1.1.2 菱形的性质与判定（第2课时）（培优教学课件）数学北师大版九年级上册

1.2 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1.掌握菱形的判定定理 2.经历菱形判定定理的探究过程（重点） 3.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算（难点） 情境&导入 回顾 & 思考 ☞ 1．菱形的定义是什么？菱形有哪些性质？ (1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)菱形的性质 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 边 角 对角线 每一条对角线平分一组对角 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 情境&导入 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流． 菱形 平行四边形 满足？条件 对角线 边 角 平行四边形的对角线满足什么条件时，它就是菱形了？ 探索&交流 　　如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线。我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形．若转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两个木棒之间的夹角等于90°时，得到的图形是什么图形呢？ 探索&交流 菱形判定 1— 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AC⊥BD. 求证: □ABCD 是菱形 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴OA = OC 又∵AC⊥BD ∴BD是线段 AC 的垂直平分线 ∴BA = BC ∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义) 探索&交流 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形 ABCD是菱形。 归纳：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明 对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分. 定理 AC⊥BD A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 探索&交流 议一议 已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？ 如图，分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 为半径作弧，两弧交于 B、D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形. 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？ 四边相等的四边形是菱形。 请你完成这个定理的证明。 探索&交流 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义). A B C D 已知：右图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 探索&交流 四边相等的四边形是菱形. 定理 AB=BC=CD=AD 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD 四边形ABCD A B C D 探索&交流 做一做 你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！ 先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形。 你能说说小颖这样做的道理吗？ 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD 是菱形. 证明：在△AOB 中， ∵AB = ，OA=2，OB=1， ∴AB2 = AO2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由. A B C D E O 1 2 例题&解析 解：(1)在△ABC 和△ADC 中， ∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC，∴∠1＝∠2； (2)四边形BCDE是菱形．理由如下： 连接BE，DE. ∵BC＝DC，∠1＝∠2，∴OD＝OB，OC⊥BD. ∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形． 又∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形． A B C D E O 1 2 练习&巩固 1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）． Ａ. AC⊥BD ，AC与BD互相平分 Ｂ. AB=BC=CD=DA Ｃ. AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD Ｄ. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD O A D C B C 练习&巩固 2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　） A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60° B 练习&巩固 3.已知：如图，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC，BC 相交于点 E，O，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 证明：在□ABCD 中，AD∥BC，即 AE∥FC. 又∵EF为 AC 的垂直平分线， ∴AC⊥EF，AO = OC， 即∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO. ∴△FOC≌△EOA，即AE=FC. ∴四边形 AFCE 为平行四边形. 又∵AC⊥EF，∴四边形 AFCE 是菱形. 练习&巩固 4.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF ⊥ BD，分别交 AD， BC 于点 E 和点 F， 连接 BE， DF. 求证： 四 边形BEDF 是菱形 . 练习&巩固 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB=OD， AD ∥ BC. ∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB. ∴△ OED ≌△ OFB(AAS) . ∴ DE=BF. 又∵ DE ∥ BF，∴四边形 BEDF 是平行四边形 . 又∵ EF ⊥ BD，∴四边形 BEDF 是菱形 . 小结&反思 菱形的判定 1.菱形的判定方法： (1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)(边)：四边相等的四边形是菱形． Lavf54.63.104 $$