专题 2-2 基本不等式（1）【8类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题2-2 基本不等式（1） 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】直接利用基本不等式求最值 【题型2】 凑配法求最值 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 【题型7】分离常数型 【题型5】换元法（1）：单换元 【题型6】换元法（2）：双换元 【题型8】二次比一次型 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】直接利用基本不等式求最值 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值 1． 已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 2． 已知，则的最大值为 ． 3． 已知正数，满足，则的最大值为 ． 4． 若，，则的最小值为______． 【巩固练习1】若，，则的最小值为______． 【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________ 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【题型2】 凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 5． 若，则的最小值为 . 6． 已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【巩固练习1】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【巩固练习2】函数（）的最小值为 ． 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 7． （2023·广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 8． 已知且，则的最小值是 ． 9． 已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ． 【巩固练习2】若，且，则的最小值为 ． 【巩固练习3】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 10． 已知，，，则的最小值为 ． 11． 已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【题型7】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 12． 若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 13． 的最小值是______. 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固练习2】已知，则的最小值为 . 【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【题型5】换元法（1）：单换元 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 14． 已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 15． 已知，其中，，，则的最小值为 ． 【巩固练习1】若，则的最小值是 ． 【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，则的最小值是______. 【题型6】换元法（2）：双换元 双分母换元：可以把2个分母都换元 16． 若正实数满足，则最小值为________ 17． 已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知且，则的最小值为 . 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【题型8】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 18． 已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 19． 函数的最小值为 ． 20． 已知，则的最小值为 . 【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【巩固练习2】若，则函数的最小值为 . 【巩固练习3】求的最小值 . 模块三 【课后作业】 1． 已知，则的最小值是 ． 2． 若，且，则的最小值为 ． 3． 设为正实数，且，则的最小值为 4． 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 5． 当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 6． 已知，则函数的最小值是 ． 7． 若，则的最小值为______. 8． 正实数，满足，则的最小值是________ 9． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 10． 已知，则的最小值是______，此时a=______． 11． （2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 12． （1）已知正数、满足，求 的最小值； （2）求函数的最小值． 13． （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题2-2 基本不等式（1） 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】直接利用基本不等式求最值 【题型2】 凑配法求最值 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 【题型7】分离常数型 【题型5】换元法（1）：单换元 【题型6】换元法（2）：双换元 【题型8】二次比一次型 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】直接利用基本不等式求最值 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号； 方法技巧总结：和与积的最值问题，直接使用基本不等式即可；和与平方和的问题需要用常用不等式来求最值 1． 已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，则xy（ ） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【解析】，，且，（1）， 当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：． 2． 已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】，由不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 3． 已知正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 当且仅当时，等号成立．故的最大值为4． 4． 若，，则的最小值为______． 【答案】 【简析】，当且仅当 【巩固练习1】若，，则的最小值为______． 【答案】2 【简析】 【巩固练习2】若，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值 【巩固练习3】若, 则的最小值是 ; 此时的值为 . 【答案】 4; 1 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是4，此时的值为1. 【巩固练习4】已知，，且，则的最小值是________ 【答案】 【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立 【题型2】 凑配法求最值 配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解． 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 常见的配凑法求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成立 5． 若，则的最小值为 . 【答案】0 【解析】由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 6． 已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【解题思路】利用基本不等式性质求解即可. 【解答过程】因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 【巩固练习1】已知实数x＞3，则的最小值是（ ） A．24 B．12 C．6 D．3 【解题思路】4（x﹣3）12，利用基本不等式的性质，即可求得最小值． 【解答过程】解：∵x＞3，∴x﹣3＞0， 4（x﹣3）12≥12+224， 当且仅当4x﹣12时，取得最小值24． 【巩固练习2】函数（）的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 【题型3】“1”的妙用（1）：乘“1”法 方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值． 主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值 注意：验证取得条件． 7． （2023·广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________ 【答案】9 【详解】，当且仅当时等号成立 8． 已知且，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为8 9． 已知，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为且，，所以， 则， 当且仅当时，即当，时，等号成立. 因此，的最小值是.故选：C. 【巩固练习1】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】 当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16. 【巩固练习2】若，且，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】因为，且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5．故答案为：5． 【巩固练习3】（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以 . 当且仅当，即时取等. 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的． 10． 已知，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值． 【详解】依题意． 当且仅当时等号成立． 11． 已知实数x，满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可． 【详解】由条件可得 ． 当且仅当，即时等号成立 【巩固练习1】若，，且，则有最小是________ 【答案】5 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值5 【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解． 【详解】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立．故的最小值是． 【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 【题型7】分离常数型 方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数 例1：（x>0） 例2： 12． 若，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 13． 的最小值是______. 【答案】 【详解】，当且仅当时，即时取等号 【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解． 【详解】因为，，，所以，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B． 【巩固练习2】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习3】已知，则的最小值是______，此时a=______． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 【题型5】换元法（1）：单换元 对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑 整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值. 单分母换元：把其中一个分母进行换元 14． 已知，则的最小值是________ A．6 B．8 C．4 D．9 【解题思路】可以设，则有，求的最小值，用乘“1”法即可 【答案】9 【解答过程】解：设，则有， 当且仅当，即a时取等号，所以的最小值是9． 15． 已知，其中，，，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】因为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16 【巩固练习1】若，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则．故答案为： 【巩固练习2】若，，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为 【巩固练习3】已知，则的最小值是______. 【答案】 【简析】记，则，则有 【题型6】换元法（2）：双换元 双分母换元：可以把2个分母都换元 16． 若正实数满足，则最小值为________ 【答案】 【详解】由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值 17． 已知正数满足，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】设，则有，求最小值，结合乘1法即可 【解答过程】解：5﹣（）， ∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4， ）（a+1+b+1）（1+4）， 4（当且仅当，即a，b时，等号成立）， 故（1+49，即， 故5﹣（ 【巩固练习1】已知且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ． 【答案】24 【解析】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立 【巩固练习3】设x，y是正实数，且，则的最大值是 . 【答案】 【解析】令，则， 可得，即， 且， ∵， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， ∴， 即的最大值是. 【题型8】二次比一次型 基本模型：，当且仅当时等号成立 18． 已知，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D．或3 【解题思路】由已知可得，利用基本不等式计算可得结果. 【解答过程】由，得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3． 19． 函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 20． 已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 【巩固练习1】（2024·高一·江西南昌·期末）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，则，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，当时，函数的最小值为. 故答案为：. 【巩固练习2】若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【解析】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 【巩固练习3】求的最小值 . 【答案】9 【解析】将分子配方凑出含有的项，再将其分离，利用基本不等式即可求解. ， ，， ， 当且仅当即时，等号成立. 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 已知，则的最小值是 ． 【答案】16 【解析】由题意得，解得， 等号成立当且仅当，所以的最小值是16. 故答案为：16. 2． 若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 3． 设为正实数，且，则的最小值为 【答案】 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 4． 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为；故选：C 5． 当时，（ ） A．有最大值1 B．有最大值2 C．有最小值5 D．有最小值 【答案】A 【解析】当时，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以有最大值1，没有最小值，故选：A. 6． 已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 7． 若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 则. 8． 正实数，满足，则的最小值是________ 【答案】 【解析】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值是 9． 正实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】1 【分析】将变为，即可将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数满足，所以， 则 ， 当且仅当,即时取等号， 所以的最小值为1， 10． 已知，则的最小值是______，此时a=______． 【答案】4 ， 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是4此时. 11． （2024·高一·江苏苏州·期末）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由正数，满足，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 12． （1）已知正数、满足，求 的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用凑项法与基本不等式中“1”的妙用即可求得 的最小值； （2）将看作一个整体，对函数分子进行凑配化简，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以 ， 当且仅当，且，即时，等号成立， 故的最小值为； （2）因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值. 13． 利用不等式求最值 （1）已知，且，求的最小值. （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）9；（2）16 【分析】由条件可得，结合基本不等式分别求和的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以， 当且仅当，时等号成立，即时等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$