第12讲 函数的奇偶性（思维导图+2知识点+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第一册）

第12讲 函数的奇偶性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数奇偶性定义、奇函数偶函数图象的对称性，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.能应用奇偶函数的定义、图象对称性及变形，判断、证明函数的奇偶性，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 3.会应用函数的基本性质比较函数值大小、求参数、解简单函数不等式. 知识点 1 函数的奇偶性 .函数的奇偶性及函数图像的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 知识点 2 函数奇偶性的应用 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. 提醒：函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 考点一：函数奇偶性的判断 例1.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)奇函数 (7)偶函数 (8)非奇非偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【答案】C 【分析】 利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可. 【详解】因为函数表达式为，定义域为， 所以，所以为偶函数； 又，所以C正确. 故选：C 【变式1-2】（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【详解】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 【变式1-3】（23-24高一下·山东淄博·期中），是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由题意结合函数奇偶性的性质逐一考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若，均为奇函数，则有， 所以，所以“为奇函数”，故充分性成立， 若为奇函数，如，，而均不是奇函数，故必要性不成立. 综上可得：“，均为奇函数”是“为奇函数”的充分而不必要的条件. 故选：B． 考点二：由函数的奇偶性求解析式 例2．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出二次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式. （2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式. 【详解】（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， ，，，； （2）设，则， 又函数为奇函数，，， 当时，由，． 故． 【变式2-1】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用奇函数定义求解即可. 【详解】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为， 所以， 设，则，所以，又， 所以， 即当时，函数的解析式为. 故答案为：； 【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式. 【答案】 【分析】利用函数的寄偶性即可求出. 【详解】设，则，所以 又因是定义域上的偶函数，所以， 所以. 考点三：抽象函数的奇偶性问题 例3.（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【变式3-1】（多选）（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【答案】ACD 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，对任意，，总有，令得；令得，所以； 令得，所以； 令得，所以是奇函数，故A正确； 对于B，对任意，，总有，令得； 令得，所以是奇函数，故B错误； 对于C，对任意，，总有，由A选项分析， 令得，又因为， 所以，故C正确； 对于D，对任意，，总有，由B选项分析， 令得， 令得，所以； 令得 令得，所以 令得，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用赋值法求出、、，从而得到，再利用特殊值求出、，最后根据奇偶性求出. 【详解】因为对于任意实数，满足， 当时，， 当时，，可得，则； 当时，，则. 函数的定义域为，令时，， 得，所以函数是奇函数. 令，即，得， 令，则， 又函数是奇函数，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是合理赋值从而得到为奇函数，从而求出的值. 【变式3-3】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 考点四： 由函数的奇偶性求参数 例4.（23-24高一下·内蒙古·期中）已知，函数是奇函数，则 ， ． 【答案】 【分析】由，可求，由，结合奇函数可求． 【详解】由，解得，所以， 又因为函数为奇函数，所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以1或，解得(舍去)． 故答案为：①-1；②1． 【变式4-1】（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【答案】-24 【分析】根据奇函数的性质可得，求出，利用，求出，最后代值即可. 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 【答案】-1 【分析】先判断函数为奇函数，再由函数为偶函数得函数为奇函数即可. 【详解】因为函数定义域为， 令，则， 故，知为奇函数， 由于为偶函数， 则函数为奇函数， 即， 解得． 故答案为：． 【变式4-3】（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 考点五：由函数的奇偶性解不等式 例5.（22-23高一下·陕西西安·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】分析函数的单调性与对称性，由已知可得出，然后分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】因为函数的定义域为，且函数为偶函数，则， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为，则， 因为函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 当时，由可得； 当时，由可得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-1】（20-21高一上·广东深圳·期中）定义在R上的偶函数在上是增函数，又，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】根据函数的单调性及奇偶性，分类讨论即可求解，也可数形结合写出答案. 【详解】在R上的偶函数在上是增函数在递减， 又，不等式讨论如下： 当时，，显然不成立； 当时，，所以， 综上，. 或者图象法：可得. 故答案为： 【变式5-2】（21-22高一上·浙江·期末）已知偶函数在上是减函数，且，则的解集 【答案】 【分析】分和两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案. 【详解】因为是偶函数，且，所以， 又在上是减函数，所以在上是增函数， ①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得； ②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以. 综上，原不等式的解集为：. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且.偶函数在对称区间上的单调性相反，且.. 【变式5-3】（21-22高一上·四川眉山·期中）若是定义在上的偶函数，在是减函数，且，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】由偶函数图像关于轴对称的特点，结合条件将进行等价转化，再求出的取值范围. 【详解】是上的偶函数，在是减函数在是增函数 画出是定义在上大致图像： 使得成立的的取值范围是 故答案为： 考点六：函数图象对称性的应用 例6.（23-24高一上·湖南长沙·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 【变式6-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）以下函数的图象不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性、对称性的定义求解即可. 【详解】选项A，因为，所以的图象关于原点中心对称； 选项B，， 所以的图象可由反比例函数的图象向右平移2个单位，向上平移2个单位得到，且反比例函数的图象关于原点对称， 所以函数的图象关于点对称； 选项C，因为，所以为偶函数， 又不是常函数，所以不是中心对称图形； 选项D，函数的定义域为，且， 当时，，， 当时，，， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称； 故选：C 【变式6-2】（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 【变式6-3】（20-21高一上·上海·课后作业）若奇函数在区间上是减函数，则在上的单调性是 ． 【答案】单调递减 【分析】利用奇函数的图象关于原点对称即可得解. 【详解】奇函数的图象关于原点对称，奇函数的图象在对称区间上单调性相同， 又因为在区间上是减函数， 所以在上的单调性是单调递减. 故答案为：单调递减. 考点七：应用函数的奇偶性比较大小 例7.（20-21高一上·湖北黄石·阶段练习）函数在上单调递增，且函数是偶函数，则，，从小到大的顺序是 . 【答案】 【解析】函数是偶函数判断出的图象关于直线对称，又在上单调递增，得出在单调递减，利用单调性可得答案. 【详解】因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以，又因为在上单调递增，所以在单调递减， 因为，所以， 故答案为：. 【变式7-1】（20-21高一上·福建厦门·阶段练习）已知偶函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据偶函数定义结合在上单调递增，可判断在上单调递减，即可判断结果． 【详解】是偶函数，且在上单调递增， 在上单调递减，． 故选：A 【变式7-2】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）已知函数是偶函数，且在单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定函数关于对称，再结合单调性，即可判断选项. 【详解】是偶函数，则关于对称， 又因为在单调递增，则在上单调递减， 所以， 根据函数关于对称，可知，，则，只有D正确. 故选：D 【变式7-3】（19-20高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的单调递减的，且函数是偶函数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是偶函数推出函数的单调性，结合的单调性可得在上单调递增，即可利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象的对称轴是直线，则， 因为在上是单调递减的且其图象关于直线对称， 所以在上单调递增，故. 故选：A 考点八：函数性质的综合应用 例8.（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）借助奇函数的性质计算可得、，借助可得，即可得解； （2）借助单调性的定义，令后计算的正负即可得； （3）结合函数定义域，奇函数的性质与函数的单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 【变式8-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的取值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，再利用函数是定义在上的奇函数求解； （2）易得，再利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：设，则， 因为当时，， 所以， 又函数是定义在上的奇函数， 所以； （2）函数， 其对称轴方程为， 当时，，解得，成立； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得，不成立； 故a的值为. 【变式8-2】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)在上的单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法先求出，再找到的关系，进而可证奇偶性; （2）借助函数单调性的定义，进行赋值证明即可. 【详解】（1）在上是奇函数，证明如下： 结合题意：令，则，解得， 若，则， 令，则， 所以，故在上是奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 任取，且， 令，则， 因为在上是奇函数，所以， 所以， 因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. 【变式8-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，求得并检验； （2）根据单调性定义判断并证明结论. 【详解】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，满足，符合题意， 故. （2）由（1）可知，.函数在上为增函数. 证明如下： 任取，所以， 所以 所以. 故为上的增函数. 1．（23-24高一下·云南怒江·阶段练习）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，排除A、C，再根据选出答案. 【详解】，定义域关于原点对称， 由，所以是奇函数，排除A、C； 当时，，排除D； 故选：B. 2．（23-24高一下·云南·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质，求得的值. 【详解】由题意得，即，从而， 故选：A． 3．（19-20高一上·河南驻马店·阶段练习）若奇函数在上为增函数，且有最小值1，则它在上（    ） A．是减函数，有最小值1 B．是增函数，有最小值-1 C．是减函数，有最大值1 D．是增函数，有最大值-1 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，推导出函数在对称区间的单调性，即可判断. 【详解】因为为奇函数，且在上的最小值为1，故在的最大值为； 又函数在上为增函数，故在也是增函数. 故选：D. 4．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的有（    ） A．为偶函数 B．为奇函数，则 C．已知函数，a，b，．若，则 D．函数，为偶函数 【答案】BC 【分析】由定义域的对称性性质即可排除A；带特值或者用奇函数性质，即可得出B；为奇函数，利用对称性，即可得到C；非奇非偶函数乘以奇函数还是非奇非偶函数，即可排除D. 【详解】对于A，得定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故A错误. 对于B，令，则，，， 因为为奇函数，，则，所以，故B正确. 对于C，，易知为奇函数， 所以，，所以，故C正确. 对于D，令，，所以为奇函数； 令，显然为非奇非偶函数，即为非奇非偶函数，故D错误. 故选：BC. 5．（2020高三·全国·专题练习）已知函数y=f(x)的图象与函数y的图象关于原点对称，则f(x)= 【答案】 【解析】利用两函数图像关于原点对称，可设是函数图像上的任意一点，结合对称性即可求解 【详解】设是函数图像上的任意一点，它关于原点的对称点为， 由题意在函数图像上，∴，即，. 故答案为： 6．（2024高三·全国·专题练习）设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】 由奇函数的性质即可得解. 【详解】因为函数是奇函数，所以利用函数的图象关于原点对称， 可得的解集为． 故答案为：. 7．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 . 【答案】4 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题得，解得， 所以当时，， 所以. 故答案为：4. 8．（19-20高一上·福建莆田·阶段练习）设定义域为[a－1,2a]的函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b的图象关于y轴对称，求f(x)的值域． 【答案】 【分析】由题意可知函数一定为二次函数即，图象关于轴对称可判断出，即函数解析式化简成，由定义域，关于轴对称，得出的值，求的值域． 【详解】解：由题意可知函数一定为二次函数即， 而图象关于轴对称可判断出， 即函数解析式化简成． 由定义域，关于轴对称， 故有，得出， 即函数解析式化简成，， 的值域为． 9．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数． (1)求证函数为奇函数； (2)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (3)求在区间[2,6]上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)函数在区间上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的定义证明； （2）由单调性定义证明； （3）根据单调性得最值． 【详解】（1）函数定义域是， ，所以是奇函数； （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且，则 . 因为，所以，且，即， 所以. 故在区间上单调递增. （3）由（2）知在上递增， 所以，． 10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)写出的单调递减区间（无需证明）. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合条件即可求解的解析式， （2）由的图象即可求解单调区间． 【详解】（1）的图象关于原点对称， 是奇函数， ． 又的定义域为， ，解得． 设，则， 当时，， ， ， 所以； （2）由（1）可得的图象如下所示： 由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 函数的奇偶性 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解函数奇偶性定义、奇函数偶函数图象的对称性，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 2.能应用奇偶函数的定义、图象对称性及变形，判断、证明函数的奇偶性，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养. 3.会应用函数的基本性质比较函数值大小、求参数、解简单函数不等式. 知识点 1 函数的奇偶性 .函数的奇偶性及函数图像的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 知识点 2 函数奇偶性的应用 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. 提醒：函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)(4)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 考点一：函数奇偶性的判断 例1.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【变式1-2】（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·山东淄博·期中），是定义在R上的函数，，则“，均为奇函数”是“为奇函数”的（    ）条件． A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 考点二：由函数的奇偶性求解析式 例2．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当，求的解析式. 【变式2-1】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·北京·期中）函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 . 【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数,当时，，当时，求解析式. 考点三：抽象函数的奇偶性问题 例3.（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【变式3-1】（多选）（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（    ） A．若对任意，，总有，则是奇函数 B．若对任意，，总有，则是偶函数 C．若对任意，；总有，则 D．若对任意，，总有，则 【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ． 【变式3-3】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 考点四： 由函数的奇偶性求参数 例4.（23-24高一下·内蒙古·期中）已知，函数是奇函数，则 ， ． 【变式4-1】（23-24高一上·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则 【变式4-2】（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数为偶函数，则实数的值为 ． 【变式4-3】（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 考点五：由函数的奇偶性解不等式 例5.（22-23高一下·陕西西安·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 ． 【变式5-1】（20-21高一上·广东深圳·期中）定义在R上的偶函数在上是增函数，又，则不等式的解集为 . 【变式5-2】（21-22高一上·浙江·期末）已知偶函数在上是减函数，且，则的解集 【变式5-3】（21-22高一上·四川眉山·期中）若是定义在上的偶函数，在是减函数，且，则使得成立的的取值范围是 . 考点六：函数图象对称性的应用 例6.（23-24高一上·湖南长沙·期末）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【变式6-1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）以下函数的图象不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【变式6-3】（20-21高一上·上海·课后作业）若奇函数在区间上是减函数，则在上的单调性是 ． 考点七：应用函数的奇偶性比较大小 例7.（20-21高一上·湖北黄石·阶段练习）函数在上单调递增，且函数是偶函数，则，，从小到大的顺序是 . 【变式7-1】（20-21高一上·福建厦门·阶段练习）已知偶函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【变式7-2】（22-23高一下·安徽芜湖·期中）已知函数是偶函数，且在单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（19-20高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的单调递减的，且函数是偶函数，那么（    ） A． B． C． D． 考点八：函数性质的综合应用 例8.（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【变式8-1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)若函数的最小值为2，求实数的取值. 【变式8-2】（23-24高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【变式8-3】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 1．（23-24高一下·云南怒江·阶段练习）的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（19-20高一上·河南驻马店·阶段练习）若奇函数在上为增函数，且有最小值1，则它在上（    ） A．是减函数，有最小值1 B．是增函数，有最小值-1 C．是减函数，有最大值1 D．是增函数，有最大值-1 4．（多选）（23-24高一下·山东淄博·期中）以下命题正确的有（    ） A．为偶函数 B．为奇函数，则 C．已知函数，a，b，．若，则 D．函数，为偶函数 5．（2020高三·全国·专题练习）已知函数y=f(x)的图象与函数y的图象关于原点对称，则f(x)= 6．（2024高三·全国·专题练习）设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图，则不等式的解集是 ． 7．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 . 8．（19-20高一上·福建莆田·阶段练习）设定义域为[a－1,2a]的函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b的图象关于y轴对称，求f(x)的值域． 9．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数． (1)求证函数为奇函数； (2)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (3)求在区间[2,6]上的最大值与最小值. 10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)写出的单调递减区间（无需证明）. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$