第08讲 确定圆的条件 （2个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第08讲 确定圆的条件 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【例1】（2023秋•丰县期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有　　 A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【变式1】（2023秋•梁溪区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 【变式2】（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 【变式3】（2023秋•滨海县月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，，． （1）画出该轮的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 知识点2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【例2】（2021•苏州一模）如图，已知是的外心，、分别是、的中点，连接、交于点、，若，，，则的面积为　　 A．18 B．24 C．30 D．36 【变式1】（2023秋•宿迁期末）如图，是的外接圆，，，则的半径是 　　． 【变式2】（2023秋•宿迁期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆圆心的坐标为 　　． 【变式3】（2024•惠山区校级模拟）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积 　　． 经典题型汇编 题型一.三角形外接圆的说法辨析 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ． 3．（九年级上·江苏常州·期中）如图，已知BD是四边形ABCD的一条对角线.请利用直尺和圆规在AB边上作一点P，使得∠BPC＝∠BDC.（不写作法，保留作图痕迹） 题型二.求三角形外心坐标 4．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）过三点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为 ． 6．（21-22九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　； （2）这个圆的半径为　　； （3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）． 题型三.判断三角形外接圆的圆心位置 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 8．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点 ．    9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中有，请在图中画出外接圆的圆心P． (1)圆心P的坐标是________； (2)判断点是否在上？ 题型四.判断确定圆的条件 10．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 11．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法，错误的是（    ） A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆 12．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有　 　条． 题型五.确定圆心（尺规作图） 13．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 14．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）(1)尺规作图，作出的外接圆(不写作图过程，但保留作图痕迹)； (2)若，，，求外接圆的半径长． 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列命题中是真命题的为（　　） A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 4．（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 7．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　）    A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1） 8．（2023·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 10．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ） A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2） 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 12．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 13．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 14．（19-20九年级上·江苏南京·期末）如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是 ． 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 17．（20-21九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．    18．（19-20九年级上·江苏无锡·期中）将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若P是钝角△ABC的外心，则C的坐标为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，用圆规和无刻度的直尺画，使得．不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，    (1)若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是______． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 23．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 26．（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周． （1）点P的运动路径是一个圆； （2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 确定圆的条件 （2个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【例1】（2023秋•丰县期中）给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③以长为半径的圆有无数个；④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有　　 A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据等圆、等弧的概念、确定圆的条件判断即可． 【解答】解：①半径相等的圆是等圆，说法正确； ②长度相等的弧不一定是等弧，故本小题说法错误； ③以长为半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故本小题说法错误； 故选：． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握等圆、等弧的概念、确定圆的条件是解题的关键． 【变式1】（2023秋•梁溪区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 【分析】根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【解答】解：、弦的垂直平分线必经过圆心，故本选项符合题意； 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意； 、平分弦（非直径）的直径垂直这条弦，该选项说法错误，故此选项不符合题意； 、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解垂径定理及其推理，难度不大． 【变式2】（2022春•射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 　　． 【分析】根据图形得出、、的坐标，再连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，最后求出点的坐标即可． 【解答】解：从图形可知：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 连接，作线段和线段的垂直平分线、，两线交于，则是圆弧的圆心，如图， 点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查了确定圆的条件，坐标与图形性质，垂径定理等知识点，能找出圆弧的圆心的位置是解此题的关键． 【变式3】（2023秋•滨海县月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点，，． （1）画出该轮的圆心； （2）若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦和的垂直平分线交点即为所求； （2）连接，，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径． 【解答】解：（1）如图所示：分别作弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心； （2）连接，，，交于． ， ， ， ， 设圆片的半径为，在中，， ， 解得：， 圆片的半径为． 【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 知识点2．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【例2】（2021•苏州一模）如图，已知是的外心，、分别是、的中点，连接、交于点、，若，，，则的面积为　　 A．18 B．24 C．30 D．36 【分析】连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案． 【解答】解：连接，， 是的外心，、分别是、的中点， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了垂径定理的推论，三角形的外接圆和外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积． 【变式1】（2023秋•宿迁期末）如图，是的外接圆，，，则的半径是 　4　． 【分析】作直径，如图，连接，根据圆周角定理得到，，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的半径． 【解答】解：作直径，如图，连接， 为直径， ， ， ， ， ， 即的半径是4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理． 【变式2】（2023秋•宿迁期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆圆心的坐标为 　　． 【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，由、的坐标知：圆心（设的外心为必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【解答】解：设的外心为； ，， 必在直线上， 由图知：的垂直平分线过， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，垂径定理，根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解题的关键． 【变式3】（2024•惠山区校级模拟）（1）如图1，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中，如图2，若，且，求以为直径的圆覆盖的面积 　　． 【分析】（1）利用作垂直平分线，作一个角等于已知角即可； （2）连接，设圆与、交于点、，连接，由是的直径， 则，从而证明是等腰直角三角形，得，由三角形内角和求出，，最后由即可求解． 【解答】解：（1）如图， ①作的垂直平分线，交于点， ②以为圆心，作， ③作，交于点，则有， ， 即为所求； （2）如图，连接，设与、交于点、，连接， 是的直径， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， 以为直径的圆覆盖的面积为： ， ． 【点评】本题考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，扇形面积和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.三角形外接圆的说法辨析 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的外心到三角形三边的距离相等 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦，故选项B正确，符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）过三点，，的圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴是直角三角形， ∴的中点D的坐标为， ∴过三点，，的圆的圆心坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心． 3．（九年级上·江苏常州·期中）如图，已知BD是四边形ABCD的一条对角线.请利用直尺和圆规在AB边上作一点P，使得∠BPC＝∠BDC.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作△BDC的外接圆,△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P. 【详解】（1）作△BDC的外接圆   （2）如图，△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P. 【点睛】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型二.求三角形外心坐标 4．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）过三点，，的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点的确定方法解答． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴是直角三角形， ∴的中点O的坐标为， ∴过三点，，的圆的圆心坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，垂径定理，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心． 5．（22-23九年级上·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【分析】设的外心坐标为点，由三角形的外心到三个顶点的距离相等列出等量关系式，求出点P坐标，即可求解． 【详解】解：设的外心坐标为点，则， ，，， 即解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心知识以及解直角三角形，掌握三角形的外心到三个顶点的距离相等是解题的关键． 6．（21-22九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)． （1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　　； （2）这个圆的半径为　　； （3）直接判断点D(5，﹣2)与⊙M的位置关系，点D(5，﹣2)在⊙M　　（填内、外、上）． 【答案】（1）（2，0）；（2）；（3）内 【分析】（1）利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为点，从而得到点的坐标； （2）利用两点间的距离公式计算出即可； （3）先计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点与的位置关系． 【详解】解：（1）如图，圆心的坐标为； （2），， ， 即的半径为； （3），， ， ， 点在内． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和点与圆的位置关系． 题型三.判断三角形外接圆的圆心位置 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知是的外接圆，那么点O一定是的（　　） A．三个顶角的角平分线交点 B．三边高的交点 C．三边中线交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查三角形外接圆圆心的确定，掌握三角形外接圆圆心的确定方法，结合垂直平分线的性质，是解决问题的关键． 【详解】解：已知是的外接圆，那么点O一定是的三边的垂直平分线的交点， 故选：D． 8．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在网格中，A，B，C，D，E，P均是格点，则的外心是点 ．    【答案】P 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理可得，， ∴的外心是点P， 故答案为：P． 9．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中有，请在图中画出外接圆的圆心P． (1)圆心P的坐标是________； (2)判断点是否在上？ 【答案】(1)作图见解析； (2)点M不在上，在内 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． （1）作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后直接读出的外接圆的圆心坐标． （2）先求出的值，根据点和圆的位置关系进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为． 故答案为：． （2）解：， 圆的半径， ∵， ∴点M在内，不在上． 题型四.判断确定圆的条件 10．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 11．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）下列说法，错误的是（    ） A．直径是弦 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．过三点可以确定一个圆 【答案】D 【分析】根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可． 【详解】解：A．直径是最长的弦，故A正确，不符合题意； B．等弧所对的圆心角相等，故B正确，不符合题意； C．弦的垂直平分线一定经过圆心，故C正确，不符合题意； D．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键． 12．（20-21九年级上·江苏·阶段练习）如图：已知P是半径为10cm的⊙O内一点．解答下列问题： （1）用尺规作图作出圆心O的位置．（要求：保留所有的作图痕迹，不写作法） （2）用三角板分别画出过点P的最长弦AB和最短弦CD． （3）已知OP=6cm，过点P的弦中，长度为整数的弦共有　 　条． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）利用过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，进而画出即可； （2）利用最长弦AB即为直径和最短弦CD，即为与AB垂直的弦，进而得出答案； （3）求出CD的长，进而得出长度为整数的弦，注意长度为17、18、19的分别有两条． 【详解】解：（1）如图所示：点O即为所求； （2）如图所示：AB，CD即为所求； （3）如图：连接DO， ∵OP=6cm，DO=10cm， ∴在Rt△OPD中，DP==8cm， ∴CD=16cm， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有：8条． 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和垂径定理，注意长度为整数的弦不要漏解． 题型五.确定圆心（尺规作图） 13．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（    ） A． B． C．距离一样 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题考查了尺规确定圆的圆心，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握尺规确定圆的圆心的方法． 首先利用尺规做出和所在圆的圆心，进而求解即可． 【详解】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心， ∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离 ∴所在圆的圆心到线段的距离更小． 故选：B． 14．（21-22九年级上·江苏无锡·期中）如图，所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在 点． 【答案】G 【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论． 【详解】解：如图： 作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G， 则△ABC的外接圆圆心是点G， 故答案为：G． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，熟练掌握三角形外心的性质是解题的关键． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）(1)尺规作图，作出的外接圆(不写作图过程，但保留作图痕迹)； (2)若，，，求外接圆的半径长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】本题考查了作三角形的外接圆；垂径定理，勾股定理； （1）根据题意分别作的垂直平分线，交于点，以为半径作圆，则，即为所求； （2）根据垂径定理可得， 根据，得出，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）尺规作图，如图1 （2）如图所示， 、分别垂直平分、 ， ， 又， ， 外接圆的半径长 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 【答案】A 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意； B. 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意； D. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列命题中是真命题的为（　　） A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念辨析，垂径定理，三角形的外心，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、直径是弦，弦不一定是直径，故选项为假命题； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项为假命题； C、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故选项为真命题； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项为假命题； 故选C． 4．（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图， 以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）， 共6组． 故选D． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在如图所示的方格型网格图中，取3个格点并顺次连接得到，则的外心是（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，三角形的外心，熟练掌握三角形的外心到各个顶点的距离相等是解题关键． 【详解】解：如图，， ∴三角形的外心为点， 故选A． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，   ，． 过点作于点，则， 连接，，则， ， ． ， ， ∴， 在中，，， ∴， ． 故选：A． 7．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（　　）    A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1） 【答案】B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，    可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 8．（2023·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选A． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键． 9．（九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】D 【详解】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心． 故选D. 10．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ） A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2） 【答案】B 【分析】根据三角形的外心的概念作出外心，根据坐标与图形性质解答即可． 【详解】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P， 则点P为△ABC外接圆的圆心， 由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质，掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知一个三角形的三条边的长分别为10，8，6，则这个三角形的外接圆半径是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了直角三角形与其外接圆之间的关系， 勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，进而得到该三角形的斜边即为其外接圆的直径，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴三边长为6，8，10的三角形是直角三角形， ∴该三角形的斜边即为其外接圆的直径， ∴这个三角形的外接圆半径是5， 故答案为：5． 12．（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 13．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的三个顶点的坐标分别为，则的外接圆圆心的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的外心是三边中垂线的交点，由的坐标可知，圆心M必在直线上；由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到． 【详解】解：设的外心为M， ， ∴M必在直线上，由图知：的垂直平分线过，故， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握三角形的外心是三边中垂线的交点、确定圆心的位置是解题的关键． 14．（19-20九年级上·江苏南京·期末）如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】r3 ＜r2 ＜r1 【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可. 【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径 ∴r3＜r2＜r1 故答案为：r3＜r2＜r1 【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键. 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据圆的定义，可知圆心在线段的垂直平分线上，继而设圆心，由建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆心在线段的垂直平分线上，设圆心， ∴， 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的定义、垂径定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 17．（20-21九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．    【答案】(5，5) 【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案． 【详解】∵B(0，3)，C(3，0)， ∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线， 根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，    ∵A(0，7)，B(0，3)， ∴点E纵坐标为5， ∴由图可得，E(5，5)． 故答案为：(5，5)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键． 18．（19-20九年级上·江苏无锡·期中）将6×4的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若P是钝角△ABC的外心，则C的坐标为 ． 【答案】（1,2）或（4,3） 【分析】由图可知P到AB的距离为 ，在第一象限上找到P的距离为的点即可. 【详解】解：由图可知P到AB的距离为 在第一象限找到P的距离为的点组成等腰三角形如图所示： 由于是钝角三角形，故舍去（5,2）. 即C点坐标为（1,2）或（4,3） 【点睛】本题考查了三角形的外心，即到三角形三顶点距离相等的点，解题的关键在于画图找到C点. 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知，用圆规和无刻度的直尺画，使得．不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑． 【答案】见解析 【分析】本题考查确定圆弧的圆心，尺规作图，在上任取一点M，连接，，作线段，的垂直平分线，交点即为所在圆的圆心，令点C与点A重合，在圆周上取， 即为所求．解题的关键是找到已知弧所在圆的圆心． 【详解】解：如图，即为所求． 20．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，    (1)若以为圆心，长为半径作（画图），则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是______． 【答案】(1)作图见解析，点在圆上，点和点在圆外 (2) 【分析】（1）根据题意画出图形， 结合图形即可判断点与圆的位置关系． （2）根据勾股定理计算出对角线的长度，则半径的取值范围为． 【详解】（1）   由图可知：点在圆上，点和点在圆外． （2）连接，在中，， ． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 21．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1)，图见解析 (2)点D在内，证明见解析 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断． 【详解】（1）解：画图如下： 由图可知：圆心是， 故答案为：； （2）解：圆的半径， 线段， 点D在内． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图所示，已知在中，．    (1)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求的面积以及外接圆半径． 【答案】(1)见解析 (2)，外接圆的半径是 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键． （1）作和的中垂线的交点就是圆心，则圆即可作出； （2）连接并延长交于点D，连接，在直角中，利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径． 【详解】（1）解：即为所作；    （2）连接并延长交于点D，连接，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径是r，则，， 在直角中，，即， 解得：，则外接圆的半径是． 23．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【详解】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 24．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 【答案】(1)见解析， (2)6 【分析】本题考查作图应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）分别找出线段及线段的垂直平分线，它们的交点即为圆心，再画出的外接圆即可解决问题； （2）当点在线段延长线上时最大，此时， 【详解】（1）如图所示；； 故答案为． （2）连接，，，， 点为弦的中点，， ， ， ， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， 当点在线段延长线上时最大，此时， ， 的最大值为； 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，上，90° 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意建立平面直角坐标系即可；作两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心． （2）利用勾股定理、点与圆的位置关系、先判断，即可判断； 【详解】（1）解：①平面直角坐标系如图所示： ②解：圆心点，如图所示； （2）解：的半径， 点到圆心的距离半径， 点在上． ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，上，． 26．（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周． （1）点P的运动路径是一个圆； （2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）≤PC≤ 【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示： 则HP是△ABO的中位线， ∴HP＝OB＝1， ∴P点到H点的距离固定为1， ∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆； （2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示： ∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点， ∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC， ∴PC＝PA＝AB， 当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短， ∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3， ∴AP'＝AM＝， ∴PC＝； 当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长， ∵AN＝OA+ON＝5+2＝7， ∴AP''＝AN＝， ∴PC＝； ∴PC长的取值范围是≤PC≤． 【点睛】本题考查确定圆的条件、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$