2.1等式性质与不等式性质（五大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

2.1等式性质与不等式性质 知识点1 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点2 等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 知识点3 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 题型一 用不等式表示不等关系 1．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 2．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 3．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（    ） A． B． C． D． 4．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为 . 5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 6．京沪线上，复兴号列车跑出了的速度，这个速度的2倍再加上，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的倍，请你用不等式表示三 种交通工具的速度关系． 题型二 由已知条件判断所给不等式是否正确 7．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．下列命题中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三 由已知条件证明不等式 14．若，，求证：. 15．已知三个不等式： （1）；            （2）；            （3）． 请思考依据其中哪两个不等式可以推出另一个不等式，并说明理由． 16．已知，，求证：. 17．设，，，，，证明：． 18．利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 19．求证：． 题型四 作差法比大小 20．（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 21．，则从小到大的排列是 . 22．设，且，则与的大小关系是 . 23．（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 24．求证. 25．，，，，设，证明：. 26．已知为正实数．求证：. 题型五 利用不等式求值或取值范围 27．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 31．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 33．实数，满足，．则的取值范围是 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式性质与不等式性质 知识点1 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点2 等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 知识点3 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 题型一 用不等式表示不等关系 1．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 2．火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 3．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案 为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即 故选：D 4．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式组可表示为 . 【答案】 【详解】每种邮票至少买两套，则有，又因为50元钱买纪念邮票， 所以， 故 5．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来. 【答案】 【详解】由题意黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的 ，所以， 又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以， 而注意到球的个数应为自然数， 故满足题意的不等关系为. 6．京沪线上，复兴号列车跑出了的速度，这个速度的2倍再加上，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的倍，请你用不等式表示三 种交通工具的速度关系． 【答案】答案见解析 【详解】设复兴号列车速度为，民航飞机速度为，普通客车速度为， 则的关系：，的关系：， 所以三种交通工具的速度关系为：. 题型二 由已知条件判断所给不等式是否正确 7．已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 8．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 9．已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得， 所以，充分性成立； 由，得，不妨取满足不等式， 所以推不出，从而得不到，必要性不成立. 故选:A. 10．设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，或，则，即充分性成立； 当时，，则，即必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件. 故选：C. 11．已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 12．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 13．下列命题中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，显然不能得出，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D 题型三 由已知条件证明不等式 14．若，，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】因为，则， 又因为，则， 可得，则， 且，所以． 15．已知三个不等式： （1）；            （2）；            （3）． 请思考依据其中哪两个不等式可以推出另一个不等式，并说明理由． 【答案】答案见解析 【详解】由（1）（2）（3）， 理由如下：因为，所以， 又，则，即； 由（1）（3）（2）， 理由如下：因为，所以， 又，即，即； 由（2）（3）（1）， 理由如下：因为，， 所以，所以． 16．已知，，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】，. ，，即. ，，，即. 17．设，，，，，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为，所以． 又，所以， 所以． 因为，，， 所以． 18．利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若，，则； (2)若，，则． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明： ， ， 又， ； （2）证明：， ， 又， ． 19．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴ ∴ ∴得证. 题型四 作差法比大小 20．（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为， 所以，所以，选项A错误； 因为，，所以，选项B正确； 由，，得，两边平方，得，选项C错误； 由，两边平方，得，即，选项D正确． 故选：BD． 21．，则从小到大的排列是 . 【答案】 【详解】， ，故， ，故 又，，故 ， 故答案为：． 22．设，且，则与的大小关系是 . 【答案】 【详解】， 由于，且，则， 故， 故答案为： 23．（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【答案】 < < < > > 【详解】（1）因为, 所以; （2）因为, 所以; （3）因为, 所以; （4）, 因为,所以, 则; （5）, 因为,所以, 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 24．求证. 【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以； 25．，，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】 因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 26．已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 题型五 利用不等式求值或取值范围 27．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 28．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 所以，得， 所以. 故选：C. 29．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，， 所以， 故选：D 30．已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为. 故选：A. 31．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则，又，所以. 故选：C 32．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 【详解】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 33．实数，满足，．则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，所以，解得， 即， 因为，所以， 又，所以， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$