第08讲 线段、角的轴对称性（一） （1个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第08讲 线段、角的轴对称性（一） （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【例1】（2022秋•丹阳市期末）如图，在中，点在的平分线上，，若的面积为5，则的面积为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】（2023秋•启东市期中）如图，已知，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•道县校级模拟）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 　　度． 【变式3】（2023秋•南京月考）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，，，且，求的面积． 经典题型汇编 题型一.角平分线的性质定理 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在线段上求作一点，使它到的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．线段的垂直平分线与线段的交点 C．线段的垂直平分线与线段的交点 D．线段与的平分线的交点 2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，是角平分线，若，则点到的距离为 ． 3．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 题型二.角平分线的判定定理 4．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 B．到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．到角两边的距离相等的点在角的平分线上 5．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则 ． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，在中，和的平分线相交于点，且，垂足分别为点． (1)求证：； (2)若，连接，求的度数． 题型三.角平分线性质的实际应用 7．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ） 8．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知△ABC的面积是26，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的周长是 ． 9．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线成轴对称； (2)在直线上找一点，使点到点的距离之和最短； (3)在直线上找一点，使点到边的距离相等． 题型四.作角平分线（尺规作图） 10．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）操作题： (1)尺规作图：作的平分线； (2)用刻度尺画的平分线，写出作法； (3)小明操作如下：在的两边上分别任取，，连接、，与相交于点，射线即为所求．请你完成作图，并说明理由． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（    ） A．线段的中点 B．与的中垂线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是用直尺和圆规作的角平分线的示意图，请你根据所学知识，说明此做法的依据是（    ） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，要说明，只需要连接、，并证明即可，则这两个三角形全等的依据是(   )    A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 4．（23-24·江苏南通·阶段练习）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 6．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．（20-21八年级上·江苏南京·期中）如图， 是 的角平分线， ，垂足为， ， ， ，则 长为（　　） A． B． C． D． 8．（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④ED＝2EA；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．14 10．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（    ） A．84° B．88° C．90° D．96° 二、填空题 11．（19-20八年级上·江苏连云港·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积为 ． 13．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为 ． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，已知平分，于点，，，的长度为，则的面积为 ． 15．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，平分交于点D，且，若，则点D到线段的距离为 ．    16．（20-21八年级上·江苏南京·阶段练习）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个． 17．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知在，、分别平分、，交于F，连接，且，则的度数为 °．    18．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    20．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，. (1)请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到、的距离相等，且； (2)在（1）的条件下，若，，则______. 21．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 22．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 23．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，. (1)在边上求作一点，使点到边、的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，，求的长． 24．（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 25．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 26．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，平分为的中点．求证：． 小芳同学解题过程如下： 解： 为的中点， ．第一步 平分， ．第二步 ．第三步 (1)小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步； (2)写出正确的解题过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 线段、角的轴对称性（一） （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 【例1】（2022秋•丹阳市期末）如图，在中，点在的平分线上，，若的面积为5，则的面积为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】延长交于点，证明，所以，根据三角形的中线的性质即可得出答案． 【解答】解：如图，延长交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形中线的性质，关键是证明． 【变式1】（2023秋•启东市期中）如图，已知，平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答． 【解答】解：，平分， ， ，， ， 过点作于点， 平分，，， ， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短． 【变式2】（2024•道县校级模拟）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，，那么的度数为 　52　度． 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，过点作于点，判定为的平分线，为的平分线，即可得出的度数． 【解答】解：如图，延长和，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 又是的平分线， ， 又，， ， 为的平分线， ， ． 为的平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：52． 【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等． 【变式3】（2023秋•南京月考）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，，，且，求的面积． 【分析】（1）过点作于，于，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设，由（1）得：，根据，，可求出，故得，然后可得出答案． 【解答】（1）证明：过点作于，于，如图： ，， ， ， ， ， 即为的平分线， 又，， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：设， 由（1）得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键． 经典题型汇编 题型一.角平分线的性质定理 1．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在线段上求作一点，使它到的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．线段的垂直平分线与线段的交点 C．线段的垂直平分线与线段的交点 D．线段与的平分线的交点 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质定理求解即可，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴点是线段与的平分线的交点， 故选：． 2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，是角平分线，若，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质即可得出结果． 【详解】 解：如图，过点作于点， 是的角平分线，，， ， 即点到的距离为， 故答案为： 3．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍成立，理由见解析 【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键． （1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）同（1）可证明． 【详解】（1）解：过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴． （2）画出图形，结论仍成立， 理由如下： 过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型二.角平分线的判定定理 4．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法不正确的是（    ） A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 B．到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．到角两边的距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线，角平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，角平分线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，正确，故本选项错误； B、到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，正确，故本选项错误； C、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故本选项错误； D、到角两边的距离相等的点在角的平分线上，错误，应是在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上，故本选项正确． 故选D. 5．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质和判定，得出即可得出答案．掌握三角形外角的性质及角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过P点作 于F，于N，于M， 设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， 又∵于F，于M， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）已知：如图，在中，和的平分线相交于点，且，垂足分别为点． (1)求证：； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质． （1）过点作于，可得； （2）可得是的平分线，是的平分线，则可求出． 【详解】（1）证明：过点作于，    ∵和的平分线相交于点，且， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴平分，， ∵, ∴, ∴． 题型三.角平分线性质的实际应用 7．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，直线表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线， 如图所示：外角平分线分别相交于点， 且内角平分线相交于点， ∴角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选：D． 8．（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，已知△ABC的面积是26，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的周长是 ． 【答案】26 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线性质求出OE=OD=OF=2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可作答． 【详解】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE=OD，OD=OF， 即OE=OF=OD=2， ∴△ABC的面积=S△AOB+S△AOC+S△OBC=26， ∴×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=26， ∴×2×（AB+AC+BC）=26， ∴AB+AC+BC=26， 故答案为26． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 9．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． (1)画，使它与关于直线成轴对称； (2)在直线上找一点，使点到点的距离之和最短； (3)在直线上找一点，使点到边的距离相等． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、两点之间线段最短、角平分线的性质，从而完成求解． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点并依次连接即可； （2）连接交直线l于点P，点P即为所求； （3）连接，则是的角平分线，与直线l的交点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：如图，点P即为所求作．      理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； （3）解：如图，点Q即为所求作． 连接，根据题意得：， ∴点Q在直线l和的交点处时， 点Q到边的距离相等． 题型四.作角平分线（尺规作图） 10．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，若的面积为9，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作的垂线，的垂线，由角平分线定理得出，再由三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：过点作的垂线，的垂线， 根据题意可得是的角平分线， ，， ， 的面积为9， 即， ， ． 故选C． 11．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，过点作于．根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于． 由作图可知，平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，的最小值为2， 故答案为：2 12．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）操作题： (1)尺规作图：作的平分线； (2)用刻度尺画的平分线，写出作法； (3)小明操作如下：在的两边上分别任取，，连接、，与相交于点，射线即为所求．请你完成作图，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据尺规作图作的平分线； （2）在的两条边上分别画，，连接、，交点为点，画射线，即为所求； （3）根据（2）的方法画图，进而根据全等三角形的性质与判定进行证明即可求解． 【详解】（1）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交，于，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线． （2）如图，在的两边上分别任取，，连接、，与相交于点，射线即为所求． （3）解：如图所示， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏·周测）如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（    ） A．线段的中点 B．与的中垂线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的中垂线的交点 【答案】C 【分析】根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图是用直尺和圆规作的角平分线的示意图，请你根据所学知识，说明此做法的依据是（    ） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【分析】根据可证得，即可推出结论. 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，即是的平分线． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，还考查了基本作图“作一个角的平分线”的相关知识，其理论依据是三角形全等的判定“边边边”定理和全等三角形对应角相等． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，要说明，只需要连接、，并证明即可，则这两个三角形全等的依据是(   )    A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，作角平分线，根据作图，连接、，则，根据，即可根据“边边边”证明，即可求解． 【详解】解：连接、，    根据作图可得，， ∴， ∴，即 故选：D． 4．（23-24·江苏南通·阶段练习）如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过分别作于，于，由平分线的性质证得，由三角形的面积公式求出，再由三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过分别作于，于， 是的平分线， ， ，的面积为， ， 的面积， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得是解决问题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 【答案】D 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 6．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论． 【详解】 解：在中， ， ， 又、分别平分、， ， ，故①正确． ， 又， ， ， ， 又，， ， ，，，故②正确． 在和中， ，，， ， ，故③正确． 的角平分线、相交于点P， 点P到、的距离相等，点P到、的距离相等， 点P到、的距离相等， 点P在的平分线上， 平分，故④正确． 故选：D． 7．（20-21八年级上·江苏南京·期中）如图， 是 的角平分线， ，垂足为， ， ， ，则 长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】如图，过点作于， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④ED＝2EA；⑤BP＝EQ．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE＝30°，判断出④错误；判断出△ABP和△AEQ不全等，从而得到BP≠EQ，判断出⑤错误． 【详解】∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形， ∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD， ∴∠EAD＝3∠BAC−360°＝3×150°−360°＝90°，故①正确； ∴∠BAE＝∠CAD＝（360°−90°−150°）＝60°， 由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC， 又∵∠EPO＝∠BPA， ∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确； ∵△ACE≌△ADB， ∴S△ACE＝S△ADB，BD＝CE， ∴BD边上的高与CE边上的高相等， 即点A到∠BOC两边的距离相等， ∴OA平分∠BOC，故③正确； 只有当AC＝AB时，∠ADE＝30°，才有2EA＝ED，故④错误； 在△ABP和△AEQ中，∠ABD＝∠AEC，AB＝AE，∠BAE＝60°，∠EAQ＝90°， ∴BP＜EQ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的平分线交于点，，，则的面积是（    ） A．6 B．7 C．8 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 如图：过点D作于E，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图：过点D作于E， ∵的平分线，， ∴， ∴的面积是， 故选B． 10．（20-21八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（    ） A．84° B．88° C．90° D．96° 【答案】B 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点 ,,即可得出，进而得出 即可得出答案． 【详解】解：如图示，作关于和的对称点， ，连接，交于，交于 ，则即为的周长最小值． 延长，作于点， ， ， ， ，， 且， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键． 二、填空题 11．（19-20八年级上·江苏连云港·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 【答案】4 【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 12．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴的面积为， 故答案为：50． 13．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为12时，的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点E作于点F，根据角平分线的性质可得出，由三角形面积可得出，即可求出的长． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示． ∵平分，且， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，已知平分，于点，，，的长度为，则的面积为 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过点作于，    平分，，， ， 的面积的面积的面积， 故答案为：11． 15．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，平分交于点D，且，若，则点D到线段的距离为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，，过点D作于E，根据线段之间的关系得到，再由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴点D到线段的距离为6， 故答案为：6．    16．（20-21八年级上·江苏南京·阶段练习）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个． 【答案】4 【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解． 【详解】解： 如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 17．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知在，、分别平分、，交于F，连接，且，则的度数为 °．    【答案】 【分析】过点D分别作交于点H，交于点M，交于点N，根据角平分线的性质得，，等量代换得，再根据角平分线的判定，得是的平分线，由三角形的外角性质得，最后由邻补角互补，得，结合是的平分线，即． 【详解】解：过点D分别作交于点H，交于点M，交于点N，如图所示：    因为、分别平分、， 则， 则， 因为，， 所以是的角平分线， 因为、分别平分、， 所以，， 因为， 所以， 则， 即， 所以 因为，且是的角平分线 所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），以及三角形的内角和等知识内容．角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线作图、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，掌握等面积法是解题的关键． 如图：过点D作于M，由勾股定理可求得，由作图可知平分，由角平分线的性质可得，然后根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：如图：过点D作于E， ∵，， ∴, 由题中作图知：平分，，， ∴， ∵， ∴，即，解得：． 故答案为． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，，垂足分别为、，且．试说明平分．    【答案】见解析 【分析】证明，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线， 即平分． 【点睛】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 20．（23-24八年级上·江苏无锡·期末）如图，中，. (1)请用直尺和圆规，在内作一点P，使点P到、的距离相等，且； (2)在（1）的条件下，若，，则______. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质： （1）分别作的平分线和线段的垂直平分线，交点即为点P． （2）设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点E，于点F，连接，，则可得，由角平分线的性质可得．利用勾股定理求出的长，根据可求出的长，再根据可得答案． 【详解】（1）解：如图，作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点P，则点P即为所求． （2）解：设线段的垂直平分线交于点D，过点P作于点于点F，连接， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为的平分线， ∴． ∵， ∴． 设， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得． 【详解】解：作法如下： 1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点； 2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点． 证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点是∠A与∠ABC平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点、点即为所求作的点 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键． 22．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 【答案】(1)4处 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点，即可得到答案； （2）作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【详解】（1）解：可选择的地点有4处，如图： 、、、，共4处． （2）解：能，如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到． 23．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，. (1)在边上求作一点，使点到边、的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）根据题意作的角平分线即可； （）根据（）中作图过程得出，利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质得出，设，则，，利用勾股定理求解即可得出结果； 此题考查了角平分线的作法及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）如图所示， 以点为圆心，画弧，交，于点，； 分别以，为圆心，大于长度为半径画弧交于点， 连接且延长，交于点； ∴点就是所求作的点； （2）作于点，由尺规作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴． 24．（19-20八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； (1)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； (2)在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作图复杂作图、翻折变换，解决本题的关键是熟练翻折的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质即可在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）延长至，作的平分线，得过点的垂线，延长交于点， 作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点即可． 【详解】（1）解：如图1所示：点即为所求作的点； （2）如图2所示：点即为所求作的点． 作图如下： 延长至， 作的平分线， 得过点的垂线， 延长交于点， 作的角平分线交于点， 过点作的垂线交于点． 25．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，，两点分别在射线，上，点在的内部且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，所以，再根据已知条件，得到平分，由此得到证明． （2）根据题意，得到，所以，设，再根据已知条件，得到，求出，由此得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得： ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分． （2）在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ． 26．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，平分为的中点．求证：． 小芳同学解题过程如下： 解： 为的中点， ．第一步 平分， ．第二步 ．第三步 (1)小芳同学解题过程中，出现错误的是第______步； (2)写出正确的解题过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）根据不能推导出，明显跳步，可得第三步错误； （2）过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得，再证，可得，进而可证． 【详解】（1）解：根据不能推导出， 因此出现错误的是第三步， 故答案为：三； （2）解：正确的解题过程如下： 为的中点， ． 如图，过点D作于点E，于点F， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$