第07讲 指数函数（12类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第07讲 指数函数 （12类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年天津卷，第4题,5分 函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、弦、正切)根据函数图象选择解析式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域 2.能掌握指数函数的图像特征 3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题 4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。 知识讲解 知识点一.指数函数的图象与性质 1.指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R. 2.指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 知识点二.指数函数图象的特点 1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3.函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 注意 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论． 考点一、指数函数的解析式 1.（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 2.（22-23高三上·江苏常州·阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 1.（21-22高三上·广东江门·阶段练习）若函数同时具有下列性质：①；②当时，.请写出的一个解析式 . 2.（2020高三·全国·专题练习）函数是指数函数，则a的取值范围是 3.（22-23高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 考点二、指示函数求参问题 1.（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2.（江西·高考真题）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ） A． B． C．1 D．2 1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 2.（2024·全国·模拟预测）设且，若函数是上的奇函数，则（   ）． A． B． C． D． 3.（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 4.（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．－4 B．0 C．2 D．4 考点三、指数函数的定义域与不等式 1.（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 1.（21-22高三上·内蒙古乌海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 2.（2024高三·全国·专题练习）设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3.（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点四、指数函数的值域 1.（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 1.（23-24高三下·北京·开学考试）函数的值域为 . 2.（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 3.（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ． 4.（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的值域为 ，单调递增区间为 . 考点五、由指数函数定义域与值域求参 1.（2022·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则 ． 2.（2023·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 1.（2022高三·全国·专题练习）函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集合为 ． 2.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数有最小值，则的取值范围是 . 3.（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六、指数函数过定点 1.（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 2.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 1.（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高三上·上海奉贤·阶段练习）已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值= ． 考点七、指数函数的单调性 1.2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 考点八、指数函数的图像 1.（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】2. （2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 1.（·四川·高考真题）函数的图象关于直线对称的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       3.（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 考点九、指数函数模型的实际应用 1.（2024·广东茂名·模拟预测）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B．3 C．1 D．或3 2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ）（结果取整数，参考数据：） A．1 B．2 C．3 D．4 1.（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（   ） A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃ 2.（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（    ） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 3.（2024·新疆喀什·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（    ） A．此时 B．此时的最小值为2 C．此时的最小值为2 D．此时的最小值为0 考点十、指数函数比较大小 1.（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 2.（2024·河北沧州·二模）若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·甘肃兰州·二模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024·北京石景山·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 考点十一、指数函数综合应用 1.（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 2.（23-24高三上·四川·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1.（2024·广东深圳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　 A． B． C． D． 3.（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4.（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十二、指数函数的奇偶性与对称性 1.（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 2.（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数为指数函数，为幂函数，若，且，则 ． 2.（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·山东烟台·一模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4.（2024高三下·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建南平·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知且，且，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广西河池·模拟预测）已知且，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·四川成都·三模）已知函数，则的值为 1．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列的通项公式为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 7．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 2．（·天津·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2019·全国·高考真题）已知，则 A． B． C． D． 4．（·天津·高考真题）已知，，，则a, b, c的大小关系为 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 指数函数 （12类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年天津卷，第4题,5分 函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象(含正、弦、正切)根据函数图象选择解析式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域 2.能掌握指数函数的图像特征 3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题 4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。 知识讲解 知识点一.指数函数的图象与性质 1.指数函数的定义：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R. 2.指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 知识点二.指数函数图象的特点 1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3.函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 注意 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论． 考点一、指数函数的解析式 1.（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 2.（22-23高三上·江苏常州·阶段练习）若p：函数是指数函数，，则q是p的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2， ∴q是p的必要不充分条件. 故选：C． 1.（21-22高三上·广东江门·阶段练习）若函数同时具有下列性质：①；②当时，.请写出的一个解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由已知确定函数可为指数函数、增函数，随机写出一个即可. 【详解】因为，故指数函数满足运算，又当时，，故指数函数底数应大于1，函数可为：. 故答案为： 2.（2020高三·全国·专题练习）函数是指数函数，则a的取值范围是 【答案】 【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于的取值范围. 【详解】解：函数是指数函数，且，，由解得或，.所以a的取值范围为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题. 3.（22-23高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据，求出，可得函数解析式. 【详解】因为函数解析式为，则，则， 由可得，，解得，所以. 考点二、指示函数求参问题 1.（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 2.（江西·高考真题）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案 【详解】解：由题意得， 所以，解得a=. 故选：A 【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题 1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可. 【详解】由， 得， 因为为偶函数，所以， 即， 所以，解得. 故选：. 2.（2024·全国·模拟预测）设且，若函数是上的奇函数，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出，然后代入验证即可. 【详解】由于函数是上的奇函数， 故，则，即． 因为，所以． 当时，， 则 符合函数是上的奇函数 故选：D． 3.（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以， 解得， 又， 所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数， 因为， 所以，故. 故选：B 4.（2024·全国·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．－4 B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即， 又，所以， 联立，解得，， 经检验，，满足要求， 故. 故选：A. 考点三、指数函数的定义域与不等式 1.（2022高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 2.（23-24高三下·北京·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 1.（21-22高三上·内蒙古乌海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解. 【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：， 所以函数的定义域是. 故答案为： 2.（2024高三·全国·专题练习）设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数形结合求解. 【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当时，单调递减； 而当时，（为常数）， 故分以下两种情况：或， 解得或， 综上可得. （数形结合法）作出的图像，如图： 结合图像可知或， 解得或， 综上可得. 故选：D 3.（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】设，，则，所以为奇函数． 又， 则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 因为， 所以，所以，解得， 故满足的的取值范围为． 故选：B 4.（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由得出，设，得出在上单调递增，根据的奇偶性得出为上的增函数，由不等式得，求解即可． 【详解】由对任意，都有，可得， 令，则函数在上单调递增， 又，，所以为上的奇函数， 所以在上是增函数． 不等式，且，得， 所以， 所以，即， 故选：C． 考点四、指数函数的值域 1.（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质，求得，即可得到的值域. 【详解】由指数函数的性质，可得，所以，即的值域是. 故选：A． 2.（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 1.（23-24高三下·北京·开学考试）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案. 【详解】当时，， 当时，则，即， 综上的值域为， 故答案为：. 2.（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 . 【答案】16 【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解. 【详解】由，而， 因为单调递增，所以，则的最大值是16. 故答案为：16 3.（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得. 【详解】当时，， 当时，， 所以的值域为． 故答案为：. 4.（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数的值域为 ，单调递增区间为 . 【答案】 （开闭均可） 【分析】先求出函数的定义域，进而求出的范围，再根据指数函数的值域即可求出函数的值域，根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为， 则， 所以， 所以， 即函数的值域为； 令， 令，其在上是增函数，在上是减函数， 而函数在定义域内为增函数， 所以函数在上是增函数，在上是减函数， 因为函数是减函数， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（开闭均可）. 考点五、由指数函数定义域与值域求参 1.（2022·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值. 【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得， 当时，由，可得，解得，合乎题意. 故答案为：. 2.（2023·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集. 【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 1.（2022高三·全国·专题练习）函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集合为 ． 【答案】{x|x≥1} 【分析】由题意可得a＝2，，，由ax≥f（a），结合指数函数单调性可求x 【详解】解：由函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a＝2 ∴， 由ax≥f（a）可得，2x≥2 ∴x≥1 故答案为：{x|x≥1} 2.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得； 【详解】函数在上的值域为， 在上的值域为， 则，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3.（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：， 故选：B. 考点六、指数函数过定点 1.（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据得出指数型函数恒过定点. 【详解】令，得，则. 所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为：. 2.（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值. 【详解】函数且的图象恒过定点，所以， ， ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 1.（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简所要求的式子，又由于，所以过定点，进一步结合题意可以求出与有关的三角函数值，最终代入求值即可. 【详解】     又因为，，， 故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=. 故选：. 2.（21-22高三上·上海奉贤·阶段练习）已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值= ． 【答案】/ 【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解. 【详解】经过定点，代入直线得， ， 当且仅当时等号成立 故答案为： 故答案为：5. 考点七、指数函数的单调性 1.2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2.（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 1.（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对数函数在其定义域上单调递增，A选项不满足条件； 为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件； 在其定义域上单调递增，C选项不满足条件； ，在其定义域上单调递减，D选项满足条件. 故选：D. 2.（2024·山西吕梁·二模）已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性分析可知在区间上单调递减，进而逐项分析判断即可. 【详解】因为开口向下，对称轴为， 可知内层函数在区间上单调递增， 当，；当，； 可知， 又因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减. 对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误. 故选：A. 3.（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合指数型复合函数的单调性可知只需在区间上单调递减，结合二次函数的性质得到不等式，解得即可. 【详解】令， 因为在定义域上单调递减， 要使函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 4.（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解. 【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增， ，解得. 故答案为：4（答案不唯一）. 考点八、指数函数的图像 1.（2020·山东·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当时，，所以在上递减， 是偶函数，所以在上递增. 注意到， 所以B选项符合. 故选：B 【变式8-1】2. （2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 1.（·四川·高考真题）函数的图象关于直线对称的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，再结合对称性可得合适的选项. 【详解】函数的图象可视为将函数的图象向上平移个单位， 所以，函数的图象如下图所示： 所以，函数的图象关于直线对称的函数的图象如A选项中的图象. 故选：A. 2.（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设 ，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 3.（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 考点九、指数函数模型的实际应用 1.（2024·广东茂名·模拟预测）自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B．3 C．1 D．或3 【答案】A 【分析】根据题意，由得到求解. 【详解】解：， ，，（舍）． ， ． 故选：A 2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ）（结果取整数，参考数据：） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则即. 由于在定义域上单调递减，. 他至少经过4小时才能驾驶. 故选：D. 1.（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．(a，b．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（   ） A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃ 【答案】A 【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解. 【详解】依题意，，则，即，显然， 设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃，于是， 解得，因此， 所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃. 故选：A 2.（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：，其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（    ） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【答案】B 【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可. 【详解】设火星的公转周期为，长半轴长为，火星的公转周期为，长半轴长为， 则，，且 得： ， 所以，，即：. 故选：B． 3.（2024·新疆喀什·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（    ） A．此时 B．此时的最小值为2 C．此时的最小值为2 D．此时的最小值为0 【答案】B 【分析】根据给定条件，判断，再利用基本不等式逐项判断即得. 【详解】函数，为非零常数，，由取到最小值为2，得， 对于A，，则，当且仅当， 即时取等号，此时，，A错误； 对于B，，当且仅当取等号，B正确； 对于C，，当且仅当取等号，C错误； 对于D，，当且仅当取等号，D错误. 故选：B 考点十、指数函数比较大小 1.（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 2.（2024·河北沧州·二模）若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数单调性，可得，所以； 因为，所以， 又因为，所以，即，所以. 故选：B. 1.（2024·甘肃兰州·二模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数和对数函数的单调性得出即可. 【详解】， 所以， 故选：D 2.（2024·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价变形不等式，放缩并构造函数，用导数探讨函数单调性，求得，再逐项分析判断即可. 【详解】不等式， 令函数，求导得，令，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， ，即，因此函数在R上递增， 原不等式等价于，于是， 对于AB，取，有，AB错误； 对于CD，，即，C错误，D正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 3.（2024·北京石景山·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项. 【详解】，， 而，则，即，所以. 故选：B 考点十一、指数函数综合应用 1.（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 【答案】4 【分析】在同一坐标系内作出与的图象，再利用图象的对称性即可求得与的图象所有交点的横坐标之和. 【详解】函数是偶函数，图象对称轴为，则函数的图象有对称轴， 所以函数的图象有对称轴， ，时，在上单调递减且， 定义在R上的偶函数满足， 则函数有对称轴，又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 由图象可得，与的图象有4个交点， 又与的图象均有对称轴， 则两函数所有交点的横坐标之和为4. 故选：B 2.（23-24高三上·四川·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件及函数性质，作出的大致图象，利用图象即可求出结果. 【详解】依题意作出的大致图象，如图所示，    令，得， 当时，， 又时，，易知在区间上单调递增， 又，所以时，，又为奇函数， 所以由图可知，当时，直线与的图象有5个公共点，从而有5个零点， 故选：D. 1.（2024·广东深圳·一模）已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，均有成立，则下列函数中符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数、对数运算性质结合函数单调性、奇偶性定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故不是偶函数，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，， 又定义域为全体实数，它关于原点对称，且， 即函数是定义域为的偶函数， 当时，单调递增，满足题意. 故选：D. 2.（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）已知偶函数在区间上单调递增，且则的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先比较a,b,c的大小关系，再根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【详解】因为所以； 因为，所以；故 偶函数在,上单调递增，故，即 故选：B. 3.（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.    故选：C 4.（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将不等式等价变形，再将不等式恒成立，转化为最值问题，得到，即可求解. 【详解】易知，故，，在上恒成立， 等价于不等式即在上恒成立， 故，（点拨：当时，函数在上单调递增， 则，所以）， 故，即，又，故． 故实数的取值范围是． 故选：B 考点十二、指数函数的奇偶性与对称性 1.（2024·内蒙古赤峰·一模）已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 2.（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可. 【详解】由已知可得，所以， 所以，即是函数的一个周期， 所以. 故答案为： 1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数为指数函数，为幂函数，若，且，则 ． 【答案】/0.5 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求出，直接代入求解. 【详解】因为为指数函数，为幂函数， 所以可设（，且），（是常数）. ∵，， ∴，∴， ∴， ∴． 故答案为：. 2.（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得 ，，进而可得,，分选项计算即可. 【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以， ， 因为 所以 ， 即，所以, 对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于 D， ，故D错误. 故选：C. 3.（2024·山东烟台·一模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得. 【详解】在上的奇函数满足，则， 于是，即函数的周期为4， 而，则，，又当时，， 所以. 故选：A 4.（2024高三下·全国·专题练习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看成两个函数的和，函数在上单调递增，函数为奇函数，从而函数的最大值与最小值之和为函数的最大值和最小值之和，结合单调性利用指数运算化简求值即可. 【详解】因为， 由复合函数单调性的判断方法，知此函数在上为增函数 又，所以为上的奇函数，故其最大值加最小值为0， 所以 . 故选：C 1．（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】令，解出即可. 【详解】因为， 令，解得， 即函数的零点为1. 故选：B. 2．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 3．（2024·福建南平·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD，计算即可排除B. 【详解】因为 ，所以为偶函数， 故C，D项错误； 又，故B项错误． 故选：A． 4．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，分别代入、，得到和的值，进而得到，求解即可. 【详解】由，得到， 当时，； 当时，. 依题意，明年的产量将是今年的倍，得：， ，即，解得. ，. 故选：A. 5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知且，且，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数为偶函数，有，代入函数解析式，化简得恒成立，则有． 【详解】由题意可知，，即， 所以，因为 ，所以恒成立，所以． 故选：B. 6．（2024·广西河池·模拟预测）已知且，则“”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由“函数为偶函数”，可得，结合充分条件与必要条件的性质即可判断. 【详解】若函数为偶函数，由定义域为，则有， 即，即对任意的恒成立， 即有，故， 由“”是“”的充分不必要条件， 故“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（2024·四川成都·三模）已知函数，则的值为 【答案】/ 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由函数，因为，所以. 故答案为：. 1．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列的通项公式为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意结合复合函数单调性可得的单调性，结合数列单调性与函数单调性之间的关系可得，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】二次函数图象的开口向上，对称轴是直线， 且在定义域内单调递增， 当时，单调递减，单调递减； 当时，单调递增，单调递增； 因为中的自变量为正整数，且， 则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断，根据基本不等式判断，根据指数的运算判断 . 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即 【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 . 【答案】8082 【分析】令，结合为奇函数，求出答案. 【详解】令，则， 由于为奇函数， 故， 其中，， ∴ 故答案为：8082 6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 7．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质确定出的范围，即可求解. 【详解】因为， ，且， ， 故， 故答案为：. 1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 2．（·天津·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对数函数的单调性可得，再根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】为单调递减函数， 若，则， 又为单调递增函数， 所以. 故选：A 3．（2019·全国·高考真题）已知，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用中间量比较，运用中间量比较 【详解】 则．故选B． 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4．（·天津·高考真题）已知，，，则a, b, c的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，，因此,故选A. 考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题. 【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$