第10讲 因式分解（知识梳理+11考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第10讲 因式分解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握因式分解的基本方法： 2.利用因式分解化解求值. 1）因式分解的相关概念 定义 扩展说明 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 1）判断公因式的方法： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数. ②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 2）因式分解的常用方法 方法 定义 补充说明 提公因式法 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法， 即：ma+mb+mc=m(a+b+c) 1）实质：乘法分配律的逆用. 2）关键：准确找出多项式各项的公因式 3）易错点： ①当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. 错误原因：提出“—”号后忘记变号. ②用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”,不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 公式法 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 1）[平方差公式逆用]两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.即 2）[完全平方公式逆用] 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 1) 口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 2）二次项系数是1的二次三项式十字相乘法 特征：且满足，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. 3）因式分解的一般步骤： 【考点一】利用因式分解求值 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若分解因式，则 ． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为 ． 3．（22-23八年级上·安徽六安·开学考试）多项式因式分解的结果是，则 ， 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【考点二】因式分解在有理数简算中的应用 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算． (1) (2) 【考点三】利用因式分解确定整除问题 1．（2024七年级下·全国·专题练习）利用因式分解说明：当n为自然数时，能被24整除． 2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，卡片A、B、C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算． (1)若选择B、C卡片，请进行因式分解； (2)嘉嘉发现：“若选择A、B卡片，不论为何整数，其结果总可以被整除”，请确定满足条件的最小正整数的值． 3．（2024·湖南·模拟预测）已知整式． (1)将整式分解因式； (2)求证：若取整数，则能被整除． 4．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 【考点四】判断因式分解的错误步骤 1．（23-24八年级上·吉林长春·期中）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： =第1步 =第2步 =第3步 小颖的解法： =第1步 =第2步 =第3步 任务： (1)经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______； 而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是______． (2)按照做错同学的思路，写出正确的解答过程； 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简： 解法一：…（ ） 原式 解法二：…（ ） 原式 解法三：…（ ） 原式      小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程． 3．（22-23八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式 …………………第一步 …………………第二步 ………………第三步 (1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的因式分解的过程． 4．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 分解因式∶． 解∶原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ； 任务二：以上分解过程第　　　　步出现错误，具体错误为　　　　，分解因式的正确结果为　　　　　　　　． 【考点五】利用添/项进行因式分解 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）阅读与思考： 在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”． 例如： ． 参照上述方法，我们可以对因式分解，下面是因式分解的部分解答过程． 任务： (1)请根据以上阅读材料补全对因式分解的过程． (2)已知，，求的值． 2．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1)（添项）； (2)（拆项）； (3)（换元）． 4．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列文字，解决问题 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把多项式分解因式． 【考点六】利用拆项进行因式分解 1．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 2．（21-22八年级下·山东济南·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 3．（22-23八年级下·陕西西安·期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式； (3)分解因式：． 【考点七】利用因式分解确定三角形的形状 1．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读理解：把多项式分解因式． 解法一：． 解法二：． (1)分解因式：； (2)已知：，，为三角形的三边长，且，试判断三角形的形状． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由． 4．（22-23八年级上·广东江门·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长最大值． (3)已知，的三边长是a，b，c，且满足，试判断是什么形状的三角形并说明理由． 【考点八】利用因式分解求最值 1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值． 解： ∵： ∴：当时，M有最小值 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)，求M的最大值； (3)已知，求的值． 2．（23-24六年级下·山东济宁·期中）代数推理： 例题：求的最小值 解： 无论x取何值，总是非负数， 即所以 所以：当时，有最小值，最小值为5 阅读材料： 利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： （ ）； (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． (3)已知，为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 【考点九】因式分解在新定义问题中的运用 1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． 2．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题； （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式：______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______． 探究问题； （3）已知，则______． （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 4．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定※，等式右边是通常的四则运算．例如：2※． (1)若1※，3※，求a、b的值； (2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y且，都满足※※，求a、b之间的数量关系． 【考点十】因式分解在阅读理解中的运用 1．（23-24八年级上·广西贵港·期末）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ①______； ②若，则______； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加（）得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为；请先判断与的大小关系，并说明理由． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的x的值是； ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的x的值是__________； (2)知识再现：当__________时，代数式的最小值是__________； (3)知识运用：若，当__________时，y有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (4)知识拓展：若，求的最小值． 3．（23-24八年级上·山西长治·期中）阅读理解 请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ①； ②; ③； ④；…… 问题： (1)（____________）； (2)________； (3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解； (4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______． 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； (1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； (2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； (3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 【考点十一】因式分解的实际应用 1．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，有型、型、型三种不同类型的纸板，其中型是边长为的正方形，型是长为宽为的长方形，型是边长为的正方形． (1)若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为，则需要型纸板 张，型纸板 张，型纸板 张； (2)画一个长方形示意图（要求标注长方形的长、宽），使它的面积为，再利用所画图形把多项式分解因式． 2．（2024·陕西榆林·三模）如图①，是一个两直角边长分别为，的直角三角形，按如图②以边长为的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为的直角边所对顶点且与边长为的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）【类比学习】小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． (1)【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：（其中、代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出______，______． (2)【深入研究】小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：（代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 4．（2024·山东潍坊·二模）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如，二进制数1101换算成十进制数是 第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是 表示ICME－14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是 ； (2)小颖设计了一个m进制数156，换算成十进制数是90，求m的值． 一、单选题 1．（湖南省郴州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（浙江省金华市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（湖南省郴州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）下列多项式能用提公因式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）对任意整数，都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 6．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 7．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 10．（2024·青海玉树·三模）分解因式： ． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）已知为的三边，且满足，则为 三角形． 12．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若能分解为，则p为 ；为 ． 13．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）多项式可因式分解成，其中均为整数，则值为 ． 14．（23-24八年级下·河南郑州·期末）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 三、解答题 15．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如：， 请解决以下问题： (1)将多项式因式分解：_____； (2)将多项式因式分解； (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 16．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：多项式的值一定是非负数． 17．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，…因此4，12，20…都是“神秘数”． (1)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (2)在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数吗？为什么？（皆用因式分解的方法解答） ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 因式分解 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握因式分解的基本方法： 2.利用因式分解化解求值. 1）因式分解的相关概念 定义 扩展说明 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 1）判断公因式的方法： ①公因式的系数是各项系数的最大公约数. ②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 2）因式分解的常用方法 方法 定义 补充说明 提公因式法 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法， 即：ma+mb+mc=m(a+b+c) 1）实质：乘法分配律的逆用. 2）关键：准确找出多项式各项的公因式 3）易错点： ①当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. 错误原因：提出“—”号后忘记变号. ②用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”,不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 公式法 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 1）[平方差公式逆用]两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.即 2）[完全平方公式逆用] 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 1) 口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中. 2）二次项系数是1的二次三项式十字相乘法 特征：且满足，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数. 3）因式分解的一般步骤： 【考点一】利用因式分解求值 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）若分解因式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，掌握因式分解与整式的乘法之间的关系是解题的关键． 根据整式的乘法计算，即可求得的值，进而求得代数式的值． 【详解】解： ∵ ∴ 解得 ． 故答案为：3． 2．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知多项式因式分解后有一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，设多项式的一个因式为，则，再根据多项式乘多项式法则展开合并，即可作答． 【详解】解：设多项式的一个因式为， ∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴ 则 ∴ 则 故答案为：． 3．（22-23八年级上·安徽六安·开学考试）多项式因式分解的结果是，则 ， 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则及乘法与因式分解的关系是解决本题的关键． 先利用多项式乘多项式法则算乘法，再利用乘法与因式分解的关系得结论． 【详解】解：∵， 又∵多项式因式分解的结果是， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解的意义，可根据已知条件设出这两个一次因式分别是与，相乘后根据多形式相等可求出、的值，从而得到答案． 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 【考点二】因式分解在有理数简算中的应用 1．（2024七年级下·江苏·专题练习）利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)10000 (2)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，因式分解，关键是掌握完全平方式进行因式分解．利用完全平方公式分解因式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式简便计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变形为，再利用平方差公式进行求解即可； （2）原式根据完全平方公式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点三】利用因式分解确定整除问题 1．（2024七年级下·全国·专题练习）利用因式分解说明：当n为自然数时，能被24整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用平方差公式进行因式分解，将和分别看做整体，用平方差公式进行因式分解，所得的结果中含有因式24，即可求证，熟练掌握平方差公式是解决此题的关键． 【详解】 ， ∴能被24整除． 2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，卡片A、B、C各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算． (1)若选择B、C卡片，请进行因式分解； (2)嘉嘉发现：“若选择A、B卡片，不论为何整数，其结果总可以被整除”，请确定满足条件的最小正整数的值． 【答案】(1) (2)的值是3 【分析】本题考查了因式分解的应用； （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）求出，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 由题意可知的值总可以被整除， 即是整数的倍数， 满足条件的最小正整数的值是3． 3．（2024·湖南·模拟预测）已知整式． (1)将整式分解因式； (2)求证：若取整数，则能被整除． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）利用配方法把配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可； （）利用（）的结果即可求证； 本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：       ， ， ； （2）证明：取整数， 和均为整数， 又由（）可知，， 能被整除． 4．（23-24八年级上·山东滨州·期末）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)试用上述方法分解因式：． (2)利用分解因式说明：因式能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键． （1）利用分组分解法进行求解即可； （2）利用平方差公式法进行因式分解，根据结果进行说明即可． 【详解】（1）解： ； （2） ∴因式能被9整除． 【考点四】判断因式分解的错误步骤 1．（23-24八年级上·吉林长春·期中）在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：将分解因式 小彬的解法： =第1步 =第2步 =第3步 小颖的解法： =第1步 =第2步 =第3步 任务： (1)经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是______； 而另一位同学的解答是从第______步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是______． (2)按照做错同学的思路，写出正确的解答过程； 【答案】(1)小彬，1，没有变号 (2)，过程见解析 【分析】（1）按照分解因式的正确步骤对计算过程进行逐步检查即可； （2）根据平方差公式正确写出完整的解答过程即可． 【详解】（1）解：小彬的解答正确； 小颖的解法从第1步出错，出错的原因是没有变号． （2）解： ； 【点睛】本题考查了因式分解的基本步骤，关键在于熟练掌握因式分解的运算，并对解题过程进行正确检查． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）在化简的过程中，小明有以下三种方法来进行化简： 解法一：…（ ） 原式 解法二：…（ ） 原式 解法三：…（ ） 原式      小明发现三种解答的结果不同，请你帮小明来判断上述解法是否正确，对的在括号里打“√”，并在错误处划“_____”或写出错误原因．若三种解答都错误，请你再写出正确的解答过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查整式的乘法和因式分解，按照整式乘法和因式分解的运算法则求解即可． 【详解】解法一：× 原式     错误原因：提公因式后未变号 解法二：× 原式      错误原因：计算时未变号 解法三：× 原式         错误原因：完全平方公式计算错误 正确计算步骤如下： 原式 3．（22-23八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式 …………………第一步 …………………第二步 ………………第三步 (1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的因式分解的过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式： （1）公因数不同，所以第一步出现错误； （2）根据因式分解计算即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴在第一步就出现了错误， 故答案为：一； （2）解： ． 4．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 分解因式∶． 解∶原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为 ； 任务二：以上分解过程第　　　　步出现错误，具体错误为　　　　，分解因式的正确结果为　　　　　　　　． 【答案】任务一：；任务二：四，进行乘法运算， 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 任务一：根据平方差公式求解即可； 任务二：根据因式分解的概念求解即可． 【详解】任务一：以上变形过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为； 任务二：以上分解过程第四步出现错误，具体错误为进行乘法运算，分解因式的正确结果为． 【考点五】利用添/项进行因式分解 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）阅读与思考： 在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”． 例如： ． 参照上述方法，我们可以对因式分解，下面是因式分解的部分解答过程． 任务： (1)请根据以上阅读材料补全对因式分解的过程． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)160 【分析】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键． （1）在题干的基础上再提取公因式，整理求解即可； （2）由（1）可知求出的值即可求出的值．将变形为，再代入和的值即得出的值，由此即得出结果． 【详解】（1）解： ． ； （2）解：∵ ， ∴． 2．（22-23七年级上·上海·期末）阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）因式分解： (1)（添项）； (2)（拆项）； (3)（换元）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）方法一：原式 ． 方法二：原式 ． （3）设， 则原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 4．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列文字，解决问题 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把多项式分解因式． 【答案】 【分析】把原式中的第二项的系数3变为，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式． 【考点六】利用拆项进行因式分解 1．（23-24八年级下·山西晋中·期末）下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据提公因式法即可求解； （2）根据题意中的分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解： 故选：A． （2）解： 2．（21-22八年级下·山东济南·期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等． 分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法例如： ． 拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法例如： (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： （分组分解法）； （拆项法）； (2)已知：，，为的三条边，，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为 【分析】本题主要考查公式法因式分解： （1）将组成为分解即可． 将拆项为分解即可； （2）分组拆项配成完全平方式的和形式，利用非负性计算即可． 【详解】（1） （2）， ． ． ，，． ． 的周长为． 3．（22-23八年级下·陕西西安·期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据例题用拆项补项法分解因； （2）根据例题用拆项补项法分解因； （3）根据例题用拆项补项法分解因； 【详解】（1）解： ； （2） （3） 【点睛】本题考查了因式分解，理解题意，正确的增项是解题的关键． 【考点七】利用因式分解确定三角形的形状 1．（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】可将题目所给的关于、、的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而可判断出的形状． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答． 2．（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读理解：把多项式分解因式． 解法一：． 解法二：． (1)分解因式：； (2)已知：，，为三角形的三边长，且，试判断三角形的形状． 【答案】(1) (2)三角形是等腰三角形 【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可； （2）先把分解因式变为，进而求出，则三角形是等腰三角形． 【详解】（1）解： ； （2）解：三角形是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，为三角形的三边长， ∴三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的定义，熟知分组分解因式的方法是解题的关键． 3．（22-23八年级下·全国·单元测试）已知 ，且满足，试判定能否构成三角形，如果能，请判定形状，并说明理由． 【答案】无法构成，理由见解析 【分析】将已知等式移项后变形为，即，据此可得且，继而知，即可作出判断． 【详解】解：无法构成， 理由：， ， ， ， 且， 即且， ， 无法构成． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，构成三角形的条件，解题的关键是运用完全平方公式和非负数的性质得出三边的关系． 4．（22-23八年级上·广东江门·期中）阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长最大值． (3)已知，的三边长是a，b，c，且满足，试判断是什么形状的三角形并说明理由． 【答案】(1) (2)29 (3)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （2）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （3）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴，， 由三角形的三边关系可知且c为正整数， ∴c的最大值是14． 此时， ∴周长的最大值为29． （3）结论：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，三角形的三边关系，等边三角形的判定等知识，是三角形综合题，解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题． 【考点八】利用因式分解求最值 1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 解：原式 ②，利用配方法求M的最小值． 解： ∵： ∴：当时，M有最小值 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)，求M的最大值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)4 【分析】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握配方法是解题关键． （1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可； （2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可； （3）先利用配方法，配凑出多个完全平方公式，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2） ∵ ∴当时，M取得的最大值8． （3）∵ ∴ 即． 又∵，， ∴，， ∴：，， ∴． 2．（23-24六年级下·山东济宁·期中）代数推理： 例题：求的最小值 解： 无论x取何值，总是非负数， 即所以 所以：当时，有最小值，最小值为5 阅读材料： 利用完全平方式，将多项式变形为的形式，然后由就可以求出多项式的最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： （ ）； (2)将多项式变形为的形式，并求出的最小值； 【答案】(1)； (2)，最小值为； 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，熟记完全平方公式是解本题的关键； （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式把化为，从而可得答案； 【详解】（1）解：由完全平方公式可得， （2） ， ∵， ∴， 当时，最小值为； 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式 再如：求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：（应用配方法） (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中，的值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值是7 (3)， 【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式． （1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可； （2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可； （3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7； （3）解：， ， ， ，， 解得，． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． (3)已知，为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)有最大值，且最大值为12 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）用作差法，结合完全平方公式，比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是2． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，且最大值是12． （3）解：，理由如下： ∵ ， 又∵，， ∴， ∴． 【考点九】因式分解在新定义问题中的运用 1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，为“完美数”，理由见解析；（5）1 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （5）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （5）∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为1. 2．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题； （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式：______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______． 探究问题； （3）已知，则______． （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8，理由见解析 【分析】（1）根据“完美数”的定义即可得到答案； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应常数的值，进而即可求解； （3）配方后根据非负数的性质可得x和y的值，进行计算即可； （4）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义证明结论． 【详解】解：（1）由题意，得：； 故答案为：； （2）∵， ∴； ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （4），理由如下： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，理解并掌握完美数的定义，是解题的关键． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，有最小值为． 【分析】（1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用． 4．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）对于有理数x、y定义一种新运算“※”：规定※，等式右边是通常的四则运算．例如：2※． (1)若1※，3※，求a、b的值； (2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x、y且，都满足※※，求a、b之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的新运算可得，，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）利用定义的新运算得出等式，利用因式分解变形，即可解答． 【详解】（1）解：※，※， ，， 即， 解得：， 的值为，的值为； （2）， ， ※※， ， ， ， ， ， ， 、之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键． 【考点十】因式分解在阅读理解中的运用 1．（23-24八年级上·广西贵港·期末）综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ①______； ②若，则______； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加（）得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为；请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【分析】本题考查了整式混合运算，能根据整式的运算法则求出两数的差是解此题的关键． （1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （2）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可； （3）先求出和的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）． 理由如下： ， ， ， ， （3）， 理由如下： ，， ， ． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的x的值是； ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是__________，这时相应的x的值是__________； (2)知识再现：当__________时，代数式的最小值是__________； (3)知识运用：若，当__________时，y有最__________值（填“大”或“小”），这个值是__________； (4)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)；2 (2)3；3 (3)1；大； (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式形式是解题关键． （1）根据解答过程即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）由题意得，则，即可求解； 【详解】（1）解：是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2 故答案为：；2 （2）解：， 是非负数，即，， 当时，代数式的最小值是 故答案为：3；3 （3）解：∵ 是非负数，即， ， ∴ ∴当时，y有最大值，这个值是， 故答案为：1；大； （4）解：∵， ∴， ∴ 是非负数，即， ∴ 即：的最小值为 3．（23-24八年级上·山西长治·期中）阅读理解 请你仔细阅读以下等式，并运用你发现的规律完成问题： ①； ②; ③； ④；…… 问题： (1)（____________）； (2)________； (3)以上各等式，从左到右的变形_________（选填“是”或“不是”）因式分解； (4)将用平方差公式因式分解，其结果为________，将该结果与③中右边的代数式进行比较，然后写出将因式分解的结果为_______． 【答案】(1) (2) (3)是 (4)； 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解，规律探究，解题的关键是理解题意，得出一般规律． （1）仿照已知等式归纳总结得出规律，写出结果即可； （2）根据解析（1）中得到规律，写出即可； （3）根据因式分解的定义进行判断即可； （4）根据平方差公式进行因式分解，然后根据因式分解的结果得出即可． 【详解】（1）解：∵； ; ； ； …… ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：根据（1）中得出的规律可知： ． 故答案为：． （3）解：以上各等式，从左到右的变形是因式分解． 故答案为：是． （4）解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：；． 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解： 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现年级上教材第页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到； (1)松松按照南南教他的方法将二次三项式分解成，那么松松应该将二次三项式如何分解呢？ ______； (2)南南看到松松十字相乘的方法掌握的很好，便考了他一个变式问题，可是松松想了想没有好办法，请你帮松松完成这个因式分解的题目吧： ； (3)在松松南南的齐心努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，但是老师却给他出了一个思考题，大家帮助松松南南一起完成这个因式分解的题吧： ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据题意中十字相乘的方法即可求解； （）先提“” ，再用十字相乘的方法即可求解； （）用十字相乘的方法即可求解； 此题考查了利用十字相乘法因式分解，解题的关键是正确理解和掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】（1）二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后在将与的值代入式子中即可得到， 故答案为： （2） ， ； （3） ， ， ， ， ． 【考点十一】因式分解的实际应用 1．（2024七年级下·安徽·专题练习）如图，有型、型、型三种不同类型的纸板，其中型是边长为的正方形，型是长为宽为的长方形，型是边长为的正方形． (1)若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为，则需要型纸板 张，型纸板 张，型纸板 张； (2)画一个长方形示意图（要求标注长方形的长、宽），使它的面积为，再利用所画图形把多项式分解因式． 【答案】(1)2，3，1 (2)图见解析， 【分析】本题考查利用面积研究多项式的因式分解，培养思维想象能力，要求有较高的拼凑能力，能够很快的发现各边的长度关系． （1）根据多项式乘多项式的法则计算即可作答； （2）要组成长方形，需要型纸板1张，型纸板5张，型纸板6张，由此画出图形，利用图形解决问题． 【详解】（1）解：∵， 故型纸板2张，型纸板3张，型纸板1张； （2）解：如图， 所以． 2．（2024·陕西榆林·三模）如图①，是一个两直角边长分别为，的直角三角形，按如图②以边长为的直角边所在直线为轴旋转一周；按如图③过边长为的直角边所对顶点且与边长为的直角边平行的直线为轴旋转一周，得到两个不同的几何体．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小，因式分解的应用，先计算体积，再作差比较大小即可. 【详解】解：图3中圆锥的体积更大． 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∵， ∴． ∴，则， ∴图③中圆锥的体积更大． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）【类比学习】小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． (1)【初步应用】小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：（其中、代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出______，______． (2)【深入研究】小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：（代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查因式分解、二元一次方程组的求解、归纳与类比，会利用类比的方法，仿照例题解决问题是解答的关键． （1）根据竖式除法的运算方法先确定表示的数，然后确定代表的数即可； （2）利用列竖式除法的结果进行分解即可． 【详解】（1）仿照例题，得：， 则有，， 故，； 故答案为，． （2）仿照例题，得： ∴原式： ， 故将多项式可因式分解为． 4．（2024·山东潍坊·二模）生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如，二进制数1101换算成十进制数是 第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是 表示ICME－14的举办年份． (1)八进制数3747换算成十进制数是 ； (2)小颖设计了一个m进制数156，换算成十进制数是90，求m的值． 【答案】(1)2023 (2)7 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，因式分解，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法． （1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2023； （2）解：依题意有： ， 解得，（舍去）， 故的值是7． 一、单选题 1．（湖南省郴州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解，据此判断即可． 【详解】解：A、不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、，不是把多项式分解成几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是多项式乘以多项式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 2．（浙江省金华市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．（湖南省郴州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）下列多项式能用提公因式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，能否用提公因式法进行因式分解关键看是否能找到公因式．根据提公因式法作出判断即可． 【详解】解：A、无公因式，故此选项不符合题意； B、，只能用提公因式法分解因式，故此选项符合题意； C、无公因式，故此选项不符合题意； D、无公因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，多项式乘法，先通过平分差公式将因式分解后的结果进行变形，再根据等式的性质即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵将因式分解后得， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期末）对任意整数，都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到即可确定答案，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 对任意整数，都能被4整除， 故选：B． 6．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 7．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法和公式法逐项因式分解，判断即可． 【详解】解：A、，结果中含因式，不符合题意； B、不能分解，结果中不含因式，符合题意； C、，结果中含因式，不符合题意； D、，结果中含因式，不符合题意； 故选：B． 8．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．对多项式先进行因式分解，再代值求出每个因式的值，然后对因式的值排列组合即可得出答案． 【详解】解：， 当时，， 故密码为或， 故选：A． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，，，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法将配方成，再求出、和即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴， 故选：C． 二、填空题 10．（2024·青海玉树·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）已知为的三边，且满足，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，先把所给等式因式分解得到，进而得到，据此利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 故答案为：直角． 12．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）若能分解为，则p为 ；为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查多项式的乘法，因式分解，明确题意，求得p和q的值是解此题的关键． 将等式右边去括号整理即可得p和q的值，计算即可． 【详解】∵ ∵能分解为， ∴， ∴． 故答案为：2，． 13．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）多项式可因式分解成，其中均为整数，则值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先将多项式进行因式分解，进而确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵多项式可因式分解成， ∴，，， ∴． 故答案为：7． 14．（23-24八年级下·河南郑州·期末）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，列式即可． 【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积， 即：， ∴根据图形写出一个多项式的因式分解为 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如：， 请解决以下问题： (1)将多项式因式分解：_____； (2)将多项式因式分解； (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用公式法进行因式分解即可； （2）利用公式法和提公因式法进行因式分解即可； （3）先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得，根据题意，可知，因此，即，即可得出结果． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即, ∴是等腰三角形． 16．（2024七年级下·全国·专题练习）（1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】（1）（1） （2） （3）见解析 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握各类分解方法以及换元法是解题的关键． （1）设，将原式化为即可求解； （2）设，将原式化为即可求解； （3）将原式化为，设，利用平分的非负性即可求解． 【详解】解：（1）解法一：设， 则原式 ； 方法二：设， 则原式 ； （2）设， 则原式 ； （3）解： ， 设， 则原式 ， ∵， ∴， ∴多项式的值一定是非负数． 17．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，…因此4，12，20…都是“神秘数”． (1)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (2)在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数吗？为什么？（皆用因式分解的方法解答） 【答案】(1)“神秘数”是4的倍数．证明见解析 (2)两个连续的奇数的平方差是4的倍数．理由见解析 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键． （1）运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可． 【详解】（1）解：“神秘数”是4的倍数．理由如下： ， ∴“神秘数”是4的倍数； （2）解：是，理由如下： 设两个连续的奇数为：， 则， ∴两个连续的奇数的平方差是4的倍数． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$