2.1 等式性质与不等式性质（讲义精讲）（7大题型）（含糖水不等式）-【会一题通一类系列】备战2024-2025学年初升高暑假衔接之新高一数学黄金讲练测（人教A版2019）

2.1 等式性质与不等式性质 （7大题型） 目录 01-用不等式或不等式组表示不等关系 1 02-作差法比较两个式子的大小 2 03-作商法比较两个式子的大小 3 04-等式和不等式的性质及判断不等式的关系 4 05-由不等式的性质证明不等式 5 06-利用不等式的性质求取值范围 6 07-糖水不等式（拓展） 7 01-用不等式或不等式组表示不等关系 例1-1．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 例1-2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 变式1-1．（2024高一上·全国·专题练习）一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 变式1-2．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 变式1-3．（22-23高一·全国·课后作业）（1）x与y的和非负，x与y的积不大于6. （2）某工厂生产的产品每件售价为80元，直接生产成本为60元.该工厂每月其他开支为50000元．如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，每月的产量是x件. （3）假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元，现在你有2400元资金. 请分别写出满足上述不等关系的不等式. 02-作差法比较两个式子的大小 例2-1．（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 例2-2．（23-24高一上·天津和平·阶段练习）已知均为正实数，试比较与的大小关系． 变式2-1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 变式2-2．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）设.当时，比较的大小. 变式2-3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 03-作商法比较两个式子的大小 例3．（高一上·上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小 变式3-1．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 变式3-2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 变式3-3．（高三·上海·专题练习）已知，求证：． 04-等式和不等式的性质及判断不等式的关系 等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 不等式的性质 性质1 对称性 性质2 传递性 性质3 可加性 性质4 可乘性 性质5 同向可加性 性质6 同向同正可乘性 性质7 例4-1．（23-24高一上·河南许昌·期末）关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 例4-2．（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数、满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5-3．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 变式5-4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）（多选）若，给出下列命题中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 05-由不等式的性质证明不等式 例5-1．（22-23高一上·全国·课后作业）用综合法证明:如果，那么 例5-2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 例5-3．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 变式5-1．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 变式5-2．（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知为三角形的三边长，求证： (1)； (2). 变式5-3．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，求证：. 变式5-4．（2023高一·全国·课后作业）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 06-利用不等式的性质求取值范围 例6-1．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 例6-2．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 变式6-1．（2022高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 变式6-2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 变式6-3．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 07-糖水不等式（拓展） 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式 设 , 则有: 例7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 变式7-2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式7-3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 等式性质与不等式性质 （7大题型） 目录 01-用不等式或不等式组表示不等关系 1 02-作差法比较两个式子的大小 4 03-作商法比较两个式子的大小 8 04-等式和不等式的性质及判断不等式的关系 9 05-由不等式的性质证明不等式 12 06-利用不等式的性质求取值范围 16 07-糖水不等式（拓展） 19 01-用不等式或不等式组表示不等关系 例1-1．（2024高一上·全国·专题练习）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）. 【答案】 【分析】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆，再根据题意列出不等式组即可. 【详解】设购买型汽车和型汽车分别为辆，辆， 根据题意可得. 例1-2．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可． 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 变式1-1．（2024高一上·全国·专题练习）一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【答案】 【分析】由题意根据题中给的不等关系直接转换成相应的不等式组，注意球的个数应为自然数，由此即可得解. 【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以， 又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以， 而注意到球的个数应为自然数， 故满足题意的不等关系为. 变式1-2．（23-24高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【详解】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 变式1-3．（22-23高一·全国·课后作业）（1）x与y的和非负，x与y的积不大于6. （2）某工厂生产的产品每件售价为80元，直接生产成本为60元.该工厂每月其他开支为50000元．如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，每月的产量是x件. （3）假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元，现在你有2400元资金. 请分别写出满足上述不等关系的不等式. 【答案】（1）（2）（3）（T恤x件，运动鞋y双） 【分析】根据题意，写出具体表达式即可，（1）中非负的意思是大于等于零，不大于6的意思是小于等于6.（2）中根据：利润=售价-进价-其他开支，列出关系式（3）中设T恤x件，运动鞋y双，再列出关系式 【详解】（1） （2）. （3）设进T恤x件，运动鞋y双， 则有 【点睛】注意用不等式表示不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，但要注意结论与生活实际相符． 02-作差法比较两个式子的大小 例2-1．（2024高一上·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】根据题意，利用作差比较法，即可求解. 【详解】由， 因为，，可得， 所以. 例2-2．（23-24高一上·天津和平·阶段练习）已知均为正实数，试比较与的大小关系． 【答案】当时，；当时；当时. 【分析】 通过作差法比较大小，分类讨论即可； 【详解】因为，， 所以 ， 又均为正实数， 所以， 若则所以则； 若则所以则； 若则所以则； 综上，当时，；当时；当时. 变式2-1．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 变式2-2．（23-24高一上·天津南开·阶段练习）设.当时，比较的大小. 【答案】答案见解析 【分析】运用作差法得到，再对分类讨论，即可得到的大小. 【详解】 ， ①当时，，所以. ②当时，，所以. ③当时，，所以. 变式2-3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 03-作商法比较两个式子的大小 例3．（高一上·上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 变式3-1．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 变式3-2．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 变式3-3．（高三·上海·专题练习）已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用作商法得到等式，再判断，，得到证明. 【详解】． ，，，，，，． ，同理得，，． 又，． 【点睛】本题考查了作商法证明不等式，意在考查学生的计算能力和推断能力. 04-等式和不等式的性质及判断不等式的关系 等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 不等式的性质 性质1 对称性 性质2 传递性 性质3 可加性 性质4 可乘性 性质5 同向可加性 性质6 同向同正可乘性 性质7 例4-1．（23-24高一上·河南许昌·期末）关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】结合不等式的基本性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当时，有，故A错误； 对B：如果，那么，故B正确； 对C：当时，有，故C错误； 对D：如果，则，故，即，故D错误. 故选：B. 例4-2．（23-24高一上·广西贺州·期末）（多选）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 直接利用不等式的性质判断ABC，作差法判断D． 【详解】对A, ，，由不等式性质易知 ，故A正确； 对B, ，,则，故B正确； 对C, ，，由不等式性质易知，故C错误； 对D, 若，则, 故D正确. 故选：ABD. 变式5-1．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由作差法逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：C. 变式5-2．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数、满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质可得出、、的大小关系. 【详解】因为，由不等式的基本性质可得，，故. 故选：C. 变式5-3．（23-24高一上·四川内江·期末）已知，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举反例说明ACD；利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，A错误； 对于B：，，所以，B正确； 对于C：当时，满足，但，C错误； 对于D：当时，满足，，D错误. 故选：B. 变式5-4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）（多选）若，给出下列命题中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：因为，，所以，故A正确； 对于B：因为，，则，所以，故B错误； 对于C：若，，，，满足，，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以，故D正确， 故选：BC 05-由不等式的性质证明不等式 例5-1．（22-23高一上·全国·课后作业）用综合法证明:如果，那么 【答案】证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【详解】证明: ，即 显然 ，即. 例5-2．（23-24高一上·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 例5-3．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 【答案】证明见解析 【分析】由作差法证明，再由证明. 【详解】证明：取， 因为，所以，即. 所以 又因为，故， 所以. 变式5-1．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 变式5-2．（22-23高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知为三角形的三边长，求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的条件，利用作差法，变形并判断符号作答. （2）利用三角形两边的和大于第三边的性质，结合不等式性质推理作答. 【详解】（1）为三角形的三边长， 而， 显然，即，当且仅当时取等号， 因此，所以. （2）为三角形的三边长，则， 于是得：， 所以. 变式5-3．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明. 【详解】证明：因为，所以， 又因为， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以， 所以， 因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得. 又，所以， 所以 由不等式的同号可乘性可得. 变式5-4．（2023高一·全国·课后作业）阅读材料： （1）若，且，则有 （2）若，则有． 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答. 【详解】因为a，b，c是三角形的三边，则，由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ， 所以原不等式成立. 06-利用不等式的性质求取值范围 例6-1．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 例6-2．（2022高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解. 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 变式6-1．（2022高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可. 【详解】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故答案为：. 变式6-2．（23-24高一上·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 变式6-3．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可. 【详解】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为. 故选：A. 07-糖水不等式（拓展） 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 糖水不等式的倒数形式 设 , 则有: 例7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 【答案】BCD 变式7-1．（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 变式7-2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了. 【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了， 所以. 故选：D 变式7-3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则一定有 【答案】BCD 【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D 【详解】对于A，，， ，，故A错误， 对于B，，， ，，故B正确， 对于C，，， ，， ， ，故C正确， 对于D，，， ，， ，故D正确， 故选：BCD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$