2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（讲义精讲）（12大题型）-【会一题通一类系列】备战2024-2025学年初升高暑假衔接之新高一数学黄金讲练测（人教A版2019）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （12大题型） 目录 01-知识复习-一元二次方程及其应用 1 02-知识复习-二次函数及其应用 2 03-解不含参的一元二次不等式 4 04-解含参的一元二次不等式 6 05-由一元二次不等式的解确定参数值 7 06-一元二次方程根的分布问题 8 07-一元二次不等式中的恒成立问题 10 08-一元二次不等式中的有解问题 11 09-解分式不等式 11 10-解单绝对值不等式 13 11-解高次不等式 13 12-一元二次不等式的实际应用 14 01-知识复习-一元二次方程及其应用 一元二次方程求根公式 的根为： 韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 例1．解方程： (1)； (2)． 变式1-1．解方程： (1)； (2) 变式1-2．解下列方程： (1) (2) 变式1-3．解方程： (1)用配方法：； (2)用公式法：． 02-知识复习-二次函数的性质及其应用 二次函数的图象与性质 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 例2-1．（23-24高一上·陕西榆林·期中）（多选）二次函数的图象如图所示，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 例2-2．（22-23高一上·广西桂林·期中）（多选）关于函数，以下说法中正确的是（    ） A．函数的最大值为1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 例2-3．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-4．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2-5．（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）当时，函数有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）（多选）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是抛物线上两点， 变式2-2．（22-23高三上·山东烟台·期末）（多选）已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是（   ） A．在区间上的最小值为1 B．在区间上既有最小值，又有最大值 C．在区间上的最小值为2，最大值为5 D．在区间上的最大值为 变式2-3．（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-4．（21-22高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知二次函数，那么y的最大值是（    ） A． B． C．16 D．0 变式2-5．（22-23高一上·全国·课后作业）若函数y＝x2－3x－4在［0，m］上的最大值和最小值分别为－4，，则实数m的取值范围是 . 03-解不含参的一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数， 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ 例3-1．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 例3-2．（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 变式3-1．（23-24高一上·北京·期中）解下列不等式： (1) (2) 变式3-2．（23-24高一上·新疆·期末）解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3-3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 04-解含参的一元二次不等式 例4-1．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（多选）关于的不等式的解集可能是（    ） A． B．或 C．或 D． 例4-2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）解不等式：. 例4-3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 变式4-1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 变式4-2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 变式4-3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 05-由一元二次不等式的解确定参数值 例5-1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 例5-2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 例5-3．（23-24高一上·湖南娄底·期末）（多选）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 变式5-1．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 变式5-2．（22-23高二下·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 变式5-3．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 06-一元二次方程根的分布问题 一元二次方程： ①方程有两个实数根 ②方程有同号两根 ③方程有异号两根 ④韦达定理及应用： , 例6-1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 例6-2．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6-3．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例6-4．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 变式6-1．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 变式6-2．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 变式6-3．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 变式6-4．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的解集为． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 07-一元二次不等式中的恒成立问题 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 例7-1．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 例7-2．（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 例7-3．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 例7-4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 变式7-1．（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知条件，写出 的一个必要不充分条件为 （填一个即可） 变式7-2．（22-23高一上·福建宁德·期末）若命题“”为假命题，则的取值范围是 ． 变式7-3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 变式7-4．（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 . 08-一元二次不等式中的有解问题 例8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 变式8-1．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 变式8-2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 变式8-3．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 . 09-解分式不等式 ① ② ③ ④ 例9-1．（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例9-2．（23-24高一上·安徽亳州·期中）不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 例9-3．（23-24高一上·山东潍坊·开学考试）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 例9-4．（22-23高一上·北京石景山·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．（23-24高一上·北京昌平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式9-3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式9-4．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）分式不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 10-解单绝对值不等式 或， 例10-1．（22-23高一上·浙江温州·期中）不等式的解集是（    ） A．R B． C． D． 例10-2．（23-24高一上·北京延庆·期中）下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 变式10-1．（23-24高一上·新疆·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．（23-24高一上·广西玉林·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式10-3．（22-23高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11-解高次不等式 例11-1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 例11-2．不等式的解集是 ． 例11-3．不等式的解集为 . 变式11-1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）不等式的解集为 变式11-2．（20-21高一上·上海徐汇·阶段练习）不等式的解集为 ． 变式11-3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 12-一元二次不等式的实际应用 例12-1．（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12-2．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 变式12-1．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式12-2．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 变式12-3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （12大题型） 目录 01-知识复习-一元二次方程及其应用 1 02-知识复习-二次函数及其应用 5 03-解不含参的一元二次不等式 10 04-解含参的一元二次不等式 14 05-由一元二次不等式的解确定参数值 18 06-一元二次方程根的分布问题 22 07-一元二次不等式中的恒成立问题 27 08-一元二次不等式中的有解问题 31 09-解分式不等式 33 10-解单绝对值不等式 36 11-解高次不等式 38 12-一元二次不等式的实际应用 40 01-知识复习-一元二次方程及其应用 一元二次方程求根公式 的根为： 韦达定理（根与系数的关系） 的两根为，；则 例1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 变式1-1．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据一元二次方程的特点选取适当的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二方程即可； （2）利用公式法直接解方程即可 ． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 则或， ∴，； （2）解：， 原方程可变为， 这里，，． ∵， ∴x＝， 即，． 变式1-2．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解：整理得： ， 变式1-3．解方程： (1)用配方法：； (2)用公式法：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程．关键是熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤． （1）用配方法解一元二次方程时，先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式； （2）用公式法解方程时，先确定a，b，c的值，再计算，若，即可代入求根公式，解得即可． 【详解】（1） ； ； ，； （2）整理得： ， 方程有两个不等的实数根 ， 02-知识复习-二次函数的性质及其应用 二次函数的图象与性质 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 例2-1．（23-24高一上·陕西榆林·期中）（多选）二次函数的图象如图所示，则下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二次函数的图象中的信息，即可判断选项. 【详解】由图象可知，当时，，故A正确； 当时，，故B正确； 函数图象的开口向下，，对称轴，即，当时，，则，故C错误； 若，则对称轴，与图象不符，故D错误. 故选：CD 例2-2．（22-23高一上·广西桂林·期中）（多选）关于函数，以下说法中正确的是（    ） A．函数的最大值为1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】ABD 【分析】利用二次函数的图象和性质判断. 【详解】解：函数， A. 当时，函数取得最大值为1，故正确； B.函数图象的对称轴是直线，故正确； C.函数的单调递减区间是，故错误； D.函数图象过点，故正确， 故选：ABD 例2-3．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 例2-4．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性判断求解. 【详解】，，开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值为， 结合对称性，当时，函数取得最大值为5， 所以的取值范围为. 故选：C. 例2-5．（22-23高一上·江苏镇江·开学考试）当时，函数有最大值3，最小值2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出二次函数在上的图象，数形结合即可求解. 【详解】二次函数图象的对称轴为,并且函数的开口向上， ∵.    所以若函数在上的最大值为3，最小值为2，则， 故选：B 变式2-1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）（多选）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．是抛物线上两点， 【答案】ABC 【分析】利用抛物线的性质逐个选项分析判断即可. 【详解】由图知该抛物线开口向上，故，对称轴是直线，， 故，即，故B正确， 抛物线与轴的交点在轴下方，，故A正确， 由抛物线对称性得该函数图像必过，可得，结合，可得，故C正确， 易知点到对称轴距离相等，故，故D错误， 故选：ABC 变式2-2．（22-23高三上·山东烟台·期末）（多选）已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是（   ） A．在区间上的最小值为1 B．在区间上既有最小值，又有最大值 C．在区间上的最小值为2，最大值为5 D．在区间上的最大值为 【答案】BC 【分析】的图象开口向上，对称轴为直线,根据二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线． 在选项A中，因为在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值为，A错误． 在选项B中，因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在区间上的最小值为． 又因为， 所以在区间上的最大值为，B正确． 在选项C中，因为在区间上单调递增， 所以在区间上的最小值为，最大值为，C正确． 在选项D中，当时，在区间上的最大值为2， 当时，由图象知在区间上的最大值为，D错误． 故选:BC. 变式2-3．（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 故选：D 变式2-4．（21-22高一上·辽宁沈阳·开学考试）已知二次函数，那么y的最大值是（    ） A． B． C．16 D．0 【答案】C 【分析】先判断二次函数对称轴，再比较两个端点大小即可. 【详解】二次函数对称轴为，开口向上 当时，， 当时，， 所以当时，y取得最大值16. 故选：C 变式2-5．（22-23高一上·全国·课后作业）若函数y＝x2－3x－4在［0，m］上的最大值和最小值分别为－4，，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象（示意图），根据函数图象分析可得． 【详解】当x＝0或3时，y＝－4；当x＝时，y＝. 故由二次函数图象可知：m的最小值为，最大值为3.故m的取值范围是. 故答案为：.    03-解不含参的一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数， 解一元二次不等式 “三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系 判别式 一元二次方程 的根 有两个不等实根 ，（设） 有两个相等实根 无实数根 二次函数 的图象 的解集 的解集 ∅ ∅ 例3-1．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于的不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）首先将式子因式分解，再解得即可. 【详解】（1）不等式，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）不等式，即，即， 解得，所以不等式的解集为. 例3-2．（23-24高一上·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】把一元二次不等式的左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，则得或， 故不等式的解集为； （2）由可得，则得, 故不等式的解集为. 变式3-1．（23-24高一上·北京·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式左边分解因式，结合二次函数的图象即得其解集； （2）将不等式等价转化，计算对应方程的根的判别式，结合二次函数的图象即得其解集. 【详解】（1）由可得，解得，故不等式的解集为； （2）由可得，因方程的根的判别式为，方程的根为，故不等式的解集为. 变式3-2．（23-24高一上·新疆·期末）解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或 (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法解原不等式，即可得出诸不等式的解集. 【详解】（1）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. （2）解：由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （3）解：由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （4）解：由可得，，故原不等式的解集为. 变式3-3．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】逐一求解二次不等式即可. 【详解】（1），所以， 故不等式的解集为； （2），所以， 故不等式的解集为； （3）因为的判别式， 故原不等式的解集为； （4），所以或， 故不等式的解集为. 04-解含参的一元二次不等式 例4-1．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）（多选）关于的不等式的解集可能是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】BC 【分析】分情况讨论解不等式即可. 【详解】由， 得， 当，即时，该不等式的解集为或， 当，即时，该不等式的解集为或， 当，即时，该不等式的解集为或， 故选：BC. 例4-2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）解不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再对分类讨论分别得到不等式的解即可. 【详解】不等式可化为， 解方程的根， 得，， 当时，解不等式得，， 当时，解不等式得，， ∴当时，解集为， 当时，解集为. 例4-3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可； （2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可. 【详解】（1）由题意，可得， ； （2）①当时，即时， 原不等式的解集为； ②当时，即或时， 当时，， 原不等式的解集为， 当时，， 原不等式的解集为； ③时，即或时，， 解得或， 原不等式的解集为. 变式4-1．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据不等式特点对参数进行分类讨论，当时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；当时，不等式为一元二次不等式，需结合一元二次不等式对应的一元二次方程及二次函数即可求解. 【详解】根据题意，当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式可化为， 当时，不等式对应的二次函数为，开口向上，对应方程根为和， 又因为当时，，所以不等式的解集为； 当时，不等式对应的二次函数为，开口向下，对应方程根为和， 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集不可能是. 故选：D. 变式4-2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【答案】答案见解析. 【分析】由题设，讨论、分别求出对应解集. 【详解】由， 当时，解得或，解集为； 当时，解得或，解集为； 变式4-3．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）讨论的范围，当时，列出条件，解出即可； （2）化简不等式，根据根的大小进行分类讨论，即可解出. 【详解】（1）因为， 所以不等式可化为， 若对于任意，不等式恒成立， 当时，不等式化为，不满足题意， 当时，则必有且, 解得， 所以实数a的取值范围为. （2）不等式化为， 即，， 因为， 所以当，即时，解得或， 不等式的解集为或; 当，即时，不等式恒成立，解集为； 当，即时，解得或， 不等式的解集为或. 05-由一元二次不等式的解确定参数值 例5-1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 例5-2．（23-24高一上·黑龙江大庆·期末）关于的不等式的解集是，且，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，再根据，即可求出． 【详解】关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根， ∴即， ∴或， ∴，， ∵， ∴， 即， 即， 解得， 综上所述，或， 故选：D. 例5-3．（23-24高一上·湖南娄底·期末）（多选）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】 利用二次不等式的解集得方程的两根为和，结合韦达定理得，从而判断A，再利用基本不等式计算判断BCD. 【详解】由题意，不等式的解集为， 可得，且方程的两根为和， 所以，所以，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确； 由， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误； 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 变式5-1．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个根，且， 因此，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以不等式为. 故选：C 变式5-2．（22-23高二下·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为，且，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由已知得出与为方程的两个根，根据韦达定理得出，，即可由，化简代入，即可解出的值，再根据不等式的运算验证即可得出答案. 【详解】不等式的解集为， 与为方程的两个根， ，， ， ， ， ， ， 则，即，解得， ，， 当时，，即， ，则，满足条件， 当时，，即， ，则，不满足条件， 综上，， 故选：B. 变式5-3．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意知是方程的两根，且，根据韦达定理可得出a，b，c的关系，代入各项即可判断． 【详解】一元二次不等式的解集为或， 则是方程的两根，且， 则，得； 则错误； ，B正确； ，C正确； ，当且仅当，即时，等号成立.故，D正确. 故选：BCD 06-一元二次方程根的分布问题 一元二次方程： ①方程有两个实数根 ②方程有同号两根 ③方程有异号两根 ④韦达定理及应用： , 例6-1．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 例6-2．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 令，依题意可得，解得即可. 【详解】 令，因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 例6-3．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 例6-4．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)若两根同号，求实数的取值范围； (2)求使得的值为整数的整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得； （2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解. 【详解】（1）由题意得即， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，方程有两个实数根， 可知， 于是， 由，则，则， 即要使的值为正整数，且为整数，则， 则有，化简得，则， 令，此时为整数，则满足题意． 故使得的值为整数的整数的值为. 变式6-1．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 变式6-2．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得. 【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 变式6-3．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先分和两种情况讨论，当时又分为方程有一正根一负根、有两个负实根两种情况，即可求解 【详解】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根，由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 变式6-4．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的解集为． (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，方程的两根为，利用根与系数的关系求解即可； （2）根据题意建立关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，方程的两根为， 可得， 则． （2）由题意可得 解得． 故实数的取值范围为． 07-一元二次不等式中的恒成立问题 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)． 例7-1．（23-24高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解. 【详解】当时，，不等式成立. 当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立. 当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 例7-2．（23-24高一上·河南开封·期末）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为命题：“，”为假命题， 所以“，” 为真命题，即恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 例7-3．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 例7-4．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为 . 【答案】 【分析】分离常数后，不等式可化为，变形后，利用基本不等式求出右边函数的最大值即可. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立，所以， 所以在上恒成立， 又， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，故a的最小值为. 故答案为： 变式7-1．（23-24高一上·安徽安庆·期中）已知条件，写出 的一个必要不充分条件为 （填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由，可得，则m的范围可求，再结合必要不充分条件的概念即可得答案. 【详解】因为，所以，，， 本题答案不唯一，写出的的取值集合包含区间即可，如：. 故答案为：，答案不唯一. 变式7-2．（22-23高一上·福建宁德·期末）若命题“”为假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数的取值范围． 【详解】因为命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题， 则，即. 故答案为： 变式7-3．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 变式7-4．（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分离参数，再由二次函数的最值，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，为真命题， 则在上恒成立， 令，， 则，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 08-一元二次不等式中的有解问题 例8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 变式8-1．（21-22高一上·新疆哈密·期末）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出在的最大值，然后可得关于a的不等式，解出即可. 【详解】设，则在的最大值为4， 因为关于的不等式在上有解， 即，解得， 故答案为：. 变式8-2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】 根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】， 设， ，该二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，， 要想关于的不等式在区间内有解， 只需， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 变式8-3．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 . 【答案】 【分析】根据题意得：“，”为真命题，分离参数求解函数最值即可求解. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则，使得，所以， 因为，，所以当时，有最小值， 所以，所以实数a可取的最小整数值是. 故答案为：. 09-解分式不等式 ① ② ③ ④ 例9-1．（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，化分式不等式为一元二次不等式求解作答. 【详解】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 例9-2．（23-24高一上·安徽亳州·期中）不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式， 解得. 故选：C． 例9-3．（23-24高一上·山东潍坊·开学考试）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为一元二次不等式，求出解集. 【详解】等价于，解得. 故选：B 例9-4．（22-23高一上·北京石景山·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项化为标准形式可解得结果. 【详解】由得， 得，得，得， 所以不等式的解集为. 故选：A 变式9-1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式不等式转化成整式不等式求解即可. 【详解】由，解得或. 故选：C 变式9-2．（23-24高一上·北京昌平·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 变式9-3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式的解法计算即可. 【详解】又得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 变式9-4．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）分式不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，准确运算，即可求解. 【详解】由分式不等式可转化为且，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 10-解单绝对值不等式 或， 例10-1．（22-23高一上·浙江温州·期中）不等式的解集是（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含绝对值不等式的解法，可知，从而即可求得不等式的解. 【详解】解：∵不等式， ∴，即，解得， ∴不等式的解集为， 故选：C. 例10-2．（23-24高一上·北京延庆·期中）下面是的解集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绝对值不等式分类讨论即可. 【详解】等价于或者， 解得或者， 故选：D 变式10-1．（23-24高一上·新疆·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值的几何意义可得. 【详解】或， 由绝对值几何意义知，无解， 由，解得， 综上可得不等式的解集是. 故选：C. 变式10-2．（23-24高一上·广西玉林·期中）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】公式法解绝对值不等式，根据充分、必要性定义判断条件间的推出关系. 【详解】由，则或，解得或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 变式10-3．（22-23高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案. 【详解】，等价于，解得：， ，解得：，， 因为为的真子集， 所以，但， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 11-解高次不等式 例11-1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】利用穿线法，即可求解不等式. 【详解】设， 则的根分别是－2，－1，1，2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图： 所以原不等式的解集是或. 故答案为：或 例11-2．不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解: ,;,由符号法则得,;不等式的解集为. 例11-3．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】移项通分后不等式可转化为高次不等式，利用序轴标根法可求原不等式的解. 【详解】原不等式等价于即， 故不等式的解为或. 故答案为：. 【点睛】解分式不等式，首先观察分母的符号是否确定，如果确定，则可把分式不等式转化为整式不等式；如果不确定，则则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零. 变式11-1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）不等式的解集为 【答案】或或 【分析】将分式不等式化为，应用穿根法求解集即可. 【详解】由题设得， 所以或或，故解集为或或. 故答案为：或或 变式11-2．（20-21高一上·上海徐汇·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由分式不等式的解法，有求解即可. 【详解】由题意，有，解得或或， ∴解集为. 故答案为：. 变式11-3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】首先将分式不等式等价转换为，且，利用数轴“穿针引线”法即可求解. 【详解】原不等式等价于，且 分别令各个因式为0，可得根依次为，2， 利用数轴“穿针引线”法可得不等式的解集为或． 故答案为：或. 12-一元二次不等式的实际应用 例12-1．（23-24高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出一元二次不等式，结合实际意义求出范围即可. 【详解】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 例12-2．（21-22高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米． (1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米? (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价． 【答案】(1)40 (2)102万平方米，30欧元/平方米 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，根据条件建立不等关系，即可解决问题； （2）根据条件建立不等关系，整理得到，再利用基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 由题知，即，解得， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. （2）由题意得，整理得， 两边同除以得， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，此时的售价为欧元/平方米. 变式12-1．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 变式12-2．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 变式12-3．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$