第09讲相似三角形的性质(2个知识点+8个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第09讲 相似三角形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握相似三角形性质定理； 2、经历相似三角形性质定理的探索过程，体会类比思想，发展合情推理能力． 重点：相似三角形的性质定理及其应用. 难点：相似三角形的性质定理的发现与证明. 知识点一 相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 【例1】已知和相似，对应边与之比为，如果的周长为24，那么的周长是 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得，又因为的周长是24，再建立方程即可． 【详解】解：∵和相似，对应边与之比为， ∴， ∵的周长是24， ∴ ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 【变式1-1】的三边之比为，，若中最长的边为14厘米，则最短的边长为 厘米． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质可得，的三边之比为，再根据最长的边为14厘米，即可求解． 【详解】解：∵，的三边之比为， ∴的三边之比为， 中最长的边为14厘米， 则最短的边长为（厘米）， 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【变式1-2】如图，正方形内接于，，若的面积是，则的长是 ． 【答案】4 【分析】易证，可得：，再由两平行线间的距离相等，即可得出，结合，即可得出，可求解的长． 【详解】解：如图所示：过作于，交于, ∵的面积是，, ∴, ∴， ∴， 正方形内接于， ，设， ，， ， ∴ ， ∴, ∵， ∴, ， 又∵，， ，， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，正方形的性质，证明是解题的关键． 解题技巧 相似三角形的对应角、对应边的找法与全等三角形的对应角、对应边的寻找规律一样.一般地,公共角、对顶角等是对应角,最大(小)的角对应最大(小)的角,最长(短)的边对应最长(短)的边. 知识点二 相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 【例2】学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 答：旗杆的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式2-1】学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． (1)求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动_____米. 【答案】(1)14米 (2)0.5 【分析】（1）作EM⊥CD于M，交于N，根据三角形相似求出长，再加上长即可； （2）类似（1）的方法求出即可； 【详解】（1）解：作于M，交于N， 可得，米，米，米． ∴米，米， ∵， ∴ ， ∴，即 ∴米， 米， 答：大楼的高度为14米． （2）类似（1）可得 ， ∴， ∵米，米，米，米， ∴米， ∴， ∴米， 相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动（米）， 答：相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动0.5米． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及其应用，解题关键是恰当作辅助线，构建相似三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：重心的有关性质 例1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）下列说法中正确的是（   ） ①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论． 【详解】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确； ③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确； 如图，O为重心，过点O和点A分别作的垂线，垂足为E，F， 则， 则， ∴， 即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【变式1-1】（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，点P是的重心，过点P作交，于D，E，交于点F，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于点G，由的重心点P，得到，，证明得，得到 ，即可求得，由平行可得四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】连接并延长交于点G， ∵的重心点P， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，且， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解题的关键是由三角形的重心得到相关线段长度的比值． 【变式1-2】（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 【答案】C 【分析】连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积． 【详解】解：如图所示，连接，   ，点是的重心，点是边的中点， 点在一条直线上，且，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【变式1-3】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，是的重心，且，，，求中边上的高．    【答案】 【分析】延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，根据勾股定理的逆定理证明，继而求得的面积，最后根据的面积求得边上的高即可． 【详解】解：延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，如图，    是的重心， ，，，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设中边上的高为， 则， ． 故中边上的高为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 考点二：相似三角形的判定与性质综合 例2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 【变式2-1】（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 【变式2-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据矩形性质及折叠性质得点在同一条直线上，证四边形为菱形得， 则， 由此得，进而可得的度数； （2）设， 则， 则， ， 设，， 证得， 则， 将代入， 得， 则， 由此可得 的值. 【详解】（1）∵四边形为矩形， 点是对角线的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质得： ，，， ∴点在同一条直线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为： . （2）由（1）可知： 四边形为菱形， ，设， 则， ∴在中， ， ∴ ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ 同理可得， ∴C， 即，， ∴， ∵，， ∴， 整理得： ， ∴， ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键. 【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，等量代换得出，结合平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）如图，连接， ∵是的中点， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ∵是的中点， ， ， ． 【变式2-4】（2024·安徽合肥·三模）如图1，矩形ABCD中，． 【数学活动】 将矩形纸片进行以下操作： 第一步：将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，再将矩形纸片沿对角线对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕与交于点G； 第二步：将绕点逆时针旋转得到，点F，的对应点分别为点H，K，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数是关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （2）①如图2，当直线时，求的长； ②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】（1）；①；②；（3） 【分析】（1）证是的中位线，连接，由旋转知，，再证，即可得出结论； （2）①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，则，设，在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； ②过作于，交于，则四边形是矩形，得，再由三角形面积求出，然后证，得，即可得出结论； （3）连接，则，当、、三点共线，且点在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为2，当、、三点共线，且点在延长线上时，，此时最大，求得最值为8，即可求解． 【详解】解：（1），证明如下： 由折叠和矩形性质得， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴． 如图，连接， 由旋转的性质得， ∴， ∴； （2）①当直线时， 如图，过作于，交于， 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，如图， 由旋转的性质得， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得：． ． （3）如图，连接， 则， 当、、三点共线，且点在线段上时，， 此时的值最小，最小， ， ， ， 最小值， 当、、三点共线，且点在延长线上时，， 此时，最大， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 【变式2-5】（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)（ⅰ）见详解，（ⅱ） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 【变式2-6】（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 【答案】(1)（）；（）证明见解析； (2)． 【分析】（）（）由折叠可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，即可得，设，则，由勾股定理得，求出即可求解；（）如图，过点作于，证明可得，，设，，则，，证明可得，即得，得到，再利用三角形面积可得，得到，得到，得到，即可求证； （）如图，过点作，过点作于，交于点，可得，证明得到，，又由折叠可得，，，即可得到四边形是矩形，得到，，即得，，再由可得，进而得到， 由勾股定理得到，即得，即可求证； 本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：（）由折叠可得，，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 考点三：利用相似三角形的性质求解 例3．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【详解】由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 【变式3-1】（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故选：B． 【变式3-2】（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知， ，则与面积的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键． 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】， ， 与面积之比为 故选：A． 【变式3-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 【答案】 【分析】根据等面积法得出即可求解；延长交于点，过点作，即可得出，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，过点作， ∵平分，则到的距离相等， 设到的距离为，到的距离为， ∴， ∴； 故答案为：． ∵平分， ∴，， 又∵ ∴ ∴， ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得 设，则，，则 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴的周长是 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-4】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间（）． (1)用含的代数式表示：线段_______；_______． (2)当为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）根据题意即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出方程求解即可； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，运用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 又∵， ∴， ∴为时，四边形面积为； （3）解：当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； ∴当与相似时，或． 考点四：证明三角形的对应线段成比例 例4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【变式4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 【变式4-3】（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 【变式4-4】（2023·山东青岛·二模）如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．    (1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______； (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度； ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/cm 120 ______ ______ ______ … ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)； (2)①105，90，75；②最多可以摆放40瓶葡萄酒. 【分析】（1）过A点作于D，交于E，设正方形的边长为x，根据 即可求出x的长，即正方形的边长. （2）①由等腰三角形的性质可得cm，由勾股定理可求得cm.设第1层、第2层、第3层的隔板长度分别为、、，由阅读理解的结论可分别列方程求解. ②设第n层隔板的长度为，列出比例式，求出与n的关系式，则可求出最多可摆多少层，每层隔板的长度及每层摆多少瓶，最后求出一共可摆多少瓶即可. 【详解】（1）   如图，作于D，交于E， 由阅读理解的结论得， 设正方形的边长为x，则 ， 解得. 故答案为： （2）   如图，作于D，           ①设第1层，第2层，第3层隔板的长度的分别为，则 ，解得. ，解得. ，解得 故答案为：105，90，75. ②第n层隔板的长度的分别为，则 ， 得， 因此得， ∴最多可摆7层， 第1层可摆（瓶）， 第2层可摆（瓶）， 第3层可摆（瓶）， 第4层可摆（瓶），     第5层可摆（瓶）， 第6层可摆（瓶）， 第7层可摆（瓶），     共（瓶）， ∴该展台最多可摆40瓶葡萄酒. 【点睛】本题主要考查了“相似三角形对应高的比等于相似比”，根据此比例式找出y与x之间的关系式是解题的关键. 【变式4-5】（22-23九年级下·江苏盐城·期中） (1)【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图，在矩形的边和上分别取点E、F，且，连接、交于点O，将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，试说明：点Q是边的三等分点． (2)【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图，已知线段，点E是的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形，使得．（不写作法参保留作图痕迹） (3)【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角、如图，点C是上一点，用尺规作出，后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与、交干点M、N，当与满足某种数量关系时，即可得到，试猜想与的数量关系并证明． (4)【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形，若，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) (4) 【分析】（1）在矩形中，，可得，由折叠可得，进而，可得，所以，得证点Q是边的三等分点； （2）过点E作BC的垂线，在该垂线上任意取一点A，过点A作AE的垂线，在该垂线上取点D，使得，连接，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形为所求平行四边形； （3）取的中点H，连接，，由等边对等角与三角形的外角可得，由与可得，故，所以； （4）根据在直角三角形中，最长的边是斜边，可得，又，得到，即． 【详解】（1）在矩形中， ∵将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上 ， 在矩形中， 四边形是矩形 ，即Q是边的三等分点． （2）如图，四边形为所求． （3）取的中点H，连接 ， ∵点H是的中点 ， （4）点E是的中点 在中，， 若，则 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，尺规作图．解题的关键是读懂题意，熟练运用各个知识． 考点五：利用相似求坐标 例5．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【变式5-1】（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据直线恒经过点，分类讨论，结合一次函数的图象，构建直角三角形，等腰直角三角形，结合勾股定理和相似三角形的判定和性质进行求值即可求解． 【详解】解：∵直线，即恒过点， 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作轴交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， 即，， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 当时，过点作轴交于点，点作轴交于点，点作交于点，过点作交于点，如图：    ∵，故，， 在中，， 又∵，， ∴， ∴，即， ， 解得，， ∵两直线的夹角为，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 故， ∴， 在中，， 即， ∴， ∵点到轴的距离为1，故点到轴的距离为， 点到轴的距离为2，故点到轴的距离为， 即点的纵坐标为，点的横坐标为， 故； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式5-2】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【答案】 平行 【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可． （2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可． 【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接 绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上 ，， ， 那么在和中 (SAS) ， 那么在和中 (SAS) 三点共线 （2）如图所示，过作于M，过作于N ， 设AB所在直线解析式为 带入， ，解得 设 在中， ，解得 故答案为：平行； 【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解． 【变式5-3】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点点求得k确定反比例函数解析式，然后再根据、利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）设点，则点，由点可得、，再根据相似三角形的性质列方程求得t即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点 ∴且 将，带入直线 得：， 故一次函数为：． （2）解：设点，则点，点 则， 当时 即：，解得：，（舍去） ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合、相似三角形的性质等知识点，根据相似三角形的性质列出参数方程成为解答本题的关键． 考点六：在网格中画与已知三角形相似的三角形 例6．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作和，使，． ，，再连结即得； （2）作和，使， ，，再连结即得． 本题主要考查了画格点三角形，解决问题的关键是熟练掌握平移性质，相似三角形性质． 【详解】（1）由平移知，，． 作，，使，， 再连结即可． 如图①，即为所求． （2）当相似比为时，， ， 作，，使， 再连结即可． 如图②，即为所求． 【变式6-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图. (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—相似变换，勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用勾股定理以及勾股定理逆定理判断出，，从而即可得出； （2）构造相似比为的相似三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ， ，，， ， ，， ，，，， ， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求， ， 由图可得：， ， ， ，， ． 【变式6-2】（2023·安徽安庆·二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)画出一个格点，使（相似比不为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先作出点A、B、C关于直线的对称点，再一次连接即可； （2）连接点C和中点F，连接，连接，即为，点E和点M重合． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求．    【点睛】本题主要考查了轴对称的作图，以及作相似三角形，解题的关键是熟练掌握轴对称的作图方法，以及相似三角形对应边成比例，对应角相等． 【变式6-3】（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出； (2)请画一个格点，使，且相似比为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【点睛】此题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 【变式6-4】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1； (2)在图2中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可 （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示，,，, ∴，， ∴ 【点睛】本题考查作图与相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 考点七：相似三角形--动点问题 例7．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【答案】D 【分析】设，则，分和两种情况讨论，结合相似三角形的性质列式求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， 设，则， 分两种情况讨论： ①若， 则有，即， 整理可得， 解得， ∴的长为3或12； ②若， 则有，即， 解得， ∴的长为． 综上所述，的长为3或12或． 故选：D． 【变式7-1】（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶ （1）经过 s ，的面积是面积的； （2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2 或 【分析】本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法，进行分类讨论是解题的关键． （1）首先计算出的面积，设t秒的面积是面积的，表示出、，然后根据三角形面积公式计算即可； （2）根据相似三角形的性质设出未知数，即经过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出方程求解． 【详解】在中，，，， 面积为， 的面积是面积的， 的面积为， 设t秒的面积是面积的， 则，， 在中， ， 解得， 故答案为：2； （2）设经过x秒后，两三角形相似，设t秒的面积是面积的， 则，， ∵， 当或时，两三角形相似． （1）当时， ， （2）当时， ； 所以，经过或秒后，两三角形相似． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．    【答案】经过秒或秒钟，与相似． 【分析】本题考查相似三角形的性质，设经过秒钟时，与相似，得到，，，讨论对应边的不同，分别利用相似三角形对应边成比例，建立方程求解即可． 【详解】解：设经过秒钟，与相似． 由题意得，， ，， ，， 与相似， 当与对应时，有，即，解得， 当与对应时，有，即，解得， 综上所述，经过秒或秒钟，与相似． 【变式7-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 【变式7-4】（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    【答案】经过或后，与相似． 【分析】分两种情况讨论，可得或，求得t的值． 【详解】解：①设经过后，， 根据已知条件，可得，， ∵， ∴， ∴， 解得； ②设经过后，， ∵， ∴， ∴， 解得． 故经过或后，与相似． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，利用分类思想解决问题是本题的关键. 考点八：相似三角形的综合 例8．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 【变式8-1】（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键． 首先求出是三角形的中位线，得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， 为中点， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理， 故答案为∶ 【变式8-2】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线上．若，则的长为 ，的长为 cm． 【答案】 / 【分析】由折叠的性质可知，，，则，因为四边形是菱形，则，，则推出为等边三角形，则，，推出，又因为，则，则，因为，推出，则，设，，，则，求出；又因为，即，解得，又因为，即，则；推出． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 即； 又∵， 即， 解得， ∵， 即， ∴； ∴）， 故答案为：，． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识． 【变式8-3】（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 【答案】(1)， (2)或 (3)①或；②． 【分析】（1）将、和依次代入中，即可求解； （2）分两种情况： ①当P点比A点高时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得，由可得，则可得．再由可得，则，进而可得．作，，由角平分线的性质可得，由此可得P点的坐标； ②当P点比A点低时，过O点作于E点，于F点．由角平分线的性质可得．由可得，则可得，进而可得，．设，由列方程求出m的值，即可得 P点的坐标． （3）①先求出位似比k的值，进而可求得点的坐标．设抛物线的表达式为，将代入求得n的值，即可得抛物线的表达式． ②由可得．再证，则可得，由此得M点在y轴上，因此M点与A点重合，即可得M点的坐标． 【详解】（1）把代入中，得， ， 把代入中，得， 解得， ． 把代入中，得， 解得，， ∵和， ∴． （2）①如图，当P点比A点高时， 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， ， ， ． ，， ， ， ， 即， ∴平分． 过P点作，， 则， ， ， ， ． ②如图，当P点比A点低时 过O点作于E点，于F点， ∵ 平分， ， 又， ， ． ， ， 即． 四边形中，， ． 设，连接， 由， 得， 整理得， 解得，（舍去）， ， 综上，p点坐标为：或． （3）①，，， ，，， ，， ，， ∴位似比， ， ， ． 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为：， 化成一般式为：， ∴抛物线的表达式为：或． ②如图， ， ，且， ， 又， ， ， ， 又， ， ∴M点和都在y轴上， 又∵M点在抛物线上， ∴M点与A点重合， ． 【点睛】本题是一道二次函数与几何的综合题目，主要考查了角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、位似三角形的性质、二次函数的图像和性质等．能够综合运用以上知识，掌握好数形结合法是解题的关键． 【变式8-4】（2023·重庆开州·模拟预测）如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 【答案】(1)， (2)画图见解析，当时，随的增大而减小 (3)或 【分析】（）根据已知条件证明，则对应变成比例，的函数解析式；设将 和 代入即可求得的解析式； （）按画图象的步骤方法画图即可由函数图象写出一条的性质即可； （）函数图象可得自变量的取值范围，由（）所画两函数图象交点横坐标，观察图象的位置关系，即可确定大小； 本题主要考查了正比例函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设， 将和代入可得：，解得： 则， 综上所述：，； （2）经过的点有：，，，，经过的点有：，， 描点、连线，画出函数，图象如下： 如图， 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）由（）中图象可知，，图象交点为，， 当或时，图象在图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围为或． 【变式8-5】（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【答案】(1)a的值为，b的值为2，见解析 (2)或，见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； （4）当点在轴上方时，证明，求出点，，即可求解；当点在轴下方时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， ∴的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； （4）解：设交于点， 当点在轴上方时， 过点、分别作的垂线交的延长线于点、，则， ， 则， ， ， 则， 则， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：，代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当点在轴下方时， 同理可得：点， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上， 或． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 【例1】如图，在中，点D， E分别在边 ， 上，且， 若 ， 的面积是 2，则的面积是(   ) A．3 B．4 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵的面积是 2， ∴， 解得， 故选D． 易错攻克 相似比是有顺序的，，在前，在后，若写成在前，在后,则相似比改变.做题是，一定要将三角形和对应线段顺序对应清楚，避免出错。 【例2】如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比． 根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：两个相似三角形的周长比为， 两个相似三角形的相似比为， 这两个相似三角形的面积比为． 故选：． 易错攻克 ①相似三角形面积的比等于相似比的平方; ②对应边长比等于相似比，由面积比求相似比时,要开方求算术平方根, 1．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（    ） A．4或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．如图连接，，作于，轴于，．根据，得到，根据已知条件得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图连接，，作于，轴于，则． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（2024·安徽亳州·三模）在矩形中，，，是边上的点，将沿着对折，当点落在矩形对角线上时，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分两种情况，当点的对应点，落在矩形的对角线上时，当点的对应点，落在矩形的对角线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 当点的对应点，落在矩形的对角线上时，如图所示： 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可知： ， 即， 解得：； 当点的对应点，落在矩形的对角线上时，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，的长为或． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取的中点，连接，证明，得出，从而得出，连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接， ， ∵四边形为正方形，边长为8，为中点， ∴，，， ∵为上的动点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为， ∵， ∴最小值为， 故选：D． 4．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，，是边AC上的中线，，垂足为点，交于点，则（    ）    A．12 B．8 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，解题关键是作平行线构造比例线段转化线段比． 由等腰三角形三线合一的性质可得，由勾股定理求出，过点作，交延长线于，得，，从而求得，，进而求解． 【详解】解：过点作，交延长线于，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵是边上的中线，即， ∴，即， ∴，即 ∴， 故选B． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，逐一判断，即可解答，熟知相似三角形的判定条件和性质是解题的关键． 【详解】解：A、如图1， ， 而， ， ， ，故A正确； B、如图2， ， 且，此时与一定不相似，故B正确； C、， ， 当E为中点时，， ， ，此时，故C正确； D、构造如图3的矩形， 此时两两相似，但明显不是的中点，故D错误， 故选：D． 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线l，直线l与反比例函数相交于点C，作轴于点D，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移，相似三角形的判定以及性质．设，则，由平移的性质可设直线l为，且过点，则可得出直线l为，再求出反比例函数解析式，求出反比例函数与直线l的交点C的坐标，进而即可求出点D的坐标，再证明，根据相似三角形的性质可得出即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵平移直线，使其经过点B，得到直线l， ∴设直线l为，且过点， ∴，则， ∴直线l为， ∵点在直线上， ∴， ∴直线 联立， 解得：， ∴点C的横坐标为：， 则， ∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024·安徽合肥·三模）如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】设交于，交于点，设，则，，证明，，相似三角形性质求出，最后运用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设交于，交于点，设，则，， ，点A在双曲线上， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学会利用参数解决问题是解题的关键． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1） ； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ． 【答案】 9 8 【分析】（1）设点 则 ，根据平行四边形面积列出 ，解得： 即可； （2）根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出 ，再根据三角形、平行四边形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：(1)设点 则 ， 的面积为8. 解得： ， 故答案为：9； (2)如图，过点 作 轴，垂足为 过 点 作 轴，垂足为， 交 于点 ， 由(1)可知两个反比例函数解析式为： 和 ， . 故答案为：8. 【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形、平行四边形的面积的计算方法是正确解答的关键. 9．（2024·安徽合肥·三模）如图，直线与双曲线，相交于点，，． （1）如果，则值为 ； （2）作交双曲线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】（1）过作轴交于，过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由反比例函数中“”的几何意义得，，即可求解； （2）将直线绕点顺时针旋转，点的对应点，可求，由相似三角形的性质得，由此可求，由旋转得，可求直线解析式为，直线的解析式为，联立可求解，由勾股定理可求和的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过作轴交于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）如图，将直线绕点顺时针旋转，点的对应点， ， ， ， 联立：， 解得：或（舍去）， ， ，， 由（1）得： ， ， ，， ， ， ， 解得：， ， 设直线解析式为，则有 ， 解得：， 直线解析式为， 可设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立得：， 解得：或， ， ， ， ， 故答案：； 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，待定系数法求反比例及一次函数解析式，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；理解的几何意义，掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线是解题的关键． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)线段的最大值为 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似等，理解当最大时，最大，是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）当D点为线段的中点时，求出点坐标，再利用求得直线的解析式，即可解答； （3）过点作轴的平行线，交于点，证明为直角三角形，则可得，则最大时，最大，求得最大值，再利用相似比求得最大值即可。 【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点点，， 设二次函数的表达式为， 将点代入，得， 解得：． 二次函数的表达式为； （2）解：当D点为线段的中点时，可得 直线的一次函数解析式的值为， ， 直线的一次函数解析式的值为， 设直线的一次函数解析式为， 把代入，可得，解得， 直线的一次函数解析式为， 列方程， 解得， 点P是第一象限内抛物线上的一动点， （3）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， ， ， 为直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 当最大时，最大， 设， 设直线的解析式为， 把代入，可得， 直线的解析式为， ， ， 当时，取最大值为2， 此时， 故线段的最大值为．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 相似三角形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、掌握相似三角形性质定理； 2、经历相似三角形性质定理的探索过程，体会类比思想，发展合情推理能力． 重点：相似三角形的性质定理及其应用. 难点：相似三角形的性质定理的发现与证明. 知识点一 相似三角形的性质 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 【例1】已知和相似，对应边与之比为，如果的周长为24，那么的周长是 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得，又因为的周长是24，再建立方程即可． 【详解】解：∵和相似，对应边与之比为， ∴， ∵的周长是24， ∴ ∴的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 【变式1-1】的三边之比为，，若中最长的边为14厘米，则最短的边长为 厘米． 【变式1-2】如图，正方形内接于，，若的面积是，则的长是 ． 解题技巧 相似三角形的对应角、对应边的找法与全等三角形的对应角、对应边的寻找规律一样.一般地,公共角、对顶角等是对应角,最大(小)的角对应最大(小)的角,最长(短)的边对应最长(短)的边. 知识点二 相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 【例2】学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 答：旗杆的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式2-1】学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． (1)求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动_____米. 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：重心的有关性质 例1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）下列说法中正确的是（   ） ①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【变式1-1】（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，点P是的重心，过点P作交，于D，E，交于点F，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．12 B．14 C．18 D．24 【变式1-3】（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，是的重心，且，，，求中边上的高．    考点二：相似三角形的判定与性质综合 例2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·安徽·中考真题）如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边上，且，则 （用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为 ． 【变式2-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． （1）的度数为 度； （2）的值为 ． 【变式2-3】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式2-4】（2024·安徽合肥·三模）如图1，矩形ABCD中，． 【数学活动】 将矩形纸片进行以下操作： 第一步：将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，再将矩形纸片沿对角线对折，得到折痕AC，再次展开铺平，两折痕与交于点G； 第二步：将绕点逆时针旋转得到，点F，的对应点分别为点H，K，直线与边所在直线交于点（点不与点重合），与边所在直线交于点． 【数学思考】 （1）绕点旋转至图1的位置时，试判断与的数是关系，并证明你的结论． 【数学探究】 （2）①如图2，当直线时，求的长； ②在旋转过程中，当点K，H，C三点共线时，求的长； 【问题延伸】 （3）在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【变式2-5】（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【变式2-6】（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 考点三：利用相似三角形的性质求解 例3．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知， ，则与面积的比为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，在中，，平分，，垂足为点E，若，，则（1）是 ；（2）的周长是 ． 【变式3-4】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间（）． (1)用含的代数式表示：线段_______；_______． (2)当为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出的值． 考点四：证明三角形的对应线段成比例 例4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【变式4-3】（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【变式4-4】（2023·山东青岛·二模）如图1，是的高，点E，F分别在边和上，且．由“相似三角形对应高的比等于对应边的比”可以得到以下结论：．    (1)如图2，在中，，边上的高为8，在内放一个正方形，使其一边在上，点M，N分别在，上，则正方形的边长＝______； (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为120cm的等腰三角形展台．现需将展台用平行于底边的隔板，每间隔10cm分隔出一层，再将每一层尽可能多的分隔成若干个开口为正方形的长方体格子，要求每个格子内放置一瓶葡萄酒，平面设计图如图3所示，将底边的长度看作是第0层隔板的长度； ①在分隔的过程中发现，当隔板厚度忽略不计时，每层平行于底边的隔板长度（单位：cm）随着层数（单位：层）的变化而变化．请完成下表： 层数/层 0 1 2 3 … 隔板长度/cm 120 ______ ______ ______ … ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 【变式4-5】（22-23九年级下·江苏盐城·期中） (1)【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图，在矩形的边和上分别取点E、F，且，连接、交于点O，将边沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在和上，试说明：点Q是边的三等分点． (2)【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图，已知线段，点E是的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形，使得．（不写作法参保留作图痕迹） (3)【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角、如图，点C是上一点，用尺规作出，后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与、交干点M、N，当与满足某种数量关系时，即可得到，试猜想与的数量关系并证明． (4)【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形，若，请直接写出k的取值范围． 考点五：利用相似求坐标 例5．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【变式5-1】（22-23八年级下·湖北武汉·期末）已知直线：与直线：相交于点，且两直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【变式5-2】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则 （1）与的位置关系是 ； （2）求点的坐标是 ． 【变式5-3】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和点，与y轴，x轴分别交于C，D两点， (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为反比例函数（x>0）上一点（不与点A，B重合），过点E作轴，垂足为点F，当时，求点E坐标． 考点六：在网格中画与已知三角形相似的三角形 例6．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【变式6-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图. (1)在图1中作一个，使与相似（相似比不为1，只需作一个即可）； (2)在图2中的线段上找一个点，使. 【变式6-2】（2023·安徽安庆·二模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点及线段的端点均在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)画出一个格点，使（相似比不为1）． 【变式6-3】（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出； (2)请画一个格点，使，且相似比为2． 【变式6-4】（22-23九年级上·安徽合肥·期中）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1； (2)在图2中画一个格点，使，且相似比为． 考点七：相似三角形--动点问题 例7．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【变式7-1】（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，点Q从B出发，沿方向以的速度移动，点P从C出发，沿方向以的速度移动． 若Q、P分别同时从B、C出发，试探究∶ （1）经过 s ，的面积是面积的； （2）经过 s，以点C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向B点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过几秒钟，与相似．    【变式7-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【变式7-4】（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从A、同时出发，那么经几秒后，点、、构成的三角形与相似    考点八：相似三角形的综合 例8．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-2】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿折叠，使点的对应点落在对角线上．若，则的长为 ，的长为 cm． 【变式8-3】（2024·江苏镇江·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点、和． (1)用含 a的代数式表示b与 t； (2)若直线 与此抛物线交于点 P， 平分，求点 P 坐标； (3)若以 O 为位似中心，将 放大后得，其中 ，，抛物线过、、． ①直接用表示抛物线的表达式； ②抛物线与x轴的交点为，过点O的直线交x轴下方的抛物线，分别为、，若，直接写出点的坐标 ． 【变式8-4】（2023·重庆开州·模拟预测）如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 【变式8-5】（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【例1】如图，在中，点D， E分别在边 ， 上，且， 若 ， 的面积是 2，则的面积是(   ) A．3 B．4 C．8 D． 易错攻克 相似比是有顺序的，，在前，在后，若写成在前，在后,则相似比改变.做题是，一定要将三角形和对应线段顺序对应清楚，避免出错。 【例2】如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（　　） A． B． C． D． 易错攻克 ①相似三角形面积的比等于相似比的平方; ②对应边长比等于相似比，由面积比求相似比时,要开方求算术平方根, 1．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（    ） A．4或 B． C． D． 2．（2024·安徽亳州·三模）在矩形中，，，是边上的点，将沿着对折，当点落在矩形对角线上时，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，，，是边AC上的中线，，垂足为点，交于点，则（    ）    A．12 B．8 C．7 D．4 5．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线l，直线l与反比例函数相交于点C，作轴于点D，则的值为 ． 7．（2024·安徽合肥·三模）如图，矩形中，点在双曲线上，点，在轴上，延长至点，使，连接交轴于点，连接，则的面积为 ． 8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OABC的两个顶点A，B分别在反比例函数，的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知OABC的面积为8． （1） ； （2）延长OA交反比例函数的图象于点D，连接BD，则△ABD的面积= ． 9．（2024·安徽合肥·三模）如图，直线与双曲线，相交于点，，． （1）如果，则值为 ； （2）作交双曲线于点，若，则 ． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线，交于点D．    (1)求二次函数的表达式； (2)当D点为线段的中点时，求点P的坐标； (3)求线段的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$