2.4.1函数的奇偶性讲义-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 2.4.1函数的奇偶性 年 级 知 识 梳 理 一．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0. 2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例 3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.　　　 二.函数的奇偶性与单调性 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反. 三.奇偶函数的运算性质 在公共定义域内： 1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； 2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； 3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. 四.函数的对称轴与对称中心(拓展) (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴. (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心. 例题讲解 知识点一、函数奇偶性的判断 例1、判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3). (4)； (5) 练习： 1．函数的奇偶性为(    ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 2．函数的奇偶性是(    ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 3．下列函数中，是偶函数的是(    ) A． B． C． D． 4．下列判断正确的是( ) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 5．对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是(    ) A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 知识点二、奇偶函数的图像特征 例1、已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域． 练习： 1．已知． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)根据函数的性质，画出函数的大致图像． 2．已知函数的图象关于原点对称，且当时，． (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间． 3．已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，    (1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值． 知识点三、利用奇偶性求函数值 例1、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___. 例2、已知函数，且，则______． 练习： 1．已知是上的奇函数，当时，，则(    ) A．4 B． C．7 D． 2．已知是定义在上的奇函数，且，则的值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数，且，则______． 知识点四、利用奇偶性求函数解析式 例1、若是上的奇函数，且当时，，则当，______． 例2、已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为_ _． 练习： 1．已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是(    ) A． B． C． D． 2．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为________． 3．已知奇函数则__________． 知识点五、函数奇偶性的应用 例1、设是定义在上偶函数，则在区间上是(    ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定 例2、定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为( ) A． B． C． D． 例3、已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 例4、已知是定义在上的偶函数，对于任意的，()，都有成立．若，则实数m的取值范围为(    ) A．或 B． C．或 D． 练习： 1．设是定义在上的奇函数，则＝(    ) A． B． C． D． 2．已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 3．设偶函数 在区间 上单调递增， 则(       ) A． B． C． D． 4．定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 5．若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________. 6．已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 知识点六、函数性质的综合运用 例1、函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式． 例2、设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)解不等式． 练习： 1．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式. 2．已知二次函数. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)是否存在实数，使得函数在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立. (1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数； (2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性； (3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围. 举一反三 1．下列函数中，是奇函数的是(    ) A． B． C． D． 2．下列关于奇函数与偶函数的叙述中： ①奇函数的图象必通过原点； ②偶函数的图象必与y轴相交； ③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称； ④既是奇函数又是偶函数的函数必是. 其中正确命题的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，则等于(    ) A．8 B． C． D．10 4．已知为偶函数，当时，，则当时，(    ) A． B． C． D． 5．已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是(    ) A． B． C． D． 6．已知是上的偶函数，当时，，则(    ) A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6 7．函数且，则(    ) A． B． C．0 D．2 8．已知是定义在上的周期为3的偶函数，若，，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 9．已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 10．若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为(    ) A． B． C． D． 11．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是(    ) A． B． C． D． 12． (多选)已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是(    ) A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 12． (多选)定义在上的函数满足，且是单调函数，，则(    ) A． B． C． D． 13． (多选)已知定义在上的非常数函数满足，则(    ) A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数 14．(多选)设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(    ) A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 15． (多选)下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为(    ) A． B． C． D． 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为________． 17．己知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是__________． 18．设函数，的最大值为，最小值为，则__________． 19．若定义在R上的函数满足：对任意，有，则下列说法中：①为奇函数；②为偶函数；③为奇函数；④为偶函数.一定正确的是___________. 20．已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______. 21．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________ 22．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________ 23．已知函数是定义在上的函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明； 24．已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)当时，判断的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数满足，求的取值范围. 25．已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)画出的图象； (3)求该函数的值域． 26．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 27．已知函数． (1)若，判断的奇偶性(不用证明)． (2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值． (3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 28．已知函数是定义在R上的偶函数. (1)求实数m的值； (2)利用定义证明在上的单调性； (3)若，求实数a的取值范围. 29．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求，的值； (2)判断的单调性(不需要写证明过程)； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 课 堂 小 结 一．判断函数奇偶性的方法 1.定义法：一求二看三判断 2.图象法 3.性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 二．利用奇偶性求解析式 1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； 2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 三．利用函数奇偶性和单调性解不等式 1.利用图象解不等式． 2.转化为简单不等式求解． (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式； (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．　 四．比较大小的 1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． 2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　 五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用 函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期． 课 后 作 业 1． 是定义域为R的奇函数，，，则(    ) A．3 B． C．6 D．0 2．已知函数是定义在上的奇函数，且，则(    ) A． B．2 C．0 D．5 3．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则(    ) A． B． C．0 D．1 4．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 5．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则(    ) A． B． C． D． 6．(多选)已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则(    ) A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 7． (多选)已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列结论正确的有(    ) A．函数的周期是4 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递减 D． 8．已知函数，其中m为常数. (1)若函数是奇函数，求m的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)在(1)的条件下，对于任意，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 9．若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)求函数在内的“倒域区间”； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 10．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. (1)求、的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 11．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最小值； (3)解关于的不等式：． 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.4.1函数的奇偶性 年 级 知 识 梳 理 一．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0. 2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例 3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.　　　 二.函数的奇偶性与单调性 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数，即在对称区间上单调性相反. 三.奇偶函数的运算性质 在公共定义域内： 1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； 2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； 3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. 四.函数的对称轴与对称中心(拓展) (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴. (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心. 例题讲解 知识点一、函数奇偶性的判断 例1、判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3). (4)； (5) 【答案】(1)奇函数(2)是奇函数，也是偶函数(3)既不是奇函数，也不是偶函数(4)奇函数；(5)偶函数． 【解析】(1)的定义域为，关于原点对称， ，则为奇函数. (2)由，解得，则的定义域为，关于原点对称， 又，则既是奇函数，也是偶函数. (3)由，可得或， 的定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，也不是偶函数． (4)当时，，，； 当时，，，. 所以函数为奇函数； (5)由题意可得，所以且， 所以函数的定义域为关于原点对称， 又，所以函数为偶函数； 练习： 1．函数的奇偶性为(    ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】C 【解析】由函数的定义域可得，则， 由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.故选：C. 2．函数的奇偶性是(    ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【解析】若，则，则； 若，则，则.又，满足. 所以，又函数的定义域为，关于原点对称，因此，函数为奇函数.故选A. 3．下列函数中，是偶函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为R，，不是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，不是偶函数，B不是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，C是； 对于D，函数的定义域为R，，不是偶函数，D不是.故选：C 4．下列判断正确的是( ) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】C 【解析】对于中，函数的定义域为{，且}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数; 对于B中，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数; 对于C中，由得，定义域关于原点对称，且，，所以是偶函数;对于D中，函数是偶函数，但不是奇函数.故选：C. 5．对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是(    ) A．若和都是奇函数，则是奇函数 B．若和都是偶函数，则是偶函数 C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数 【答案】B 【解析】对于A，因为和都是奇函数，所以，， 令，则，所以是偶函数，故A错误； 对于B，因为和都是偶函数，所以，， 令，则，所以是偶函数，故B正确； 对于C，因为是奇函数，是偶函数，所以，， 令，则，所以是奇函数，故C错误； 对于D，因为和都是奇函数，所以，， 令，则， 所以是奇函数，故D错误.故选：B 知识点二、奇偶函数的图像特征 例1、已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函数的解析式； (3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域． 【解析】(1)当时，，则， 又因为函数为R上的奇函数，则； (2)因为函数为R上的奇函数，所以，令，得，所以， 任取，则，所以， 所以，综上所述； (3)结合(2)可得图象如下， 由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为和， 值域为． 练习： 1．已知． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)根据函数的性质，画出函数的大致图像． 【解析】(1)解：因为函数的定义域为关于原点对称， 又因为，所以是偶函数； (2)任取，且，则，， 因为，所以，，又因为，所以， 所以，即，所以函数在区间上单调递增； (3)由(2)同理可得在区间上单调递增， 由(1)知是偶函数，则在和上单调递减，所以其图象如图所示： 2．已知函数的图象关于原点对称，且当时，．    (1)试求在上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间． 【解析】(1)∵的图象关于原点对称，∴是奇函数，∴． 又的定义域为，∴，解得． 设，则，∵当时，， ∴，∴，所以； (2)由(1)可得的图象如下所示：    由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 3．已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，    (1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间； (2)若函数，求函数的最大值． 【解析】(1)解：如图所示，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出的图象，当时，设函数，由图象可得，解得，所以， 当时，则，因为函数为偶函数，所以， 所以函数的解析式为，可得的单调递减区间为和，    (2)解：当时，，可得其对称轴的方程为且开口向上， ①当时，即时，；②当时，即时，， 综上可得， 知识点三、利用奇偶性求函数值 例1、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___. 【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则.故答案为：． 例2、已知函数，且，则______． 【解析】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以，可得， 又，因此．故答案为： 练习： 1．已知是上的奇函数，当时，，则(    ) A．4 B． C．7 D． 【解析】当时，，因为是上的奇函数，所以， 所以.故选：A. 2．已知是定义在上的奇函数，且，则的值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为，所以令，则， 因为，，所以，令，则.故选：D. 3．已知函数，且，则______． 【解析】构造具有奇偶性的函数，由，得， 构建函数，定义域为， 因为所以函数是偶函数，所以， 所以，从而，又，因此.故答案为：2024 知识点四、利用奇偶性求函数解析式 例1、若是上的奇函数，且当时，，则当，______． 【解析】设，则，所以， 因为是上的奇函数，所以，所以，所以， 故答案为： 例2、已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______． 【解析】当时，，故， 所以，所以故答案为： 练习： 1．已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，由于是偶函数，所以.故选：C 2．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为________． 【解析】是定义域为R的奇函数，当时，， 则当时，，， 所以当时，的表达式为.故答案为： 3．已知奇函数则__________． 【解析】当时，，， 则．故答案为：. 知识点五、函数奇偶性的应用 例1、设是定义在上偶函数，则在区间上是(    ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．与，有关，不能确定 【解析】是定义在上偶函数，∴定义域关于原点对称，即，∴， 则，由， 即，解得，∴， 函数图像抛物线开口向下，对称轴为，则函数在区间上是减函数．故选：B． 例2、定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为( ) A． B． C． D． 【解析】因为对任意的，有， 所以当时，，所以在上是减函数， 又是偶函数，所以，， 因为，所以，即．故选：D． 例2、已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为为定义在上的奇函数，当时,， 由得，即，解得， 当时，，则，则， 由得，即，解得，又， 所以的解集为.故选：D. 例4、已知是定义在上的偶函数，对于任意的，()，都有成立．若，则实数m的取值范围为(    ) A．或 B． C．或 D． 【解析】由任意的，()，都有可知在 单调递减， 由于是定义在上的偶函数，所以在单调递增， 由得，平方可得 ，解得或 ，故选：A 练习： 1．设是定义在上的奇函数，则＝(    ) A． B． C． D． 【解析】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，且，故，所以， 所以，则.故选：B. 2．已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【解析】由知，在上单调递增， ∵是奇函数，则在上单调递增，由，可得，B错误，D正确； 虽然由题意可得在，上单调递增，但是由已知条件无法判断是否在定义域内单调递增，则A、C无法判断正误，即A、C不一定成立；故选：D. 3．设偶函数 在区间 上单调递增， 则(       ) A． B． C． D． 【解析】偶函数在区间上单调递增，则，即.故选：B 4．定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为定义在上的偶函数在单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即不等式的解集是.故选：D 5．若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________. 【解析】由于在上是偶函数，所以，因为，函数在上时增函数，所以 ，所以.故答案为： 6．已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______. 【解析】因为是定义域为上的奇函数，且对于任意，不等式恒成立， 所以，即， 又因，所以在上是单调递减函数，则有恒成立，即恒成立， 令，，则，所以，所以的取值范围是.故答案为：. 知识点六、函数性质的综合运用 例1、函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于的不等式． 【解析】(1)为定义在上的奇函数，，解得：，，解得：； 当，时，，，满足为奇函数； 综上所述：. (2)在上单调递增； 证明如下：任取， ； ，，，，，在上单调递增. (3)为定义在上的奇函数，由得：， 又在上单调递增，，解得：，不等式的解集为. 例2、设函数是定义在上的增函数，对于任意都有． (1)证明是奇函数； (2)解不等式． 【解析】(1)证明：令，则由，得，即； 令，则由，得， 即得，故是奇函数． (2)，所以，则， 即，因为，所以， 所以，          又因为函数是增函数，所以，所以或． 所以x的解集为． 练习： 1．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式. 【解析】(1)函数是定义在上的奇函数，，解得：， ，而，解得，. (2)函数在上为增函数； 证明如下：任意且，则 因为，所以，又因为，所以，所以， 即，所以函数在上为增函数. (3)由题意，不等式可化为， 即解不等式，所以，所以，解得 所以该不等式的解集为 2．已知二次函数. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)是否存在实数，使得函数在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)函数是偶函数，对任意的恒成立. ，即对任意的恒成立.. (2)二次函数的图像开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增，则，即，无解； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即(舍)； ③当时，函数在上单调递减，则，即(舍). 所以，不存在实数，使得函数在上的值域也是. 3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立. (1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数； (2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性； (3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围. 【解析】(1)证明　设x1>x2，则x1－x2>0，∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2) 又当x>0时，f(x)<0恒成立，所以，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)是R上的减函数. (2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)， 又由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝b＝0，得f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R， 即函数y＝f(x)是奇函数. (3)法一　由f(x2－2)＋f(x)<0得f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，即f(x2－2)<f(－x)， 又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 法二　由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)， 又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2. 故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 举一反三 1．下列函数中，是奇函数的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是； 对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是； 对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是； 对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是.故选：A 2．下列关于奇函数与偶函数的叙述中： ①奇函数的图象必通过原点； ②偶函数的图象必与y轴相交； ③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称； ④既是奇函数又是偶函数的函数必是. 其中正确命题的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，如，故①错； 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与轴相交，如，故②错； 根据奇函数或偶函数的定义，其定义域必关于原点对称，故③对； 既是奇函数又是偶函数的函数不一定是，如，故④错；故选：B 3．已知，则等于(    ) A．8 B． C． D．10 【解析】函数的定义域为R， 令函数，显然， 即函数是R上的奇函数，因此，即，而， 所以.故选：C 4．已知为偶函数，当时，，则当时，(    ) A． B． C． D． 【解析】当时，，则，又因为是偶函数，所以.故选：B. 5．已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是(    ) A． B． C． D． 【解析】当时，，所以，则， 结合已知解析式知：.故选：D 6．已知是上的偶函数，当时，，则(    ) A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6 【解析】因为是上的偶函数，所以，所以关于对称， 当时，，所以.故选：C. 7．函数且，则(    ) A． B． C．0 D．2 【解析】由，令， 则，，故是奇函数， 所以，所以．故选:A． 8．已知是定义在上的周期为3的偶函数，若，，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】由是定义在上的周期为3的偶函数，则，即，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 9．已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为函数关于对称，所以函数的图象关于对称，即函数为偶函数， 所以，所以， 因为当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 又，所以，所以，故选：A. 10．若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为为的奇函数，又，在上单调递增， 所以，函数在上单调递增， 由，可得，或，或，由，，可得； 由，，可得；所以的解集为.故选：D. 11．下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，是偶函数，当时是增函数； 对于B，是偶函数，当时是增函数； 对于C，，不是偶函数； 对于D，设，则，， 当时，，，是偶函数， 当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数；故选：D. 12． (多选)已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是(    ) A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【解析】因为，，取可得， 又，所以，A对；取可得， 因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取可得，又，所以，D对．故选：ABD 12． (多选)定义在上的函数满足，且是单调函数，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为定义在上的函数满足，所以是奇函数，从而，所以A正确；因为是单调函数，且，所以是上的单调递增函数， 故，所以B正确；取，则满足题干的所有条件， 此时，所以C错误；由于， 且是上的单调递增函数，故，所以D正确.故选：ABD. 13． (多选)已知定义在上的非常数函数满足，则(    ) A． B．为奇函数 C．是增函数 D．是周期函数 【解析】对于A项，令得：，解得：，故A项正确； 对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确； 对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误； 对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.故选：AB. 14．(多选)设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(    ) A．是偶函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【解析】因为满足，所以是偶函数； 因为满足，所以是偶函数， 因为满足，所以是奇函数； 因为满足，所以是偶函数；故选：ABD． 15． (多选)下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为(    ) A． B． C． D． 【解析】是偶函数，在区间上单调递增，故A满足； 是奇函数，故B不满足； 是偶函数，但在区间上单调递减，故C不满足； 是偶函数，在区间上单调递增，故D满足，故选：AD 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为________． 【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，， 设，则，则，所以. 综上所述，. 17．己知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是__________． 【解析】因为是偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数， 又，所以，当时，不等式即为，解得； 当时，不等式即为，解得，此时，故答案为：， 18．设函数，的最大值为，最小值为，则__________． 【解析】的定义域是，， 所以为奇函数，设的最大值为，则最小值为， 所以，所以．故答案为： 19．若定义在R上的函数满足：对任意，有，则下列说法中：①为奇函数；②为偶函数；③为奇函数；④为偶函数.一定正确的是____________. 【解析】对任意，有，令，得， 令，，得，整理得，故为奇函数，无法判断的奇偶性.故答案为：③. 20．已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______. 【解析】函数是定义在上的偶函数，，解得. 又，当时，， 函数在上单调递减，，，解得，故答案为：. 21．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________. 【解析】由题知：在区间上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，，，符合题意， 当时，，，，不符合题意， 当时，，，，符合题意， 当时，，，，不符合题意， 综上的解集为 22．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________ 【解析】令，即，则； 由题意可得：.故答案为：； 23．已知函数是定义在上的函数． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明； 【解析】(1)函数f(x)为奇函数 证明如下：函数f(x)的定义域为，.所以函数f(x)为奇函数. (2)f(x)在上为单调递增函数 证明如下： 设－1＜x1＜x2＜1，则. 因为－1＜x1＜x2＜1，，所以，则. 故f(x)在上为单调递增函数. 24．已知函数． (1)判断的奇偶性并证明； (2)当时，判断的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数满足，求的取值范围. 【解析】(1)是奇函数，证明如下：∵f(x)的定义域关于原点对称， 且，∴函数是奇函数； (2)f(x)在上单调递增，证明如下：任取，且， 则， ∵，∴，∴，即， ∴f(x)在上单调递增； (3)由(2)知函数在上单调递增，由，得，解之得， ∴实数的取值范围是． 25．已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)画出的图象； (3)求该函数的值域． 【解析】(1)当时，，故， 因为是定义在R上的偶函数，所以，所以，综上，； (2)当时，，故此时函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为为偶函数，故在上单调递减，在上单调递增， 且，， 画出函数图象如下： (3)由(2)可知看出函数的值域为. 26．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【解析】(1)定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； (2)因为，故令得，即，又是奇函数，所以， 令得，令得故； (3)不妨设，中，令得，， 因为，又时，，所以，即， 所以在R上单调递减，故． 27．已知函数． (1)若，判断的奇偶性(不用证明)． (2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值． (3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】(1)为奇函数．理由如下：， 函数的定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数． (2)当时，，，且，所以， 因为，所以，，， 所以，即，于是有，所以函数在上单调递增， 所以函数在上的最小值为． (3)若对任意，恒成立，则 所以问题转化为a大于函数在上的最大值， ，， 由二次函数函数的性质知，开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减， 所以最大值为，即.所以实数a的取值范围是． 28．已知函数是定义在R上的偶函数. (1)求实数m的值； (2)利用定义证明在上的单调性； (3)若，求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为函数是定义在R上的偶函数，，. (2)由(1)可知，设， ，，， ，， ，在上的单调递增. (3),, 又因为函数是定义在R上的偶函数，在上的单调递增. ，当，当 ，求实数a的取值范围是. 29．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. (1)求，的值； (2)判断的单调性(不需要写证明过程)； (3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【解析】1)函数是定义在上的奇函数∴，即∴.   又因为，即，所以，经检验得符合题意.综上所述，. (2)由(1)知，，，所以，由对勾函数的性质知，在上单调递减，所以在上单调递增，又因为函数是定义在上的奇函数； 所以函数在为单调递增函数. (3)由(1)可知，，则 因为当时，有，函数是定义在上的奇函数 所以，   所以， 综上所述，，由(2)知，函数在区间上单调递增，所以， 由于对恒成立，则，， 即，于是有，解得或， 因此，实数的取值范围是. 课 堂 小 结 一．判断函数奇偶性的方法 1.定义法：一求二看三判断 2.图象法 3.性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 二．利用奇偶性求解析式 1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中； 2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x). 三．利用函数奇偶性和单调性解不等式 1.利用图象解不等式． 2.转化为简单不等式求解． (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式； (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解． 注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．　 四．比较大小的 1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． 2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．　　 五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用 函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期． 课 后 作 业 1． 是定义域为R的奇函数，，，则(    ) A．3 B． C．6 D．0 【解析】由知，函数是以4为周期的周期函数，又是奇函数，， 所以.故选：B 2．已知函数是定义在上的奇函数，且，则(    ) A． B．2 C．0 D．5 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，因为，所以， 所以，所以的周期为6， 所以，故选：D 3．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则(    ) A． B． C．0 D．1 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则， 若函数满足，则有， 则有，可得，则函数是周期为8的周期函数， 所以，因为，所以， 因为当时，，所以，即.故选：A. 4．设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【解析】不妨设，且，因为，所以， 不等式两边同除以得，，即，令，则， 所以在上单调递减，定义域为， 又是定义在上的奇函数，故， 所以为偶函数，故在上单调递增，因为，所以， 当时，变形得到，即，解得，所以解集为， 当时，变形得到，即，解得，所以解集为， 所以不等式的解集为.故选：D 5．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为为奇函数，所以有， 因为为偶函数，所以有， ， 所以函数的周期为，由，由， 由， ， ，故选：A 6．(多选)已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则(    ) A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【解析】选项A：设，因为是定义在上的函数，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 选项B：，因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故B错误； 选项C：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为， 因为为奇函数，为偶函数，所以， 所以为偶函数，故C错误； 选项D：设，因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，， 因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，所以不是奇函数，， 因为是不恒为0的函数，所以不恒成立， 所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，故选：AD. 7． (多选)已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列结论正确的有(    ) A．函数的周期是4 B．直线是函数的一条对称轴 C．在上单调递减 D． 【解析】对于A，因为函数为偶函数，所以，即的图象关于直线对称， 因为为奇函数，所以，则， 所以， 所以是周期为4的函数，故A正确； 因为关于直线对称，且为奇函数，所以关于直线对称，又是周期为4的函数， 所以关于直线对称，因为，所以直线是函数的一条对称轴，故B正确；由是定义在上的奇函数，所以，当时，，可得当时，， 令，则，所以，此时单调递增，因为， 所以在上的单调性相当于在上的单调性，故此时递增，故C错误； ，所以，故D正确.故选：ABD. 8．已知函数，其中m为常数. (1)若函数是奇函数，求m的值； (2)判断函数的单调性并证明； (3)在(1)的条件下，对于任意，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 【解析】(1)函数，定义域为R， 若函数是奇函数，， ，，解得. (2)在R上单调递减，证明如下， 任取，则， 由，有，，， 所以，即，故在R上单调递减； (3)由(1)(2)可知，函数是奇函数且在R上单调递减，，即，得，即， 令，则， 当，即时，在上单调递增，，解得，所以；当，即时，，解得 当，即时，在上单调递减，，解得与矛盾，所以无解；综上，实数n的取值范围为. 9．若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)求函数在内的“倒域区间”； (3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”. 【解析】(1)解：当时，则， 由奇函数的定义可得，所以，. (2)解：设，因为函数在上递减，且在上的值域为， 所以，，解得，所以，函数在内的“倒域区间”为. (3)解：在时，函数值的取值区间恰为， 其中且，，所以，，则，只考虑或， ①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，则，所以，，所以，， 由(2)知在内的“倒域区间”为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，所以，，所以，.， 因为在上单调递减，则，解得， 所以，在内的“倒域区间”为. 综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和. 10．已知是定义在上的奇函数，其中、，且. (1)求、的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【解析】(1)解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得， 则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇函数. 对任意的，，故函数的定义域为， 则，故函数为奇函数，合乎题意，因此，，. (2)解：函数在上单调递减，证明如下： 任取、且，即，则，， 则， 所以，，故函数在上单调递减. (3)解：若对任意的，总存在，使得成立， 则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，因为函数在上单调递减， 则当时，，，所以，记在区间内的值域为. ①当时，在上单调递减， 则，，得在区间内的值域为. 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ②当时，，在上单调递减，且， 则，，得在区间内的值域为， 因为，所以对任意的，总存在，使得成立. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为 ，所以，该不等式组无解； ④当时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，得在区间内的值域为，不符合题意.综上，实数的取值范围为. 11．已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最小值； (3)解关于的不等式：． 【解析】(1)为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得所以对任意恒成立，所以为奇函数， (2)任取，且，则.因为当时，，所以. ，即，所以在上单调递增， 所以在区间的最小值为，因为，令得， 令，得， 在区间的最小值为， (3)由，得， 由得， 由在上单调递增得整理得，即， 当时，，解得；当时，， 当时，，，解集为，当时，， 当时，，解集为，当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为． 33 学科网（北京）股份有限公司 $$