1.1.4 集合的运算（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第一章 集合与逻辑 1.1.4集合的运算 下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的关系吗? (1){},{},{}; (2) {},{ },{ }； (3)是参加理学社的学生，是参加文学社的学生，是理学社和文学社都参加的学生。 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成. 问题引入 再看一个校园生活的例子．春申中学高一年级的同学报名参加数学建模社（团）与理学社．这样，除该高一年级的全体同学组成的集合 U外，还有参加数学建模社的同学组成的集合 A，参加理学社的同学组成的集合 B，两个社都参加的同学组成的集合 C，两个社中至少参加一个的同学组成的集合 D，此外，还有未参加数学建模社的同学组成的集合 E，等等. 可以看到，集合A、B、C、D、E等都是集合U的子集，集合 C是由集合A与 B 的公共元素组成的，集合 D 是由集合A与 B 的所有元素组成的，集合 E是集合U中去掉C中的元素后剩下的元素组成的. 在数学上，集合U称为全集，C称为A与B 的交集，D称为A 与 B 的并集，E称为A在全集U中的补集. 本节我们要从已知的集合出发，通过“交、并、补”的运算得到新的集合. 定义 对于两个给定两个集合 A和B，由既属于 A 又属于B 的所有元素组成的集合，叫做 A与B 的交集，记作A∩B（读作“A交B”）。 可以用文氏图直观地反映A∩B的四种不同情况. 表示形式：A∩B = {x | x⊆ A 且 x ⊆ B} 交集 (1)表示集合 A 与 B 既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时阴影部分 A ∩ B 既是 A 的真子集又是 B 的真子集．(2) 表示集合 A 是 B 的子集的情况，此时A∩B＝A；（3）A∩B＝A（B）;(4)表示集合A与B没有公共元素的情况， 此时A∩B= . A(B) 根据交集的定义和图示，填写交集的性质。 A ∩ B B ∩ A ； ( A ∩ B )∩ C A ∩ ( B ∩ C )； A ∩ A = ； A ∩  =  A = ； 想一想 ？ 如果 A  B ，那么 A ∩ B = = = A ∩  A 1 ．判断正误. （1） A ∩ B 是一个集合．( ) （2） A ∩ B 是由属于 A且属于 B 的所有元素组成的集 合 ． ( ) （3）若 A∩ B = B,B ≠ ⑦ , 则 B 中的每个元素都属于 A ． ( ) 练一练 ✔ ✔ ✔ 例题1 ．若集合 A = {x -3 < x < 4} ， B = {x∣ x > 2} ，则 A ∩ B = . 变式．设集合 A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {x∣2 ≤ x ≤ 5} ，则 A ∩ B = . {x 2 < x < 4} { 3，5 } 分析：将集合A、B 的在数轴上表示出来，观察其公共部分。 思考：观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？ ① A={1,3,5}, B={2,4,6}, C={1,2,3,4,5,6}; ② A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝，C=｛x|x是实数｝ 集合C是由所有属于集合A或所有属于集合B的元素组成的. 并集 我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一个新的集合. 定义 由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合， 叫做集合A与B的并集,记作 A∪B（读作“A并B”），即 A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B｝. 例题2 设A={4,5,6,8}， B={3,5,7,8}，求A∪B. 解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8} 注意：集合元素的互异性，公共元素在并集里只出现一次. 例题3 设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}，求AUB． 解：A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}. -1 0 1 2 3 利用数轴可以直观地分析本题两个集合的关系 交流思考 由交集的文氏图的四种情况，你是否能总结出补集的文氏图表示？ A(B) (1)表示集合 A与B 既有公共元素，又都有非公共元素，此时A和B都是A∪B的真子集；(2)表示集合 A是B的子集，此时 A∪B＝B；（3）A∪B＝A（B）；(4)表示集合 A与B 没有公共元素，此时和(1)类似，A和B都是A∪B的真子集. 根据并集的定义和图示，填写并集的性质。 = A A B 例题4 ．已知集合 A = {1 ， 2 ， 3 } ， B = {3 ，4 ，5}，则 A ∪B = . . 变式1 ．已知集合 A = (0 , 2) ， B = (1 , 3) ，则 A∪ B = . 变式2 ．已知集合 P = {x ｜x ≤ 3} ， Q = {x ｜x > a} ，若 P∪Q = R ， 则 a 的取值范围是 = . (0 , 3) {1, 2, 3, 4, 5 } (-∞, 3] 例题5（教材例题） ．已知集合 A= {1,2},求所有满足条件 A ∪ B= {1,2,3,4}的集合 B. 解 因为 B ⊆A∪B={1,2,3,4},所以 B的元素只能在 1、2、 3、4 中取．为了使得A∪B中有 3 , 3 必须是 B的一个元素．同理，4也必须是 B 的一个元素．至于 1 、2 是否为 B 的元素不会影响 A∪B的结果. 因此满足条件的集合 B 一共有 4 个：{ 3 , 4},{ 1 , 3 , 4}, {2,3,4},{1,2,3,4} . 最后，我们介绍全集与补集. 在数学研究中，所研究的对象往往是某个确定集合的一个子 集或元素．如求方程的实数解时，解组成的集合一定是实数集 R 的一个子集；求三角形的内角的大小时，如果以度(°)为单位，那么角 的度数一定是开区间(0,180)中的一个元素，等等. 这个确定的集合称为全集, 常用符号 U 表示．它含有我们所要研究问题的全部可能的元素. 全集、补集 全集 (1)定义:如果一个集合含有所研究问题中涉及的 所有元素 ,那么就称这个集合为全集. (2)记法:全集通常记作U. 思考:全集一定包含任何一个元素吗? 答案:全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素,而非任何元素. 补集 (1)定义:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作 . 例如，当全集为实数集R时，有理数集Q的补集 就是全体 无理数组成的集合. (2)符号表示:= . {x|x∈U,且x∉A} (3)图形表示: 在有些资料中，也用符号A表示集合A 在全集U中的补集 1 ．若全集U = {2, 3, 4, 5} ， A = {2, 5} ，则 A = . 2. 已知全集为 R ，集合 A = (2, +∞) ，则A 的补集可用区间表示 为A = . 3．设全集U = R ，集合A = (-3, 0) ，集合B = (-∞, -1)，则如图阴影部分表示的集合为 （用区间表示） {3, 4} (-∞, 2] [-1, 0) 练一练 几个结论 ∩ = ∪ = ∪ B ⇔ A⊆B ⊆ ⇔ A ∩ = =U 1 ．已知集合M = {x∣x >1}, N = {x∣-1< x < 3} ，则 M ∪N = . (-1, +∞) 课堂练习 2 ．集合P = {(x, y) | y = x2 , x ∈ R} ，集合Q = {(x, y) | y = -x2 + 2, x ∈ R} ， 则P ∩ Q = . {(1, 1), (-1, 1)} 3 ．若集合A = (-∞, 2], B = {x∣kx +1 < 0, k ∈ R}, A ∩ B =  , 则 k 的取值范围是 . -1/2≤k≤0 4 ．已知A = {x ∣x +1 > 0} ，B = {-2, -1, 0, 1} ，则 ( ðRA) ∩ B = ； {-2, -1} 5 ．设全集U = R ，若集合A = {0, 1, 2} ， B = {x | -1 < x < 2} ， A ∩ (ðUB) = . {2} 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 并集的运算性质 A∪B B∪A A∪A= A∪= A⊆B⇔A∪B= 补集的运算性质 性质 说明 ∪A=U 任何集合与其补集的并集为全集 ∩A= 任何集合与其补集的交集为空集 =A 任何集合补集的补集为集合本身 =, =U 全集的补集为空集,空集的补集为全集 $$