第11讲 一元二次方程的特殊解法-2024年暑假九年级数学上册自学课系列（北师大版）

第11讲 一元二次方程的特殊解法 【北师大版】 ·模块一 用十字相乘法解一元二次方程 ·模块二 用换元法解一元二次方程 ·模块三 含绝对值的一元二次方程的解法 ·模块四 课后作业 模块一 用十字相乘法解一元二次方程 十字相乘法 两个一次二项式相乘的积一个二次三项式,即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab; 一个二次三项式两个一次二项式相乘的积,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能分解成两个因数a,b的积,而且一次项系数p又恰好是a+b那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解,即x2+px+q=(x+a)(x+b). 【例1.1】（2023九年级·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【例1.2】（2023九年级·福建漳州·期末）利用十字相乘法解方程： （1）x2-4x＋3＝0； （2）x2-2x-3＝0； （3）10x2-x-3＝0； （4）(x＋6)(x-7)＝14 【例1.3】（2023九年级·重庆·期中）阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为： 示例1：分解因式： 解：如图2，其中，，而； ∴； 示例2：分解因式：． 解：如图3，其中，，而； ∴； 材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；     示例3：分解因式：． 解：如图5，其中，，； 满足，； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解． 【变式1.1】（2023·湖南邵阳·二模）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【变式1.2】（2023九年级·安徽·专题练习）解方程： 【变式1.3】（2023·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 模块二 用换元法解一元二次方程 【例2.1】（2023九年级·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【例2.2】（2023九年级·安徽·专题练习）． 【例2.3】（2023九年级·江苏宿迁·期末）运用换元法解答下列问题： (1)； (2)． 【变式2.1】（2023九年级·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 【变式2.2】（2023九年级·陕西咸阳·期末）利用换元法解方程：． 【变式2.3】（2023九年级·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 模块三 含绝对值的一元二次方程的解法 【例3.1】（2023九年级·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【例3.2】（2023九年级·陕西榆林·期末）解方程． 【例3.3】（2023九年级·安徽滁州·期末）解方程． 【变式3.1】（2023九年级·湖南永州·期中）解方程：． 【变式3.2】（2023九年级·安徽滁州·期末）解方程． 【变式3.3】（2023九年级·山西太原·期末）解方程 模块四 课后作业 1．（2023九年级·上海闵行·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为 ． 2．（2023九年级·广西梧州·期中）用适当方法解方程：． 3．（2023·贵州黔西·模拟预测）解方程：． 4．（2023九年级·江苏苏州·期中）解方程：． 5．（2023九年级·广东揭阳·期末）解方程：． 6．（2023九年级·湖北襄阳·期末）解方程． 7．（2023·江苏南京·一模）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 8．（2023九年级·四川泸州·期末）解方程：； 9．（2023九年级·湖北恩施·期中）解方程： (1)； (2)． 10．（2023九年级·河南周口·期末）解下列方程： (1)； (2)． 11．（2023九年级·福建南平·期末）（1）直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 12．（2023九年级·河南新乡·期末）请解答下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程：； (3)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数：______ ． 13．（2023九年级·山西运城·期末）(1)解方程； (2)若实数m、n满足，则的值是 ． 14．（2023九年级·陕西西安·期末）(1)若在方程中，设，则原方程可化为整式方程：_________． (2)请运用“整体换元法”解方程：． 15．（2023九年级·山东临沂·期中）解下列方程： (1)； (2)． 16．（2023九年级·江苏南京·期末）解方程：． 17．（2023九年级·安徽淮南·期末）解答下列问题： (1)设，将方程转化为一元二次方程，得________； (2)解方程：． 18．（2023九年级·湖北省直辖县级单位·期末）解下列方程： (1)． (2)． 19．（2023九年级·山西太原·期末）解方程 20．（2023九年级·内蒙古赤峰·期）解方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元二次方程的特殊解法 【北师大版】 ·模块一 用十字相乘法解一元二次方程 ·模块二 用换元法解一元二次方程 ·模块三 含绝对值的一元二次方程的解法 ·模块四 课后作业 模块一 用十字相乘法解一元二次方程 十字相乘法 两个一次二项式相乘的积一个二次三项式,即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab; 一个二次三项式两个一次二项式相乘的积,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如果二次三项式x2+px+q中的常数项q能分解成两个因数a,b的积,而且一次项系数p又恰好是a+b那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解,即x2+px+q=(x+a)(x+b). 【例1.1】（2023九年级·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【例1.2】（2023九年级·福建漳州·期末）利用十字相乘法解方程： （1） x2-4x＋3＝0； （2） x2-2x-3＝0； （3）10x2-x-3＝0； （4）(x＋6)(x-7)＝14 【答案】（1）；（2）；(3);(4) 【详解】试题分析：把方程整理成一般形式，用十字相乘法分解因式即可． 试题解析：解：（1）（x-3）（x-1）=0，∴，； （2）（x+1）（x-3）=0，∴，； （3）（2x+1）（5x-3）=0，∴，； （4），∴（x+7）（x-8）=0，∴，． 点睛：此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解答本题的关键． 【例1.3】（2023九年级·重庆·期中）阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为： 示例1：分解因式： 解：如图2，其中，，而； ∴； 示例2：分解因式：． 解：如图3，其中，，而； ∴； 材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；     示例3：分解因式：． 解：如图5，其中，，； 满足，； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解． 【答案】（1），；（2），和 【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可； （2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值． 【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2， ∴原式=； ②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4） 满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4） ∴原式=； （2）①   ②     ∴ ∴ 当时， 或，（舍）， 当时， 或，或（舍） 综上所述，方程的整数解有和； 方法二： 或． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键． 【变式1.1】（2023·湖南邵阳·二模）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【答案】(1)1；5 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解； （2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；5 （2）解：将方程左边因式分解得， ∴或， 解得：． 【变式1.2】（2023九年级·安徽·专题练习）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的因式分解法比较简单，先移项，再因式分解，可得方程因式分解的形式，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， ， 或， 解得，． 【变式1.3】（2023·广东广州·二模）已知两个多项式． (1)化简； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程； （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得：. 模块二 用换元法解一元二次方程 【例2.1】（2023九年级·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得． 当时，． 当时，． 原方程的解为． 由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想． 阅读后解答问题： (1)利用上述材料中的方法解方程：； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根． 【答案】(1) (2)和 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想． （1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可； （2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可． 【详解】（1）令，则， 或， 解得或． 当时，， 即， 解得． 当时，， 即， 解得． 综上，原方程的解为． （2）一元二次方程的两根分别为， 方程中或． 解得：或． 即方程的两根分别是和． 【例2.2】（2023九年级·安徽·专题练习）． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将看作一个整体，设，利用因式分解法求得的值，进而即可求得． 【详解】解：设，则原方程即， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， 解得，或． 【例2.3】（2023九年级·江苏宿迁·期末）运用换元法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 【变式2.1】（2023九年级·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将看成一个整体，转换成一个关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：令，则， 原方程变为，， 即，， 解得：，； 又， ∴． 【变式2.2】（2023九年级·陕西咸阳·期末）利用换元法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．利用换元法、因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 所以原方程的解为，． 【变式2.3】（2023九年级·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则可把原方程转化为，再利用因式分解解方程，再把的值代入，再解方程并检验即可； （2）设，原方程可变形为：， 利用因式分解的方法求解，再代入，再解方程即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程转化为， 解得，，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴，即， 解得，，． （2）设， 原方程可变形为：， 因式分解为：． ∴或，    ∴或， 对于方程，解得，， 对于方程，∵， ∴此方程无解， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题考查的是利用换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练的进行换元是解本题的关键． 模块三 含绝对值的一元二次方程的解法 【例3.1】（2023九年级·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 【例3.2】（2023九年级·陕西榆林·期末）解方程． 【答案】 【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当，即时，原方程化为，解得； ②当，即时，原方程化为，解得（舍去），（舍去）． 综上所述，原方程的解是． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 【例3.3】（2023九年级·安徽滁州·期末）解方程． 【答案】， 【分析】根据例题中的解题方法对进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合的取值范围最终确定答案即可． 【详解】解：①当，即时，方程变形得： ∴ ∴ ∴，； ②当，即时，方程变形得： ∴ ∴ ∴（舍去），（舍去） ∴综上所述，原方程的解是或． 【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想． 【变式3.1】（2023九年级·湖南永州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】分两种情况讨论∶ 当时，当时，即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论 （1）当时，原方程可化为 解得：，（舍去）； （2）当时，原方程可化为 解得：，（舍去）； ∴综上所述，原方程的根是，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 【变式3.2】（2023九年级·安徽滁州·期末）解方程． 【答案】 【分析】仿照例题，分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为： 整理得： 解得： 当，即时， 原方程可化为： 整理得 ∵ ∴此方程无实数解， 综上所述，原方程的解为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键． 【变式3.3】（2023九年级·山西太原·期末）解方程 【答案】， 【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可． 【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为，即， ， ∴， ∴原方程无解， ②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为，即， ， ∴ 解得：，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 模块四 课后作业 1．（2023九年级·上海闵行·期中）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，用换元法解分式方程，可简化计算过程，减少计算量，是一种常用的方法．设，关键是明确方程各分式与的关系，将代入即可． 【详解】解： ∵，设 根据题中所设可得原方程变形为． 故答案为． 2．（2023九年级·广西梧州·期中）用适当方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，选择适当的方法进行计算是解题的关键． 直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴，． 3．（2023·贵州黔西·模拟预测）解方程：． 【答案】． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴． 4．（2023九年级·江苏苏州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， ． 5．（2023九年级·广东揭阳·期末）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法，并能灵活选用是关键． 根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，． 6．（2023九年级·湖北襄阳·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，理解并正确运用换元法是解题的关键． 先设，把原方程变形为关于的方程，解方程得到的值，再代入中求出的值． 【详解】解：设，则原方程可变形为． 解得：， 当时，，解得， 当时，，解得． ∴原方程的解为． 7．（2023·江苏南京·一模）（1）解方程 ． （2）方程 的解为 ． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法 （1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答； （2）设，则原方程可化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， 或， ； （2）设，则原方程可化为：， 由（1）可得：或， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 8．（2023九年级·四川泸州·期末）解方程：； 【答案】原方程的解为，， (2)方程的两根分别是和，理由见详解 【分析】 本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想， 设，用m代替方程中的，然后解关于m的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程即可 【详解】解：令， 则， ， 或， 解得或， 当时，，即， 解得，， 当时，，即， 解得， 综上，原方程的解为，，. 9．（2023九年级·湖北恩施·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点． （1）设，则原方程化为，然后利用因式分解法求得y，再求出x即可； （2）设，则原方程转化为，然后利用因式分解法求得t的值，再求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 解得：， 当时，则，即，解得：，； 当时，则，即，解得：，； ∴原方程的解为：，，，； （2）解：设，则原方程转化为， ， 或， 解得：， 当时，则，即，解得：； 当时，则，即，解得：； 当，时，， ∴原方程的解为：，． 10．（2023九年级·河南周口·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为，，； （2）把看做整体，设，则原方程可化为，解得，． 【详解】（1）解： 把看作一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或者， ∴，． （2）解：， 把看作整体，设， 则原方程可化为． 解得，（舍去）， ∴，． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法，准确计算． 11．（2023九年级·福建南平·期末）（1）直接写出方程的根为___________； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则方程化为：， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； 故答案为：； （2）设，则，原方程化为 解得， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为； 【点睛】本题考查解一元二次方程．理解并掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 12．（2023九年级·河南新乡·期末）请解答下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程：； (3)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数：______ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知等式设，得出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）∵， 设， 则， （2）， ， 设，则， 或 或 （3）设最小数为，则， 即， 设，则， ∵为正整数， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式，关键把代数式看作一个整体，通过换元求解． 13．（2023九年级·山西运城·期末）(1)解方程； (2)若实数m、n满足，则的值是 ． 【答案】(1)，，，； (2)4 【分析】（1）设，则原方程化为，求出，再求出即可； （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． 【详解】解：（1）原方程可以变形为， 设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 或：设，则原方程可化为，即， 解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即的值是4． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 14．（2023九年级·陕西西安·期末）(1)若在方程中，设，则原方程可化为整式方程：_________． (2)请运用“整体换元法”解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原方程变形为只含有的形式，再将代入，化为整式方程即可； （2）根据“整体换元法”，设，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：， 变形为：， 则可化为：，即， 故答案为：； （2）设，则原方程变形为， ， 或， 解得，， 当时，即，解得； 当时，即，解得． 原方程的解为． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解答本题的关键． 15．（2023九年级·山东临沂·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】（1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解； （2）设，则或，由此即可求解． 【详解】（1）解：（1）设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴，， 当时，，此时方程无解， ∴原方程的解是，． （2）解：设，则原方程化为， ∴或， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，． ∴原方程的解是，，，． 【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键． 16．（2023九年级·江苏南京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根； 【详解】解：设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 17．（2023九年级·安徽淮南·期末）解答下列问题： (1)设，将方程转化为一元二次方程，得________； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)该方程的解为，，， 【分析】（1）根据题意化简即可； （2）设，然后解关于y的一元二次方程，然后再来求关于x的一元二次方程； 【详解】（1）解：， 故转化为一元二次方程为：； 故答案为：． （2）设，则原式左边． 故原方程可化为． 因式分解，得，即或， 解得，． 当时，则，解得，． 当时，则，解得，． 综上，该方程的解为，，，． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． 18．（2023九年级·湖北省直辖县级单位·期末）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)=，= (2)=+3，=+3 【分析】（1）设，则原方程转化为一元二次方程：，先解出m的值，再进一步解出x的值； （2）可考虑将x－1看作一个整体用m替换． 【详解】（1）解：设， 则原方程化为， 解得=3，=－2（舍去） 当m=3时，x2=3， 解得x=±， 故原方程的解为=，=－． （2）解：设x－1=m， 则原方程化为， 解得，， 当时，， 解得x=+3， 当时，， 解得x=+3， 故原方程的解为=+3，=+3． 【点睛】本题主要考查换元法解方程的方法，我们常用的是整体换元法，把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 19．（2023九年级·山西太原·期末）解方程 【答案】， 【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可． 【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为，即， ， ∴， ∴原方程无解， ②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为，即， ， ∴ 解得：，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 20．（2023九年级·内蒙古赤峰·期）解方程． 【答案】， 【分析】根据例题中的解题方法对进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合的取值范围最终确定答案即可． 【详解】解：①当，即时，方程变形得： ∴ ∴ ∴，； ②当，即时，方程变形得： ∴ ∴ ∴（舍去），（舍去） ∴综上所述，原方程的解是或． 【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$