第06讲 充要条件（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第06讲 充要条件 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 充分条件、必要条件的判断 2 题型02 充分条件、必要条件、充要条件的应用 4 题型03 充要条件的探求与证明 6 易错归纳 8 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 13 创新拓展 17 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p________q(读作p推出q) p________q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的________条件 q是p的________条件 p不是q的________条件 q不是p的________条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 二、充要条件 1．一般地，如果________，且________，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作________，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件 题型01充分条件、必要条件的判断 【解题策略】 定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 【典例分析】 【例1】指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·西藏林芝·期中）“”是“”的 条件. 【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 题型02 充分条件、必要条件、充要条件的应用 【解题策略】 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. 【典例分析】 【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 【变式演练】 【变式1】设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是(　　) A．m∈ B．m∈ C．m∈ D．m∈ 【变式2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 【变式3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 题型03 充要条件的探求与证明 【解题策略】 充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 【典例分析】 【例3】　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 【变式演练】 【变式1】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【变式2】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 【变式3】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 易错点1　条件判定不全面而致误 1．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足＋＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点2　不能正确区分命题的条件与结论而致误 2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【夯实基础】 一、单选题 1．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 4．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“或”是“”的 条件. 5．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知是的必要条件，s是的充分条件，是的充分条件，则 是的 条件．（用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”回答） 6．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）若集合，集合，则“”的充要条件是 四、解答题 7.　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 8.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 9.已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． 10．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 4．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 5．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} 三、填空题 6．（23-24高一上·广东江门·期中）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 7．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 8．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 四、解答题 9．指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 10．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}． (1)当m＝1时，求A∩(∁RB)； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围． 11．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【创新拓展】 1．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________． 2．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 3．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【下节预览】 1．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 充要条件 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 充分条件、必要条件的判断 2 题型02 充分条件、必要条件、充要条件的应用 4 题型03 充要条件的探求与证明 6 易错归纳 8 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 13 创新拓展 17 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 二、充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件 题型01充分条件、必要条件的判断 【解题策略】 定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 【典例分析】 【例1】指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等． (3)p：a＞b，q：ac＞bc. [详解]　(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·西藏林芝·期中）“”是“”的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】利用充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，即充分性成立； 当时，或，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【分析】由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由题意，，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件 题型02 充分条件、必要条件、充要条件的应用 【解题策略】 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. 【典例分析】 【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． [思路点拨]　→→ 【答案】{m|m≥9}　 因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以或解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}． 【变式演练】 【变式1】设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是(　　) A．m∈ B．m∈ C．m∈ D．m∈ 答案　B 解析　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}， 若m＝0，则B＝∅，BA， 若m＝1，则B＝{2}A， 若m＝－，则B＝{－3}A， ∴BA的一个充分不必要条件是m∈. 【变式2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 【详解】　由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集． 当3m－2>5m＋2，即m<－2时，Q＝∅，满足题意， 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得解得0<m<， 综上，m的取值范围是. 【变式3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【详解】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3.又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 题型03 充要条件的探求与证明 【解题策略】 充要条件的证明策略 1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真. 2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论. 【典例分析】 【例3】　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. [思路点拨]　从“充分性”和“必要性”两个方面来证明． [证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. ②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 【变式演练】 【变式1】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明]　假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【变式2】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根． 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 【变式3】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明　(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． (2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 易错点1　条件判定不全面而致误 1．甲：“实数a，b，c满足2b＝a＋c”，乙：“实数a，b，c满足＋＝2”，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当a＝b＝c＝0时，实数a，b，c满足2b＝a＋c，但此时＋＝2不成立；反过来由＋＝2得a＋c＝2b，实数a，b，c满足2b＝a＋c. 综上所述，“实数a，b，c满足2b＝a＋c”是“实数a，b，c满足＋＝2”的必要不充分条件， 故选A. 易错点2　不能正确区分命题的条件与结论而致误 2.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【解析】充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0， ∴方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2， 则x1x2＝<0， ∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 必要性：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，x2，则由根与系数的关系，得 x1x2＝<0，即ac<0. 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【夯实基础】 一、单选题 1．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，再结合充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由可得或， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 2．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若甲和乙的生肖相同，则甲和乙的生肖不一定都是龙； 若甲和乙的生肖都是龙，则甲和乙的生肖肯定相同， 所以“甲和乙的生肖相同”是“甲和乙的生肖都是龙”的必要不充分条件. 故选：A 3．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合关系考查充分性及必要性即可求解. 【详解】若，则，， 则“”是“”的充分条件； 若，则， 则时，不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件, 故选：A. 二、填空题 4．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“或”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】命题“若或，则”是真命题， 命题“若，则或”是真命题， 所以“或”是“”的充要条件. 故答案为：充要 5．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知是的必要条件，s是的充分条件，是的充分条件，则 是的 条件．（用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”回答） 【答案】充要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可得，即， 所以s是q的充要条件. 故答案为：充要条件. 6．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）若集合，集合，则“”的充要条件是 【答案】 【分析】先由交集运算可得关于的方程，解出；再由代入集合，由交集运算得. 【详解】（1），，又， 故，解得. 即. （2）当时，， 所以，，则. 即， 综上所述，“”的充要条件是. 故答案为： . 四、解答题 7.　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 【详解】　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． ②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． ③方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件． 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． 8.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 【详解】　①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． ②因为p⇒q， 所以q是p的必要条件． ③因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件． 9.已知集合P＝{x|－2<x<1}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的必要条件为Q，求实数m的取值范围． 解　由题意得，P是Q的子集， 则解得－≤m≤0. 10．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 2．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可. 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 4．（23-24高一上·山东威海·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则. 故选：AB 5．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是(　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} 【答案】　C 【详解】A＝{x|－1<x<1}， B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}． 因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件， 所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2. 三、填空题 6．（23-24高一上·广东江门·期中）已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【分析】根据集合关系和充分、必要条件的定义判断. 【详解】因为集合，，所以是的真子集， 所以“”是“”的充分的条件. 故答案为：充分. 7．（23-24高一上·河南周口·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】由于“”是“”的必要不充分条件， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 8．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 【答案】{a|a≤－9} 【解析】∵p是q的必要条件，∴q⇒p， ∴解得a≤－9. 四、解答题 9．指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 【详解】(1)∵x2＝2x＋1⇏x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件． (2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0⇏a2＋b2＝0，∴p是q的充分条件． (3)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0， 而(x－1)(y－2)＝0⇏(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分条件． 10．已知集合A＝{x|－3≤x<4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}． (1)当m＝1时，求A∩(∁RB)； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围． 【详解】(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x≤2}， 所以∁RB＝{x|x<1或x>2}， 所以A∩(∁RB)＝{x|－3≤x<1或2<x<4}． (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，于是得B⊆A， ①当B＝∅时，m＋1<2m－1，解得m>2； ②当B≠∅时，由B⊆A得 解得－1≤m≤2，综上所述，m≥－1. 11．（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要条件但不是充分条件. 【详解】（1）（1）因为集合，， 若，则， 故的一个既充分也必要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要条件但不是充分条件可以是.（答案不唯一）. 【创新拓展】 1．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________． 【答案】　a>3(答案不唯一)　a>－1(答案不唯一) 【详解】因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根， 所以解得a≥2. 故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3； 一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1. 2．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 【详解】(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1， 所以m≥2. 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件. 3．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 【下节预览】 1．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分类讨论和，根据条件列出不等式组求解m的取值范围； （2）将条件转化为，进而求出m的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数m的取值范围为 （2）由题意，所以即， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为 2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$