第08讲 一次函数的应用 （6个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第08讲 一次函数的应用 （6个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 【例1】（2023秋•临泉县期末）函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是　　 A．2 B．1 C． D． 【变式1】（2023秋•临泉县期末）已知一次函数的图象过点，且随的增大而增大．请写出一个符合条件的一次函数的解析式：　　（写出一个符合条件的解析式即可） 【变式2】（2023秋•宣城期末）已知是的正比例函数，且当时，． （1）请求出与的函数表达式； （2）当为何值时，函数值． 知识点2．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 【例2】（2023秋•包河区期末）将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 　　． 【变式1】（2023秋•宿松县期末）把直线沿轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•岳西县期末）已知一次函数． （1）若该一次函数图象经过点，求该一次函数表达式； （2）若将该一次函数图象向左平移两个单位长度后经过点，求的值． 知识点3．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 【例3】（2023秋•全椒县期末）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【变式1】（2023秋•固镇县期末）已知直线与直线交点在坐标轴上，则　　． 【变式2】（2023秋•宿松县期末）直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式． 知识点4．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【例4】（2023秋•淮北期中）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程（米与他行走的时间（分之间的函数关系正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（肥东县校级月考）某种储蓄的月利率为，现存入1000元，则本息和（本金与利息的和）（元与所存月数之间的函数关系式是　　． 【变式2】（桐城市期末）已知等腰三角形的周长是，设底边长为，腰长为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 知识点5．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【例5】（2023秋•霍邱县期末）对于某个一次函数，张颖说：该函数的图象不经过第二象限，赵丰说：该函数的图象经过点．若这两位同学的叙述都是正确的，那么根据这两位同学对话得出的结论，错误的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•淮北期中），两地相距，甲、乙两车同时从地出发前往地，如图所示是甲、乙两车行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，回答下列问题． （1）甲车的速度为 　　； （2）当甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间为 　　． 【变式2】（2023秋•宣城期末）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨 7 6 5 每吨水果获利（万） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围 （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 知识点6．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 【例6】（2021秋•定远县校级月考）点，是坐标平面上两定点，是的图象上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出　　个． A．1 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2020秋•瑶海区校级月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，那么点的坐标是　　． 【变式2】（2023秋•亳州期末）如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点，在直线上，且点在第二象限，点在第四象限，，为等腰直角三角形，且，． （1）求证：； （2）求直线的函数表达式； （3）在第二象限内是否存在点，使得是以为直角的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 经典题型汇编 题型一．一次函数图象上点的坐标特征 1．（2023秋•怀宁县期末）已知，，，是直线上相异的两点，若，则的取值范围是 　　． 2．（2023秋•宿松县期末）直线与两坐标轴围成的三角形面积是　　 A．3 B．4 C．6 D．12 3．（2023秋•宣城期末）已知是的正比例函数，且当时，． （1）请求出与的函数表达式； （2）当为何值时，函数值． 题型二．一次函数图象与几何变换 4．（2023秋•亳州期末）将一次函数的图象向下平移个单位长度，使其成为正比例函数，则的值为　　 A． B． C．3 D．5 5．（2023秋•蜀山区校级月考）把一次函数图象中，平面直角坐标系向上平移2个单位长度，得到的直线解析式为 　　． 6．（2023秋•庐阳区校级期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 题型三．两条直线相交或平行问题 7．（2023秋•淮北期末）函数的图象与函数的图象平行，且与轴的交点为，则其函数表达式为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•宣城期末）已知直线与直线相交于轴上一点，则　　． 9．（2023秋•固镇县期末）如图，直线与轴和轴分别交于点，，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）点在直线上且在点的右侧，如果的面积和的面积相等，求点的坐标． 题型四．根据实际问题列一次函数关系式 10．（2022秋•砀山县校级期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠”．在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个，则小东应付货款（元与篮球个数（个的函数关系式是　　 A． B． C． D． 11．（蚌山区校级期中）从地向地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若通话分钟，则需付电话费（元与（分钟）之间的函数关系式是 　　． 12．（阜南县校级月考）某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量（升与加油（天之间的关系式是什么？并指出自变量的取值范围． 题型五．一次函数的应用 13．（2024春•无为市月考）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•蜀山区校级月考）甲、乙两人同时从、两地出发相向而行，甲先到达地后原地休息，甲、乙两人的距离与乙步行的时间之间的函数关系的图象如图，则　　． 15．（2023秋•蒙城县校级月考）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元个，精装练习本的进价为7元个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 题型六．一次函数综合题 16．（2022秋•大观区校级期中）如图，直角坐标系中，点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，直线交于，两点，以为边向右侧作正方形． （1）当时，正方形的周长是 　　． （2）当点在正方形内部时，的取值范围是 　　． 17．（2023秋•蒙城县期末）直线与两坐标轴分别交于、两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 18．（2023秋•青阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于，点为延长线上一动点，以为直角边在其上方作等腰三角形，连接． （1）求证； （2）求直线与轴交点的坐标． 试题练习 一．选择题 1．（2022秋•东至县期末）若直线与的交点在第四象限，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 2．（2021秋•禹会区校级期中）表示皮球从高处落下时，弹跳高度与下落高度的关系如下表所示：则与之间的关系式为　　 下落高度 80 100 150 弹跳高度 40 50 75 A． B． C． D． 3．（2022秋•太湖县校级期中）如图，顶点坐标分别为、、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为　　 A．4 B．8 C． D．16 4．（2023秋•萧县期末），，，是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 5．（2021秋•淮北月考）将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•舒城县期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离与慢车行驶时间的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•合肥月考）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•固镇县期末）在一次函数的图象上任取不同两点，，，，则的正负情况是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•利辛县校级期末）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线，则应将直线　　 A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 10．（2022秋•凤阳县校级月考）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点顺时针旋转后得到△，则点的坐标是　　 A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共4小题） 11．（2023秋•包河区期中）已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为 　　． 12．（2023秋•肥西县期末）已知一次函数的图象平行于，则的值是 　　． 13．（2024•金平区校级一模）小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示． （1）小聪与小明出发 　　相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 　　． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点． （1）若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，则点的坐标为 　　； （2）若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　　． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•亳州期末）在平面直角坐标系中，直线轴，点和点都是直线上的点，求点的坐标． 16．（2023秋•金寨县期末）已知直线经过点． （1）求的值； （2）将该直线向下平移个单位长度使其成为正比例函数，求的值． 17．（2023秋•合肥期末）已知，某一次函数的图象与直线平行，且经过点，求这个函数的解析式． 18．（2023秋•肥西县期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则　　，　　； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求的值． 19．（2022秋•金安区校级期末）已知与成正比例，且当时． （1）求与之间的函数解析式； （2）当该直线向左平移4个单位，则平移后直线的解析式为 　　． 20．（2023秋•亳州期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，与直线相交于点． （1）求与的值； （2）动点在线段上移动（不与点，重合），设的面积为，点的横坐标为，请求出与之间的函数关系式． 21．（2023秋•泗县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． （1）求点、、的坐标； （2）求的面积； （3）轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024春•颍泉区校级月考）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号飞船与空间站六个小时完成对接，这是一项了不起的成就．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计130元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计120元． （1）求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划正好用220元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． （3）若该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元，在（2）中的购买方案中，假如这些航天载人飞船模型全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 23．（2023秋•舒城县期末）（1）如图1，、两点分别在轴、轴负半轴上，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．若，，求点的坐标； （2）如图2，、两点分别在轴、轴负半轴上，以为直角顶点，为腰作等腰，使点落在第四象限，过作轴于点，若，，求所在直线的函数解析式； （3）如图3，点坐标为，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上，且，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一次函数的应用 （6个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 【例1】（2023秋•临泉县期末）函数的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是　　 A．2 B．1 C． D． 【分析】根据一次函数的性质，随的增大而减小，分别计算各选项中和值下的值，看哪个是负数，哪个就符合题意． 【解答】解：一次函数中，随的增大而减小， ， 、当，时，，不符合题意； 、当，时，，不符合题意； 、当，时，，不符合题意； 、当，时，，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，能根据题意判断出是解题的关键． 【变式1】（2023秋•临泉县期末）已知一次函数的图象过点，且随的增大而增大．请写出一个符合条件的一次函数的解析式：　（答案不唯一）　（写出一个符合条件的解析式即可） 【分析】首先设一次函数为，再根据随的增大而增大可得，故可得函数解析式，再把代入，即可算出的值，进而得到一次函数的解析式． 【解答】解：设一次函数为， 随的增大而增大， ， 令一次函数的解析式为， 图象过点， ， 解得， 一次函数解析式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【变式2】（2023秋•宣城期末）已知是的正比例函数，且当时，． （1）请求出与的函数表达式； （2）当为何值时，函数值． 【分析】（1）设与的函数表达式为，由当时，可得出关于的方程，解之即可得出值，进而可得出与的函数表达式； （2）代入求出值，此题得解． 【解答】解：（1）是的正比例函数， 设与的函数表达式为． 当时，， ， ， 与的函数表达式为， 即． （2）当时，， 解得：， 当为时，函数值． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的定义，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的方程；（2）代入求出的值． 知识点2．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 【例2】（2023秋•包河区期末）将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为 　　． 【分析】根据一次函数图象的平移规律“上加下减”求解即可． 【解答】解：将一次函数的图象沿轴向上平移3个单位长度，平移后的直线表达式为， 平移后的直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【变式1】（2023秋•宿松县期末）把直线沿轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：把直线沿轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为，即． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 【变式2】（2022秋•岳西县期末）已知一次函数． （1）若该一次函数图象经过点，求该一次函数表达式； （2）若将该一次函数图象向左平移两个单位长度后经过点，求的值． 【分析】（1）把点代入即可求得抛物线解析式，可得结论； （2）由题意平移后函数解析式为：，然后将点代入即可求得的值． 【解答】解：（1）把点代入，得， 解得， 该一次函数表达式为； （2）将该一次函数图象向左平移两个单位长度， 平移后函数解析式为：， 经过点， ． 解得． 故的值为7． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是关键． 知识点3．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 【例3】（2023秋•全椒县期末）已知一次函数的图象经过点，且平行于直线，则的值为　　 A． B． C．1 D．4 【分析】先根据两直线平行的问题得到，然后把代入中可计算出的值． 【解答】解：直线与直线平行， ， 直线过点， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． 【变式1】（2023秋•固镇县期末）已知直线与直线交点在坐标轴上，则　2或　． 【分析】求出直线与轴轴的交点坐标，即得直线与直线在坐标轴上的交点坐标，把两交点坐标分别代入即得的值． 【解答】解：在中， 当时，， 当时，，， 图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 直线与直线交点在坐标轴上， ，或， 或． 故答案为：2或． 【点评】本题主要考查了两直线在坐标轴上的交点．熟练掌握一次函数与一元一次方程，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 【变式2】（2023秋•宿松县期末）直线经过点，且与直线垂直，求直线的函数表达式． 【分析】依据题意，由直线得，再结合直线与直线垂直，进而可以设直线为，再由直线过点，从而求出，即可得解． 【解答】解：由题意，直线， 直线为． 又直线与直线垂直， 可设直线为． 又直线过点， ． ． 直线的函数表达式为． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解两条直线互相垂直的关系式之间的联系是关键． 知识点4．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【例4】（2023秋•淮北期中）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程（米与他行走的时间（分之间的函数关系正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，所用时间为15分钟，进而得出与的函数关系式． 【解答】解：由题意可得： ， 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出一次函数，得出前半程所用时间是解题关键． 【变式1】（肥东县校级月考）某种储蓄的月利率为，现存入1000元，则本息和（本金与利息的和）（元与所存月数之间的函数关系式是　　． 【分析】根据本息和本金利息本金本金利率得出． 【解答】解：依题意有． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意一次函数的一般形式为，是常数，且． 【变式2】（桐城市期末）已知等腰三角形的周长是，设底边长为，腰长为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可． 【解答】解：， ，即， 两边之和大于第三边， ， 综上可得． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得的取值范围是解答本题的关键． 知识点5．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【例5】（2023秋•霍邱县期末）对于某个一次函数，张颖说：该函数的图象不经过第二象限，赵丰说：该函数的图象经过点．若这两位同学的叙述都是正确的，那么根据这两位同学对话得出的结论，错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【解答】解：该函数的图象经过点． ， 故， 故正确，不符合题意； 该函数的图象不经过第二象限， ，， 故， 故，正确，不符合题意； ， ， ， ， 故错误，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 【变式1】（2023秋•淮北期中），两地相距，甲、乙两车同时从地出发前往地，如图所示是甲、乙两车行驶路程，随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，回答下列问题． （1）甲车的速度为 　90　； （2）当甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间为 　　． 【分析】（1）根据图像可直接进行求解； （2）根据图像可得出，与的函数关系式，然后问题可求解． 【解答】解：（1）由图象可得：； 甲车的速度为； 故答案为：90； （2）由题意可得：， 当时，；设当时，，则： ， 解得：， ， 当甲、乙两车相距时，则可分： ①， 解得：； ②， 解得：； ③当甲已经到达地，乙距甲10 时， ， 解得：， 综上所述：当甲、乙两车相距时，乙车行驶的时间为或或； 故答案为：1或或． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 【变式2】（2023秋•宣城期末）新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围 （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 【分析】（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆．根据表格可列出等量关系式，化简得； （2）由利润车辆数每车水果获利可得与的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆． ， ； （2）， 即， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值10.3万元， 装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元． 【点评】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，理清题目中的数量关系是解题的关键． 知识点6．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 【例6】（2021秋•定远县校级月考）点，是坐标平面上两定点，是的图象上的动点，则满足上述条件的等腰可以画出　　个． A．1 B．3 C．4 D．5 【分析】画出图形可直观的看出的可能位置． 【解答】解：当时，满足条件的点是如图所示的；当时，满足条件的点有、； 当时，满足条件的点有、； 综上所述，满足条件的等腰可以画出5个． 故选：． 【点评】本题考查一次函数综合题．解答此题的关键是画出图形，根据图形求解方便简单． 【变式1】（2020秋•瑶海区校级月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，那么点的坐标是　或　． 【分析】根据题意画出草图分析． 直线的位置有两种情形． 分别令、求相应的、的值，得直线与坐标轴交点坐标表达式，结合点坐标及直线位置求解． 【解答】解：令，则； 令，则． 所以，，． 一次函数的图象过点， ． ①若直线在位置，则，． 根据题意有，． ． 点坐标为； ②若直线在位置，则， ．根据题意有，． ． 点坐标为． 故答案为或． 【点评】此题考查一次函数及其图象的综合应用，难点在分类讨论． 【变式2】（2023秋•亳州期末）如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点，在直线上，且点在第二象限，点在第四象限，，为等腰直角三角形，且，． （1）求证：； （2）求直线的函数表达式； （3）在第二象限内是否存在点，使得是以为直角的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由为等腰直角三角形，，可得，，又，根据可证； （2）在中，令求出，设直线的函数表达式为，把，代入得，解出，的值，可得直线的函数表达式为； （3）过作轴于，根据是以为直角的等腰三角形，可证，故，，从而，即得． 【解答】（1）证明：为等腰直角三角形，， ，， 在和中， ， ； （2）解：在中，令得， ， 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：在第二象限内存在点，使得是以为直角的等腰三角形，理由如下： 过作轴于，如图： ， ， 是以为直角的等腰三角形， ， 又， ， ，， ， ． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 经典题型汇编 题型一．一次函数图象上点的坐标特征 1．（2023秋•怀宁县期末）已知，，，是直线上相异的两点，若，则的取值范围是 　　． 【分析】由知与的值符号不同，也就是随的增大而减小，从而列出关于的不等式，最后求出的取值范围． 【解答】解：， 与的值符号不同， 随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是理解给定条件得到一次函数的函数值随的增大而减小． 2．（2023秋•宿松县期末）直线与两坐标轴围成的三角形面积是　　 A．3 B．4 C．6 D．12 【分析】首先求出直线与轴、轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式，得出结果． 【解答】解：令，则， 令，则， 故直线与两坐标轴的交点分别为、， 故直线与两坐标轴围成的三角形面积． 故选：． 【点评】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数与轴的交点为，，与轴的交点为． 3．（2023秋•宣城期末）已知是的正比例函数，且当时，． （1）请求出与的函数表达式； （2）当为何值时，函数值． 【分析】（1）设与的函数表达式为，由当时，可得出关于的方程，解之即可得出值，进而可得出与的函数表达式； （2）代入求出值，此题得解． 【解答】解：（1）是的正比例函数， 设与的函数表达式为． 当时，， ， ， 与的函数表达式为， 即． （2）当时，， 解得：， 当为时，函数值． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的定义，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的方程；（2）代入求出的值． 题型二．一次函数图象与几何变换 4．（2023秋•亳州期末）将一次函数的图象向下平移个单位长度，使其成为正比例函数，则的值为　　 A． B． C．3 D．5 【分析】求出平移后的函数为，再由题意可得方程，求出的值即可． 【解答】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为， 平移后为正比例函数， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，熟练掌握函数图象平移的性质，正比例函数的定义是解题的关键． 5．（2023秋•蜀山区校级月考）把一次函数图象中，平面直角坐标系向上平移2个单位长度，得到的直线解析式为 　　． 【分析】将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，求直线在新的平面直角坐标系中的解析式相当于是求把直线向下平移2个单位后的解析式． 【解答】解：由题意，可知本题是求把直线向下平移2个单位后的解析式， 则所求解析式为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 6．（2023秋•庐阳区校级期中）已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）由与成正比例，设出关系式，把与的值代入的值，即可确定出解析式； （2）该函数的图象向上平移3个单位，求出它的解析式，然后求得该函数图象与坐标轴的交点，则根据三角形的面积公式进行解答即可． 【解答】解：（1）设， 把，代入得：，即， 则与函数关系式为，即； （2）将直线向上平移3个单位后得到的直线是：； 当时，． 当时，， 平移后的图象与轴交点的坐标是，与轴的交点坐标是， 则平移后的图象与两坐标轴围成的三角形面积是：． 【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 题型三．两条直线相交或平行问题 7．（2023秋•淮北期末）函数的图象与函数的图象平行，且与轴的交点为，则其函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】两条直线平行，则一次函数的一次项系数相等，则．把代入函数解析式即可求得的值，得到函数解析式． 【解答】解：根据题意得： 把代入得： 则函数的解析式是： 故选：． 【点评】本题主要考查了函数解析式与图象上的点的坐标之间的关系，点在直线上即点的坐标满足函数的解析式． 8．（2023秋•宣城期末）已知直线与直线相交于轴上一点，则　2　． 【分析】首先求出一次函数与轴交点，再把此点的坐标代入，即可得到的值． 【解答】解：直线与轴相交， ， ， 与轴的交点坐标为， 把代入中：， ． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了两条直线的交点问题，两条直线与轴的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达的． 9．（2023秋•固镇县期末）如图，直线与轴和轴分别交于点，，与直线交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）点在直线上且在点的右侧，如果的面积和的面积相等，求点的坐标． 【分析】（1）联立，解方程组即可； （2）先求出，，得出，，再根据三角形面积公式进行计算即可； （3）根据，得出，根据点的纵坐标为3，得出点的纵坐标为6，把代入求出，即可得出答案． 【解答】解：（1）解方程组， 得：， 所以点的坐标是． （2）对直线，当时，； 当时，解方程，得， ，， ，， 的面积为：． （3）若，则， 点的纵坐标为3， 点的纵坐标为6， 把代入得：， 解得：， 点的坐标为． 【点评】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，准确计算． 题型四．根据实际问题列一次函数关系式 10．（2022秋•砀山县校级期中）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠”．在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个，则小东应付货款（元与篮球个数（个的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知表示出买个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【解答】解：凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， 小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个， 则小东应付货款（元与篮球个数（个的函数关系式是：， 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 11．（蚌山区校级期中）从地向地打长途电话，按时收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若通话分钟，则需付电话费（元与（分钟）之间的函数关系式是 　　． 【分析】需付电话费分内收费分以外的收费，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：3分钟内收费2.4元，（3分）以外的收费为， ． 【点评】解决本题的关键是得到超过3分钟的电话付费的等量关系，注意时间为整数． 12．（阜南县校级月考）某汽车加油站储油45000升，每天给汽车加油1500升，那么储油量（升与加油（天之间的关系式是什么？并指出自变量的取值范围． 【分析】直接根据题意可求得储油量（升与加油（天之间的关系式是：储油量加油天数．自变量根据和天数是非负整数列不等式组即可求解． 【解答】解：根据题意得储油量（升与加油（天之间的关系式是：， ，， ， 即． 【点评】读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．自变量取值范围要结合实际意义列不等式求解． 题型五．一次函数的应用 13．（2024春•无为市月考）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【解答】解：由题意知：； 故选：． 【点评】本题考查了求函数关系式，正确记忆相关知识点是解题关键． 14．（2023秋•蜀山区校级月考）甲、乙两人同时从、两地出发相向而行，甲先到达地后原地休息，甲、乙两人的距离与乙步行的时间之间的函数关系的图象如图，则　5.25　． 【分析】根据时间为0时的的值即为、两地间的距离；两人之间的距离为0表示两车相遇；根据速度路程时间求出乙的速度，再根据相遇问题求出甲的速度，然后求出甲到达地的时间，即的数值． 【解答】解：、两地相距21千米；3小时后两人相遇； ， ， ， ， 所以． 故答案为：5.25． 【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义以及行走过程是解题的关键． 15．（2023秋•蒙城县校级月考）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元个，精装练习本的进价为7元个，设购买普通练习本个，获得的利润为元； ①求关于的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【分析】（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额精装练习本销售额元；200本普通练习本销售额精装练习本销售额元，列出方程组，求出即可； （2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个，根据总利润普通练习本获得的利润精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量的取值范围即可； ②根据一次函数的性质和的取值范围，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润． 【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为元，精装练习本的销售单价为元， 由题意可得：， 解得， 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元； （2）①购买普通练习本个，则购买精装练习本个， 由题意可得：， 普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍， ， 解得， 即关于的函数关系式是；； ②， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时，， 答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元． 【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式． 题型六．一次函数综合题 16．（2022秋•大观区校级期中）如图，直角坐标系中，点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，分别与直线，直线交于，两点，以为边向右侧作正方形． （1）当时，正方形的周长是 　12　． （2）当点在正方形内部时，的取值范围是 　　． 【分析】（1）根据点的横坐标利用两条直线的解析式求出、的长度，再求出正方形的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）根据点的横坐标表示出，再分①时，点的横坐标大于2列出不等式求解即可；②时，点的横坐标小于2点的横坐标大于2列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）时，， ， ， 正方形的周长； （2）点，轴， 点，， ， ①时，点的横坐标为， 点在正方形内部， ， 解得， ②时，点的横坐标为， 点在正方形内部， ，且， 解得且， ， 综上所述，或． 故答案为：（1）12；（2）或． 【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，难点在于（2）要根据点的位置分情况讨论． 17．（2023秋•蒙城县期末）直线与两坐标轴分别交于、两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】确定、两点的位置，分别以为腰、底讨论点位置． 【解答】解：直线与轴的交点为，直线与轴的交点为． ①以为底，在原点； ②以为腰，且为顶点，点有3种可能位置； ③以为腰，且为顶点，点有3种可能位置． 所以满足条件的点最多有7个． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 18．（2023秋•青阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于，点为延长线上一动点，以为直角边在其上方作等腰三角形，连接． （1）求证； （2）求直线与轴交点的坐标． 【分析】（1）过点作轴，证明，可得，推出，可得出，由得，即可得出结论； （2）由可得出，即可得出点坐标． 【解答】（1）证明：过点作轴，如图1所示， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：如图2， ，， ， ， 点的坐标为． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 试题练习 一．选择题 1．（2022秋•东至县期末）若直线与的交点在第四象限，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 【分析】由题意可列方程组，求出交点坐标，由交点在第四象限可求的取值范围． 【解答】解：设交点坐标为 根据题意可得： 解得： 交点坐标 交点在第四象限， 故选：． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟练掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 2．（2021秋•禹会区校级期中）表示皮球从高处落下时，弹跳高度与下落高度的关系如下表所示：则与之间的关系式为　　 下落高度 80 100 150 弹跳高度 40 50 75 A． B． C． D． 【分析】这是一个用图表表示的函数，可以看出是的2倍，即可得关系式． 【解答】解：由统计数据可知：是的2倍， 所以，． 故选：． 【点评】本题考查根据实际问题列一次函数的关系式，属于基础题，比较容易，关键是读懂题意． 3．（2022秋•太湖县校级期中）如图，顶点坐标分别为、、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为　　 A．4 B．8 C． D．16 【分析】根据题意画出相应的图形，由平移的性质得到向右平移到位置时，四边形为平行四边形，点与点重合，此时在直线上，根据坐标得出的长，即为的长，将纵坐标代入直线中求出的值，确定出的长，由求出，即为的长，平行四边形的面积由底，高，利用面积公式求出即可． 【解答】解：如图所示，当向右平移到位置时，四边形为平行四边形，点与点重合，此时在直线上， ， ， 将代入中得：，即， ，即， ， 则线段扫过的面积． 故选：． 【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平移的性质，以及平行四边形面积求法，做出相应的图形是解本题的关键． 4．（2023秋•萧县期末），，，是一次函数图象上的两点，且，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】根据一次函数的增减性，即可求解． 【解答】解：一次函数解析式为，， 随的增大而增大， 又， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象的性质，熟练掌握一次函数，当时，随增大而增大，时，随增大而减小是解题的关键． 5．（2021秋•淮北月考）将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答． 【解答】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数的图象沿轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为：． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 6．（2023秋•舒城县期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离与慢车行驶时间的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为　　 A． B． C． D． 【分析】易得射线表示慢车运动的函数图象，折线表示快车运动的函数图象．通过正比例函数经过可得正比例函数解析式也就是慢车运动的函数解析式；通过往返速度不变可得折线拐点的横坐标为4，设出一次函数解析式，把相关点的坐标代入后可得快车运动的函数解析式，与慢车运动的函数解析式联立可求得相遇时的时间，相减即可得到间隔时间． 【解答】解：设． 过， ． 解得：． ； 快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变． 快车到达乙地的时间为：时． 当时，设． 过，， ． 解得：． ． 当时，设． 过，， ． 解得：． ． ①时，． 解得：． ②当时，． 解得：． 间隔的时间． 故选：． 【点评】本题考查一次函数的应用．根据图象得到各个关键点的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：正比例函数一般形式为：；一次函数的一般形式为： 7．（2023秋•合肥月考）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与一元一次方程组的关系进行解答即可． 【解答】解：联立， 解得： 交点坐标为， 故选：． 【点评】题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，解答本题的关键要明确：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 8．（2023秋•固镇县期末）在一次函数的图象上任取不同两点，，，，则的正负情况是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象与性质即可求解． 【解答】解：， 随的增大而减小， 当时，， ， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 9．（2023秋•利辛县校级期末）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线，则应将直线　　 A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【解答】解：设将直线向左平移个单位后得到直线， ， 解得：， 故将直线向左平移个单位后得到直线， 同理可得，将直线向下平移5个单位后得到直线， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减． 10．（2022秋•凤阳县校级月考）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点顺时针旋转后得到△，则点的坐标是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】求得直角的两条直角边的长，即可利用解直角三角形的方法求得，以及的度数，则是直角，据此即可求解． 【解答】解：在中令，解得：； 令，解得：． 则，． 在直角中，，， 又， ， 的坐标是，． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数与解直角三角形，正确证明是关键． 二．填空题（共4小题） 11．（2023秋•包河区期中）已知直线向下平移个单位后经过点，则的值为 　2　． 【分析】根据“上加下减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点代入求得的值即可． 【解答】解：将直线向下平移个单位后所得直线为：． 将点代入，得． 解得． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线平移时，的值不变． 12．（2023秋•肥西县期末）已知一次函数的图象平行于，则的值是 　8　． 【分析】根据题意可得，可得． 【解答】解：一次函数的图象平行于， ， ， 故答案为：8． 【点评】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线解析式的值相等是解题的关键． 13．（2024•金平区校级一模）小聪从甲地匀速步行前往乙地，同时小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离与步行时间之间的函数关系式如图中折线段所示． （1）小聪与小明出发 　25　相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地，小明的速度是 　　． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以直接写出小聪与小明出发多长时间相遇； （2）根据题意可知，小聪晚到达乙地，则小聪用的时间为，根据速度路程时间，可以计算出小聪的速度，再根据时两人相遇，即可计算出小明的速度． 【解答】解：（1）由图象可得， 小聪与小明出发相遇， 故答案为：25； （2）由图象可得， 小聪的速度为：， 则小明的速度为：， 故答案为：100． 【点评】本题考查一次函数的应用，从函数图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点． （1）若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，则点的坐标为 　　； （2）若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 　　． 【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，利用两条直线的解析式表示出，两点的坐标，进而得出线段的长，列出方程即可解答； （2）分三种情形解答，先求得经过点的解析式，再联立，解方程组即可求解． 【解答】解：（1）当时，， ． 设直线的解析式为，由题意得：， 解得：． 直线的解析式为． 轴， ，的横坐标相同． 设，则． 为线段上一个动点， ，， ，． ． 解得：． ． 故答案为：； （2）如图1，当四边形为平行四边形时， 令，则， ． ， 直线的解析式为：． 令，则， ． ， 直线的解析式为：． ． 解得：． ． 如图，当四边形为平行四边形时， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 当时，， ． 当四边形为平行四边形时，如图3， ， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为：， 当时，， ． 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或． 故答案为：或或． 【点评】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键． 三．解答题（共9小题） 15．（2023秋•亳州期末）在平面直角坐标系中，直线轴，点和点都是直线上的点，求点的坐标． 【分析】由直线轴，可得出直线上的各点纵坐标均相同，结合点和点都是直线上的点，可得出，解之可得出的值，再将其代入点的坐标中，即可求出结论． 【解答】解：直线轴， 直线上的各点纵坐标均相同， 又点和点都是直线上的点， ， 解得：， ， 点的坐标为． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点，都是直线上的点，求出值是解题的关键． 16．（2023秋•金寨县期末）已知直线经过点． （1）求的值； （2）将该直线向下平移个单位长度使其成为正比例函数，求的值． 【分析】（1）将点代入解析式，求解即可； （2）根据函数图象平移规律以及正比例函数的定义，即可获得答案． 【解答】解：（1）把代入， 可得， 解得； （2）向下平移个单位长度的解析式为， 由题意得， 解得． 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和函数图象的平移变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 17．（2023秋•合肥期末）已知，某一次函数的图象与直线平行，且经过点，求这个函数的解析式． 【分析】根据两直线平行，解析式中自变量的系数相等，用待定系数法求出解析式即可． 【解答】解：设这个函数的解析式为， 一次函数的图象与直线平行， ， ， 把代入得，， 解得． 这个函数的解析式为：． 【点评】本题考查了两直线平行时值相等的知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 18．（2023秋•肥西县期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“3阶和点”． （1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则　　，　　； （2）若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“7阶和点”，求的值． 【分析】（1）由点在正比例函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，由点是关于的正比例函数的“阶和点”，可求出的值； （2）利用“阶和点”的定义，可求出一次函数图象的“7阶和点”是或，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值． 【解答】解：（1）点在正比例函数的图象上， ， ； 点是关于的正比例函数的“阶和点”， ． 故答案为：，4； （2）， 解得：或， 一次函数图象的“7阶和点”是或． 当一次函数的图象经过点时，， 解得：； 当一次函数的图象经过点时，， 解得：． 综上所述，的值为或2． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 19．（2022秋•金安区校级期末）已知与成正比例，且当时． （1）求与之间的函数解析式； （2）当该直线向左平移4个单位，则平移后直线的解析式为 　　． 【分析】（1）根据正比例的定义设，然后把时，代入计算求出值，再整理即可得解； （2）根据一次函数图象的平移规律“左加右减”即可确定平移后的函数表达式． 【解答】解：（1）设， 将、代入，得：， 解得， ，即； （2）该直线向左平移4个单位，则平移后直线的解析式为． 故答案为：． 【点评】本题综合考查了一次函数的图象与几何变换、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 20．（2023秋•亳州期末）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，与直线相交于点． （1）求与的值； （2）动点在线段上移动（不与点，重合），设的面积为，点的横坐标为，请求出与之间的函数关系式． 【分析】（1）将的坐标分别代入两个直线解析式中即可求出和的值； （2）由，；可得：直线解析式为：，直线的解析式为：，得到，根据面积关系，得到关系式，写出自变量取值范围即可． 【解答】解：（1）在直线图象上， ，解得， 点在直线图象上， ； 由，；可得： 直线解析式为：，直线的解析式为：， ，即， ，， ， 与之间的函数关系式为：． 【点评】本题考查了一次函数的交点问题，熟练掌握面积的关系是解答本题的关键． 21．（2023秋•泗县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． （1）求点、、的坐标； （2）求的面积； （3）轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直线中，分别令、，确定、坐标，运用勾股定理计算，根据折叠性质，，确定的长即可确定点的坐标； （2）证明，根据计算即可； （3）设点的坐标为，则．根据，计算的值即可． 【解答】解：（1）当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在中，，， ． 由折叠的性质，可知：，，， ， 点的坐标为． （2），，，， ． 又， 在和中， ， ， ． （3）存在点，且坐标为或，理由如下： 设点的坐标为，则． ， ， ， 解得：或， 轴上存在点或，使得． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键． 22．（2024春•颍泉区校级月考）北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十八号飞船与空间站六个小时完成对接，这是一项了不起的成就．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计130元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计120元． （1）求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）若该超市计划正好用220元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． （3）若该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元，在（2）中的购买方案中，假如这些航天载人飞船模型全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设种飞船模型每件进价元，种飞船模型每件进价元，根据题意可得关于、的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进件型飞船模型和件型飞船模型，根据总价单价数量，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数即可得所有购买方案； （3）根据销售1件种航天载人飞船模型比销售1件种航天载人飞船模型的利润要高，可得购进种航天载人飞船模型越多越好，据此计算出最大利润即可． 【解答】解：（1）设种飞船模型每件进价元，种飞船模型每件进价元， 根据题意，得， 解得， 答：种飞船模型每件进价20元，种飞船模型每件进价30元； （2）设购进件型飞船模型和件型飞船模型， 根据题意，得， ，即， ，均为正整数， 当时，； 当时，； 当时，， 所有购买方案如下：①购进8件型飞船模型和2件型飞船模型；②购进5件型飞船模型和4件型飞船模型；③购进2件型飞船模型和6件型飞船模型； （3）该汽车销售公司销售1件种航天载人飞船模型可获利10元，销售1件种航天载人飞船模型可获利20元， 销售1件种航天载人飞船模型比销售1件种航天载人飞船模型的利润要高， 购进种航天载人飞船模型越多越好， 购进2件型飞船模型和6件型飞船模型时利润最大，最大利润为元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，有理数四则混合计算的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组是解题关键． 23．（2023秋•舒城县期末）（1）如图1，、两点分别在轴、轴负半轴上，以点为直角顶点，为腰在第三象限作等腰．若，，求点的坐标； （2）如图2，、两点分别在轴、轴负半轴上，以为直角顶点，为腰作等腰，使点落在第四象限，过作轴于点，若，，求所在直线的函数解析式； （3）如图3，点坐标为，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上，且，请直接写出的值． 【分析】（1）由“”可证，由，，再由条件就可以求出的坐标； （2）由“”可证，可得，，再由条件就可以求出的坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）如图3，过点分别作轴于点，轴于点，由“”证明，可得，即可求得的值． 【解答】解：（1）如图1，过点作于点， 等腰直角三角形， ，， ． ， ，． ，， ，， ， ； （2）如图2，过点作于点， ， 等腰△， ，， ， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 点，点， 设直线解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为； （3）如图3，过点分别作轴于点，轴于点， ，， 在和中， ， ， ， 又，，点坐标为， ，，， ，， ， ． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$