2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（习题精练）-【会一题通一类系列】备战2024-2025学年初升高暑假衔接之新高一数学黄金讲练测（人教A版2019）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·全国·单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·全国·课后作业）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高一上·辽宁·期末）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 9．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知二次函数为常数)的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ）    A． B． C． D．关于的不等式的解为或 12．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 14．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．有最大值2 D．的最大值为 三、填空题 16．（23-24高一上·甘肃·期末）不等式的解集为 17．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 18．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 19．（23-24高一上·上海·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列顺序是 . 20．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知二次函数，若对任意，若且不等式恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题 21．（23-24高一上·湖南常德·阶段练习）解下列一元二次不等式 (1) (2) (3) (4) 22．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 23．（22-23高一上·天津·期末）已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求关于的不等式的解集. 24．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数． (1)若，且，，求的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 25．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】原不等式可化为，解集为. 故选：C. 2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 3．（22-23高一上·全国·单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案. 【详解】 由题意，得，， 令，得，， ，. 故选：D. 4．（23-24高一上·湖北孝感·期中）“不等式在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件，然后逐项判断即可. 【详解】解：∵“不等式在R上恒成立”， 显然不满足题意， ∴，解得， 对于A，是充要条件，故A错误； 对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确； 对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 5．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意有恒成立，则，解不等式即可. 【详解】已知命题“，使”是假命题， 则，都有， 得，解得. 故选：D 6．（23-24高一上·全国·课后作业）已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知全称命题为假命题，可知其否定为真命题，即“”是真命题，结合判别式即可求解. 【详解】命题“”是假命题， 等价于“”是真命题， 即判别式，解得：或， 则实数的取值范围为：. 故选：B. 7．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据给定的解集，可得并且，再利用均值不等式求出最小值即得. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 得是方程的两个不等实根，并且， 于是，即有，因此， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4. 故选：D 8．（23-24高一上·辽宁·期末）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以的两根是或2，由韦达定理可得：， 所以可转化为，解得或. 所以原不等式的解集为， 故选：B. 9．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 10．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 二、多选题 11．（23-24高一上·江西抚州·阶段练习）已知二次函数为常数)的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ）    A． B． C． D．关于的不等式的解为或 【答案】BCD 【分析】由图知，，设的两根分别为，由得，可判断AC选项；由，可判断B选项；利用可解D选项中不等式. 【详解】由图知，当时，， 设的两根分别为，两根均大于0，则，， 所以，故A错误； 由，（因为故取不到等号），所以，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 对D： 等价于：， 等价于：，（) 等价于：， 等价于：，其解为或.故D正确. 故选：BCD 12．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先解不等式，再根据解集包含的整数的个数列式解不等式即可. 【详解】因为，所以， 因为，且解集中的整数恰有3个，所以， 因为，所以， 从而，即， 因为，所以. 故选：. 13．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到关于的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB. 14．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利于根与系数的关系，结合二次函数的图象与性质求解. 【详解】由关于的不等式的解集是，其中， 所以，且是方程的两根， 所以，， 所以，，故正确； 又因为，故错误； 作出和的图象，则为两函数图象交点的横坐标， 由图象可知，故正确； 故选：. 15．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．有最大值2 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】对于A，根据“1”的妙用，结合基本不等式，即可求得最小值，即可判定；对于B，条件化为，根据“1”的妙用，结合基本不等式，即可求得最小值，即可判定；对于C，平方后，利用基本不等式即可；对于D，根据条件消去，结合二次函数的性质即可判定. 【详解】对于A，因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为2，A正确； 对于B，因为，所以， 即， 所以 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为，则B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故有最大值2， 则C正确； 对于D，因为，则， 所以， 当时，有最大值，不符合题意，故D错误， 故选：AC. 三、填空题 16．（23-24高一上·甘肃·期末）不等式的解集为 【答案】 【分析】利用中，去掉绝对值，再进行换元转化为一元二次不等式,解出不等式即可. 【详解】结合题意： 要使有意义，需满足，所以， 可化简为整理： 令则 所以解得： 又，所以两边同时平方得： 故解集为. 故答案为：. 17．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于的不等式．（只需结果，不需过程） 可因式分解为 ． 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，合理分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得：方程可分解为， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，令，解得或， 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，即时，由，解得，此时解集为； 当时，即或时，由，解得，此时解集为； 故答案为：；；；；；；；；；；. 18．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，若不等式的解集是，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出实数的值． 【详解】，即，解集是， 所以，且是方程的两个实数根， 于是由韦达定理可得， 解得不符合题意，舍去）． 故答案为：． 19．（23-24高一上·上海·期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列顺序是 . 【答案】 【分析】不等式可化为，设，，画出函数与函数的图像，利用数形结合法即可求出结果． 【详解】不等式可化为， 设，， 画出函数与函数的图像，如图所示，    由图像可知，， 故答案为： 20．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知二次函数，若对任意，若且不等式恒成立，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为不等式恒成立， 所以，可得，因为，所以由， 设，因为，所以，则有 当且仅当时取等号，即当时取等号，即当时取等号， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据一元二次不等式的解集性质得到，进而利用换元法、基本不等式进行求解. 四、解答题 21．（23-24高一上·湖南常德·阶段练习）解下列一元二次不等式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）求出的根可得答案； （2）求出的根可得答案； （3）求出的根可得答案； （4）根据分式不等式的解法可得答案. 【详解】（1）令可得或，所以的解集为； （2）令可得或，所以的解集为 或； （3）由得，令可得， 所以解集为； （4）由得，所以的解集为. 22．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)长度为米 (2)的长的范围是（单位：米） 【分析】（1）设长度为米，求出，可得的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可； （2）设的长为米，由，得，求得，得的面积的表达式，由题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）由题意，设长度为米，， ∵，∴， ∴的面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. （2）设的长为米，则为米，其中， ∵为矩形，， ∴，∴，则， 故，整理得， 又，则或， 故的长的范围是（单位：米）． 23．（22-23高一上·天津·期末）已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)； (3)详见解析. 【分析】（1）根据题意，得到和3为方程的两根，根据韦达定理，即可得出结果； （2）根据题意，得到恒成立，分别讨论和两种情况，即可得出结果； （3）分，，，四种情况讨论结合二次不等式解法可得. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且和3为方程的两根，所以， 解得； （2）对恒成立， ①当时，，符合题意； ②当时，，解得， 综上，实数a的取值范围是； （3）由，得， 即， 当时，，即， 当时，， 当时，，解得， 当时，， 解得，或， 当时，， 解得，或， 综上：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 ，或 当时，原不等式的解集为，或 24．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数． (1)若，且，，求的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简不等式，根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解； （2）由一元二次不等式的解集求出，再由均值不等式求最小值即可. 【详解】（1）当时，，则，， 即恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）由可得， 因为不等式的解集为， 所以由根与系数关系可得， 解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即所求函数的最小值为. 25．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)4 (3)答案见解析 【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解； （2）变形为，利用基本不等式求解可得； （3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立. 当时，不等式为，不合题意； 当时，，解得：； 综上所述：实数m的取值范围为． （2），， ， （当且仅当，即时取等号），的最小值为4． （3）由得：； ①当时，，解得：，即不等式解集为； ②当时，令，解得：，； 1）当，即时，不等式解集为； 2）当，即时，不等式解集为； 3）当，即时，不等式可化为， ，不等式解集为； 4）当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$