专题11 平行四边形动点问题分类练（4种类型40道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题11 平行四边形动点问题分类练 （4种类型40道） 目录 【题型1平行四边形动点问题】 1 【题型2矩形动点问题】 5 【题型3菱形动点问题】 9 【题型4正方形动点问题】 13 【题型1平行四边形动点问题】 1．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿和各边运动，点P沿运动，点Q沿运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形是平行四边形． 2．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)的长为 ； (2)线段的长为 ；（用含t的代数式表示） (3)当以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形时，求出t的值． 3．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止）．若，设点的运动时间为秒，当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形？ 4．如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的长为____________（用含的代数式表示）． (2)当平分时，求的值． (3)如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 5．如图，在中，，，，于H，点E为线段AH上的一个动点，过点E作交于点F，连结．若的长为x，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式． (2)当四边形为平行四边形时，求S的值． (3)若点B关于E的对称点为，当点落在的内部（包含边界）时，则S的取值范围为______．（直接写出答案） 6．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点落在上时，求的长； (3)如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 8．在四边形中，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 9．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 10．如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、的于点、，交于点．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)如果在中，，，有两动点、分别从、两点同时出发，沿和各边运动一周，即点自停止，点自停止，点运动的路程是，点运动的路程是，当四边形是平行四边形时，直接写出与满足的数量关系． 【题型2矩形动点问题】 11．如图1，矩形中，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O，连接，． (1)求的长； (2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿和匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动． ①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？ ②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系． 12．如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 13．已知：如图，在矩形中，，，点为边上一动点，把沿翻折后得到．    (1)当点恰好落在矩形对角线上时，求线段的长； (2)当直线与边相交于点时，是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论； (3)当直线与边相交于点，且点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域． 14．在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒 (1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形． (2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值； ②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ． 15．如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． (1)求证：； (2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 16．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个内角都是．如图，长方形中，AD＝9厘米，厘米，E为边上一动点，从点D出发，以1厘米/秒向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a厘米/秒向终点C运动，运动的时间为t秒．    (1)当时， ①求线段的长； ②若此时平分，求a的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求t的值． 17．矩形中，点M是对角线上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F，点O为的中点． (1)如图1，当点M与点O重合时，请你判断与的数量关系，并加以证明； (2)当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 18．在矩形中，，． (1)如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长． 19．在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 20．在长方形中，，，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在边上时，请你直接写出的长为_______． (2)如图2，点E是边上一动点，过点E作交边于点F，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，点M是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点A的对称点为，当，M，C三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【题型3菱形动点问题】 21．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 22．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，（、，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长 ； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积 ． 23．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．    (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 24．已知，如图，为射线上的一动点，为的角平分线且交于点，以为边在内部作菱形，使得交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明； (3)若的周长为3，求菱形的周长． 25．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 26．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． (1)求菱形的面积； (2)若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； (3)若时，探究的值． 27．已知，在菱形中，，点E为边上一个动点，以为边作，交边于F，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)如图2，连接交于M，N． ①若，求证：以为边所构成的三角形为直角三角形； ②若，试直接写出的长_______． 28．在中，、分别是、的中点，连接、．    (1)求证：； (2)如图，当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由； (3)如图，为的中点，是线段上一动点，在（2）的条件下，若，，求的最小值． 29．如图，菱形的边长为6，，E，F分别是边、上的两个动点，且满足．    (1)求的长； (2)判断的形状； (3)设的周长为l，求l的最小值． 30．如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧做线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当____________时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当___________时，将平行． 【题型4正方形动点问题】 31．已知正方形，点F是射线上一动点（不与C、D重合）．连接并延长交直线于点E，交于H，连接，过点C作交于点G．    (1)若点F在边上，如图1 ①证明： ②猜想的形状并说明理由． (2)取中点M，连接．若，正方形边长为4，求的长． 32．在“折纸中的数学”中，有同学以“矩形纸片的折叠”开展探究活动．现有矩形纸片（），点G在线段上，折痕为，点B的对应点H恰好落在上， 【探究一】如图1，求证：四边形是正方形． 【探究二】如图2，在【探究一】中的正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点B落在点F处，连接，延长交于点P，延长交线段于点Q． ①当Q与点A重合时，问与的数量关系，并证明． ②如图3，若，求线段的长（用a表示）． 33．已知在正方形中，点E是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值． 34．如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 35．正方形中，点是射线上一动点，连结，过作，交射线于，连结． (1)如图①，请补全图形： (2)如图②，当点在的延长线上时，试确定线段与之间的数量关系，并说明理由： (3)如图③，当点在的延长线上，若，直接写出四边形的面积______． 36．如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．    (1)求证； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形： ②求证； ③若，证明． 37．如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 38．如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B、C重合），连接，点C关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点P，F是的中点．连接 (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值． 39．已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，. (1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． 40．如图，正方形中，连接的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点，点P是线段上的动点，于点Q，连接，    (1)填空：____． (2)求证： (3)若，当的值最小时，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题11 平行四边形动点问题分类练 （4种类型40道） 目录 【题型1平行四边形动点问题】 1 【题型2矩形动点问题】 26 【题型3菱形动点问题】 52 【题型4正方形动点问题】 80 【题型1平行四边形动点问题】 1．如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，动点P，Q分别从B，C两点同时出发，沿和各边运动，点P沿运动，点Q沿运动，点P的运动速度为1个单位长度/秒，点Q的运动速度是点P的2倍，点Q到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，直接写出t为何值时，四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)见详解 (3)t的值为或 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的意义及平行四边形的性质可证，则，因此； （2）由等腰三角形的判定及平行四边形的性质可证，而，故得证； （3）、为边长为1的等边三角形， 则①当点P在上，点Q在上时，可得；②当点P在上，点Q在上时，可得，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）证明：∵平分， ∴与（1）同理可得． ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴为边长为1的等边三角形，同理也为边长为1的等边三角形． ①当点P在上，点Q在上时，如图． 当时四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴； 　　　 ②当点P在上，点Q在上时，如图． 当时， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴此时四边形为平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或． 2．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1)的长为 ； (2)线段的长为 ；（用含t的代数式表示） (3)当以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形时，求出t的值． 【答案】(1)10 (2)或 (3)或1 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）分Q在线段和线段的延长线上讨论即可； （3）由知，要使以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形，则，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中， ，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：10； （2）解：当Q在线段上，， 当Q在线段的延长线上，， 综上，或， 故答案为：或； （3）解：∵， ∴要使以P、Q、A、B为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴或， 解得或． 3．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点A向点运动． (1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． (2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． (3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止）．若，设点的运动时间为秒，当为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3)当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形 【分析】（1）证明是等边三角形即可求得答案； （2）根据平行四边形的性质得到，，进一步推算出，换算得到，最后根据等边三角的性质求出面积即可； （3）若四边形是平行四边形，则，分别根据四种情况建立方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如下图所示， ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴C到的距离为， ∴； （3）解：∵平行四边形， ∴，， 若四边形是平行四边形， 则， 当时，，， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得秒； 当时，，， ∴， 解得秒； 当时，，， ∴， 解得秒； 综上所述：当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、一元一次方程的应用、以及分类讨论的数学思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． (1)线段的长为____________（用含的代数式表示）． (2)当平分时，求的值． (3)如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为 或8或 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，可求解； （3）根据题意得：，利用平行四边形的性质分四种情况：当点Q没有到达点B时；当点Q到达点B后，返回时；当点Q到达点C后，返回时；当点Q第二次到达点B后，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴． 故答案为：； （2）解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时， ， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， ， ∴， 当点Q到达点C后，返回时， ， ∴， 当点Q第二次到达点B后， ， ∴． 综上所述：t的值为或8或 ． 5．如图，在中，，，，于H，点E为线段AH上的一个动点，过点E作交于点F，连结．若的长为x，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式． (2)当四边形为平行四边形时，求S的值． (3)若点B关于E的对称点为，当点落在的内部（包含边界）时，则S的取值范围为______．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得和均为含30度角的直角三角形，进而用含x的式子表示出，根据可得答案； （2）当四边形为平行四边形时，，由此求出x 的值，代入（1）中结论可得答案； （3）当点在上时，点E在位置处，S取最大值，当点在上时，点E在位置处，S取最小值． 【详解】（1）解： 中，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 的长为x， ， ， 又 中，， S关于x的函数关系式为：． （2）解： ，， ， ， 由（1）知中，， ， 当四边形为平行四边形时，， ， ， ； （3）解：点B关于E的对称点为， ， 当点在上时，点E在位置处，S取最大值， 中，， ，， 又 ， ， ， ， ， S的最大值； 当点在上时，点E在位置处，S取最小值，作于， 同理可证， ，， ， ， ， ， ， ， ， S的最小值； 综上可知，S的取值范围为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，第三问有一定难度，找出S取最值时点E的位置是解题的关键． 6．如图，在中，，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动；动点Q同时从点A出发，以每秒的速度沿的边顺时针匀速运动；设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当______秒时，P，Q两点相遇； (3)是否存在t的值，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）结合题意利用距离速度时间的关系式解答即可； （2）利用的代数式表示出点，移动的距离，再利用两点移动的距离之和为平行四边形的周长列方程解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当为平行四边形时，利用平行四边形的对边相等的性质列出关于的方程解答即可；②当为平行四边形时，利用同样的方法解答即可． 【详解】（1）解：动点从点出发，以每秒的速度沿的边逆时针匀速运动， 点t秒运动的距离为， ， 当点在上运动时，， 故答案为：； （2）解：在中，，， 的周长为． 由题意得：点经过秒运动的距离为，点经过秒运动的距离为， ，两点相遇时，， ， ． 当秒时，，两点相遇． 故答案为：； （3）解：存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒．理由： ①当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． ②当为平行四边形时，如图， 由题意得：，， 四边形为平行四边形， ， ， ． 综上，存在的值，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，的值为秒或秒． 7．如图，在平行四边形中，点E是边上的动点，现将沿折叠，点是点B的对应点． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若点落在上时，求的长； (3)如图3．若取的中点F，连接，求的取值范围 【答案】(1)见解析 (2)的长是 (3)的取值范围是 【分析】（1）由平行四边形的性质得由折叠得则进而即可证明四边形是平行四边形； （2）由题意作交的延长线于点H，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解； （3）根据题意取的中点T、连接进一步得出是等边三角形，并且分析出当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大，结合平行四边形的性质及勾股定理进行分析求解。 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ 由折叠得 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图2，作交的延长线于点H， ∵ ∴ ∵点落在上， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ 3， ∵ ∴ ， ∴的长是． （3）解：如图3，取的中点T、连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵点F是的中点，T是的中点， ∴ 3， ∵，且， ∴， ∴的最小值是3； ∵点E是边上的动点， ∴当点F在直线的上方，且点E与点C重合时的值最大， 如图4，点E与点C重合， ∴， ∴三点在同一条直线上， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴的最大值为， ∴的取值范围是． 【点睛】本题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 8．在四边形中，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系； ②如图3，当点在线段上时，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件得到，，再由平行四边形的判定即可得证； （2）①连接，可知是等腰直角三角形，再证明，利用全等三角形性质即可得到； ②过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①， 理由如下：连接，如图所示： 由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②证明：过点作交于点，如图所示： ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，则， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)； (4)1或． 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点的临界值时的值，从而得到的取值范围； （4）画出符合题意的图形，利用的长度列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ． 四边形为平行四边形， ． ①当时，， ②当时， （2）证明：连接，如图，    在中，为对角线的中点， 经过点，， 四边形为平行四边形， ， ． 在和中， ， ， （3）解：①当点与点重合时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ②当点落在边上时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 当点在内部时，的取值范围为： （4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，      ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，    ， ， ． 综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 10．如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、的于点、，交于点．    (1)试说明：； (2)试说明：； (3)如果在中，，，有两动点、分别从、两点同时出发，沿和各边运动一周，即点自停止，点自停止，点运动的路程是，点运动的路程是，当四边形是平行四边形时，直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明即可； （2）由（1）知：，根据平行四边形性质求出，，，推出，根据证明即可； （3）分为三种情况，求出的周长，每种情况都等于的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知：， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵垂直平分， ∴， ∵在中，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴的周长是， 的周长也是， ①当在上，在上， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ；    ②当在上，在上， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴ ；    ③当在上，在上， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， 综上所述，与满足的数量关系为．    【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质运用，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【题型2矩形动点问题】 11．如图1，矩形中，，对角线的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为O，连接，． (1)求的长； (2)如图2，动点M，N分别从B，D两点同时出发，分别沿和匀速运动，其中一点到达终点时另一点也随之停止运动． ①若点M的运动速度为每秒5个单位长度，点N的运动速度为每秒4个单位长度，运动时间为t秒，则当t为何值时，以B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形？ ②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），当B，M，D，N四点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出m，n所满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）垂直平分，设=x，则，在中，用勾股定理可求； （2）①根据题意进行分类讨论：当点M在上与不平行，故不能构成；当点M在上，点N在上，与不平行，不能构成；点M在上，点N在上，，只要，用含t的式子表示与，解之即可，②若点M，N两点的运动路程分别为m，n（m，），，由于点M，N的速度没有限定，故在三段路程中都能构成平行四边形，分类考虑表示m、n再求和即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分于， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴． （2）解：①根据矩形性质可得：， Ⅰ、当点在上时，时，当点在上时， ∵与不平行， ∴此时，，，四点不可能构成平行四边形； Ⅱ、当点在上，点在上时，， ∴当时，以四点为顶点的四边形是平行四边形． 由题意，得，， ∴， 解得． ∴当秒时，以四点为顶点的四边形是平行四边形． Ⅲ、当点在上时，点在或上，此时，，，四点也不能构成平行四边形． ∴只有当点在上，点在上时，才可能构成平行四边形． 综上：． ②若以四点为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况： Ⅰ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 得； Ⅱ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 此时，， ∴， ∴； Ⅲ、当点在上，点在上时， ∵，以四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【点睛】本题考查的是综合问题涉及的知识较多，掌握垂直平分线，线段的长的求法，勾股定理，平行四边形的判定和性质，图形行程问题中的平行四边形的性质与判定等知识是解题关键． 12．如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果； ②分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 由折叠知， ． 如图1，过点作于点， ， ； （2）解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ． 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 13．已知：如图，在矩形中，，，点为边上一动点，把沿翻折后得到．    (1)当点恰好落在矩形对角线上时，求线段的长； (2)当直线与边相交于点时，是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论； (3)当直线与边相交于点，且点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域． 【答案】(1)3 (2)一定是等腰三角形，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边等等： （1）先由矩形的性质与折叠的性质得到，，，，则由勾股定理可得，，设，则，在中，由勾股定理得．即，解方程即可得到答案； （2）由折叠的性质和矩形的性质证明，得到，即可证明是等腰三角形； （3）由折叠的性质可得，，，，求出，在中， 由勾股定理得到，则．再分别求出当点与点重合时，当点与点重合时的长即可． 【详解】（1）解： 在矩形中，，，，将沿翻折后得到，点恰好落在矩形对角线上，   ，，，， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得． ． 解得， 即； （2）解：一定是等腰三角形．证明如下： 将沿翻折后得到，且直线与边相交于点， ， ∵矩形中，， ， ， ， ∴是等腰三角形； （3）由折叠得：，，，， ， ， 在中，， ， ． 当点与点重合时，如图：    由折叠得：，，，， ， 当点与点重合时，如图：    由折叠得：，，，， ， ， ， 函数定义域为． 14．在矩形中， E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒 (1)如图1，M、N分别是中点，当 s时，四边形是矩形． (2)若在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动． ①如图2，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，求t值； ②如图3，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得，顺次连接P、G、Q、H，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】(1)或 (2)①，②10 【分析】（1）连接，证明，可得，，可证得四边形为平行四边形，从而得到当时，四边形为矩形，再证明四边形是矩形，可得，在中，根据勾股定理求出的长，即可； （2）①连接，根据线段垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理求出，，再证明，可得，从而得到，再由，可得，，从而得到四边形是平行四边形，再由四边形的面积是矩形面积的一半，可得，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，过点作于，连接，，则，，，根据勾股定理，可得，证明四边形是平行四边形，可得四边形的周长为，即当点，，三点共线时，四边形的周长最小，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， 、分别是，中点， ，， 、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 或， 解得：或， 综上所述，当或时，四边形是矩形； 故答案为：或； （2）解：①如图2，连接， 垂直平分， ， 在中， 即， 解得：， ， 根据题意得：，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的面积是矩形面积的一半， ，， ， ， 解得：； ②如图3，作点关于的对称点，过点作于，连接，，则，，， ∵在点E、F运动的同时，点G以每秒1个单位长度的速度从A出发，沿折线运动，点H以每秒1个单位长度的速度从C出发，沿折线运动 ∴ ， ， 四边形是矩形， ，， ∴ 、是直线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度， ， ∵， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ 四边形为平行四边形， 四边形的周长为， 即当点，，三点共线时，四边形的周长最小，最小值为． 故答案为：10． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，轴对称的最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 15．如图，矩形中，，．一动点P从B点出发沿对角线方向以每秒2个单位长度的速度向点D匀速运动，同时另一动点Q从D点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间为t秒．过点P作于点E，连接，． (1)求证：； (2)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)或，理由见解析 【分析】本题考查动点问题及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及是否停止和有无取值范围是解题的关键． （1）由垂直得，在中，，由，可得，即可证明结果； （2）分类讨论：①当，②当，③当即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①当时， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即； ②当时，， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ③当时，此种情况不存在， 综上所述，当或时，为直角三角形． 16．在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个内角都是．如图，长方形中，AD＝9厘米，厘米，E为边上一动点，从点D出发，以1厘米/秒向终点A运动，同时动点P从点B出发，以a厘米/秒向终点C运动，运动的时间为t秒．    (1)当时， ①求线段的长； ②若此时平分，求a的值； (2)若，且是以为腰的等腰三角形，求t的值． 【答案】(1)①；② (2)t的值为秒或3秒 【分析】此题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解（1）的关键是判断出，解（2）的关键是分两种情况讨论． （1）先得出，，进而， ①在中，根据勾股定理得到的长度， ②先判断出，得出，进而建立方程即可得出结论； （2）先得出，再分两种情况①，②，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）如图1所示：   四边形是长方形， ，，， 当时，由运动知，，， ①在中，根据勾股定理得，， 故填：5； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）当时，由运动知，，， ， 在中，， 是以为腰的等腰三角形， ①， ， ； ②当时，过点P作于F，如图2所示：    ∵四边形为矩形， ∴， 又∴， ∴四边形为矩形， ∴厘米，厘米 ∴厘米， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 解得：（秒）， 综上所述：t的值为秒或3秒． 17．矩形中，点M是对角线上的一个动点（点M不与点B，D重合），分别过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F，点O为的中点． (1)如图1，当点M与点O重合时，请你判断与的数量关系，并加以证明； (2)当点M运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立．加以证明，若不成立，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及三角形的全等，熟练的运用矩形的性质，通过矩形的性质得出线段和角度之间的相等关系从而构建全等三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出线段和角度之间的等量关系，证明即可． （2）补全图形，构造全等三角形，通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵过点B，D向射线作垂线，垂足分别为点E，F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．在矩形中，，． (1)如图1，为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当，，三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)1.8或 (3)4或16 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得：，再由勾股定理计算即可得出答案； （2）分两种情况：当时，作于，根据折叠的性质，易证，得出求解；当时，设，利用勾股定理求解即可； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，利用等角对等边的性质和勾股定理分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：， ∴； （2）解：当时，作于，如图， ， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知，,， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图， ， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：当点在线段上时， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，如图， ， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 19．在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将，沿直线翻折到，延长与直线交于点M． (1)求证：； (2)当点E是边的中点时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据矩形的性质和折叠的性质，推出，即可得证； （2）先证明，得到，设，在中利用勾股定理进行求解即可； （3）分点E在线段上和点E在线段的延长上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； （2）解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（1）知，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； （3）解：当时，设， 第一种情况，点E在线段上，如图所示： 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，点E在线段的延长线上，如图所示： 则 ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 综上可知，当时，的长为或． 20．在长方形中，，，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在边上时，请你直接写出的长为_______． (2)如图2，点E是边上一动点，过点E作交边于点F，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长； (3)如图3，点M是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点A的对称点为，当，M，C三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)3 (2)或 (3)2或8 【分析】（1）利用翻折变换的性质以及勾股定理求解即可； （2）分两种情形：如图2-1中，当，过点D作于点J．证明，可得结论．如图2-2中，当时，利用勾股定理，构建方程求解即可； （3）分两种情形：如图3-1中，当点M在线段上时，证明，求出即可．如图3-2中，当点M在的延长线上时，同法可证，再求出即可． 【详解】（1）解：如图1中，∵四边形是矩形， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∵， ∴， 故答案为：3； （2）如图2-1中，当，过点D作于点J．    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图2-2中，当时，    设，则， ∴， ∴． 综上所述，的长为或； （3）如图3-1中，当点M在线段上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图3-2中，当点M在的延长线上时，同法可证，    ∵，， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【题型3菱形动点问题】 21．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； 【答案】(1)； (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析． 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据菱形的性质结合，可证明，都是等边三角形，然后利用证明，得到，，延长交于，由，可求出，即，即可证明结论； （2）结论仍然成立，根据题意作出图形，证明过程与（1）类似． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． 22．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边，（、，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)①如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； ②在①的条件下，连接，若，，直接写出的长 ； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接．若，，请直接写出的面积 ． 【答案】(1)，； (2)①仍然成立，见解析；② (3)或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明即可证得结论； （2）①（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明即可； ②根据已知得出，进而根据①可得，根据，勾股定理，即可求解； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接，延长交于点，   四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，； 是等边三角形， ，， ， ， ； 四边形是菱形， ， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）（1）中的结论：， 仍然成立，理由如下： 如图2中，连接，设与交于，   菱形，， 和都是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （1）中的结论：， 仍然成立； ②如图所示， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． （3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，   四边形是菱形，    平分， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形， ， 如图中，当点在的延长线上时，同法可得 ，    ∴． 【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来． 23．在菱形中，，P是直线上一动点，以为边向右侧作等边，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．    (1)如图1，当点P在线段上，且点E在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是 ，与的位置关系是 ； (2)如图2，当点P在线段上，且点E在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点P在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，延长交于，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）分两种情形：当点在的延长线上时或点在线段的延长线上时，连接交于点，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求、、的长及等边三角形的边长可得结论． 【详解】（1）如图1，连接，延长交于，   四边形是菱形，， ，都是等边三角形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， 同理可证是等边三角形， ， ，即 又， ． 故答案为：，； （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接，   ，为等边三角形， 在和中，，， 又， ， ， ，， 设与交于点， 同理可得， ， 又， ． （3）如图3中，当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，作于，   四边形是菱形， ，平分， ，， ， ， ， ， 由（2）知， ，， ， 由（2）知， ， ， ， 是等边三角形，， ， ； 如图4中，当点在的延长线上时，同法可得，   ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 24．已知，如图，为射线上的一动点，为的角平分线且交于点，以为边在内部作菱形，使得交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明； (3)若的周长为3，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形，可得，进而可证； （2）由，可得，由为的角平分线，可得，由，，可得，进而可证； （3）如图，在上取点，连接，使，证明，则，，如图，过作，则是等边三角形，，证明四边形是平行四边形，则，，，即，由的周长为3，可得，即，，，如图，连接，则是等边三角形，，由等边对等角，三角形内角和定理可求，由勾股定理得，然后求周长即可． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，证明如下； ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，在上取点，连接，使， 由（2）可知，， 又∵，， ∴， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴是等边三角形，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的周长为3， ∴， ∴，， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由勾股定理得， ∴， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，等边对等角，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 25．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（A，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是________，与的位置关系是________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析 (3)的面积为或． 【分析】（1）连接，延长交于H，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由，即可证明； （2）连接，与交于点，证明，得到，，再证明，即可得到：，再由即可证明； （3）分两种情形：当点P在的延长线上时或点P在线段的延长线上时，连接交于点O，由，根据勾股定理求出的长即得到的长，再求的长及等边三角形的边长可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于H，如图所示， ∵四边形是菱形，， ∴，都是等边三角形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证是等边三角形， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接，如图所示， ∴，为等边三角形， 在和中，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 设与交于点H， 同理可得， ∴， 又∵， ∴． （3）解：如图3中，当点P在的延长线上时，连接交于点O，连接，作于F，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴； 如图4中，当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题． 26．如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且，相交于点． (1)求菱形的面积； (2)若点运动到中点时，求证：四边形是平行四边形； (3)若时，探究的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)32 【分析】（1）连接，交于点，先证明为等边三角形求出，再根据勾股定理求出即可求出，最后根据菱形的面积公式即可求得答案； （2）根据E是中点证明，再证明,，即可证得四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，先证明，再证明，从而得到，进一步得到的表达式，再求出的表达式和的值，最后利用勾股定理建立等式进行变形即可求得答案． 【详解】（1）如图，连接，交于点， 四边形是菱形， 为等边三角形 在中， ∴菱形的面积 （2）如下图所示，连接、， 为中点， ， ， 四边形是菱形， , , 四边形是平行四边形； （3）过点C作，垂足为H，设，如图所示， 四边形是菱形 ， ， 在中， ， ， ， 在中，，， ，即， 整理得： ． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式． 27．已知，在菱形中，，点E为边上一个动点，以为边作，交边于F，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)如图2，连接交于M，N． ①若，求证：以为边所构成的三角形为直角三角形； ②若，试直接写出的长_______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）连接，证明即可； （2）将绕点A顺时针旋转，得到，连接，证明，得出，证出即可解决问题； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，连接，作垂足为H，证出，根据所对的直角边是斜边的一半求出的值，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）解：①将绕点A顺时针旋转，得到，连接，   ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 以为边所构成的三角形为直角三角形， 以为边所构成的三角形为直角三角形； ②将绕点A顺时针旋转，得到，连接，作垂足为H，   ， 由①知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同①得：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，所对的直角边是斜边的一半，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 28．在中，、分别是、的中点，连接、．    (1)求证：； (2)如图，当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由； (3)如图，为的中点，是线段上一动点，在（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)当时，四边形DEBF是菱形；理由见解析； (3)． 【分析】（1）先证明是平行四边形，然后根据性质即可证明； （2）根据菱形的判定方法即可； （3）先找对称点，然后当三点共线时，求出最小值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，   ∵、分别为、的中点， ∴，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）当时，四边形是菱形． 理由：∵，为的中点， ∴，   ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （3）如图，连接，连接交于，    ∵四边形是菱形， ∴点和点关于对称， ∴，   ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，即为的长， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定，等边三角形判定与性质是解题的关键． 29．如图，菱形的边长为6，，E，F分别是边、上的两个动点，且满足．    (1)求的长； (2)判断的形状； (3)设的周长为l，求l的最小值． 【答案】(1) (2)是等边三角形 (3) 【分析】（1）根据菱形对角线平分且垂直的性质，求得； （2）先证明，得，，从而得到是等边三角形； （3）先确定条件，即当时，最短，此时的周长最短，由三角函数求出，从而得出的最小值． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ∵， 是等边三角形， ； （2）解：是等边三角形； 在与中，，，， ， ，， ， 是等边三角形； （3）解：当时，最短，此时的周长最短，    在中，， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题是菱形的性质，勾股定理，30度所对的边等于斜边的一半，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． 30．如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧做线段，使得，连接． (1)补全图形，并回答问题：当____________时，； (2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明； (3)直接写出当___________时，将平行． 【答案】(1)图形见解析，6 (2)，见解析 (3)4 【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点C作交于点G，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当，四边形为菱形，得出，，得出当点E在对角线的交点O上时，符合题意，此时； （2）连接、，证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，得出． （3）连接，，证明，得出，证明，证明四边形为平行四边形，得出，从而得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： 过点C作交于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， 即， ∴当时，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴当点E在对角线的交点O上时，符合题意， 此时， 故答案为：6． （2）解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 根据解析（2）可知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即当时，将平行， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定． 【题型4正方形动点问题】 31．已知正方形，点F是射线上一动点（不与C、D重合）．连接并延长交直线于点E，交于H，连接，过点C作交于点G．    (1)若点F在边上，如图1 ①证明： ②猜想的形状并说明理由． (2)取中点M，连接．若，正方形边长为4，求的长． 【答案】(1)①见解析；②是等腰三角形，理由见解析； (2)7或1． 【分析】（1）①只要证明，即可解决问题； ②只要证明，即可解决问题； （2）分两种情形解决问题.①如图当点F在线段上时，连接，②当点F在线段的延长线上时，连接．分别求出即可解决问题. 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：结论：是等腰三角形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）①如图当点F在线段上时，连接．    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． ②当点F在线段的延长线上时，连接．    同法可证是的中位线， ∴， 在中，， ∴． 综上所述，的长为7或1． 32．在“折纸中的数学”中，有同学以“矩形纸片的折叠”开展探究活动．现有矩形纸片（），点G在线段上，折痕为，点B的对应点H恰好落在上， 【探究一】如图1，求证：四边形是正方形． 【探究二】如图2，在【探究一】中的正方形中，点E是上一动点，将正方形沿着折叠，点B落在点F处，连接，延长交于点P，延长交线段于点Q． ①当Q与点A重合时，问与的数量关系，并证明． ②如图3，若，求线段的长（用a表示）． 【答案】探究一：见解析；探究二：①，理由见解析；② 【分析】本题考查正方判定及性质，翻折性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等． 探究一：利用矩形性质和翻折性质可得四边形是矩形，再利用邻边相等继而得到本题答案； 探究二：分情况讨论，当Q与点A重合时和不重合时，证明，即可得到两边关系，另一种情况利用勾股定理同理即可得到本题答案． 【详解】解：探究一：证明：在矩形中，， ∵点B沿翻折，使得对应点H恰好落在上， ∴；， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴四边形是正方形． 探究二：①当Q与点A重合时，为正方形的对角线， ． ∵由沿翻折得到， ∴，，， ∴为等腰直角三角形，， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在等腰直角中，有， ； ②连接， ∵由沿翻折得到 ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， 令，，则， ∴， 在中， ， ， 解得， ． 33．已知在正方形中，点E是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果； （2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论； （3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，连接， 四边形是正方形， ∴，，，，， ， ，，， ， ； （2）证明：如图2，延长，交于，连接，， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， 作，作于，作于，交于，作于， ， ， 当点在处时，最小， ，， ， ， 设，则，， ， ， 当的值取得最小时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 34．如图，在正方形中，是边上的一动点，点在边的延长线上，且，连接、． (1)求证：； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形； ②求证：； ③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析；②证明见解析；③，证明见解析 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）①依题意，补全图形即可； ②由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论； ③先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证，得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， ，即， ； （2）解：①解：依题意，补全图形如图所示： ②证明：由（1）可知，和都是直角三角形， 是的中点， ，， ； ③解：， 证明如下： 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 35．正方形中，点是射线上一动点，连结，过作，交射线于，连结． (1)如图①，请补全图形： (2)如图②，当点在的延长线上时，试确定线段与之间的数量关系，并说明理由： (3)如图③，当点在的延长线上，若，直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据题意作出图形，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，交于点，则，证明得出，，进而证明四边形是矩形，得出，根据是等腰直角三角形，得出，即可得出结论； （3）过点作于点，同理可得，则，进而得出，，根据四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2） 理由如下，如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，交于点，则 ∴ 设， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 又 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， 同理可得，则， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴，， ∴， ∴四边形的面积 故答案为：． 36．如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．    (1)求证； (2)连接，取中点，连接并延长交于，连接． ①依题意，补全图形： ②求证； ③若，证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③见解析 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得，，即可得出结论；③先证是等腰直角三角形，得，再证，，，得，，，然后证，得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ， ， 即， ； （2）①解：依题意，补全图形如图所示：    ②证明：由（1）可知，和都是直角三角形， 是的中点， ，， ； ③解：，证明如下： 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ， 为的中点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 37．如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），；（）（）中得到的结论仍然成立，证明见解析；（）或． 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）当正方形绕点旋转到如图位置时，    连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接，    由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 38．如图，在正方形中，E是边上的一动点（不与点B、C重合），连接，点C关于直线的对称点为，连接并延长交直线于点P，F是的中点．连接 (1)求的度数； (2)连接，求证：； (3)连接，若正方形的边长为10，求的面积最大值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）证明，，即可得到答案； （2）作交的延长线于，证明，则，得到，在中，，则，即可得到结论； （3）过作于G，则，求出，当最大时，的面积最大，连接，交于O，最大，得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：由对称得：， 在正方形中，， ∴， ∵F是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：如图，作交的延长线于， ∴， 在正方形中，， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于G，则， 在中，， ∴， 当最大时，的面积最大， 连接，交于O，最大， ∵，， ∴， ∴， 即的面积最大值为． 【点睛】此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 39．已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，. (1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长； (2)如图2，若，过点作于点，求证：； (3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的最小值为． 【分析】（1）根据正方形的性质，求得，，在中，根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （2）过点作 于点，证明是等腰直角三角形，，进而证明是等腰直角三角形，根据即可得证； （3）取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得，则当时，的面积最大，由，可得当三点共线时，取得最小值，证明四边形是矩形，可得，即的最小值为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，∴，， 在中，， ∵为的中点， ∴； （2）证明：如图，过点作 于点， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即； （3）证明：如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， 将沿BC翻折得， 是直角三角形， ， 当时，的面积最大， 是的中点， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图乙所示，则点与重合， ∵， ，，三点共线时，取得最小值， ， ，， 则四边形是矩形， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 40．如图，正方形中，连接的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点，点P是线段上的动点，于点Q，连接，    (1)填空：____． (2)求证： (3)若，当的值最小时，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形性质可求出，由角平分线求出，再由直角三角形两锐角互余求出结果即可； （2）先证明，得出，，由三角形外角性质求出的度数，根据等角对等边得出，从而得出结论； （3）通过角度关系得到，推出为等腰三角形，根据三线合一得出，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，过点D作交于点Q，根据等腰三形性质得出，点与H点关于对称，当时， 的值最小，利用勾股定理求出的长度，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， 为的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ； （3），， ， ， ， ， 为的角平分线， ， 如图，过点D作交于点Q，   为正方形， ， 为等腰三角形， 点与H点关于对称， ， ， 当时，的值最小， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的相关计算，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$