第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）-2024年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 【典例例题】 题型一：直线与椭圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-1】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式1-2】（2024·高二·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 题型二：椭圆的弦 【典例2-1】（2024·高二·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 【变式2-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知椭圆，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为 ． 【变式2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积. 【变式2-3】（2024·高二·上海·阶段练习）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 题型三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·湖南·期中）在平面直角坐标系中，直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为. (1)用含的式子表示的中点坐标； (2)证明：直线过定点. 【典例3-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 【变式3-1】（2024·高二·江西南昌·期中）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：. 【变式3-2】（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【变式3-3】（2024·高二·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 题型四：直线与双曲线的位置关系 【典例4-1】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【变式4-1】（2024·高二·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）当取何值时，直线与双曲线相交？ 题型五：双曲线的弦 【典例5-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)求线段的长． 【变式5-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程： (2)过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值. 【变式5-2】（2024·高二·四川乐山·期末）已知双曲线的左焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于两点. (1)求的值； (2)求. 【变式5-3】（2024·高二·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 题型六：双曲线的综合问题 【典例6-1】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【典例6-2】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【变式6-1】（2024·高二·广东河源·期末）已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为. (1)求的标准方程； (2)若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积. ①关于原点对称；②关于轴对称. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式6-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【变式6-3】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 题型七：直线与抛物线的位置关系 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 【变式7-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 【变式7-2】（2024·高二·全国·课前预习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 【变式7-3】（2024·高二·浙江·学业考试）已知抛物线C：，焦点为，点在抛物线C上，设，其中. （Ⅰ）求焦点的坐标； （Ⅱ）求证：直线与抛物线C相切. 题型八：抛物线的弦 【典例8-1】（2024·高二·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【典例8-2】（2024·高二·吉林长春·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 【变式8-1】（2024·高二·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线． (1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程． (2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长． 【变式8-2】（2024·高二·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 题型九：抛物线的综合问题 【典例9-1】（2024·高二·四川成都·开学考试）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 【典例9-2】（2024·高二·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【变式9-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【变式9-2】（2024·高二·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【变式9-3】（2024·高二·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 【过关测试】 1．（2024·高二·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 2．（2024·高二·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．（2024·全国·模拟预测）已知直线和椭圆． (1)证明：与恒有两个交点； (2)若为与的两个交点，过原点且垂直于的直线交于两点，求的最小值． 4．（2024·高二·江苏·课后作业）判断直线与双曲线的公共点的个数． 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 6．（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 7．（2024·高二·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上． (1)求直线，的斜率之积； (2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值． 8．（2024·高二·湖北武汉·期中）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为． (1)求C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求． 9．（2024·高二·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 10．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 11．（2024·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 12．（2024·高一·浙江·期末）已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中． （I）求焦点的坐标； （Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明． 13．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合． 14．（2024·高二·全国·课后作业）过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ 15．（2024·高二·重庆·期末）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线的斜率为2； 条件②：线段AB的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 16．（2024·高二·天津南开·专题练习）曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求出曲线的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求弦的长. 17．（2024·高二·福建三明·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求的面积. 18．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知抛物线，. (1)Q是抛物线上一个动点，求的最小值； (2)过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线与椭圆的位置关系 平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M（x，y）， 若点M（x，y）在椭圆上，则有； 若点M（x，y）在椭圆内，则有； 若点M（x，y）在椭圆外，则有. 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若即， ①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦 设直线交双曲线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 双曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 知识点四、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系 将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 抛物线的焦点弦问题 已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ① 焦点弦长 ② ③，其中|AF|叫做焦半径， ④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。 【典例例题】 题型一：直线与椭圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 因为是焦点在轴上的椭圆， 所以， 直线过定点， 因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部， 所以，解得， 综上所述，. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高二·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式1-1】（2024·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切. 故选：D 【变式1-2】（2024·高二·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【解析】将直线l：变形为l：， 由得，于是直线l过定点， 而，于是点在椭圆C：内部， 因此直线l：与椭圆C：相交． 故选：A． 题型二：椭圆的弦 【典例2-1】（2024·高二·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【答案】/ 【解析】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线，设，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意得，解得，故椭圆的方程为， 设，线段的中点为，连接，如图， 点在椭圆上，，两式相减得， 则， 设直线的方程为，则， 点也为的中点，， ，解得， ， ，故直线的方程为， 联立，消去整理得， 则， 则, 故答案为： 【变式2-1】（2024·高二·安徽·阶段练习）已知椭圆，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当直线、分别与两坐标轴重合时，； 当直线、的斜率都存在时，设直线， 联立，可得， 所以，， 同理可得， 所以， ， 因为，则，令， 令， 因为函数在上为增函数，在上为减函数， 又因为，，则， 此时，，则. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线交于另一点，求的面积. 【解析】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为： （2）如图过点且斜率为的直线设为：化简即， 即，经过原点，由椭圆的对称性知道，关于原点对称， 则，， 由点到直线距离公式求得到的距离， 则， 故的面积为． 【变式2-3】（2024·高二·上海·阶段练习）已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【解析】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程 则， 经检验符合题意，则直线的方程为． （2）由（1）可知联立后的方程为， ． 题型三：椭圆的综合问题 【典例3-1】（2024·高二·湖南·期中）在平面直角坐标系中，直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为. (1)用含的式子表示的中点坐标； (2)证明：直线过定点. 【解析】（1）由题意可得，设，则， 联立，得， 则， ， 故中点坐标为. （2）直线， 当时，， 所以直线过定点. 【典例3-2】（2024·高二·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 【解析】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为. 【变式3-1】（2024·高二·江西南昌·期中）已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：. 【解析】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆方程为 （2）由于， 当直线无斜率时，此时直线方程为，此时关于轴对称，显然满足， 当直线有些率时，可设直线方程为， 联立直线与椭圆方程， 设，则， ，, ， 将代入可得， 所以， 综上可知： 【变式3-2】（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【解析】（1）∵抛物线的焦点为， ∴椭圆的半焦距为， 又，得，. ∴椭圆的方程为 （2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，得. ，即， 设，， 则，， ∴， ∴. ∴为定值 【变式3-3】（2024·高二·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值. 【解析】（1）由题意可知：，又，解得， 所以椭圆方程为 （2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且， 直线的方程为：， 联立直线与椭圆方程：， 设， 则， ， 将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证. 题型四：直线与双曲线的位置关系 【典例4-1】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【解析】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 【典例4-2】（2024·高二·全国·课后作业）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【解析】联立直线和双曲线方程，消去y得． 整理得， 若，则方程①变为，无解，此时直线与双曲线无公共点． 事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点． 若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解， 原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点． 综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点． 【变式4-1】（2024·高二·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【解析】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得： 当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）当取何值时，直线与双曲线相交？ 【解析】由双曲线，可得，其渐近线方程为， 联立方程组，整理得， 若时，即，直线方程为， 此时直线与双曲线的渐近线平行，所以与双曲线只有一个交点； 若时，即，可得， 当时，即，解得且时， 此时直线与双曲线有两个交点； 当时，即，解得且时， 此时直线与双曲线相切，只有一个交点； 当时，即，解得或时， 此时直线与双曲线没有交点， 综上可得，实数的取值范围是. 题型五：双曲线的弦 【典例5-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【典例5-2】（2024·高二·全国·课后作业）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点． (1)求直线的方程． (2)求线段的长． 【解析】（1）设， 代入双曲线方程得， 两式相减得，即， 因为为的中点，所以， 所以，所以直线的斜率为 所以的方程为，即， 经验证符合题意， 所以直线的方程为； （2）将代入中得， 故， 所以 . 【变式5-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E.    (1)求轨迹E的方程： (2)过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值. 【解析】（1）由题意得在的延长线上，， 在的延长线上，， 轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线, 轨迹的方程为. （2）设切线的方程为，代入，消元得. 设两点的坐标分别为， 则 所以. 【变式5-2】（2024·高二·四川乐山·期末）已知双曲线的左焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于两点. (1)求的值； (2)求. 【解析】（1），，解得， ，. （2）设直线方程为， 联立方程，整理得. 解得：... 【变式5-3】（2024·高二·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【解析】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 题型六：双曲线的综合问题 【典例6-1】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图： 设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 【典例6-2】（2024·高二·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【解析】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【变式6-1】（2024·高二·广东河源·期末）已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为. (1)求的标准方程； (2)若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积. ①关于原点对称；②关于轴对称. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）由题意得的一条渐近线的方程为，故， 又，解得， 故的标准方程为； （2）若选①，关于原点对称， 由题意得，，， 故， 则， 若选②，关于轴对称， 由题意得，，， 故， 则， 【变式6-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【解析】（1）因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 【变式6-3】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为. （2）是定值3，理由如下， 设， 则. 题型七：直线与抛物线的位置关系 【典例7-1】（2024·高二·全国·课后作业）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【解析】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时与抛物线只有一个公共点，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 【解析】 若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点； 若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：， 由得：； ①当时，，解得：，此时， 直线与抛物线有且仅有一个公共点 ②当时，方程的判别式； 若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点； 若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点； 若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点； 综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点. 【变式7-1】（2024·高二·上海·课后作业）已知直线与抛物线有且仅有一个公共点，求实数的值． 【解析】由，整理得， 当时，，解得， 当时，直线为轴，与抛物线只有一个交点，满足题意， 综上，实数的值为或0. 【变式7-2】（2024·高二·全国·课前预习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？ 【解析】联立方程，得 消去并整理，得. 当时，方程为一元二次方程. 所以. 当，即时，与相切； 当，即且时，与相交； 当，即时，与相离. 当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点. 综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离. 【变式7-3】（2024·高二·浙江·学业考试）已知抛物线C：，焦点为，点在抛物线C上，设，其中. （Ⅰ）求焦点的坐标； （Ⅱ）求证：直线与抛物线C相切. 【解析】（Ⅰ）由抛物线C：，可得：，， 可得焦点的坐标为； （Ⅱ）由点及点，可得， 又，可得，可得， 同时由抛物线C：，， 可得过的切线的斜率为：， 可得直线与抛物线C相切. 题型八：抛物线的弦 【典例8-1】（2024·高二·安徽宿州·期中）过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)O为坐标原点，求的面积. 【解析】（1）设方程为，， 由并化简得， 则， ，故 所以抛物线方程为. （2）由（1）知方程为， 则原点O到的距离 所以. 【典例8-2】（2024·高二·吉林长春·开学考试）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 【解析】（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中， 因为椭圆的离心率为，即， 所以，， 所以椭圆方程为 （2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意； 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所： 联立得， 设，则， 根据焦点弦公式可得， 解得，， 所以直线方程为或 【变式8-1】（2024·高二·辽宁·期末）已知抛物线：，过点作直线． (1)若直线的斜率存在，且与抛物线只有一个公共点，求直线的方程． (2)若直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，求弦长． 【解析】（1）设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，解得或， 故直线的方程为或； （2）抛物线的焦点为，则直线的方程为， 设，， 联立，消去得，显然则， 故． 【变式8-2】（2024·高二·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上两点，且线段的中点为，求． 【解析】（1）设，则． 由，可得， 整理得的方程为． （2）设， 因为线段的中点为，所以， 则，则． 所以， 则直线的方程为，显然直线经过点． 由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以． 题型九：抛物线的综合问题 【典例9-1】（2024·高二·四川成都·开学考试）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 【解析】（1）由题可知：动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，且，曲线C的方程为：； （2）设直线AB的方程为，，， 直线与抛物线联立：， ，，，即， ，，     又，即， 又， ，即，         又记点M为AB的中点，则，直线MN的方程为， 令，则，故点N为定点，坐标为. 【典例9-2】（2024·高二·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【解析】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点． 【变式9-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点恒满足：点到定点的距离与它到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：． 【解析】（1）设点P的坐标，由题设及抛物线的定义可知， 点P的轨迹为以焦点，准线方程为的抛物线， 故点P的轨迹C的方程为：． （2）证明：由（1）得，曲线C的方程为：． 由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设， 由得：，， 设，，则，． 所以，，故即． 【变式9-2】（2024·高二·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【解析】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 【变式9-3】（2024·高二·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 【解析】（1）由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. 得，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，，， 由，得，，.   ， ，即直线关于x轴对称， 故. 【过关测试】 1．（2024·高二·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【解析】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 2．（2024·高二·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交. 故选:B. 3．（2024·全国·模拟预测）已知直线和椭圆． (1)证明：与恒有两个交点； (2)若为与的两个交点，过原点且垂直于的直线交于两点，求的最小值． 【解析】（1）联立方程消去并化简得，， ，故与恒有两个交点． （2）设，由（1）知， 所以 ． 由题意知直线的方程为， 由,消去得， 所以． 所以 ． 设，则，要求的最小值，则只需考虑的情况， 此时， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 4．（2024·高二·江苏·课后作业）判断直线与双曲线的公共点的个数． 【解析】由，可得， ∴， ∴直线与双曲线的公共点的个数为2. 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 【解析】①当垂直于轴时，直线与双曲线相切，有一个公共点． ②当与轴不垂直时，设直线的方程为， 代入双曲线的方程中，有． 当，即或时，方程有一个解． 当时，， 令，可得；令，可得；令，可得． 综上所述，当直线的斜率或直线的斜率不存在时， 直线与双曲线有一个公共点； 当直线的斜率时， 直线与双曲线有两个公共点； 当直线的斜率时，直线与双曲线没有公共点． 6．（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【解析】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 7．（2024·高二·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上． (1)求直线，的斜率之积； (2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值． 【解析】（1）设， 由双曲线：可得，， 故， 即. （2）直线，设 由可得，即， 故. 8．（2024·高二·湖北武汉·期中）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为． (1)求C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求． 【解析】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意得， 所以，① 又双曲线的一条渐近线为， 所以，② 又，③ 联立上述式子解得，， 故所求方程为； （2）设，， 联立，整理得， 由， 所以，， 即 9．（2024·高二·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点． (1)求双曲线的方程； (2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【解析】（1）双曲线与有相同的渐近线，则， 为的右焦点，则，解得，， 双曲线方程为； （2）直线的方程为，，即， ，，， . 10．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【解析】（1）由题意，设右焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）当直线的斜率不为0时，设，则 联立方程组，得 整理得：. ，且 ，, ，令得， ， 直线过定点. 当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点. 综上：直线过定点. 11．（2024·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为 ． (1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长； (2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围． 【解析】（1）直线的方程为． 由方程组得． 设,则， ． （2）设点，则点的坐标为． ，， ． 因为，所以． 12．（2024·高一·浙江·期末）已知抛物线C:，焦点为，点在抛物上，设，其中． （I）求焦点的坐标； （Ⅱ）试判断直线与抛物线的位置关系，并加以证明． 【解析】（Ⅰ）由抛物线C：，可得：，， 可得焦点的坐标为； （Ⅱ）直线与抛物线C相切，证明如下： 由点及点，可得， 又，可得，可得， 同时由抛物线C：，，， 所以过的切线的斜率为：， 所以直线与抛物线C相切. 13．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合． 【解析】因为直线与曲线恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去，得，即①. （i）当，即时，方程①是关于的一元一次方程，解得，这时，原方程组有唯一解， （ii）当，即时，方程①是关于的一元二次方程． 令，解得(舍去)或， 所以原方程组有唯一解； 综上，实数的取值集合是. 14．（2024·高二·全国·课后作业）过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ 【解析】当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意； 当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1， 当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点； 当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x， 消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0，由，得，直线方程为， 故满足条件的直线有三条． 15．（2024·高二·重庆·期末）已知抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线相交于，两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长． 条件①：直线的斜率为2； 条件②：线段AB的中点为． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【解析】（1）将代入抛物线,可得，所以，故抛物线的标准方程，准线方程为； （2）由（1）可得， 若选条件①：直线的斜率为，则直线的方程为，设，，，， 联立，整理可得：， 显然成立，且， 由抛物线的性质可得； 若选条件②：线段的中点为，设，，，， 则，，即， 因为直线过焦点的弦长， 所以弦长． 16．（2024·高二·天津南开·专题练习）曲线上的每一点到定点的距离与到定直线的距离相等. (1)求出曲线的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求弦的长. 【解析】（1）由抛物线定义可知，曲线为开口向右的抛物线，其中， 所以，曲线的标准方程为. （2）设， 联立，消去y得， 所以， 由弦长公式得. 17．（2024·高二·福建三明·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求的面积. 【解析】（1）令时，，解得， 故当轴时，，所以， 故抛物线的标准方程为； （2）设，，由（1）可知， 由，消去得， 则，， 所以， 又，，所以， 故 因为点到直线的距离， 所以的面积为 18．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知抛物线，. (1)Q是抛物线上一个动点，求的最小值； (2)过点A作直线与该抛物线交于M、N两点，求的值. 【解析】（1）设，， 当，即时，取得最小值，最小值为； （2）当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 设直线的方程是，与抛物线联立，消x得， 设，， 则，，故， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$