2.2 基本不等式（习题精练）-【会一题通一类系列】备战2024-2025学年初升高暑假衔接之新高一数学黄金讲练测（人教A版2019）

2.2 基本不等式 一、单选题 1．（22-23高一上·山西阳泉·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 5．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）函数在时有最大值为1，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 8．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 10．（22-23高一上·浙江·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 二、多选题 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知均为实数，则的可能值为（    ） A． B． C．1 D．2 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最小值4 C．有最小值2 D． 有最大值 18．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若正实数，满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最大值为. B．的最小值为 C．的最小值为2. D．的最小值为. 19．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最小值为 . 21．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 22．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 23．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）命题“，”为真命题，则a的取值范围为 ． 24．（2023高一上·全国·专题练习）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 ． 25．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为 ． 四、解答题 26．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 27．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 28．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 29．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 30．（2023·全国·模拟预测）已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 一、单选题 1．（22-23高一上·山西阳泉·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【分析】利用均值定理即可求得的最小值. 【详解】时，, （当且仅当时等号成立） 则的最小值为7. 故选：C 2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 3．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【详解】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 4．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】 化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 5．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）函数在时有最大值为1，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：函数， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，解得， 所以， 故选：C 6．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形得到且，从而得到，故，利用基本不等式求出最小值，得到答案. 【详解】因为，且，所以， 又，故， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故选：A 7．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）若，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】首先变形，再两次利用基本不等式，即可求最值. 【详解】， 其中，其中， 当时，即时，等号成立， ，当，即时等号成立， 当满足，即，时，两个等号同时成立， 所以的最小值为8. 故选：C 8．（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解. 【详解】因为，，所以由变形可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D 9．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5. 故选：A. 10．（22-23高一上·浙江·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】设，，，即可表示出、、，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：设，，，则，，， 且，，， ∴，，， ∴， 令 ， ∴. 当且仅当，即，即时等号成立. （如，即时等号成立）. ∴的最小值为； 故选：B． 11．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 12．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 二、多选题 13．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及其变形式逐项分析判断即可. 【详解】对于A：因为，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：因为，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D：因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ACD. 14．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB作差法比较大小，举出可能成立和可能不成立的例子；C选项，利用基本不等式得到C一定正确；D选项，由基本不等式入手，举出可能成立和可能不成立的例子. 【详解】A选项，，故， 当时，，即， 当时，，即， A可能成立，也可能不成立， B选项，， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故B可能成立，也可能不成立； C选项，因为，所以，故， 所以，而， 故，即，C一定正确； D选项，若，由基本不等式得， 两个等号成立的条件为， 但，不妨设， 此时， 当时，显然， 故可能成立，也可能不成立，D正确. 故选：ABD 15．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知均为实数，则的可能值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】分类讨论当同号时、有一个为0时、异号时的情况，求出的取值范围，结合选项，即可得答案. 【详解】由题意得当同号时，有， 则， 当且仅当时等号成立， 当有一个为0时，， 当异号时，有， 则，     结合选项可知，的可能值为，，1， 故选：ABC 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下面命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断. 【详解】对于A，，，则，即，故A正确； 对于B，，，又，所以，故B错误； 对于C，，，即，故C正确； 对于D，，，， ，，则，即，故D正确. 故选：ACD. 17．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最小值4 C．有最小值2 D． 有最大值 【答案】ACD 【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值. 【详解】依题意，， 由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项A正确； ，当且仅当时，等号成立， 有最小值2，选项B错误； , 当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为2，选项C正确；               ， 如上式取最大值，须，且取最小值， ， 当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，选项D正确. 故选：ACD 18．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若正实数，满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最大值为. B．的最小值为 C．的最小值为2. D．的最小值为. 【答案】AB 【分析】利用基本不等式求解最值判断ABC，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】对于A项，因为，所以， 当且仅当时取等号，则的最大值为，故A项正确； 对于B项，因为 ，当且仅当即时取等号，故B项正确； 对于C项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故C项错误； 对于D项，因为， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要对所求式子进行变形，利用乘“1”法以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，由此即可顺利求解. 19．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 20．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“”法和基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则当且仅当，即取等号， 故答案为： 21．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 22．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】将变为，由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为正实数满足，所以， 而， 所以 ， 当且仅当且，即时取等， 故答案为：5. 23．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）命题“，”为真命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】由题，命题“，”为真命题，即， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以，所以， 故答案为: . 24．（2023高一上·全国·专题练习）若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：． 25．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】因为正数，满足，所以，即， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值，则的最大值为． 故答案为：. 四、解答题 26．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 27．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【详解】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 28．（23-24高一上·上海·期中）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.    (1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； (2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】(1)， (2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【详解】（1）单个矩形栏目的长度为， ， （2）由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 29．（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320 (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元 【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 30．（2023·全国·模拟预测）已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过，，，三式相加，可得： . 再根据，，∴，，且，可得结果. （2）先用公式和把原式转化为： ，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为，且，所以，，所以， 所以． 故. （2）， ， 当且仅当，时取等号， 的最大值为． 【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$