第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 3．若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 5．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 6．若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．4 7．已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（    ）. A．4 B． C． D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 10．已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAMB的周长的可能取值有（    ） A．5 B．8 C．6 D． 11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 13．已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 14．已知直线和，过动点作两直线的平行线，分别交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.若平行四边形（为坐标原点）的面积为3，记动点的轨迹为曲线，若曲线与直线有且仅有两个交点，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆，焦距为2，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 16．（15分） 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 17．（15分） 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 18．（17分） 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. (1)求椭圆C的方程； (2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B． （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 19．（17分） 已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 2．若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 3．若方程表示焦点在x轴的椭圆，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题等价于，解得. 故选：C. 4．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【解析】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 5．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】如图， 设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 6．若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意，过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条， 根据双曲线的几何性质，可得在双曲线上，可得，解得， 又由双曲线的实半轴长，则半焦距， 所以该双曲线的离心率. 故选：C. 7．已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，为椭圆的顶点， 且的内心和重心重合， 所以为等边三角形， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 8．已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（    ）. A．4 B． C． D．6 【答案】B 【解析】根据题意，， ∴， 设，过点作于，过点作于， 由抛物线定义，得，在梯形中， ∴， 由题意可得，则，即， ∵， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【解析】椭圆，则 对于A：，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：BD． 10．已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAMB的周长的可能取值有（    ） A．5 B．8 C．6 D． 【答案】BC 【解析】双曲线，M为C右支上的一个动点， 设，则， 两条渐近线方程为，则两条渐近线互相垂直，， 所以，，有， 则，当且仅当时等号成立， 所以四边形OAMB的周长为， 结合选项可知，8，6适合题意， 故选：BC． 11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（    ） A．点的轨迹曲线是线段 B．是“最远距离直线” C．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则以为直径的圆与轴相交 D．过点的直线与点的轨迹交于、两点，则的最小值为 【答案】BC 【解析】因为点，直线，动点到点的距离比到直线的距离小1， 所以动点到点的距离等于到直线的距离， 所以点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线， 所以抛物线方程为， 对于A，点的轨迹是抛物线，所以A错误， 对于B，由，得，解得， 所以直线与抛物线相交于点， 所以是“最远距离直线”，所以B正确， 对于C，设过点的直线为，， 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以以为直径的圆的半径为， 因为圆心到轴的距离为， 所以以为直径的圆与轴相交，所以C正确， 对于D，， 所以D错误， 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【解析】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 13．已知双曲线的焦点分别为为双曲线上一点，若，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【解析】由双曲线的对称性，不妨设在第一象限， 设，又， 所以 ，所以， 因为为的中点，所以，即， 所以两边平方得 ， 所以，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 14．已知直线和，过动点作两直线的平行线，分别交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.若平行四边形（为坐标原点）的面积为3，记动点的轨迹为曲线，若曲线与直线有且仅有两个交点，则的取值范围为 . 【答案】或 【解析】设，过点M且平行的直线方程为， 由，解得，则， 又点M到直线的距离为， 所以平行四边形（为坐标原点）的面积为， 由题意点在第一象限，点在第四象限可知，点在直线下方，在直线上方， 化简得，其渐近线方程为， 如图所示： 因为直线过定点，若直线与曲线有两个交点， 则的取值范围为或， 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知椭圆，焦距为2，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 【解析】（1）由题意得，解得， 故， 故椭圆方程为； （2）由题意得， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 将代入中得，， 不妨设， 显然⊥轴，故. 16．（15分） 已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点. (1)若，求m的值； (2)求线段AB中点M的轨迹方程. 【解析】（1）联立方程，消去y得， 由得，设，，则， 由抛物线定义知：，解得，符合题意， 所以. （2）设点，则由题意得，因为，所以， 把即代入得， 所以点M的轨迹方程为. 17．（15分） 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与． (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）． 【解析】（1）因为椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与. 可得，即， 所以半个椭圆的方程为； 圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与， 设圆弧方程为， 利用，解得，所以， 得. 所以果圆方程为，. （2）由，解得，得， 由，解得，得， 所以. 18．（17分） 已知椭圆C：经过点，且焦距与长半轴相等. (1)求椭圆C的方程； (2)不过右焦点且与x轴垂直的直线交椭圆C于A，M两个不同的点，连接交椭圆C于点B． （i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点； （ii）若过左焦点的直线交椭圆C于D，G两个不同的点，且ABDG，求四边形ADBG面积的最小值. 【解析】（1）由题意知，解得. 故椭圆的方程为； （2） （i）由题意知斜率存在，设其方程为， ，则， 由，得， 由于直线过椭圆焦点，则必有，则， 直线的方程为， 不妨设直线交轴于点， 令，可得 ，即直线MB过定点； （ii） 因为，所以，同理可得， 又，则 ， 当且仅当时等号成立，即四边形ADBG的面的最小值为. 19．（17分） 已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)求证：； (3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围. 【解析】（1）由题意知双曲线的实轴长为2，离心率为， 故，解得， 故双曲线的方程为； （2）证明：设，则，当时，不妨取， 此时不妨取，则，即； 同理可证当时，有； 当时，圆在处的切线方程为， 即； 由可得， 因为切线交双曲线于，两点， 故，， 设，则， 故 ， 故， 综合上述可知； （3）由（2）可得当时，， ； 的渐近线方程为， 联立，得， 同理可得， 则 ， 由于，故， 由于，则； 当时，不妨取，则， 此时； 当时，不妨取，则， 此时； 综合上述可知. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$