2.2 基本不等式（讲义精讲）（12大题型）（含权方和不等式及基本不等式链）-【会一题通一类系列】备战2024-2025学年初升高暑假衔接之新高一数学黄金讲练测（人教A版2019）

2.2 基本不等式 （12大题型） 目录 01-直接用基本不等式求和的最小值 1 02-直接用基本不等式求积的最大值 2 03-拼凑法求最值 3 04-巧用“1”及常数关系求最值 3 05-换元法求最值 4 06-二次利用基本不等式求最值 5 07-权方和不等式求最值（拓展） 6 08-基本不等式链（拓展） 6 09-二次与二次（一次）的商式求最值 8 10-利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 8 11-利用基本不等式证明不等式 9 12-基本不等式的实际应用 10 01-直接用基本不等式求和的最小值 基本不等式 ，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小） 应用条件：“一正，二定，三相等” 重要不等式 ，当且仅当时取等号 例1-1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 例1-2．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 变式1-1．（23-24高一上·陕西商洛·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．100 D．200 变式1-2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．（23-24高一上·广东潮州·期末）设，则函数的最小值为（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 02-直接用基本不等式求积的最大值 基本不等式的推论 （和定积最大），当且仅当时取等号 例2-1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 例2-2．（23-24高一上·北京·期中）已知正数满足，则的最大值是 ． 变式2-1．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 变式2-2．（22-23高一上·广东江门·期中）已知，都是正数，，则的最大值是 . 变式2-3．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 03-拼凑法求最值 例3．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 变式3-1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数的值域为 . 变式3-3．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知，则的最小值为 . 变式3-4．（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的最小值为 04-巧用“1”及常数关系求最值 例4-1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 例4-2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 例4-3．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 例4-4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知实数，且，则的最小值是 . 例4-5．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 变式4-1．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 变式4-2．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 变式4-3．（23-24高一上·广东清远·期末）已知是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D． 变式4-4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 变式4-5．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 05-换元法求最值 例5-1．若实数 满足，则的最大值为 A． B． C． D． 例5-2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 变式5-1．（甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为 . 变式5-2．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 变式5-3．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知，都是正数，则的最小值是 . 变式5-4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 06-二次利用基本不等式求最值 例6．（22-23高一上·安徽安庆·期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 变式6-1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 变式6-2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 07-权方和不等式求最值（拓展） 权方和不等式的初级应用 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决考试中的这类型最值问题的秒杀) 例7．（2023·浙江模拟）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 变式7-1．（23-24高一上·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 变式7-2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 变式7-3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知满足，，且，则的最小值（    ） A．11 B． C．10 D． 变式7-4．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-5．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 08-基本不等式链（拓展） 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 例8．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．（2024高一上·全国·专题练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式8-2．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 变式8-4．（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ） A． B． C． D． 变式8-5．（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 09-二次与二次（一次）的商式求最值 例9-1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 例9-2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 变式9-1．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 变式9-2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 变式9-3．（20-21高一上·福建厦门·阶段练习）当时，函数的最小值为 . 10-利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 例10-1．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 例10-2．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 例10-3．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 变式10-1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10-2．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 变式10-3．（23-24高一上·福建泉州·期中）（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11-利用基本不等式证明不等式 例11-1．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 例11-2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）若，，其中，试比较的大小. 变式11-1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 变式11-2．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小； (2)求证：. 变式11-3．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 12-基本不等式的实际应用 例12-1．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 例12-2．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 例12-3．（2024高一上·全国·专题练习）（多选）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（  ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 例12-4．（23-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 例12-5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为米． (1)记为甲工程队整体报价，求关于的关系式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由． 变式12-1．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 变式12-2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式12-3．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）（多选）如图，四边形为梯形，其中，，且，为对角线的交点．有4条线段（、、、）夹在两底之间．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B． C．存在使得 D． 变式12-4．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 变式12-5．（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 （12大题型） 目录 01-直接用基本不等式求和的最小值 1 02-直接用基本不等式求积的最大值 3 03-拼凑法求最值 5 04-巧用“1”及常数关系求最值 7 05-换元法求最值 12 06-二次利用基本不等式求最值 15 07-权方和不等式求最值（拓展） 18 08-基本不等式链（拓展） 21 09-二次与二次（一次）的商式求最值 26 10-利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 28 11-利用基本不等式证明不等式 32 12-基本不等式的实际应用 36 01-直接用基本不等式求和的最小值 基本不等式 ，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数， 叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小） 应用条件：“一正，二定，三相等” 重要不等式 ，当且仅当时取等号 例1-1．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 例1-2．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【详解】a，b都是正数，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3. 故答案为：3 变式1-1．（23-24高一上·陕西商洛·期末）若正数，满足，则的最小值是（    ） A．10 B．20 C．100 D．200 【答案】B 【分析】根据基本不等式求出最值. 【详解】由题意得，当且仅当时，等号成立， 故的最小值是20． 故选：B 变式1-2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 变式1-3．（23-24高一上·广东潮州·期末）设，则函数的最小值为（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用基本不等式求解可得答案. 【详解】，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为， 故选：D. 02-直接用基本不等式求积的最大值 基本不等式的推论 （和定积最大），当且仅当时取等号 例2-1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 例2-2．（23-24高一上·北京·期中）已知正数满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】依题意由基本不等式即可求得当时，取得最大值. 【详解】根据题意，利用基本不等式可得， 即可得， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最大值是. 故答案为： 变式2-1．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 变式2-2．（22-23高一上·广东江门·期中）已知，都是正数，，则的最大值是 . 【答案】1 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】，整理得，当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：1. 变式2-3．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 03-拼凑法求最值 例3．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式，结合换元法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 变式3-1．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式凑和为定值直接求解. 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 变式3-2．（23-24高一上·广东珠海·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由可得，故， 又，当且仅当，即时取等号， 故， 故函数的值域为， 故答案为： 变式3-3．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】时， 则， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：8. 变式3-4．（23-24高一上·湖北·期末）已知，则的最小值为 【答案】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 04-巧用“1”及常数关系求最值 例4-1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 例4-2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 例4-3．（23-24高一上·天津·期末）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，借助基本不等式可先将的最小值求出，即可得的最大值. 【详解】， 由，故， 则 ， 当且仅当，即、时，等号成立， 则. 故答案为：. 例4-4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知实数，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将代数式与相乘，利用基本不等式求出的最小值，即可得出的最小值. 【详解】因为，则，，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即，所以，，故的最小值为. 故答案为：. 例4-5．（23-24高一上·河北承德·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 变式4-1．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 变式4-2．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 变式4-3．（23-24高一上·广东清远·期末）已知是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 当且仅当，时等号成立. 故选：B 变式4-4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】 借助基本不等式中“1”的妙用即可得. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 变式4-5．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 【答案】/ 【分析】注意到，由基本不等式可得答案. 【详解】因，则， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 05-换元法求最值 例5-1．若实数 满足，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【法一】试题分析：由实数 满足，，设，解得， 则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为 【法二】解：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”，故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，换元思想以及转化思想，是一道中档题．应用基本不等式时要注意“一正二定三相等”. 例5-2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】 通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 变式5-1．（甘肃兰州·二模）设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立. 变式5-2．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【详解】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 变式5-3．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知，都是正数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设，，解出，，代入化简得 ，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】因为均为正实数，故设，，则 联立解得，， 当且仅当，即，即时取等号， 故答案为：. 变式5-4．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 06-二次利用基本不等式求最值 例6．（22-23高一上·安徽安庆·期末）已知a，b，c均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】先化简提公因式再应用，a，b应用基本不等式，再应用基本不等式，确定取等条件成立取得最小值即可. 【详解】由条件知 ，当且仅当，，又因为，即，，时，的最小值为18． 故答案为：18. 变式6-1．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意将原式整理成，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可求得当，时的最小值为. 【详解】由正实数，且可得 ; 当且仅当时，即时，等号成立； 又， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当，时，等号成立，此时的最小值为. 故答案为： 变式6-2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解得，再根据取等号的条件可得，判断出的范围，进而判断得的范围，可得，可得所求最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取“＝”， 此时，∵，， ∴，∴，∴， ∴原式，此时，，． 故答案为： 【点睛】求解本题的关键是将原式变形为，根据基本不等式求最值，由取等号的条件，化简得，从而求解的范围. 07-权方和不等式求最值（拓展） 权方和不等式的初级应用 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决考试中的这类型最值问题的秒杀) 例7．（2023·浙江模拟）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 因为，所以 由权方和不等式 可得 当且仅当，即时，等号成立． 【答案】C 变式7-1．（23-24高一上·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得. 【详解】由于，，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 变式7-2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，， ， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 的最小值为. 故选：A 变式7-3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知满足，，且，则的最小值（    ） A．11 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据题意，将变形为，然后利用基本不等式“”的妙用求解. 【详解】因为，，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为10. 故选：C. 变式7-4．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是. 【详解】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 变式7-5．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果. 【详解】已知正数 满足 , 所以 ,所以: 则: ，当且仅当时，取等号； 要使 恒成立, 只需满足 即可, 故 . 故答案为: . 08-基本不等式链（拓展） 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 例8．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 由基本不等式链: , 可得（R）， 对于AB 由可变形为，， 解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 对于C 【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 【法二】由 ,得 , 又因为 ,所以 ,即 . 【法三】 , 又因为 ,所以 . 【答案】：BC． 变式8-1．（2024高一上·全国·专题练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除. 【详解】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 变式8-2．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若，，且，则下列不等式不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，可得判断A；根据，利用基本不等式求得的最小值判断B；利用，可得可判断C；根据，利用基本不等式可求的最小值判断D. 【详解】对于A，由，可得， 又，所以，即， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，由，可得，即，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，由，可得， 所以可得，即， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，易知， 即，当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：D． 变式8-3．（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及其变形公式和“1”的灵活运用即可求解. 【详解】解：对A选项：，，， ，即（当且仅当时等号成立），故A选项正确； 对B选项：，而成立， 成立，故B选项正确； 对C选项：， （当且仅当时等号成立），故C选项正确； 对D选项：，（当且仅当时等号成立）， ，故D选项错误. 故选：ABC. 变式8-4．（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；对于C，利用，求出，结合的范围，利用二次函数的性质即可求得. 【详解】对于A，，即，当且仅当时等号成立，所以A正确； 对于B， ，， 又，则，当且仅当时等号成立，所以B错误； 对于C，，，所以， 则，并且时等号成立.，所以C正确； 对于D，，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以D正确. 故选：ACD. 变式8-5．（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式可判断ABC；将题设配方可得，结合进行求解即可判断D. 【详解】对于A，由 当且仅当时等号成立，即，故A错误； 对于B，由，得， 即， 当且仅当时等号成立，即，故B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时等号成立，即，故C正确； 对于D，由，得， 即，即，故D正确. 故选：BCD. 09-二次与二次（一次）的商式求最值 例9-1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 例9-2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 变式9-1．（2023高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 变式9-2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 变式9-3．（20-21高一上·福建厦门·阶段练习）当时，函数的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题中条件，将函数化为，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 10-利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 例10-1．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【详解】 因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 例10-2．（23-24高一上·山西运城·期末）已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数得恒成立，即，然后结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足，， 所以， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以不等式恒成立，只需即可. 故答案为： 例10-3．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 变式10-1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 变式10-2．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为 恒成立，其中， 令， ， ， 第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得， 所以的最小值为， 即，则， 所以实数的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值. 变式10-3．（23-24高一上·福建泉州·期中）（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB 11-利用基本不等式证明不等式 例11-1．（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意只需证明，再利用作差法证明即可； （2）由（1）得，则，即可得解. 【详解】（1），，，． 要证，即证． ， ，即，当且仅当时等号成立． （2）因为，，且， 所以，且，则，， 由（1）得， ， 当且仅当，即时等号成立． 例11-2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）若，，其中，试比较的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用将所证不等式可变为，再利用基本不等式即可得证； （2）利用完全平方公式，结合不等式的性质即可得解. 【详解】（1）  ，  ， ， ， 当且仅当时，等号成产， ，即. （2）因为， ， 又，则， 所以，则， 所以，即. 变式11-1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1)9 (2)证明见解析 【分析】（1）将等式等价变形，利用常值代换法构造基本不等式即可求其最小值，检验等号成立条件是否满足； （2）将左式利用条件凑项再重组，由基本不等式求其最小值即得. 【详解】（1）因为，所以， 由 ， 当且仅当时取等号， 即的最小值是9； （2）由 ， 当且仅当时取等号，故. 变式11-2．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知，，均为正实数. (1)若，试比较与的大小； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据不等式的性质判断出两者的大小关系. （2）利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】（1）∵，，∴， ∴，∴， 又∵，∴， ∴，即； （2）证明：， ∴，，，∴，，， ∴，当且仅当“”时等号成立. 变式11-3．（2023·全国·模拟预测）已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）运用基本不等式证明即可； （2）构造，，，采用叠加法即可证明. 【详解】（1）因为x，，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，则， 同理由可得， 所以，当且仅当时取等号． （2）因为x，y，，所以，，， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为x，y，，且，所以，， 所以，，所以． 【点睛】本题第（2）问通过，，相加得到，这种方法为叠加法，叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加． 12-基本不等式的实际应用 例12-1．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 例12-2．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 例12-3．（2024高一上·全国·专题练习）（多选）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（  ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】BCD 【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中，，的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案． 【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误． 对于B，因为，所以，所以， 设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以． 因为，所以，整理可得，故B正确． 对于C，因为D为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确． 对于D，因为，所以，整理得，故D正确． 故选：BCD 例12-4．（23-24高一上·山东聊城·期中）学习与探究问题：正实数x，y，满足，求的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当，即，而时，即，且时取等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用（1）的结论，求的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 【答案】(1)当且仅当且x，y同号时等号成立，此时x，y满足； (2)当时，T有最小值． 【分析】（1）根据题意，得到，根据，再集合不等式，即可求解； （2）令且，由（1）得到，求得，，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当且x，y同号时等号成立， 此时x，y满足. （2）解：令且，由，即， 则，，解得，， 因为，所以，，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值． 例12-5．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为米． (1)记为甲工程队整体报价，求关于的关系式； (2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为元，问是否存在实数，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，乙工程队都能竞标成功 【分析】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案; （2）由题意可得不等关系,对任意都成立，进而转化恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案. 【详解】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米()，则底面长为米，正面费用为 , 故 ，. （2）由题意知, ，对任意都成立, 即对任意恒成立， 令 ,则， 则， 而，当且仅当取等号， 故 ， 即存在实数，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功. 变式12-1．（23-24高一上·北京西城·期中）数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可. 【详解】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 变式12-2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，，，，然后利用基本不等式比较大小即可. 【详解】由题意可得，①，②，③，④，且， 由基本不等式的关系可知，，当且仅当时等号成立， 由①②得，，所以⑤， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 由②③得，，所以⑥， 又，当且仅当时等号成立， 由①④得，，所以⑦，综合⑤⑥⑦可得，. 故选：D. 变式12-3．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）（多选）如图，四边形为梯形，其中，，且，为对角线的交点．有4条线段（、、、）夹在两底之间．表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行于两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段．下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B． C．存在使得 D． 【答案】ABD 【分析】由梯形与梯形相似，求得，可判定A正确；由，结合和，求得，可判定B正确；由基本不等式得到，可判定C不正确；设梯形的面积分别为，结合，求得，结合，可判定D正确. 【详解】对于A中，由题梯形的中位线的性质，可得， 因为梯形与梯形相似，所以，可得， 当，可得，所以A正确； 对于B中，因为，所以， 所以，可得， 又由，可得， 可得，所以，所以B正确； 对于C中，由基本不等式知，，且时， 可得，又由，所以，所以C不正确； 设梯形的面积分别为，高分别为， 则，即， 解得， 根据题意知，解得，所以D正确. 变式12-4．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少. 【分析】（1）表示出矩形宣传栏的长和宽，然后根据面积公式可得； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式将（1）中等式转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有， 整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 变式12-5．（23-24高一上·甘肃临夏·期末）某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元 【分析】根据题意得到函数表达式，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$