专题09 三角函数及其图象与性质的应用-【好题汇编】五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（全国通用）

专题09 三角函数及其图象与性质的应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 三角函数概念 2024 甲卷 2023 北京卷 2021甲卷 北京卷 2020 Ⅰ Ⅱ Ⅲ卷 终边角问题以及同角三角函数关系是高考的一个方向 考点02 三角函数恒等变形 2024 ⅠⅡ卷 2023 ⅠⅡ卷 2022 Ⅱ 卷 2021 Ⅰ卷 三角函数恒等变换是高考数学高频考点，常考是二倍角公式的应用 考点03 三角函数图像及性质 2024 北京 天津 Ⅰ Ⅱ 甲卷 2023 甲 乙卷 2022 北京 甲 Ⅰ卷 2021 北京 甲 Ⅰ卷 2020 Ⅰ Ⅲ卷 三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点 考点04 三角函数综合应用 2023 ⅠⅡ 卷 2022 甲卷 2020 北京卷 三角函数中ω的范围问题三角函数综合性质应用的重难点 考点01 三角函数概念 1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第2题)若α为第四象限角，则 (　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 【解析】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D． 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D． 2．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知，且，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，得， 即，解得或(舍去)， 又．故选：A． 3．(2021年高考全国甲卷)若，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A【解析】 ， ，，，解得， ，故选：A． 4．(2020年高考课标Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】，， 令，则，整理得，解得，即．故选：D． 5．（2024·全国·高考甲卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，所以，故选：B. 二 填空 6．(2021高考北京·)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 【答案】(满足即可) 【解析】与关于轴对称，即关于轴对称， ，则，当时，可取的一个值为． 故答案为：(满足即可)． 7．(2023年北京卷)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】①． ②． 【解析】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则． 不妨取，即满足题意．故答案为：． 考点02 三角函数恒等变形 1 （2024·全国·高考Ⅰ卷）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第8题)已知，则 (　　)． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，而，因此， 则， 所以．故选：B 2．(2023年新课标全国Ⅱ卷·)已知锐角，，则 (　　)． A． B． C． D． 【答案】D 解析:因为，而为锐角， 解得：．故选：D． 2．(2021年新高考Ⅰ卷·)若，则 (　　) A B． C． D． 【答案】C 解析:将式子进行齐次化处理得： ,故选C． 5．(2022新高考全国II卷·)若，则 (　　) A． B． C D． 【答案】C 【解析】由已知得：, 即：， 即： 所以, 故选：C 二 填空 6．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 考点03 三角函数图像及性质 1（2024·全国·高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即，且，所以.故选：B. 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A【详解】，由得， 即，当时，， 画出图象，如下图， 由图可知，在上递减， 所以，当时， 故选：A 二、多选题 4．（2024·全国·高考Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC 5．(2023年全国乙卷)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则，故选：D． 6．(2023年全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下， 考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为．故选：C． 7．(2021年新高考Ⅰ卷·)下列区间中，函数单调递增的区间是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析:因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件,故选A． 8．(2020年高考课标Ⅰ卷)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点， 将它代入函数可得： 又是函数图象与轴负半轴的第一个交点， 所以，解得： 所以函数的最小正周期为故选：C 9．(2022高考北京卷·)已知函数，则 (　　) A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C解析:因为． 对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错； 对于B选项，当时，，则在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对； 对于D选项，当时，，则在上不单调，D错．故选,C． 10．(2022年高考全国甲卷)已知，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,因为当 所以,即,所以；设， ，所以在单调递增，则,所以， 所以,所以，故选：A 11．(2022新高考全国I卷·)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则 (　　) A．1 B． C． D．3 【答案】A解析: 由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以． 故选：A 12．(2021高考北京·)函数是 (　　) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值． 故选：D． 二 填空 13．（2024·全国·高考甲卷）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 15．(2021年高考全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 【答案】2 【解析】由图可知，即，所以； 由五点法可得，即；所以． 因为，； 所以由可得或； 因为，所以， 方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即， 解得，令，可得， 可得的最小正整数为2． 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．故答案为：2． 16．(2020年高考课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=有如下四个命题： ①f(x)的图像关于y轴对称． ②f(x)的图像关于原点对称． ③f(x)的图像关于直线x=对称． ④f(x)的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误．故答案为：②③． 考点04 三角函数综合应用 1．(2022年高考全国甲卷数学)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，图象如下所示： 则，解得，即．故选：C． 2．(2020北京高考·第10题)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是 (　　)． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ，则．故选：A． 二 填空 3．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：． 4．(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，．故答案为：． 三 解答题 5 (2023年北京卷)设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)． (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，． 【解析】(1)因为 所以，因为，所以． (2)因为， 所以，所以的最大值为，最小值为． 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以，又因为，所以， 所以，所以，因为，所以． 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即．以下与条件②相同． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角函数及其图象与性质的应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点01 三角函数概念 2024 甲卷 2023 北京卷 2021 甲卷 北京卷 2020 Ⅰ Ⅱ Ⅲ卷 终边角问题以及同角三角函数关系是高考的一个方向 考点02 三角函数恒等变形 2024 ⅠⅡ卷 2023 ⅠⅡ卷 2022 Ⅱ 卷 2021 Ⅰ卷 三角函数恒等变换是高考数学高频考点，常考是二倍角公式的应用 考点03 三角函数图像及性质 2024 北京 天津 Ⅰ Ⅱ 甲卷 2023 甲 乙卷 2022 北京 甲 Ⅰ卷 2021 北京 甲 Ⅰ卷 2020 Ⅰ Ⅲ卷 三角函数图象伸缩变换及图象定区间最值极值问题是高考的重难点 考点04 三角函数综合应用 2023 ⅠⅡ 卷 2022 甲卷 2020 北京卷 三角函数中ω的范围问题三角函数综合性质应用的重难点 考点01 三角函数概念 1．(2020年高考课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 ( 　　) A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 2．(2020年高考课标Ⅰ卷)已知，且，则 (　 　) A． B． C． D． 3．(2021年高考全国甲卷)若，则 (　 　) A． B． C． D． 4．(2020年高考课标Ⅲ)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　 　) A．–2 B．–1 C．1 D．2 5．（2024·全国·高考甲卷）已知，则（     ） A． B． C． D． 二 填空 6．(2021高考北京·)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___． 7．(2023年北京卷)已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 考点02 三角函数恒等变形 1 （2024·全国·高考Ⅰ卷）已知，则（     ） A． B． C． D． 2．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知，则 (　 　) A． B． C． D． 3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·)已知锐角，，则 (　　)． A． B． C． D． 4．(2021年新高考Ⅰ卷·)若，则 (　 　) A B． C． D． 5．(2022新高考全国II卷·)若，则 (　　) A． B． C D． 二 填空 6．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 考点03 三角函数图像及性质 1（2024·全国·高考Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 二、多选题 4．（2024·全国·高考Ⅱ卷）对于函数和，下列说法中正确的有（     ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 5．(2023年全国乙卷理科)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则 (　 　) A． B． C． D． 6．(2023年全国甲卷)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7．(2021年新高考Ⅰ卷·)下列区间中，函数单调递增的区间是 (　　) A． B． C． D． 8．(2020年高考课标Ⅰ卷)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 (　　) A． B． C． D． 9．(2022高考北京卷·)已知函数，则 (　　) A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．(2022年高考全国甲卷)已知，则 (　　) A． B． C． D． 11．(2022新高考全国I卷·)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则 (　　) A．1 B． C． D．3 12．(2021高考北京·)函数是 (　　) A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 二 填空 13．（2024·全国·高考甲卷）函数在上的最大值是 ． 14．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 15．(2021年高考全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________． 16．(2020年高考课标Ⅲ卷)关于函数f(x)=有如下四个命题： ①f(x)的图像关于y轴对称． ②f(x)的图像关于原点对称． ③f(x)的图像关于直线x=对称． ④f(x)的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 考点04 三角函数综合应用 1．(2022年高考全国甲卷数学)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．(2020北京高考·)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(Day)．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形(各边均与圆相切的正边形)的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是 (　　)． A． B． C． D． 二 填空 3．(2023年新课标全国Ⅰ卷)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 4．(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 三 解答题 5 (2023年北京卷)设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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