专题21.4 因式分解法解一元二次方程（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题21.4 因式分解法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 1 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 3 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 6 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 10 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 12 【考点六 换元法解一元二次方程】 14 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【变式训练】 1.（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 2.（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 2.（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例3. （22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【变式训练】 1.（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 2.（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框： 甲： 两边同除以得： 则 （    ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （    ） 你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程． 3.（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 2.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 2.（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则的值为（    ） A．1 B． C．5或 D．5 【考点六 换元法解一元二次方程】 例6. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 2.（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 3.（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 4．（23-24九年级上·广东中山·期末）对于实数a， b， 定义运算“※” ∶   例如： 若， 则x的值为（     ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．（2024·陕西西安·一模）一元二次方程的解为 ． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）方程的解为 ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）解方程： (1) (2) 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）解方程． (1)． (2)． 14．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 16．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.4 因式分解法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 1 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 3 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 6 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 10 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 12 【考点六 换元法解一元二次方程】 14 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 【变式训练】 1.（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 2.（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 即或， 解得，． （2）解：， 移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 2.（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例3. （22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程： 解：方程两边因式分解，得，① 方程两边同除以，得，② ∴原方程的解为．③ (1)上面的运算过程第______步出现了错误． (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)过程见解析 【分析】（1）根据等式的性质作答即可； （2）先移项，然后用因式分解法求解． 【详解】（1）解：∵可能为0， ∴不能除以， ∴第②步出现了错误 故答案为②． （2）解：方程两边因式分解，得， 移项，得， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【变式训练】 1.（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ，， 此方程无实数根． (1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”． (2)请选择合适的方法求解此方程． 【答案】(1)两位同学均错 (2)， 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确． （2）， ， 或， 所以，． 2.（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框： 甲： 两边同除以得： 则 （    ） 乙： 移项得 提公因式 则或 （    ） 你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】×；×，见解析 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：根据题意得： 甲： 两边同除以得： 则 （×） 乙： 移项得 提公因式 则或 （×） 解： 或． 3.（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； (2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】(1)1，2 (2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； （2）解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解． 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可． 【详解】解方程得或， 当时，，不能构成三角形； 当时，这个三角形的周长是， 故选D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 即， 解得，或（不合题意，舍去）． ∴，， 在中，， ， 的周长． 故选：A． 2.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 由 ∴， 解得：或 依题意，这个直角三角形的三边分别为， ∴这个直角三角形的周长为， 故选：C． 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（    ） A．都为 B．都为 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意． 现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：根据定义运算可得， 即为， 即， ，， 则方程的根为或． 故选：． 2.（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 3.（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：，如，若，则的值为（    ） A．1 B． C．5或 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义，得到 ，解出即可求解． 【详解】解：由题意得：，即 解得：或， 故选：C． 【考点六 换元法解一元二次方程】 例6. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 2.（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 3.（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 【过关检测】 一、单选题 1．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案. 【详解】解：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：D. 2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）下列方程能用因式分解法解的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式的方法是正确判断的关键．根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案． 【详解】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解； 方程可变形为，故②能用分解因式法求解； 方程可变形为：，故③能用因式分解法求解； 方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解． 综上，能用因式分解法求解的方程有4个， 故选：D． 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 4．（23-24九年级上·广东中山·期末）对于实数a， b， 定义运算“※” ∶   例如： 若， 则x的值为（     ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或-1 【答案】A 【分析】此题主要考查了新定义下实数的运算，解方程，乘方等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】根据定义，得，整理得， 解方程，得， 故选A． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 二、填空题 6．（2024·陕西西安·一模）一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先提公因式再令每个因式为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 解得 故答案为： 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法即可解答，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 可得或， 解得或， 故答案为：或． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，根据换元法求解方程作答即可． 【详解】令，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 10．（23-24九年级上·河北保定·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 “倍根方程”（填“是”或“不是”）； （2）若是“倍根方程”，则 ． 【答案】 是 4或16/16或4 【分析】本题主要考查了新定义“倍根方程”、解一元二次方程等知识，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）利用因式分解法解方程，然后根据“倍根方程”的定义判断即可； （2）解方程，然后分是8的2倍、8是的2倍两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）， ∴， ∴，， ∵4是2的2倍， ∴方程是“倍根方程”； （2）解方程， 可得，， ∵是“倍根方程”， ∴当是8的2倍时，即有， 当8是的2倍时，即有． 故答案为：（1）是；（2）4或16． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是掌握四种解方程的方法，根据方程特点正确选准方法即可． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，． 12．（23-24八年级下·浙江温州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）解方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 或， ． （2）， ， ， 或， 14．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 15．（23-24八年级下·全国·假期作业）阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握十字相乘法因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解求解； （2）利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ． 16．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； (2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025和2022 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； （3）解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$