第09讲 乘法公式（知识梳理+10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第09讲 乘法公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解两数和乘以两数差公式，掌握其结构特征，并能灵活用于计算： 2. 理解两数和（差）的平方，掌握其结构特征，并能灵活用于计算： 考点三 乘法公式 乘法公式 内容 补充说明 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 1）特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的变化： ①位置变化： ②符号变化： ③指数变化： ④系数变化： ⑤增项变化： ⑥连用公式： ⑦数学变化： 3）【注意事项】 ①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. ②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 乘法公式 内容 补充说明 完全平方和公式 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即 1）特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央. 2）完全平方和公式的变化： ①通过移项变形 1. 2. 用法：已知a+b、ab、中的两项求另一项的值（知二求一）. ②a+b与a-b的转化 1. 2. 3. 用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值（知二求一）. 4. 【考点一】判断运用乘法公式计算的正误 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）下列各式中，不能运用整式乘法公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【考点二】利用完全平方式确定系数 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果代数式是一个完全平方式，那么m的值为 ． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是 ． 3．（23-24七年级下·江苏常州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 （写出所有可能的值） 4．（2024·山东淄博·一模）设，若是一个完全平方式，试求的值． 【考点三】乘法公式的计算 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）运用乘法公式计算： (1) (2) 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）运用乘法公式计算： (1) (2) 4．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）计算： (1) (2)（运用整式乘法公式）． 【考点四】利用乘法公式求值 1．（21-22八年级上·吉林四平·期末）利用乘法公式解决下列问题： （1）若，，则 ； （2）已知，若满足，求值． 2．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）已知，则代数式值为 ． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知实数、满足，，则值为 ． 4．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，，分别求a，b的值． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 【考点五】利用面积法验证乘法公式 1．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的幅图中，其中能够验证平方差公式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　　，　　； (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　　； (3)试利用这个公式计算： ① ② ③． 3．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图，图①为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请用含的式子表示：______，______；（只需表示，不必化简） (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式：计算：． 4．（23-24七年级下·河北保定·期中）[知识再现] 如图，将边长分别为和的长方形分割成四部分． （1）通过长方形的面积的不同表示方法，从而验证了乘法公式：_________________________________； （2）下图给出的甲、乙、丙、丁4个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①        ②， ③        ④ 甲、乙、丙、丁4个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为____________； [知识迁移] 如图，点C是线段上一点（不与A、B重合），以、为边向两方作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． [拓展应用] （1）若，则____________； （2）若，则____________． 5．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）操作与探究 （1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）． ①    ② ③    ④ 思考与创新 （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b） 【考点六】乘法公式的应用 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，某校一块边长为2a米的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为米的正方形（）． (1)求出七年级（2）班的清洁区的面积． (2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？ 2．（22-23七年级下·陕西西安·期中）我们知道，将完全平方公式适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：    (1)若，，求的值； (2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积．甲，乙两名同学表示的式子是：甲：；乙：．正确的学生是______． （2）如图②，有一块长为()米，宽为()米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路．其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示） 【考点七】平方差公式的几何背景 1．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） (2)由（1）你可以得到乘法公式 ． (3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算： ①； ②． ③． 2．（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，井写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积（上底下底）高）． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含、的式子表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【考点八】完全平方公式的几何背景 1．（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【考点九】乘法公式中的新定义问题 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）将4个数排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．求x的值． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． 若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． 3．（23-24七年级上·广东汕尾·期末）定义一种新运算“☆”，规定有理数，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)根据（1）（2）的结果直接写出与之间的关系． 4．（2024·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． 【考点十】与乘法公式有关的规律探究问题 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 2．（23-24七年级下·山东济南·期中）观察下列等式： (1)根据上面各式的规律，请写出第5个等式 . (2)根据上面各式的规律可得 （n为正整数，且）. (3)求的值． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 4．（2024·安徽滁州·三模）观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子    第3个式子   第4个式子   按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：_______； (2)写出第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明． 一、单选题 1．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知a，b为有理数，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）当，时，代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D．2 5．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）多项式是完全平方式，则M不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A．2 B． C．4 D． 7．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．13 D．14 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，根据图形的变化过程写出一个正确的等式是 （    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）若，则k的值为（    ） A．109 B．110 C．111 D．112 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 二、填空题 11．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ． 12．（浙江省温州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）已知，都是实数，观察表中的运算： ，的运算           运算的结果 3 7 则代数式的值为 ． 13．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，，且，则的值为 ． 14．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）若是一个完全平方式，则的值为 ． 15．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）对于任何有理数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值是 ． 三、解答题 16．（湖南省郴州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）先化简，再求值：，其中，． 17．（陕西省西安市经开区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 18．（23-24七年级下·陕西西安·期末）剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个大正方形． (1)图2中的阴影部分（小正方形）面积为______． (2)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的等量关系：______． (3)若，，利用（2）中所提供的等量关系计算的值． 19．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 乘法公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解两数和乘以两数差公式，掌握其结构特征，并能灵活用于计算： 2. 理解两数和（差）的平方，掌握其结构特征，并能灵活用于计算： 考点三 乘法公式 乘法公式 内容 补充说明 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 1）特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 2）平方差公式的变化： ①位置变化： ②符号变化： ③指数变化： ④系数变化： ⑤增项变化： ⑥连用公式： ⑦数学变化： 3）【注意事项】 ①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. ②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式.所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 乘法公式 内容 补充说明 完全平方和公式 两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即 1）特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央. 2）完全平方和公式的变化： ①通过移项变形 1. 2. 用法：已知a+b、ab、中的两项求另一项的值（知二求一）. ②a+b与a-b的转化 1. 2. 3. 用法：已知a+b、ab、a-b中的两项求另一项的值（知二求一）. 4. 【考点一】判断运用乘法公式计算的正误 1．（2024七年级下·全国·专题练习）在下列多项式的乘法中，不可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式．根据平方差公式是两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差，由此进行判断即可． 【详解】解：A、B、C选项都是两个数的和与这两个数的差相乘，可以使用平方差公式， D选项变形后为，不能使用平方差公式； 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了整式的混合运算．根据多项式乘多项式的方法，以及完全平方公式和平方差公式，逐项判断即可． 【详解】解：， 选项A符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D不符合题意． 故选：A． 3．（23-24六年级下·山东烟台·期中）下列各式中，不能运用整式乘法公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法公式，根据平方差公式和完全平方公式逐一进行判断即可． 【详解】解：A、可以用完全平方公式进行计算，不符合题意； B、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； C、不能用乘法公式进行计算，符合题意； D、可以用完全平方公式进行计算，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列算式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．根据平方差公式和完全平方公式对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、符合平方差公式的形式； B、，不符合平方差公式的形式； C、，不符合平方差公式的形式； D、，不符合平方差公式的形式． 故选：A． 【考点二】利用完全平方式确定系数 1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如果代数式是一个完全平方式，那么m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：代数式是一个完全平方式， 或， 解得：或， 故答案：或． 2．（23-24七年级下·江苏常州·期末）若多项式可以写成一个整式的平方，则常数的值是 ． 【答案】36 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵恰好是一个整式的平方， ∴． 故答案为：36． 3．（23-24七年级下·江苏常州·期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 （写出所有可能的值） 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴■处所对应的数是或， 故答案为：或． 4．（2024·山东淄博·一模）设，若是一个完全平方式，试求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了乘法公式的综合应用，分式的混合运算等知识，熟练运用平方差公式和完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的形式确定的值，由此即可求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴或， ∴或， ∵， ∴当时， ， 当时， ， ∴的值为或． 【考点三】乘法公式的计算 1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）运用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式等知识点，准确运算是解题的关键；（1）将看成一个整体，运用平方差公式运算即可；（2）利用多项式乘以多项式运算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9996 (2)9801 (3) 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可 （3）处理数字以后再运用乘法的分配律和完全平方公式进行简算． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）运用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方差公式及完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键； （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式及完全平方公式、合并同类项法则可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（23-24七年级下·广东深圳·阶段练习）计算： (1) (2)（运用整式乘法公式）． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查利用平方差公式进行简便运算： （1）将原式变形为，再利用平方差公式计算； （2）将原式变形为，再利用平方差公式计算； 【详解】（1）解： （2）解： 【考点四】利用乘法公式求值 1．（21-22八年级上·吉林四平·期末）利用乘法公式解决下列问题： （1）若，，则 ； （2）已知，若满足，求值． 【答案】（1）144；（2）255 【分析】（1）根据完全平方公式的变形即可求解； （2）设，，由完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：（1）由进行变形得，， ∴=64+80=144； 故答案为：144； （2）设，， 由进行变形得， ， ∴ ． 【点睛】此题主要考查乘法公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 2．（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）已知，则代数式值为 ． 【答案】 【分析】由已知得，然后对所求式子展开后进行变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（23-24八年级上·重庆江津·期中）已知实数、满足，，则值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程，再根据完全平方公式整理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：5． 4．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a，b为实数． (1)若，，求； (2)若，，分别求a，b的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查整式的化简求值、利用完全平方公式的变形求值，运用整体代入的思想是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行变形，再整体代入求值即可； （2）把已知的两式相加可求得，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：，， 两式相加可得，，即， ∴， ∵，，即，， 当时，，， ∴，， 当时，，， ∴，， 综上所述，，或，； 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，则______． (2)若，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)31 (2)15 (3)11 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解； （2）由题意得到，根据完全平方公式得出，化简即可求解． （3）两边同时除以x得，，两边平方得，化简即可求解． 【详解】（1），， ，， ，即， ， 故答案为：31． （2），， ， ， ， ； （3） ， 即， ， 【考点五】利用面积法验证乘法公式 1．（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后组成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的幅图中，其中能够验证平方差公式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解题的关键．根据各个图形的拼图的面积计算方法用代数式表示后，进行判断即可． 【详解】解：图1可以验证的等式为：， 图1可以验证平方差公式； 图2可以验证的等式为：， 图2可以验证平方差公式； 图3可以验证的等式为：， 图3可以验证平方差公式； 图4可以验证的等式为：， 图4不能验证平方差公式； 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：　　，　　； (2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？　　； (3)试利用这个公式计算： ① ② ③． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据几何图形得出平方差公式，并利用平方差公式进行计算，因此，本题熟练掌握平方差公式是关键． （1）分别根据面积公式进行计算； （2）根据图1的面积图2的面积列式； （3）①把后两项看成一个整体，利用平方差公式进行计算； ②把分母利用平方差公式分解因式，再计算并约分得5； ③添一项后，与第一个括号里的数组成平方差公式，依次这样计算可得结果． 【详解】（1）解：原阴影面积，拼剪后的阴影面积 （2）解：验证的公式为：. （3）解：①， ， ， ； ②； ③， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）如图，图①为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．    (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请用含的式子表示：______，______；（只需表示，不必化简） (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式：计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，平方差公式与几何图形，掌握其运算法则是解题的关键． （1）结合图示，运用字母表示数量关系即可求解； （2）根据图示中阴影部分面积，数量关系为，由此即可求解； （3）根据平方差公式的运算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴，即平方差公式， 故答案为：． （3）解： ． 4．（23-24七年级下·河北保定·期中）[知识再现] 如图，将边长分别为和的长方形分割成四部分． （1）通过长方形的面积的不同表示方法，从而验证了乘法公式：_________________________________； （2）下图给出的甲、乙、丙、丁4个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式， ①        ②， ③        ④ 甲、乙、丙、丁4个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为____________； [知识迁移] 如图，点C是线段上一点（不与A、B重合），以、为边向两方作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． [拓展应用] （1）若，则____________； （2）若，则____________． 【答案】[知识再现]（1）；（2）③①④② [知识迁移]阴影部分面积为9 [拓展应用]（1）6；（2）4052 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式，并且会灵活变形解决相关问题是解题的关键． [知识再现]（1）根据长方形的面积用两种不同的表示方法即可得出等式， （2）根据图形用两种不同的表示方法表示面积即可； [知识迁移]根据完全平方公式变形即可求解；、 [拓展应用]（1）即可求解；（2）即可求解． 【详解】[知识再现]（1）解：长方形面积 故答案为：， （2）根据图形面积可得： 甲：，对应③； 乙：，对应①； 丙：，对应④； 丁：，对应②； 故答案为：③①④② [知识迁移] 设长为a，长为b，由题意，得 ，． ∴． ∴阴影部分面积为：． 答：阴影部分面积为9． [拓展应用] （1）∵ ∴， （2）设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（23-24八年级上·辽宁大连·阶段练习）操作与探究 （1）如图1，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是__________（填序号）． ①    ② ③    ④ 思考与创新 （2）利用上面得到的乘法公式解决问题： ①已知，，求的值； ②（任选其一）模仿图1，任选图2或图3用割拼的方法在左边内画图验证（1）中得到的乘法公式成立（画的图形中标注a、b） 【答案】（1）③；（2）①21或；②见解析 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． （1）根据题意分别表示出左边4个等腰梯形的面积和右边大平行四边形面积即可求解； （2）①首先利用完全平方公式得到，然后求出，然后利用，求出，然后利用平方差公式求解即可； ②根据平方差公式画出图形求解即可． 【详解】（1）图1中左边4个等腰梯形的面积为，右边大平行四边形面积为 ∴， ∴剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是③； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，； 当时，； ∴的值为21或； ②如图所示，选图2， 左边阴影的面积为，右边阴影的面积为 ∴； 如图所示，选图3， 左边阴影的面积为，右边阴影的面积为 ∴． 【考点六】乘法公式的应用 1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，某校一块边长为2a米的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为米的正方形（）． (1)求出七年级（2）班的清洁区的面积． (2)七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是熟练掌握乘法公式进行计算． （1）求出七年级（2）班的清洁区的边长，利用面积公式计算即可； （2）求出两个班级的面积，求差即可． 【详解】（1）∵， ∴七年级（2）班的清洁区的面积均为： ． （2）∵， ∴七年级（4）班的清洁区的面积比七年级（1）班的清洁区的面积多． 2．（22-23七年级下·陕西西安·期中）我们知道，将完全平方公式适当的变形，可以解决很多数学问题．请你观察、思考，并解决以下问题：    (1)若，，求的值； (2)如图，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形院子，再以为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用完全平方公式代入计算即可； (2)设,由周长可得, 由两块正方形的面积和为平方米，, 求即可. 【详解】（1）∵, ∴, （2）设, ∵长方形的周长是米, ∴, 即, 又∵两块正方形的面积和为平方米， ∴, ， 答: 长方形的面积为平方米. 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的的关键. 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，学校有一块边长为米的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为米、宽为b米的鱼池供观赏． (1)求绿化的面积是多少平方米？ (2)若，时，求绿化面积、 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式运算的应用； （1）阴影部分面积正方形的面积矩形的面积，即可求解； （2）将，代入面积，即可求解； 能表示出面积，并正确运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 （平方米）； （2）解：当，时， （平方米）． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）（1）数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积．甲，乙两名同学表示的式子是：甲：；乙：．正确的学生是______． （2）如图②，有一块长为()米，宽为()米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路．其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为米和米，求绿化的面积．（用含a，b的式子来表示） 【答案】（1）乙；（2）绿化的面积为()平方米． 【分析】（1）结合图形表示出绿地的面积，即可判断； （2）把两条道路平移，可得绿地的长为()米，宽为()米，即可计算． 【详解】解：（1）空白部分的面积为：，故甲错误； ， 乙正确； 故答案为：乙； （2）由题意可得： 平方米， 答：绿化的面积为()平方米． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式在面积中的应用，平方差公式，理解修路后依然可以拼成矩形，掌握表示同一图形的面积的两种表示方法：整体表示法和部分表示法是解题的关键． 【考点七】平方差公式的几何背景 1．（23-24七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形． (1)若图1中的阴影部分面积为；则图2中的阴影部分面积为 ．（用含字母a，b的式子且不同于图1的方式表示） (2)由（1）你可以得到乘法公式 ． (3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题： 计算： ①； ②． ③． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式．利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）由图2可知该长方形的长为，宽为，从而由长方形面积公式即可得出答案； （2）由图1和图2的阴影部分面积相等，即得出； （3）①由平方差公式计算即可； ②由平方差公式和完全平方公式计算即可； ③式子先乘以，再由平方差公式计算即可． 【详解】（1）图2中的阴影部分面积为． 故答案为：； （2）由（1）可以得到乘法公式：． 故答案为：； （3）解：① ； ② ． ； ③ ． 2．（23-24七年级下·宁夏中卫·期中）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，井写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 【答案】(1)； (2) (3)①3；②，5 【分析】此题考查了平方差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （2）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （3）①根据平方差公式，进行计算即可求解；②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1） 拼接后的长方形长为、宽为． ∴ 故答案为：；； （2）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （3）解：①∵，， ∴ ∴， 故答案为：3． ②原式 又∵（为正整数）的个位数字依次是、、、、、、、以、、、为一个循环，， ∴的个位数字是，则的个位数字是5． 故答案为：，5． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积（上底下底）高）． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含、的式子表示和； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题． （1）利用正方形的面积公式和梯形的面积公式即可求解； （2）根据（1）所得的两个式子相等即可得到． 【详解】（1）解：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ． ； （2）根据题意得： ． 【考点八】完全平方公式的几何背景 1．（23-24七年级下·福建漳州·期中）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．      (1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________． 方法2：__________________． 请写出代数式：，之间的等量关系是______． (2)许多代数等式可以用图形的面积来表示．直接写出图3的面积所表示的代数等式； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：已知，是负整数，求的值． 【答案】(1)；；，详见解析 (2)，详见解析 (3)为1或5，详见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的几何图解法及应用等知识点， （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释； （2）图③的面积计算有两种方法，方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是，方法二是组成大长方形的各个小长方形或正方形的面积和等于大长方形的面积，故而得到了代数恒等式； （3）由（1）知：，结合为负整数分类讨论即可得解； 熟练掌握数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）方法1：阴影部分是一个正方形，边长为，根据阴影部分正方形面积计算公式得， 方法2：大正方形边长为，面积是：，四个长为m，宽为n的长方形的面积是，阴影部分的面积是大正方形的面积减去四个长方形的面积为， 方法1与方法2均为求图②中阴影部分的面积，所以结果相等，即， 故答案为：；；； （2）计算图③的面积计算有两种方法， 方法一是大长方形（长为的，宽为）的面积是， 方法二是：组成图③的各部分图形：2个边长为m的正方形的面积，3个长为m，宽为n的长方形的面积即，1个边长为n的正方形的面积，他们的面积和是：，方法一和方法二的计算结果相等， ∴； （3）由（1）知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵为负整数， ∴且能被4整除， ∴当时，， 当时，， 综上：为1或5． 2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键. （1）根据面积公式计算即可； （2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可； （3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可． 【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：. 故答案为：； （2）由图可知：. 故答案为：； （3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为， 又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24 ∴两个关于m，n的等式为：，． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境一    情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量； 情境二          情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，即可求解； 情境三：能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】解：情境一 如图，设等腰梯形的高为，    ， ， 图的面积： ， 图的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； 情境二 ， 拼成了一个正方形， 当时， ， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三 赞同丁同学的说法； 去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图：    【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． 【考点九】乘法公式中的新定义问题 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）将4个数排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义．上述记号叫做2阶行列式，若．求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”． 若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，得出，然后利用完全平方公式，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级上·广东汕尾·期末）定义一种新运算“☆”，规定有理数，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)根据（1）（2）的结果直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2)16 (3)与互为相反数 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键． （1）根据题中的新定义化简即可得到结果； （2）根据题中的新定义化简即可得到结果； （3）利用题中的新定义分别计算与，即可做出判断． 【详解】（1） ； （2） ； （3）； ， 故与互为相反数． 4．（2024·广东汕头·二模）定义一种新运算，规定，例 (1)已知，，分别求A，B (2)通过计算比较A与B的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以将，化简； （2）根据（1）中的结果，求出的值，然后与0比较大小，即可得到与的大小关系． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ； （2）由（1）知：，， ∴ ， ∴． 【考点十】与乘法公式有关的规律探究问题 1．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山东济南·期中）观察下列等式： (1)根据上面各式的规律，请写出第5个等式 . (2)根据上面各式的规律可得 （n为正整数，且）. (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式： （1）根据等式中的规律即可求解； （2）根据等式中的规律即可求解； （3）根据规律得，进而可求解； 从等式中找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由等式可得：， 故答案为：． （2）由等式得：， 故答案为：． （3）， ． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，并回答问题： 第个等式：， 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； …… (1)根据以上等式的规律，写出第个等式： ； (2)写出第个等式，并证明结论的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见详解： 【分析】本题考查了数字类型规律，通分、完全平方公式，约分化简，异分式的加减法运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知等式的各部分和序号的关系即可得出结果． （2）根据发现的规律，归纳出第个等式，再利用分式的通分、完全平方公式，约分化简即可即可证明． 【详解】（1）根据以上等式的规律， 可得第个等式为：． （2）根据以上等式的规律，可得第个等式为， 证明：∵ ． ∴． 4．（2024·安徽滁州·三模）观察下列式子： 第1个式子： 第2个式子    第3个式子   第4个式子   按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：_______； (2)写出第n个等式：_______（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）第1个式子： ，左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第2个式子   左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第3个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第4个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 于是第5个式子：左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是，写出等式即可． （2）根据规律猜想出等式，后用完全平方公式展开计算即可． 本题考查了整式中的规律，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）第1个式子： ，左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第2个式子   左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第3个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 第4个式子  左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 于是第5个式子：左边数是；右边两个底数中，分母是2，不变；前一个分子是，后一个分子是， 故第5个式子是， 故答案为：． （2）根据题意，得第n个式子是． 故答案为：． 证明：等式的左边； 等式的右边 ， 左边=右边， 故． 一、单选题 1．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键．根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：，找出整式中的a和b，进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，故选项A错误； B、，不符合平方差公式的特点，故选项B错误； C、 ，符合平方差公式的特点，故选项C正确； D、 不符合平方差公式的特点，故选项D错误． 故选：C． 3．（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知a，b为有理数，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查整式的乘法-公式法，关键是熟练掌握完全平方公式，根据完全平分公式逐一进行检验即可． 【详解】解：∵，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 故③不正确； 故选：B 4．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）当，时，代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，将，代入代数式，利用平方差公式、二次根式性质计算即可得到答案，熟练掌握平方差公式、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 5．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）多项式是完全平方式，则M不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征“首平方、尾平方，中间二倍积”是解答本题的关键． 根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】解：∵或， ∴或． 故选C． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出是解此题的关键．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，求出，再根据题意得出，，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成的形式， ∴，， ∴，， 即印刷不清的数字是2， 故选：A． 7．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式．先把的左右两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，求出即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，根据图形的变化过程写出一个正确的等式是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的运算，平方差公式，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键，根据边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积等于剩下三块所拼成的一块长为，宽为的长方形的面积，列出式子即可． 【详解】解：依题意有：边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积等于剩下三块所拼成的一块长为，宽为的长方形的面积， 即． 故选：D． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）若，则k的值为（    ） A．109 B．110 C．111 D．112 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式得到即可求解，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：D． 10．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．或1 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，零次幂及负整指数幂，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项， ∴，， 解得：或，， 当，时，； 当，时，， 则或， 故选：C． 二、填空题 11．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．（浙江省温州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）已知，都是实数，观察表中的运算： ，的运算           运算的结果 3 7 则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用能力，先求出，的值，然后代入计算． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值问题，由完全平方公式得，即可求解；掌握、、之间的关系是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案：． 14．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）若是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）对于任何有理数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算以及整式的运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义变形得出原式，化简，得出，再代入原式进行计算即可得到结果． 【详解】解：利用题中的新定义化简得： 原式， 由，得到， 则原式． 故答案为：． 三、解答题 16．（湖南省郴州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟记乘法公式是解题关键. 【详解】解：原式 当，时，原式 17．（陕西省西安市经开区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形采用型绿化方案，对正中间的长方形采用型绿化方案． (1)用含的代数式表示采用型绿化方案的四个正方形的边长是_____米，采用型绿化方案的长方形的另一边长是______米； (2)已知采用型绿化方案比型绿化方案的面积大，求型绿化方案比型绿化方案的面积大了多少平方米？ 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意表示出、绿化方案的边长或另一边长即可； （）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为，分别计算，然后作差值计算即可； 本题考查了整式的加减，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）采用绿化方案的四个正方形边长， 采用型绿化方案的长方形的另一边长是， 故答案为：，； （2）设型绿化方案的面积为，型绿化方案的面积为， ∴，， 则， 答：B型绿化方案比A型绿化方案的面积大了平方米． 18．（23-24七年级下·陕西西安·期末）剪切拼凑是一种技巧，数形结合是一种思想，二者完美结合可以碰撞出美丽的火花．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其分成四块相同的小长方形，然后按图2的形状拼成一个大正方形． (1)图2中的阴影部分（小正方形）面积为______． (2)观察图2，请你写出三个代数式，，之间的等量关系：______． (3)若，，利用（2）中所提供的等量关系计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，能够运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积=正方形的面积个长方形的面积计算即可； （2）根据（1）的结论解答； （3）把已知数据代入（2）的关系式计算即可． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分面积为： 用大的正方形面积减去长方形的面积等于小正方形面积， 即， 故答案为：； （2）解：大正方形面积与小正方形面积之间的差值等于4个长方形面积， 即大正方形面积小正方形面积+4个长方形面积， ， 故答案为：； （3）解：若，， 则． 19．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【解决问题】（1）若代数式是完全平方式，则常数k的值为__________， （2）因式分解：； 【拓展应用】（3）用配方法求代数式的最小值． 【答案】（1）25；（2）；（3）4 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法把配凑成，由此即可得； （3）将配凑成，利用完全平方公式求解即可得； 【详解】解：（1）∵代数式是完全平方式， ， ， ， （2） ， （3） ， ， ， 的最小值为4； ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$