专题1.1.2直线的方程（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

专题1.1.2直线的方程 题型一 直线方程的概念 1．（23-24高二下·宁夏银川·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义确定直线的倾斜角. 【详解】因为直线过点，且垂直与轴， 所以直线的倾斜角为， 故选：C. 2．（2023·四川凉山·三模）若表示两条直线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设比较系数可求出. 【详解】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设， 即， 则，解得. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，可设为. 3．（23-24高二上·天津红桥·期中）点在直线上，则实数 ． 【答案】－8 【分析】点在直线上，则点的坐标是直线方程的解，代入即可计算出m． 【详解】∵点在直线上， ∴4×1－m×(－2)＋12＝0，解得m＝－8． 故答案为：－8． 4．（23-24高二上·上海黄浦·期中）过直线与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 【答案】或 【解析】求出直线与x轴的交点，由题可得所求直线的倾斜角为或，则可得直线方程. 【详解】直线与x轴的交点为， 且直线的斜率为，故倾斜角为， 则与该直线夹角为的直线的倾斜角为或， 故直线方程为或. 故答案为：或. 题型二 直线的点斜式方程及辨析 1．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即． 故选：B． 2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项. 【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴， 所以直线方程为， 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 【答案】x＋3y－3＝0 【详解】 解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0. 4．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出所在直线的斜率，然后求出所在的直线方程. （2）根据，由求出，进而求出所在直线的方程. 【详解】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即. 题型三 直线的斜截式方程 1．直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】化简直线方程分别为和，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】化简直线方程分别为和， 显然的斜率是的纵截距, 的纵截距是的斜率， 对于A中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 对于B中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然成立； 对于C中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 对于D中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 故选：B. 2．（多选）下列说法正确的有（    ）． A．直线过定点 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答. 【详解】对于A，直线恒过定点，A正确； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为， 当该直线不过原点时，方程为，D错误. 故选：AB 3．倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 4．写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2； (2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用斜截式直线方程求解； （2）运用两点式直线方程求解. 【详解】（1）斜率，截距，； （2）等价于直线过两点，直线方程为 ，即； 综上，（1），（2）. 题型四 直线图像的辨析 1．（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 2．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】作出直线的图象，可得出结论. 【详解】作出直线的图象如下图所示： 由图可知，直线不过第三象限. 故选：C. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 4．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 题型五：直线两点式方程及辨析 1．（21-22高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点、的直线方程 【答案】BD 【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案. 【详解】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误； 对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确； 对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误； 对于D，当时，由斜率公式可得， 可整理为； 当时，方程可整理为， 所以，经过两点、的直线方程，故D正确. 故选：BD. 3．（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 【答案】 【分析】（1）由两点横坐标相等，即可直接确定直线方程； （2）利用斜率两点式列方程求参数. 【详解】（1）由点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为. （2）由斜率两点式，即，可得. 故答案为：；. 4．（23-24高二·全国·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由两点式得，整理为．又在上， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 题型六 直线截距式方程及辨析 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）直线在x轴的截距为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】令，求出即得． 【详解】根据题意直线， 令，得，所以在x轴的截距为1. 故选：D 2．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或 3．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解. 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或）. 4．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 题型七 直线与坐标轴围成的图形面积问题 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】 依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解. 【详解】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 题型八 直线的一般方程及辨析 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 【答案】D 【分析】分别求出直线在x轴和y轴上的截距，由题意列式求解，即得答案. 【详解】对于直线，令，则， 令，则，故，则， 故选：D 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和直线不过原点，将点代入求解. 【详解】解：当直线过原点时，横纵截距为0，符合题意，此时直线方程为； 当直线不过原点时，可设横纵截距分别为(或，均不为0)， 则直线方程为，可解得或， 则直线方程为或. 故选：ABD. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式得出其方程并整理可得一般式方程. 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 4．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 题型九 直线的一般方程与其它各种形式的转化 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】由倾斜角为知，直线的斜率为，又直线过点， 所以直线方程为，化简得. 故选：C. 3．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】转换成斜截式即可得. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 题型十 直线的点法式 1．（23-24高二·全国·课后作业）若直线的点法式方程为，则下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项代入方程验证即可. 【详解】将、、、代入显然只有使等式成立. 故选：A. 2．（23-24高二·全国·课后作业）过点，且法向量的直线l的点法式方程的适用范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的法向量不能为零向量，再结合零向量的定义即可得到答案. 【详解】根据题意，直线的法向量，则， 若，则，则其适用范围是 故选：B 3．（22-23高二下·上海·课后作业）直线的一个法向量是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据直线法向量与方程关系，建立的方程，求解即可. 【详解】直线的一个法向量是， 得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线方程的特征，掌握直线的法向量即可，属于基础题. 4．（22-23高二下·上海·课后作业）若直线经过点，且与向量垂直，则的点方向式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线经过点，且与向量垂直，结合向量的垂直的条件，即可求解. 【详解】由题意，直线经过点，且与向量垂直， 则其方程为，即， 所以的点方向式方程为. 【点睛】本题主要考查了直线的点方向式方程，其中解答中掌握直线的点方向式方程是解答的关键，着重考查计算能力. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1.2直线的方程 题型一 直线方程的概念 1．（23-24高二下·宁夏银川·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川凉山·三模）若表示两条直线，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（23-24高二上·天津红桥·期中）点在直线上，则实数 ． 4．（23-24高二上·上海黄浦·期中）过直线与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 题型二 直线的点斜式方程及辨析 1．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ． 4．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 题型三 直线的斜截式方程 1．直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（多选）下列说法正确的有（    ）． A．直线过定点 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为 3．倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ． 4．写出下列直线的斜截式方程： (1)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2； (2)直线过点（3，1）且在y轴上截距是-1. 题型四 直线图像的辨析 1．（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A．B．C．D． 4．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A．B．C．D． 题型五：直线两点式方程及辨析 1．（21-22高二·全国·课后作业）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 2．（多选）（23-24高二上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点、的直线方程 3．（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 4．（23-24高二·全国·假期作业）若，则直线的方程为 ；设直线与两坐标轴的交点为且点在线段上，则的最大值为 ． 题型六 直线截距式方程及辨析 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）直线在x轴的截距为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为 ． 3．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 4．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 题型七 直线与坐标轴围成的图形面积问题 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 题型八 直线的一般方程及辨析 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 4．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 号. 即直线方程：. 题型九 直线的一般方程与其它各种形式的转化 1．（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）过点，倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是 . 4．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线的斜率为 ． 题型十 直线的点法式 1．（23-24高二·全国·课后作业）若直线的点法式方程为，则下列点在直线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二·全国·课后作业）过点，且法向量的直线l的点法式方程的适用范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海·课后作业）直线的一个法向量是，则的值是 ． 4．（22-23高二下·上海·课后作业）若直线经过点，且与向量垂直，则的点方向式方程为 ． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$