第01讲 正数和负数（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第01讲 正数与负数 课程标准 学习目标 ①正数与负数的定义 ②正数与负数的意义 1. 掌握正数和负数的定义并能够熟练的进行识别。 2. 掌握正数和负数表示的意义，并能够熟练的用正数和负数表示相关的量以及量的范围。 3. 掌握0的意义并能够熟练应用。 知识点01 正数和负数的定义 1. 正数和负数的定义： 像我们小学学过的1，20，，5.5，120%...这样一些 大于 0的数叫做正数，可以在前面添加一个正号，即“＋”，也可以省略。在正数前面添加一个负号，即“－”，变成﹣1，﹣20，﹣5.5，﹣120%...这样就变成了一些 小于 0的数，我们把它们叫做负数。负号不能省略。 0 不是 正数，也 不是 负数。 2. 多个正负号的化简： 在判断前面存在多个符号的数是正数还是负数时，需先对符号进行化简。 方法1：遵循原则：同号为 正 ；异号为 负 。即两个符号一样时，化简为 正数 。两个符号不一样时，化简为 负数 。 方法2：遵循原则：奇 负 偶 正 。即若一个数前面有多个符号，则观察负号的个数，若负号个数为奇数个，则化简为 负数 ，若负号个数为偶数个，则化简为 正数 。 【即学即练1】 1．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 3.2，，，，+2.009，﹣108，，81． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可． 【解答】解：正数有：3.2，，+2.009，，81； 负数有：，，一108． 【即学即练2】 2．在+（﹣2.3），﹣（﹣2.3），﹣[﹣（+2.3）]，+[﹣（﹣2.3）]，﹣[+（﹣2.3）]这些数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】将数列中的数化简，再根据正数、负数的定义解答． 【解答】解：∵+（﹣2.3）＝﹣2.3， ﹣（﹣2.3）＝2.3， ﹣[﹣（+2.3）]＝2.3， +[﹣（﹣2.3）]＝2.3， ﹣[+（﹣2.3）]＝2.3， ∴在+（﹣2.3），﹣（﹣2.3），﹣[﹣（+2.3）]，+[﹣（﹣2.3）]，﹣[+（﹣2.3）]这些数中，正数有：﹣（﹣2.3），﹣[﹣（+2.3）]，+[﹣（﹣2.3）]，﹣[+（﹣2.3）]，共有4个． 故选：D． 知识点02 正数和负数的意义 1．正数和负数表示具有相反意义的量： 正数和负数可以表示 2 个具有 相反意义 的量。 若规定其中一个用正数来表示，则另一个必须用 负数 来表示。此时，0的意义为表示这两个量的 标准（分界线） 。 2. 正数和负数表示一个量的范围： 正数与负数可以表示一定的 取值范围 。表示形式为 ，表示范围是 。 【即学即练1】 3．月球表面的白天平均温度零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．150℃ D．﹣126℃ 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上温度记为正，则零下温度就记为负，直接得出结论即可． 【解答】解：零上温度记为正，则零下温度就记为负， ∴夜间平均温度零下150℃，应记作﹣150℃， 故选：B． 【即学即练2】 4．某种零件，标明要求是φ25±0.2mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是24.9mm，该零件　合格　（填“合格”或“不合格”）． 【分析】由φ25±0.2 mm，知零件直径最大是25+0.2＝25.2，最小是25﹣0.2＝24.8，合格范围在24.8mm和25.2mm之间． 【解答】解：根据零件标明要求是φ25±0.2mm，得： 合格范围在24.8mm和25.2mm之间， 24.9mm在合格范围之间． 故答案为：合格． 题型01 正数与负数的识别 【典例1】下列各数是正数的是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣0.3 【分析】根据正数就是大于0的数，正数前面可以加上“+”来表示，也可以省略“+”；负数就是小于0的数，任何正数前面加上“﹣”是负数；0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界点．据此解答即可． 【解答】解：A．是正数，故此选项符合题意； B．0既不是正数，也不是负数，故此选项不符合题意； C．﹣1是负数，故此选项不符合题意； D．﹣0.3是负数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列各数是负数的是（　　） A．0 B．﹣ C． D．0.2 【分析】根据负数的概念得出结论即可． 【解答】解：在0，﹣，，0.2中﹣是负数， 故选：B． 【变式2】用﹣a表示的数一定是（　　） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．都不对 【分析】因为不能确定a的正负情况 故﹣a的正负也不能确定，在a＝0时a＝﹣a＝0，由此可得出答案． 【解答】解：﹣a会根据a的取值变化而变化， 又﹣a+a＝0，即可得﹣a和a互为相反数． 故选：D． 【变式3】读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． 【分析】根据正数和负数的定义进行判断即可． 【解答】解：正数有：5，1，+2.5； 负数有：﹣，﹣3.5，﹣0.01，﹣700． 【变式4】在﹣1，0，2.5，+，﹣1.732，100，﹣1，+0.1，﹣20%，﹣中，哪些是正数，哪些是负数？ 【分析】根据正数与负数的定义求解． 【解答】解：正数有：2.5，+，100，+0.1； 负数有：﹣1，﹣1.732，﹣1，﹣20%，﹣． 【变式5】10．化简下列各数，其中负数有几个？ （1）+（﹣3） （2）+（+3.5） （3）+[﹣（+3）] （4）﹣[﹣（﹣6）] 【分析】对这类式子进行化简，非0数的正负与前边的正号的个数无关，而与负号的个数有关，当有奇数个负号时，值是负数，当有偶数个负号时，值是正数． 【解答】解：（1）+（﹣3）＝﹣3； （2）+（+3.5）＝3.5； （3）+[﹣（+3）]＝﹣3； （4）﹣[﹣（﹣6）]＝﹣6． ∴负数有3个 题型02 正负数表示相反意义的量 【典例1】如果升高30米记作+30米，那么﹣5米表示（　　） A．上升5米 B．下降5米 C．上升25米 D．下降35米 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【解答】解：升高30米记作+30米，那么﹣5米表示下降5米， 故选：B． 【变式1】七年级（1）班第一学期班费收支情况如下（收入为正）：+250元，﹣55元，﹣120元，+7元．该班期末时班费结余为（学期开始时班费为0元）（　　） A．82 元 B．85 元 C．35 元 D．92 元 【分析】求出这些数的和即可解决问题． 【解答】解：0+（+250）+（﹣55）+（﹣120）+（+7） ＝[（+250）+（+7）]+[（﹣55）+（﹣120）] ＝257+（﹣175） ＝82（元）． 故选：A． 【变式2】中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下6℃可记作（　　） A．6℃ B．0℃ C．﹣6℃ D．﹣20℃ 【分析】零上温度记为正，则零下温度就记为负，则可得出结论． 【解答】解：若零上10℃记作+10℃，则零下6℃可记作：﹣6℃． 故选：C． 【变式3】如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是（　　） A．物体又向右移动了2米 B．物体又向右移动了4米 C．物体又向左移动了2米 D．物体又向左移动了4米 【分析】根据负数的意义，向右移动记作“+”，则向左移动记作“﹣”，所以这个物体又移动了﹣2米的意思是：物体又向左移动了2米． 【解答】解：如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是：物体又向左移动了2米． 故选：C． 【变式4】高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16 （1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）养护过程中，最远处离出发点有多远？ （3）若汽车耗油量为0.09升/千米，则这次养护共耗油多少升？ 【分析】（1）求出这一组数的和，结果是正数则在出发点的东边，是负数则在出发点的西侧； （2）求出每个记录点得记录数据，绝对值最大的数对应的点就是所求的点； （3）所走的路程是这组数据的绝对值的和，然后乘以0.09，即可求得耗油量． 【解答】解：（1）17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16＝+15千米． 则在出发点的东边15千米的地方； （2）最远处离出发点有17千米； （3）（17+9+7+15+3+11+6+8+5+16）×0.09＝8.73（升）． 答：这次养护共耗油8.73升． 题型03 正数和负数表示一个量的范围 【典例1】如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可． 【解答】解：∵30+0.03＝30.03，30﹣0.02＝29.98， ∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm． ∵29.8mm不在该范围之内， ∴不合格的是A． 故选：A． 【变式1】一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少不少于（　　）克． A．155 B．150 C．145 D．160 【分析】根据有理数的加减法，可得标准的范围，可得最少的质量． 【解答】解：150﹣5＝145克，150+5＝155克， 145﹣﹣155克， 故选：C． 【变式2】某种零件，标明要求是Φ20±0.02mm（Φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　不合格　（填“合格”或“不合格”）． 【分析】先求出合格直径范围，再判断即可． 【解答】解：由题意得，合格直径范围为：19.98mm～20.02mm， 若一个零件的直径是19.9mm，则该零件不合格． 故答案为：不合格． 【变式3】某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“600±30（mL）”的字样，那么“600±30（mL）”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为603mL，611mL，588mL，568mL，628mL，抽查的产品容量是否合格？ 【分析】根据有理数的加法，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 【解答】解：+30mL表示比600mL多30mL，﹣30mL表示比600mL少30mL； 所以产品合格的容量为570mL～630mL这个范围内， 所以抽查样品容量603mL，611mL，588mL，568mL，628mL，只有568mL不合格，其它的都合格． 【变式4】已知12箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： +0.2，﹣0.2，+0.7，﹣0.3，﹣0.4，+0.6，0，﹣0.1，﹣0.6，+0.5，﹣0.2，﹣0.5． （1）求12箱苹果的总重量； （2）若每箱苹果的重量标准为10±0.5（千克），则这12箱有几箱不合乎标准的？ 【分析】（1）根据题意得出算式12×10+[（+0.2）+（﹣0.2）+（+0.7）+（﹣0.3）+（﹣0.4）+（+0.6）+0+（﹣0.1）+（﹣0.6）+（+0.5）+（﹣0.2）+（﹣0.5）]，求出即可． （2）不符合标准的有+0.7，+0.6，﹣0.6，即可得出答案． 【解答】解：（1）12箱苹果的总重量是12×10+[（+0.2）+（﹣0.2）+（+0.7）+（﹣0.3）+（﹣0.4）+（+0.6）+0+（﹣0.1）+（﹣0.6）+（+0.5）+（﹣0.2）+（﹣0.5）]＝119.7（千克）， 答：12箱苹果的总重量是119.7千克． （2）∵每箱苹果的重量标准为10±0.5（千克）， ∴+0.7，+0.6，﹣0.6的不符合标准， ∴这12箱不合乎标准的有3箱． 题型04 正数和负数的其他应用 【典例1】如表，国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 惠灵顿 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 +4 A．纽约 B．巴黎 C．东京 D．惠灵顿 【分析】找出四个数中最小的，即可得出答案． 【解答】解：∵﹣13＜﹣7＜+1＜+4， ∴最迟出现日出的城市为纽约， 故选：A． 【变式1】如图，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是7：00时，东京时间为8：00．则当北京的时间为2024年1月28日9：00时，纽约的时间是 　2024年1月27日20：00时　． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【解答】解：当北京的时间为2024年1月28日9：00时，纽约的时间是2024年1月27日20：00时， 故答案为：2024年1月27日20：00时． 【变式2】巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为 　﹣6　． 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5：00 11：00 13：00 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为﹣6， 故答案为：﹣6． 【变式3】下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的小时数），如当北京时间为上午10点时，东京时间的10点已过去了1小时，现在已是11点． 城市 时差/时 纽约 ﹣13 巴黎 ﹣7 东京 +1 芝加哥 ﹣14 （1）如果现在是北京时间8点，那么现在的纽约时间是多少？ （2）此时（北京时间8点）小明想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？为什么？ （3）如果现在是芝加哥时间上午6点，那么现在北京时间是多少？ 【分析】用北京时间+时差＝所求的当地时间，如果结果是负数，表明在前一天，正数为当天． 【解答】解：（1）8+（﹣13）＝8﹣13＝﹣5， ∵一天有24小时， ∴24+（﹣5）＝19． 答：现在的纽约时间是前一天晚上7点（或前一天19点）； （2）8+（﹣7）＝8﹣7＝1 答：不合适，因为巴黎现在当地时间是凌晨1点； （3）设北京时间为x 则x+（﹣14）＝6 解得x＝6﹣（﹣14） x＝20． 答：现在北京时间是当天20点． 【变式4】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（ 　3　，　4　），B→C（ 　2　，　0　）， D→　A　（﹣4，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． 【分析】（1）根据规定及实例可知A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，﹣2）； （2）按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可； （3）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【解答】解：（1）规定：向上向右走为正，向下向左走为负∴A→C记为（3，4）B→C记为（2，0）D→A记为（﹣4，﹣2）； （2）P点位置如图所示． （3）据已知条件可知：A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2＝10． 故答案为：（3，4）；（2，0）；A； 题型05 0的认识 【典例1】零一定是（　　） A．整数 B．负数 C．正数 D．奇数 【分析】根据有理数的分类可知，零是整数． 【解答】解：零一定是整数． 故选：A． 【变式1】下列结论中正确的是（　　） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 【分析】根据实数分为正数，负数和零，即可得出答案． 【解答】解：根据0既不是正数，也不是负数， 可以判断A、B、C都错误，D正确． 故选：D． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．零是正数不是负数 B．不是正数的数一定是负数 C．零既是正数也是负数 D．零既不是正数也不是负数 【分析】根据正负数的定义和性质进行选择即可． 【解答】解：零既不是正数也不是负数， 故选：D． 1．下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：5＞0，是正数； ，是负数； ﹣3＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣25.8＜0，是负数； +2＞0，是正数； ∴负数有，﹣3，﹣25.8，共3个． 故选：C． 2．如果节约水6m3记作+6m3，那么浪费水1.5m3记作（　　） A．﹣6m3 B．﹣4.5m3 C．﹣1.5m3 D．1.5m3 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：如果节约水6m3记作+6m3，那么浪费水1.5m3记作﹣1.5m3， 故选：C． 3．+（﹣2024）等于（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 【分析】根据正数和负数的定义即可求得答案． 【解答】解：+（﹣2024）＝﹣2024， 故选：C． 4．七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（　　）分． A．86 B．83 C．87 D．80 【分析】由正负数的概念可计算． 【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了83﹣3＝80分， 故选：D． 5．我市去年冬季里某一天的气温为﹣2℃～3℃，下列气温（单位：℃）不在这一范围的是（　　） A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．2 【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【解答】解：﹣3不在﹣2～3的范围内， 故选：B． 6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（20±0.1）kg，（20±0.2）kg，（20±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　） A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 【分析】根据有理数的减法，用最多的减去最少的，可得答案． 【解答】解：第一种品牌的面粉的最大质量是20+0.1＝20.1（kg），最小质量是20﹣0.1＝19.9（kg）； 第二种品牌的面粉的最大质量是20+0.2＝20.2（kg），最小质量是20﹣0.2＝19.8（kg）； 第三种品牌的面粉的最大质量是20+0.3＝20.3（kg），最小质量是20﹣0.3＝19.7（kg）； ∴20.3﹣19.7＝0.6（kg）， 故选：B． 7．某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（　　） A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定 【分析】根据对正负数的理解即可解答． 【解答】解：某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中输给了对手． 故选：B． 8．从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（　　） 编号 1 2 3 4 检查结果 +0.4 ﹣0.1 ﹣0.5 +0.3 A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆 【分析】比较它们的绝对值即可作答． 【解答】解：|+0.4|＝0.4， |﹣0.1|＝0.1， |﹣0.5|＝0.5， |+0.3|＝0.3， ∵0.1＜0.3＜0.4＜0.5． 故选：B． 9．几种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是（　　） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ ﹣183 ﹣196 78 —78.5 A．液态氧 B．液态氮 C．液态酒精 D．液态二氧化碳 【分析】根据正负数大小比较的方法进行求解． 【解答】解：∵|﹣183|＝183，|﹣196|＝196，|﹣78.5|＝78.5， 且78.5＜183＜196， ∴﹣196＜﹣183＜﹣78.5， ∴﹣196＜﹣183＜﹣78.5＜78， ∴沸点最低的液体是液态氮， 故选：B． 10．质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出各个数的绝对值，根据绝对值的大小进行判断即可． 【解答】解：∵|﹣3|＞|2|＞|0.75|＞|﹣0.6|， ∴﹣0.6的足球最接近标准质量， 故选：B． 11．随着短视频的兴起，“直播带货”已发展成为一种重要的销售形式，某国货品牌的直播间在某个时刻在线人数达到了2万人．若在线人数增加1500时记为+1500人，那么在线人数减少800人时记为 　﹣800　人． 【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：在线人数增加1500时记为+1500人，那么在线人数减少800人时记为﹣800人， 故答案为：﹣800． 12．一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有 　10　人． 【分析】求出13与所有上车下车人数的和，得到此时公交车上的人数． 【解答】解：13﹣3+4﹣5+7+5﹣11 ＝10（人） 即此时公交车上有10人． 故答案为：10． 13．某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 ﹣30 0 ﹣35 ﹣30 ﹣20 本周五天后这种小麦库存 　415　吨． 【分析】先求出五天的进货量，再加上库存量一共有多少吨小麦，再减去五天的出货量即可得出答案． 【解答】解：50+30+60+40+50＝230（吨）， 300+230＝530（吨）， 530﹣30﹣0﹣35﹣30﹣20＝415（吨）． 故答案为：415． 14．某面粉厂生产一种精制面粉，标准质量为千克．如果某袋面粉质量为9.98千克，那么这袋面粉的质量 　符合　标准（填“符合”或“不符合”）． 【分析】标准质量为10，10﹣0.03＜10＜10+0.03，以此来判断面粉质量． 【解答】解：由题意得：10﹣0.03＜10＜10+0.03⇒9.97＜10＜10.03． ∵某袋面粉质量为9.98千克.9.97＜9.98． ∴这袋面粉的质量符合标准． 故答案为：符合． 15．国外几个城市与北京的时差如表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是 　8时　． 【分析】根据正数和负数的实际意义即可求得答案． 【解答】解：因为现在的北京时间是15时，且巴黎与北京的时差是﹣7时， 所以此时的巴黎时间是15﹣7＝8（时）． 故答案为：8时． 16．下面各数2，﹣3，+1，，﹣1.5，0，0.2，3，﹣4，哪些是正数，哪些是负数？ 【分析】根据正数与负数的定义求解． 【解答】解：正数有2，+1，，0.2，3， 负数有：﹣3，﹣1.5，﹣4． 17．如果向东走8千米记作+8千米，向西走5千米记作﹣5千米，那么下列各数分别表示什么？ （1）+4千米； （2）﹣3.5千米； （3）0千米． 【分析】（1）根据题意，可以写出+4千米表示的含义； （2）根据题意，可以写出﹣3.5千米表示的含义； （3）根据题意，可以写出0千米表示的含义． 【解答】解：（1）由题意可得， +4千米表示向东走4千米； （2）由题意可得， ﹣3.5千米表示向西走3.5千米； （3）由题意可得， 0千米表示原地未动． 18．小明为分析八（1）班64名同学的跳绳次数，随机抽取了20名同学的跳绳次数，在整理时，发现每人跳绳的次数都在100次左右，于是小明把超过100次的部分用正数表示，把少于100次的部分用负数表示，得抽样成绩统计表如下： 跳绳次数﹣100 ﹣5 ﹣3 ﹣2 0 1 4 7 人数 1 2 2 4 5 4 2 （1）计算抽样数据的平均数； （2）估计该班跳绳次数达到99次以上的有多少人？ 【分析】（1）根据平均数的计算公式，先求出抽样数据的总数，再除以20，即可求解； （2）先求出样本中20人跳绳次数达到99次以上的人数，再乘以64，即可求解． 【解答】解：（1）抽样数据的平均数为； （2）该班跳绳次数达到99次以上的有 （人）． 19．我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下400m，规定核潜艇上升记为“+”，下降记为“﹣”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：﹣100，﹣25，30，﹣28，﹣52，40，﹣80．（单位：m） （1）最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ （2）如果这艘核潜艇每上升或下降1m，核动力装置所提供的能量相当于15L汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【分析】（1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再×15即可得解． 【解答】解：（1）（﹣400）+（﹣100）+（﹣25）+30+（﹣28）+（﹣52）+40+（﹣80） ＝﹣400﹣100﹣25+30﹣28﹣52+40﹣80 ＝﹣615m； 答：核潜艇处在海平面下615米位置； （2）（100+25+30+28+52+40+80）×15 ＝355×15 ＝5325（升）； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于5325升汽油燃烧所产生的能量． 20．某校六年级 （1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） ﹣2.5 1.5 ﹣3 0 1 ﹣0.5 ﹣2 ﹣2 ﹣1.5 2 回答下面问题： （1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据有理数的加法，可得答案； （3）根据单价乘以数量，可得答案． 【解答】解：（1）25﹣2＝23（千克）， 答：第8筐白萝卜实际质量为23千克； （2）﹣2.5+1.5﹣3+0﹣0.5+1﹣2﹣2﹣1.5+2＝﹣7（千克）． 答：总计不足7千克； （3）由总价＝单价×总量得： （25×10﹣7）×2＝486（元）． 答：售出这10筐白萝卜可得486元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 正数与负数 课程标准 学习目标 ①正数与负数的定义 ②正数与负数的意义 1. 掌握正数和负数的定义并能够熟练的进行识别。 2. 掌握正数和负数表示的意义，并能够熟练的用正数和负数表示相关的量以及量的范围。 3. 掌握0的意义并能够熟练应用。 知识点01 正数和负数的定义 1. 正数和负数的定义： 像我们小学学过的1，20，，5.5，120%...这样一些 0的数叫做正数，可以在前面添加一个正号，即“＋”，也可以省略。在正数前面添加一个负号，即“－”，变成﹣1，﹣20，﹣5.5，﹣120%...这样就变成了一些 0的数，我们把它们叫做负数。负号不能省略。 0 正数，也 负数。 2. 多个正负号的化简： 在判断前面存在多个符号的数是正数还是负数时，需先对符号进行化简。 方法1：遵循原则：同号为 ；异号为 。即两个符号一样时，化简为 。两个符号不一样时，化简为 。 方法2：遵循原则：奇 偶 。即若一个数前面有多个符号，则观察负号的个数，若负号个数为奇数个，则化简为 ，若负号个数为偶数个，则化简为 。 【即学即练1】 1．下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 3.2，，，，+2.009，﹣108，，81． 【即学即练2】 2．在+（﹣2.3），﹣（﹣2.3），﹣[﹣（+2.3）]，+[﹣（﹣2.3）]，﹣[+（﹣2.3）]这些数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 正数和负数的意义 1．正数和负数表示具有相反意义的量： 正数和负数可以表示 个具有 的量。 若规定其中一个用正数来表示，则另一个必须用 来表示。此时，0的意义为表示这两个量的 。 2. 正数和负数表示一个量的范围： 正数与负数可以表示一定的 。表示形式为 ，表示范围是 。 【即学即练1】 3．月球表面的白天平均温度零上126℃，记作+126℃，夜间平均温度零下150℃，应记作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．150℃ D．﹣126℃ 【即学即练2】 4．某种零件，标明要求是φ25±0.2mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是24.9mm，该零件　 　（填“合格”或“不合格”）． 题型01 正数与负数的识别 【典例1】下列各数是正数的是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣0.3 【变式1】下列各数是负数的是（　　） A．0 B．﹣ C． D．0.2 【变式2】用﹣a表示的数一定是（　　） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．都不对 【变式3】读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． 【变式4】在﹣1，0，2.5，+，﹣1.732，100，﹣1，+0.1，﹣20%，﹣中，哪些是正数，哪些是负数？ 【变式5】10．化简下列各数，其中负数有几个？ （1）+（﹣3） （2）+（+3.5） （3）+[﹣（+3）] （4）﹣[﹣（﹣6）] 题型02 正负数表示相反意义的量 【典例1】如果升高30米记作+30米，那么﹣5米表示（　　） A．上升5米 B．下降5米 C．上升25米 D．下降35米 【变式1】七年级（1）班第一学期班费收支情况如下（收入为正）：+250元，﹣55元，﹣120元，+7元．该班期末时班费结余为（学期开始时班费为0元）（　　） A．82 元 B．85 元 C．35 元 D．92 元 【变式2】中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下6℃可记作（　　） A．6℃ B．0℃ C．﹣6℃ D．﹣20℃ 【变式3】如果一个物体向右移动2米记作移动+2米，那么这个物体又移动了﹣2米的意思是（　　） A．物体又向右移动了2米 B．物体又向右移动了4米 C．物体又向左移动了2米 D．物体又向左移动了4米 【变式4】高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16 （1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）养护过程中，最远处离出发点有多远？ （3）若汽车耗油量为0.09升/千米，则这次养护共耗油多少升？ 题型03 正数和负数表示一个量的范围 【典例1】如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　） A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【变式1】一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少不少于（　　）克． A．155 B．150 C．145 D．160 【变式2】某种零件，标明要求是Φ20±0.02mm（Φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 　（填“合格”或“不合格”）． 【变式3】某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“600±30（mL）”的字样，那么“600±30（mL）”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为603mL，611mL，588mL，568mL，628mL，抽查的产品容量是否合格？ 【变式4】已知12箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： +0.2，﹣0.2，+0.7，﹣0.3，﹣0.4，+0.6，0，﹣0.1，﹣0.6，+0.5，﹣0.2，﹣0.5． （1）求12箱苹果的总重量； （2）若每箱苹果的重量标准为10±0.5（千克），则这12箱有几箱不合乎标准的？ 题型04 正数和负数的其他应用 【典例1】如表，国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数），则最迟出现日出的城市为（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 惠灵顿 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 +4 A．纽约 B．巴黎 C．东京 D．惠灵顿 【变式1】如图，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是7：00时，东京时间为8：00．则当北京的时间为2024年1月28日9：00时，纽约的时间是 　 　． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14 【变式2】巴黎，北京，悉尼同一时刻的当地时间如表．若北京时间记为0，用正数表示同一时刻比北京时间早的时数，即悉尼时间记为+2，则巴黎时间记为 　 　． 城市 巴黎 北京 悉尼 时间 5：00 11：00 13：00 【变式3】下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的小时数），如当北京时间为上午10点时，东京时间的10点已过去了1小时，现在已是11点． 城市 时差/时 纽约 ﹣13 巴黎 ﹣7 东京 +1 芝加哥 ﹣14 （1）如果现在是北京时间8点，那么现在的纽约时间是多少？ （2）此时（北京时间8点）小明想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？为什么？ （3）如果现在是芝加哥时间上午6点，那么现在北京时间是多少？ 【变式4】如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B（+1，+4），从D到C记为：D→C（﹣1，+2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中A→C（ 　 　，　 　），B→C（ 　 　，　 　）， D→　 　（﹣4，﹣2）； （2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置； （3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程． 题型05 0的认识 【典例1】零一定是（　　） A．整数 B．负数 C．正数 D．奇数 【变式1】下列结论中正确的是（　　） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．零是正数不是负数 B．不是正数的数一定是负数 C．零既是正数也是负数 D．零既不是正数也不是负数 1．下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果节约水6m3记作+6m3，那么浪费水1.5m3记作（　　） A．﹣6m3 B．﹣4.5m3 C．﹣1.5m3 D．1.5m3 3．+（﹣2024）等于（　　） A．2024 B． C．﹣2024 D． 4．七年级（1）班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣3分，表示得了（　　）分． A．86 B．83 C．87 D．80 5．我市去年冬季里某一天的气温为﹣2℃～3℃，下列气温（单位：℃）不在这一范围的是（　　） A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．2 6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（20±0.1）kg，（20±0.2）kg，（20±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（　　） A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 7．某运动项目的比赛规定，胜一场记作“+1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“﹣1”分，则该队在比赛中（　　） A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定 8．从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（　　） 编号 1 2 3 4 检查结果 +0.4 ﹣0.1 ﹣0.5 +0.3 A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆 9．几种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是（　　） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ ﹣183 ﹣196 78 —78.5 A．液态氧 B．液态氮 C．液态酒精 D．液态二氧化碳 10．质检员抽查4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的足球是（　　） A． B． C． D． 11．随着短视频的兴起，“直播带货”已发展成为一种重要的销售形式，某国货品牌的直播间在某个时刻在线人数达到了2万人．若在线人数增加1500时记为+1500人，那么在线人数减少800人时记为 　 　人． 12．一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；﹣3，+4；﹣5，+7；+5，﹣11．此时公交车上有 　 　人． 13．某粮食仓库原库存小麦300吨，本周五天对这一品种小麦的进出货情况统计如下表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）：（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 50 30 60 40 50 ﹣30 0 ﹣35 ﹣30 ﹣20 本周五天后这种小麦库存 　 　吨． 14．某面粉厂生产一种精制面粉，标准质量为千克．如果某袋面粉质量为9.98千克，那么这袋面粉的质量 　 　标准（填“符合”或“不符合”）． 15．国外几个城市与北京的时差如表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数） 城市 纽约 巴黎 东京 时差/时 ﹣13 ﹣7 +1 如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是 　 　． 16．下面各数2，﹣3，+1，，﹣1.5，0，0.2，3，﹣4，哪些是正数，哪些是负数？ 17．如果向东走8千米记作+8千米，向西走5千米记作﹣5千米，那么下列各数分别表示什么？ （1）+4千米； （2）﹣3.5千米； （3）0千米． 18．小明为分析八（1）班64名同学的跳绳次数，随机抽取了20名同学的跳绳次数，在整理时，发现每人跳绳的次数都在100次左右，于是小明把超过100次的部分用正数表示，把少于100次的部分用负数表示，得抽样成绩统计表如下： 跳绳次数﹣100 ﹣5 ﹣3 ﹣2 0 1 4 7 人数 1 2 2 4 5 4 2 （1）计算抽样数据的平均数； （2）估计该班跳绳次数达到99次以上的有多少人？ 19．我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下400m，规定核潜艇上升记为“+”，下降记为“﹣”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：﹣100，﹣25，30，﹣28，﹣52，40，﹣80．（单位：m） （1）最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ （2）如果这艘核潜艇每上升或下降1m，核动力装置所提供的能量相当于15L汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 20．某校六年级 （1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） ﹣2.5 1.5 ﹣3 0 1 ﹣0.5 ﹣2 ﹣2 ﹣1.5 2 回答下面问题： （1）这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ （3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $