第12讲 直线与方程章末复习与测试（三大题型归纳+测试卷）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第12讲 直线与方程章末复习与测试 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线方程的求法及应用 2 题型02 两直线的平行与垂直 5 题型03 两直线的交点与距离问题 8 单元测试 10 一、直线方程的求法及应用 1．直线方程的几种形式的转化 2．通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养． 二、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 三、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养． 题型01直线方程的求法及应用 【解题策略】 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要． 【典例分析】 【例1】在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)． (1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程； (2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程． 【变式演练】 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 【变式2】（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 【变式3】已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程． 题型02 两直线的平行与垂直 【解题策略】 　　一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【典例分析】 【例2】　(1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________. (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线：与直线：垂直，则实数的值为 ． 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）求与直线平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 题型03 两直线的交点与距离问题 【解题策略】 【典例分析】 【例3】　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【变式2】（23-24高二上·上海·阶段练习）点到直线的距离是 ． 【变式3】（23-24高二上·四川成都·期末）已知直线，． (1)若直线，求m的值； (2)若直线，求l1与l2的距离． 【单元测试】 一、单选题 1．（22-23高二上·安徽阜阳·期末）过点和点的直线在上的截距为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·阶段练习）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A．5 B． C．4 D． 4．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．（23-24高二上·广西南宁·开学考试）经过点，且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·四川眉山·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·山西晋中·期中）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（ ） A．-2 B．0 C．1 D．3 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 11．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 三、填空题 12．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直， ． 13．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 14．（23-24高二上·江苏·阶段练习）过点，斜率是直线的斜率的的直线方程为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 16．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 17．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 18．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 19．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 直线与方程章末复习与测试 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线方程的求法及应用 2 题型02 两直线的平行与垂直 5 题型03 两直线的交点与距离问题 8 单元测试 10 一、直线方程的求法及应用 1．直线方程的几种形式的转化 2．通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养． 二、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 三、两直线的交点与距离问题 1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养． 题型01直线方程的求法及应用 【解题策略】 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要． 【典例分析】 【例1】在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)． (1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程； (2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程． 解　(1)∵A(0,1)，B(3,2)， ∴kAB＝＝， 由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3， ∴AB边上的高所在直线方程为 y－0＝－3(x－1)， 化为一般式可得3x＋y－3＝0. (2)∵M(1,1)为AC的中点，A(0,1)， ∴C(2,1)， ∴kBC＝＝1， ∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2， 化为一般式可得x－y－1＝0. 【变式演练】 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）（1）若直线l经过点，则直线l的方程为 ； （2）若点在过点的直线上，则 . 【答案】 【分析】（1）由两点横坐标相等，即可直接确定直线方程； （2）利用斜率两点式列方程求参数. 【详解】（1）由点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为. （2）由斜率两点式，即，可得. 故答案为：； 【变式2】（23-24高二上·新疆克孜勒苏·期末）（1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程． （2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由倾斜角求得直线斜率，代入直线的点斜式方程即得； （2）求出线段的中点，借助于点，利用直线的两点式方程即得. 【详解】（1）由倾斜角为可得直线斜率为，由于经过点， 代入点斜式方程得，即：； （2）设边的中点为，根据中点坐标公式得， 从而可得中线所在直线方程为，即：． 【变式3】已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程． 解　(1)由题意知AC边上的高所在直线斜率为， 故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0. 由 得故点C的坐标为. (2)设B(m，n)，则M. 把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0， 可得 解得故点B. 再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0. 题型02 两直线的平行与垂直 【解题策略】 　　一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【典例分析】 【例2】　(1)已知A，B，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，若直线AB与直线CD平行，则a＝________. 答案　3 解析　kAB＝＝－， 当2－2a＝－a，即a＝2时， kAB＝－，CD的斜率不存在． ∴AB和CD不平行； 当a≠2时，kCD＝＝. 由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0. ∴a＝3或a＝－1. 当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，kCD＝－1， ∴直线AB与直线CD平行． 当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝， ∴AB与CD重合． ∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行． (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 答案　垂直 解析　将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0， 得a＝－，则＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据直线平行的性质直接得解. 【详解】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）若直线：与直线：垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于两直线垂直， 所以， 解得或. 故答案为：或 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）求与直线平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，分别令、，求出三角形的面积等于可得答案. 【详解】∵直线的斜率为， ∴设所求直线方程为， 令，得；令，得， 由题意，，，∴，∴， 故所求直线方程为，即 题型03 两直线的交点与距离问题 【解题策略】 【典例分析】 【例3】　(1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为(　　) A．－1 B．5 C．－1或5 D．－3或3 答案　C 解析　∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴＝，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. (2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 解　设l1与l的交点为A(a,8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上， 将点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·上海·阶段练习）点到直线的距离是 ． 【答案】/2.4 【分析】 利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】由题意点到直线的距离是. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·四川成都·期末）已知直线，． (1)若直线，求m的值； (2)若直线，求l1与l2的距离． 【答案】(1)6； (2) 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列方程即得； （2）利用两直线平行的充要条件列方程求出的值，再运用两平行线之间距离公式求解. 【详解】（1），， ，， m的值为6； （2）， ，解得：或，                     验证，，两直线重合，舍去， 时，，， 故与的距离为 【单元测试】 一、单选题 1．（22-23高二上·安徽阜阳·期末）过点和点的直线在上的截距为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出直线AB的方程，解出直线在上的截距 【详解】过点和点的直线方程为即， 故直线在上的截距为1， 故选：A 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B 3．（23-24高二上·河北·阶段练习）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先求出直线恒过点，再求出，即可求出到直线的距离的最大值. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B． 4．（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到，解方程得到，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围. 【详解】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 5．（23-24高二下·江西宜春·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 6．（23-24高二上·广西南宁·开学考试）经过点，且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】平行于直线的直线方程设为， 又所求直线过点，则，解之得， 所以所求直线为. 故选：A 7．（23-24高二下·四川眉山·开学考试）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直线倾斜角和斜率的关键即可得解. 【详解】 由题意直线，可得斜率为， 设直线的倾斜角为，其中， 可得，所以，即直线的倾斜角为. 故选：A. 8．（22-23高二上·山西晋中·期中）直线、是分别经过、两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由平面几何知识判定和这两条直线都垂直时，、间的距离最大，再利用两点坐标求的斜率，进而求出所求直线的斜率和方程. 【详解】由题意可得，、间的距离最大时，和这两条直线都垂直． 由于的斜率为，故直线的斜率为， 故它的方程是，即. 故选:A． 二、多选题 9．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（ ） A．-2 B．0 C．1 D．3 【答案】CD 【分析】变形后求出直线过定点，且斜率为，结合，故只需与线段有交点，结合，，求出，得到，得到答案. 【详解】变形为， 故直线过定点，且斜率为， 又， 要想直线上存在点P满足， 即与线段有交点， 因为，， 故，解得， 故CD满足要求，AB错误. 故选：CD 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解. 【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 11．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与直线平行，则 B．直线倾斜角的范围为 C．当时，直线与直线垂直 D．直线过定点 【答案】BC 【分析】选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得. 【详解】选项A，存在斜率， 直线方程可化为：， 直线也存在斜率，方程可化为， 由，则两直线平行的充要条件为， 即解得或，故A错误； 选项B，由直线的斜率， 则倾斜角的范围为，故B正确； 选项C，当时，直线，斜率为， 又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确； 选项D，，令，得， 故直线过定点，不过，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直， ． 【答案】 【分析】由已知结合直线垂直条件可建立关于a的方程，从而可求得结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以. 故答案为： 13．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 14．（23-24高二上·江苏·阶段练习）过点，斜率是直线的斜率的的直线方程为 . 【答案】 【分析】代入点斜式直线方程形式求解即可. 【详解】因为所求直线的斜率是直线的斜率的，所以所求直线的斜率为， 又直线过点，所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. （2）由两条直线平行求出，再利用平行线间距离公式计算即可. 【详解】（1）直线，即与直线垂直， 则，解得， 所以实数的值为2. （2）由这两条直线平行，得，解得， 则直线为， 所以这两条平行线间的距离. 16．（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 17．（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)重合 (3)平行 【分析】分别联立方程组的，解方程组即可判断直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，且交点坐标为． （2）联立直线与的方程得方程组， 因为整理得，即方程②可以化为方程①， 所以方程组有无数组解， 所以与重合． （3）联立直线与的方程得方程组 由得（不成立），可知该方程组无解． 所以与无公共点，即． 18．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求： (1)所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）利用垂直关系结合（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 所以所在直线的方程为，即. （2）由（1）知，直线的斜率为，而， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 19．（2024高二上·全国·专题练习）已知ABC的三个顶点坐标分别为. (1)求BC边上的中线AD所在直线方程； (2)求BC边上的高AE所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的两点式即可求解； （2）利用两点的斜率公式及直线垂直的条件，结合直线的点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，作出图形如图所示 因为，所以BC的中点为， 因为在BC边上的中线上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的中线所在直线的方程为. （2）由题意可知，作出图形如图所示 因为， 所以直线BC的斜率为， 因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直， 所以BC边上的高所在直线的斜率为， 因为在BC边上的高上， 所以所求直线方程为，即. 即BC边上的高所在直线的方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$