小西的结果有：（小刚，小西），（小西，小刚），共2种， ∴恰好选中小刚和小西的概率为． 故答案为：． 【变式3.3】（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）有四张正面分别标有数字、0、1、2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀． (1)随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率； (2)随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两次抽到的数字之积是正数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率计算公式，用列表法或树状图法求概率， 熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图或列表，共有12个等可能的结果，两次抽到的数字之积是负数的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）从4张除数字外均相同的卡片中抽取1张，共有4种等可能结果， 其中抽到数字“2”的只有1种结果， 抽到数字“2”的概率为； （2）根据题意，画树状图（列表）如下：（选一种作答即可） 第一张第二张 0 1 2 0 0 0 0 0 1 0 2 2 0 2 共有12种等可能的结果，两次抽到的数字之积是正数的结果有2种， 两次抽到的数字之积是正数的概率为． 【考点4 游戏的公平性】 【例4】（2024·陕西咸阳·模拟预测）2024年5月18日是第48个国际博物馆日，主题为“博物馆致力于教育与研究”本届国际博物馆日中国主会场定于陕西历史博物馆秦汉馆．为了提升博物馆的服务质量，以便更好地发挥其文化宣扬和传承方面的作用，某博物馆面向社会招募志愿者．某校现有10名志愿者准备参加该博物馆志愿服务工作，其中男生6人，女生4人． (1)若从这10名志愿者中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为______； (2)若该博物馆的某项工作只在甲、乙两名志愿者中选一名，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2、3、4、5的扑克牌（背面完全相同）洗匀后，数字朝下放于桌面，甲先从四张牌中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的牌中随机抽取一张，若所抽取的两张牌的牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则，乙参加．请用画树状图或列表法说明该游戏对双方公平吗？ 【答案】(1) (2)这个游戏不公平 【分析】本题考查的是用概率公式求概率，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求出即可； （2）利用树状图表示出所有可能进而利用概率公式求出两人的概率，再比较概率大小即可得出结论． 【详解】（1）解：共10名志愿者，女生4人， 选到女生的概率是：； 故答案为：． （2）解：根据题意画图如下： 共有12种情况，和为偶数的情况有4种， 牌面数字之和为偶数的概率是， 甲参加的概率是，乙参加的概率是， 这个游戏不公平． 【变式4.1】（2024·陕西榆林·三模）2024世界泳联跳水世界杯总决赛在西安奥体中心游泳跳水馆举行，小明和小乐均想去观赛，但仅有一张门票，他们准备了如图所示的甲、乙两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的三个扇形，并在每一个扇形内标上数字，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域得到的两个数字之和大于1，则小明获得门票，否则小乐获得门票．若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止． (1)若转动转盘甲，则转盘指针指向的数字是正数的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，判断该游戏规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了简单的概率公式计算，列表法或画树状图法计算概率，熟练掌握概率计算方法是解题的关键． （1）利用简单的概率计算公式计算即可． （2）列表法计算概率即可． 【详解】（1）因为一共有3种等可能性， 是正数的有1，3两种等可能性， 所以转盘停止后指针所指扇形中的数字是正数的概率为， 故答案为：． （2）这个游戏对双方是不公平的，理由如下： 用表格列出所有等可能的结果如下： 1 3 0 2 3 0 5 3 4 1 6 由图可得，一共有9种等可能的结果，其中，两次指针指向的数字之和大于1数有5种等可能结果， （小明胜），（小乐胜）， （小明胜）（小乐胜）， 这个游戏对双方是不公平的． 【变式4.2】（2024·陕西西安·模拟预测）某校在七年级各班开展了“红五月、唱红歌、颂祖国”合唱比赛，小明、小红和小亮都想成为本次活动的“班级领唱”（三个人的演唱水平都一样），为了决定让谁来“领唱”，王老师设计了一个摸球游戏：在一个不透明的袋子里装有除颜色外其余均相同的一黄、一白两个乒乓球，三个人先后从袋子中摸出一个乒乓球，记下颜色后放回，下一个人再摸，然后记下颜色，重复这样的过程，直至三个人都记下所摸出乒乓球的颜色时，游戏结束．王老师说如果摸出“两黄一白”小明领唱，如果摸出“两白一黄”小亮领唱，如果摸出“三个同色”则小红领唱，你认为王老师的方案是否公平？请用树状图说明理由． 【答案】王老师的方案不公平，树状图和理由见解析 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再分别找出“两黄一白”，“两白一黄”，“三个同色”的结果数，进而计算出三人分别领唱的概率即可得到结论． 【详解】解：王老师的方案不公平，理由如下： 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中“两黄一白”的结果数有3种，“两白一黄”的结果数有3种，“三个同色”的结果数有2种， ∴小明领唱的概率为，小亮领唱的概率为，小红领唱的概率为， ∵， ∴王老师的方案不公平． 【变式4.3】（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）某中学为减轻学生的学习压力，准备组织初三年级周末进行徒步活动，现已想好两个徒步地点：长虫山、抚仙湖．准备以抽签的方式决定徒步地点．规则为：一个不透明纸箱里，装有型号完全相同的3个红球和2个黑球，先后从纸箱里摸出两个球（不放回），若两次所摸球的颜色相同，则去长虫山；否则，去抚仙湖． (1)求第一次摸到红球的概率为________； (2)请用树状图或者列表表示出所有摸球的结果； (3)请用概率知识判断两个徒步地点被选中的可能性是否相同？若不相同，你认为更容易选中哪个地点． 【答案】(1) (2)见解析 (3)两个徒步地点被选中的可能性不相同，去抚仙湖徒步的可能性更大 【分析】（1）根据简单的概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． （3）计算颜色相同的概率，颜色不同的概率，比较大小，确定可能性的大小． 本题考查了简单地概率公式，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得摸到红球的概率为， 故答案为：． （2）根据题意，设红球用A，B，C表示，黑球用D，E表示，画树状图如下： 一共有20种等可能性，其中颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性． （3）根据题意，颜色相同的有8种等可能性，颜色不同的有12种等可能性， ∴去长虫山的概率为；去抚仙湖的概率为 故两个徒步地点被选中的可能性不相同，去抚仙湖徒步的可能性更大． 模块二 频率估计概率 频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率稳定于某个常数，那么事件A 发生的概率 【考点1 计算频率】 【例1】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 【变式1.1】（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A．12个 B．15个 C．18个 D．20个 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 【变式1.2】（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各组的频数可求出第小组的频数，再根据频率的计算方法即可求解． 【详解】解：个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是， ∴第小组的频数为， ∴第小组频率为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 【变式1.3】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，第四组频率为， 故答案为： ． 【考点2 频率估计概率】 【例2】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共5只，这些球除颜色外都相同．某数学小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 则从袋子中随机摸出一球，这只球是白球的概率是 ．(精确到0.1) 【答案】0.6 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6． 【详解】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6． 【变式2.1】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）某种树苗移植的成活情况记录如下：估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）． 移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000 移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801 移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801 【答案】0.80 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80， 故答案为：0.80． 【变式2.2】（2024·湖南长沙·三模）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为； ③米粒落在圆内的概率＝； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了频率估计概率，几何概率，直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案． 【详解】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为： ∴米粒落在圆内的概率为； ①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确； ②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误； ③米粒落在圆内的概率＝，故③正确； ④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即， ∴的值接近于，故④正确； 故答案为：①③④． 【变式2.3】（23-24八年级下·江苏淮安·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率                                    (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）； (2)若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出白球”为必然事件，则 ； (3)若先从袋子中取出x个白球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求x的值． 【答案】(1) (2)14 (3)1 【分析】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于， （2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量；根据盒子里有14个黑球，再根据“摸出白球”为必然事件，从而得出； （3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）由（1）得白球的概率为， 故盒子里白球的数量为：(个)， ∴盒子里有个黑球， ∵若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出1个球，盒子里有14个黑球，“摸出白球”为必然事件， ， 故答案为：14； （3）由（2）知白球6个，黑球14个， 根据题意得： 解得：， 则的值为1． 模块三 课后作业 1．（2024八年级下·上海·专题练习）在抛掷硬币的试验中，连续多次抛掷一枚硬币，每一次都记录出现的“正面”或“反面”．下面的说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越接近0.5 B．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率就越来越远离0.5 C．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5 D．随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 机会均等就出现的可能性是相同的，但不一定在有限的实验中出现的次数相同，只是在大量实验时，两者出现的次数接近． 【详解】解：“正面”和出现“反面”的机会均等，随着试验次数的增加，出现“正面”的频率整体变化趋势越来越接近0.5． 故选：C． 2．（2024·湖北武汉·二模）如图，五一期间某景区有A，B，C三个入口，D，E两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A或B入口进入，从D出口离开的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小红从入口A，B进入景区并从D出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有6种， 设小红从A或B入口进入景区并从D出口离开的概率是P， ∵小红从A或B入口进入景区并从D出口离开的有2种情况， ∴． 故选：B． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题关键．理解用频率估计概率，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意． 故选B． 4．（2024·山东济南·三模）两千多年前我们的祖先使用“算筹”表示数．算筹有纵式和横式两种排列方式，各个数字及其算筹表示的对应关系如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 〇 横式 用“算筹”表示数时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“”表示87，“”表示502，从“”、“”、“”、“”、“”可以组成的所有两位数中，随机抽取一个数，是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，先根据题意得到五个符号表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、9必须要在十位，0、2、3在个位，据此列举出所有符合题意的数，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】 解：“”、“”、“”、“”、“”分别表示的数是0，2，3，6，9，且数字6、9必须要在十位，0、2、3在个位，则可以组成的两位数有60，62，63，90，92，93，共6个数，其中是奇数的有2个， ∴随机抽取一个数，是奇数的概率为， 故选：B． 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务.小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宜讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积即可得． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴图③的面积为， 图④的面积为， 正方形的面积为， ∴停在阴影部分的概率为， 故选：B． 6．（四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年七年级下学期6月期末数学试题）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径是小圆半径的2倍，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞每次都落在游戏板上)，则击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，圆环的面积与大圆的面积的比值即为击中阴影部分的概率． 【详解】解：由题意，不妨设大圆的半径为2，小圆的半径为1， ∴； 故答案为：． 7．（23-24七年级下·重庆·期末）一个不透明的布袋中装有若干个红球和白球，其中白球的个数比红球的个数多3个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则布袋中的红球一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查根据频率估计概率，分式方程的解法，已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为， 设布袋中红球有个，则， 化为整式方程为， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：6． 8．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查求一元一次不等式组的整数解，用树状图或列表法求概率，先解不等式组求出整数解，再画出树状图，用概率公式求出概率即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 则不等式组的整数解为,共4个， 画树状图如下； 共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为． 故答案为： 9．（2024·浙江温州·三模）某路口红绿灯的时间设置为：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒．当车辆随意经过该路口时，遇到绿灯的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率模型概率的求解，对于此题，类似于几何概率模型，将红灯、绿灯、黄灯对应的时间看成线段长、面积或体积皆可，根据几何概率的求法，找准两点：①全部情况的总长度（面积或体积）；②符合所求的长度（面积或体积）；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：红灯30秒，绿灯50秒，黄灯3秒， 遇到绿灯的概率为， 故答案为：． 10．（2024·山西太原·模拟预测）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种， 则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故答案为： 11．（2024·陕西·模拟预测）甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小珊在了解甲骨文后．制作了如图所示的正面写有“文”、“明”、“自”、“由”的四张卡片A、B、C、D，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同，将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)若随机抽取一张卡片，则抽到的卡片正面文字是“自”的概率为______． (2)小珊从中随机抽取一张卡片不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求小珊抽取的卡片正面文字恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，解答本题的关键是掌握概率公式． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，小珊抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：通过卡片上的文字，则抽到的卡片正面文字是“自”的概率为， 故答案为：； （2）解：树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，小珊抽取的卡片正面文字恰好组成“文明”一词的结果有2种，则小珊抽取的卡片正面文字恰好组成“文明”一词的概率为． 12．（23-24七年级下·河南郑州·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【答案】(1)， (2) (3)这个游戏不公平，调整见解析 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于，即可求解； （3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数足够大时，摸到红球频率将会接近， 故答案为：； （3）你认为这个游戏不公平， 调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平． 13．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 【答案】(1) (2)填表见解析， 【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可； （2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：当时， ，，， ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：； （2）解：补全表格如下： ∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种， ∴和为单项式的概率为． 【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键． 14．（23-24八年级下·上海·期末）有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4． (1)任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是 ； (2)任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ； (3)任意摸出一个小球记下所标的数字后，再将该小球放回袋中，搅匀后再摸出一个小球，摸到的这两个小球所标数字的和被3整除的概率是多少？（请用列表法或树形图法说明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式，列表法或树状图法求概率； （1）根据概率公式可得答案； （2）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和为偶数的情况数，然后根据概率公式可得答案； （3）根据题意画出树状图，得出所有情况数和所标数字和能被3整除的情况数，然后根据概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵共有4个小球，所标的数字不超过4的有4个， ∴任意摸出一个小球，所标的数字不超过4的概率是， 故答案为：； （2）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有12种等可能的情况，其中所标的数字和为偶数的情况有4种， ∴所标的数字和为偶数的概率是， 故答案为：； （3）根据题意画出树状图为： 由树状图可得：共有16种等可能的情况，其中所标数字和能被3整除的情况有5种， ∴所标数字和能被3整除的概率是． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$