专题10 平行四边形压轴题分类练（4种类型40道）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题10 平行四边形压轴题分类练 （4种类型40道） 目录 【题型1平行四边形压轴题】 1 【题型2矩形压轴题】 5 【题型3菱形压轴题】 9 【题型4正方形压轴题】 13 【题型1平行四边形压轴题】 1．如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长； (2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：； (3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 2．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 3．在中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点为延长线上一点，连接交于点，连接EG，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，连接，直接写出线段长度的最小值． 4．已知，是的中线，过点C作．    (1)如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形； (2)P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接． ①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由． ②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值． 5．在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图1，求的度数；    (2)如图2，在上取点，使得，求证：；    (3)如图3，在2问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积．    6．已知,在中,,,为射线上一点,连接交于点． （1）如图1,若点与点重合,且,求的长; （2）如图2,当点在边上时,过点作于,延长交于,连接．求证:; （3）如图3,当点在射线上运动时,过点作于,为的中点,点在边上且,已知,请直接写出的最小值． 7．在中，，，延长交于点F，，交于点H．点M是边上的点． （1）如图1，若点M与点G重合，，，求的长； （2）如图2，若是的角平分线，连接，，求证：； （3）如图3，若点M为的中点，作点B关于的对称点N，连接、、，请直接写出、、之间的角度关系． 8．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，其中，于G，交BA延长线E，CF平分，连接，. （1）如图1，若，，求的面积. （2）如图2，若，求证：. （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M，N是线段CF，CD上的动点，求的最小值.                             9．已知，在平行四边形中，，，E为射线上一点，连接交于点F．      (1)如图1，若点E与点C重合，且，求的长； (2)如图2，当点E在边上时，且，过点D作于G，H为线段上一点，连接．当时，试猜想、、之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，当点E在射线上运动时，过点D作于G，M为的中点，点N在边上且，已知，请直接写出的最小值． 10．已知如图，在 中，点是边上一点，连接、，，，点是上一动点，连接． （1）如图1，若点是的中点，，求 的面积； （2）如图2，当时，连接，求证：； （3）如图3，以为直角边作等腰，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【题型2矩形压轴题】 11．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且，连接EF． (1)如图1，若点E在AB中点处，且，求EF的长； (2)如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，求证：； (3)如图3，若点E在AB的延长线上，且，请直接写出线段的值． 12．在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点． (1)如图①．当时，若，求的长； (2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：． (3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值． 13．在矩形中，是边上一点．    (1)若，平分，且，求的面积； (2)若是中点且，于点，求证：； (3)若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系． 14．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． (1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； (2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； (3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 15．如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE． （1）若BE＝4，CE＝，求AD的长； （2）如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH＝DE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BE＝BC时，请直接写出的值． 16．如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，． (1)求的长； (2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，． ①求点A到的距离； ②求的值． 17．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以2cm/s的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，连结交对角线于点．设点的运动时间为． (1)当四边形是矩形时，求出的值． (2)当四边形是菱形时，求的值． (3)当是等腰三角形时，直接写出的值． 18．矩形中，中，．连接，点G是中点，将绕点B顺时针旋转． (1)如图1，若点B恰好在线段延长线上，，连接EG，求EG的长度； (2)如图2，若点E恰好落在线段上．连接，证明： ； (3)如图3，若点E恰好落在线段延长线上，点M是线段上一点，，N是平面内一点，满足，已知，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 19．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF． （1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG＝6，求FCG的面积； （3）当DG为何值时，△FCG的面积最小． 20．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BO）的对角线的交点O旋转（图①⇒图②），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点． （1）如图①，当三角板一直角边与OD重合时，该学习小组成员意外的发现：BN2＝CD2+CN2，请你说明理由； （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； （3）如图③，若AD＝8，AB＝6，E为矩形外的一点，且AE⊥CE，F为AE的中点，O为AC的中点，取AO的中点G，连接BG，当F在线段BG上时，则BF的值为　 　． 【题型3菱形压轴题】 21．菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点． (1)如图1，若，当时，求的长； (2)以为边向右侧作等边，连接，． ①如图2，点是中点，连接，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 22．已知在菱形中，，连接对角线．    (1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； (2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 23．菱形的对角线交于点． (1)如图，过菱形的顶点作于点，交于点，若，四边形的面积为，求菱形的边长； (2)如图，菱形中，过顶点作于点，交延长线于点，线段交于点，若，求证：； (3)如图，菱形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 24．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、． (1)如图1，与交于点，若，，，求的长； (2)如图2，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值． 25．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE． (1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数； (2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明． (3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值． 26．在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，P是对角线BD上一点，E是BC边的延长线上一点，PE=PA． (1)如图1，求∠APE的度数； (2)如图2，BE的垂直平分线交BD于F，交BE于G，求证；AB=PF (3)如图3，PE交CD于M，当∠CME=45°时，直接写出= ． 27．如图，在菱形中，，，于点，点为线段上的动点，为线段上任意一点，连接和． （1）如图1，当时，求的长． （2）如图2，作交于点，为的中点，连接，，．猜想线段与存在的数量关系，并证明你猜想的结论． （3）在点的运动过程中，当的值最小时，请直接写出的长． 28．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE； （3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长． 29．已知菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，交BD于点P． (1)如图1，若，，求菱形ABCD的面积； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，点H在边BC上，，线段MN在线段BD上运动，点M在点N的左侧，，连接HM、CN，请直接写出四边形HMNC的周长的最小值． 30．在菱形ABCD中，． (1)如图1，过点B作于点E，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF，若，求线段BF的长度； (2)如图2，过点B作于点E，连接CE，过点D作，连接MC，且，连接ME，请探索线段BE，DM，EM之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接AC，点Q是对角线AC上的一个动点，若，求的最小值． 【题型4正方形压轴题】 31．如图，已知是正方形的对角线，是等腰直角三角形，点在上，，，连接，点是的中点，连接，如图1所示． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的顶点落在正方形的边上时，如图2所示，连接，点是的中点，连接，请你探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 32．已知在正方形中，点E是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值． 33．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． (1)如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图1，求证：； (3)如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 34．正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接．    (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图3，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 35．如图，四边形是正方形，． (1)如图1，点在边上（不与端点重合），点在对角线上，且，连接，点是的中点，连接． ①若，求的长； ②求证：； (2)如图2，点分别为边上的点，且，请直接写出的最小值． 36．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接． (1)若，求的长； (2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由； (3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值． 37．如图，正方形中，点E是延长线上一点，连接，点F在上且于G．平分交于点H，连接．    (1)若，求的长； (2)求证：． (3)若，在线段上找一点使三角形为等腰三角形，直接写出的长度． 38．点为正方形对角线与的交点，点为直线上一点(点与点，点，点不重合)，连接．    (1)如图1，若点为的中点，，求的面积； (2)如图，若点在线段上，过点作交于点，交于点．过点作交于点．求证：； (3)若点为直线上一动点，其它条件与()问条件不变．请写出线段，，之间的数量关系． 39．正方形边上有一动点（不与端点、重合），连接，为上一点，连接．   　　  　　    (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，连接，若，作于点，延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，点运动过程中，当取最小值时，直接写出的值． 40．如图1，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的点落在正方形的边上，如图2，连接，点是的中点，连接，延长交于点．请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题10 平行四边形压轴题分类练 （4种类型40道） 目录 【题型1平行四边形压轴题】 1 【题型2矩形压轴题】 33 【题型3菱形压轴题】 62 【题型4正方形压轴题】 93 【题型1平行四边形压轴题】 1．如图，中，，点为边上一点． (1)如图1，若于点，，求的长； (2)如图2，已知，延长至点，以、为边作，连接、，若于点，求证：； (3)如图3，已知，将沿直线翻折，点落在点，在线段上求一点，使得的值最小，请直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，再根据，进行计算即可得到答案； （2）在线段上取一点，使，证明得到，，再证明得到，即可得证； （3）由折叠的性质可得，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，连接，则，则当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，从而得到，最后再由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在线段上取一点，使， 于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中，，，将沿直线翻折，使点落点处， ，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， 连接，则， 当、、、四点在一条直线上时，的值最小，最小值为的长度， 作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、含30度角直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点． (1)如图1，连接并延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，若，求； (3)如图3，若为的中点，为的中点，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，利用，得到，即可得解； （3）连接并延长交的延长线于点，易得，进而得到，从而得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为边上的中点， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， 连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ∴， ，即 ， ∴； （3）解：连接并延长交的延长线于点， 由（1）可得， ， ， 为直角三角形， 为的中点，为的中点， 设， ， ， 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质，通过添加辅助线，证明三角形全等，是解题的关键． 3．在中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点为延长线上一点，连接交于点，连接EG，若点H为线段的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，连接，直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)证明，见解析 (3)最小值为 【分析】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点，根据题意，则是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质，则，，推出，是等腰直角三角形；根据全等三角形的判定，则，则，，求出；根据矩形的判定，则四边形是矩形，求出，，最后根据勾股定理，即可． （2）连接、、，根据平行四边形的性质和旋转的性质，则，推出、、、四点共圆，则在的延长线上，得到，根据全等三角形的判定，则，则；再根据平行四边形的判定，则四边形是平行四边形，推出；根据全等三角形的判定，则，得，再根据是等腰直角三角形，则，最后根据，即可； （3）连接、、、，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，则，根据勾股定理，求得，根据，即可． 【详解】（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转为线段， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． （2）连接、、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由（1）得，，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）连接，，，， 由（2）得，，点为的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵（当且仅当点在线段上时等号成立）， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形，全等三角形，平行四边形的知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的运用，矩形的判定和性质． 4．已知，是的中线，过点C作．    (1)如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形； (2)P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接． ①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由． ②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是平行四边形，理由见解析；② 【分析】（1）由平行线的性质可得，，由题意可知，可证得，进而可知，即可证得四边形是平行四边形； （2）①延长，交于，取中点，连接，由平行线的性质可得，，由题意可知为的中位线，先证四边形为平行四边形，可得，进而证得，即可证明，可得，即可证得四边形是平行四边形； ②取中点，连接，可知为的中位线，得，，设，利用由勾股定理及含的直角三角形求解，，，，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①四边形是平行四边形，理由如下： 延长，交于，取中点，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，，即 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②取中点，连接， ∵是的中线，点为的中点， ∴为的中位线， ∴，，    ∵，，则 ∴，则， 设，由勾股定理可得：， ∴，则，， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理可得：，可得， 则， ∵，， ∴， 由勾股定理可得：，可得， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线定理，含的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 5．在平行四边形中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中． (1)如图1，求的度数；    (2)如图2，在上取点，使得，求证：；    (3)如图3，在2问的条件下，若、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积．    【答案】(1)45° (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，可求出，由平行四边形的性质可得出，，由得出，进一步可得出结论； （2）过点作交于点，连接，过点作，证明为等腰直角三角形，得，再证明，，从而可得出结论； （3）过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，分别求出、的长，根据平行面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 即， ∵四边形是平行四边形，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点作交于点，连接，过点作，    ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ，， 即， ∴， ∴， ∴和均为等腰三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 即  设， ∴， ∴， 在中，， ∵，   解得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． 6．已知,在中,,,为射线上一点,连接交于点． （1）如图1,若点与点重合,且,求的长; （2）如图2,当点在边上时,过点作于,延长交于,连接．求证:; （3）如图3,当点在射线上运动时,过点作于,为的中点,点在边上且,已知,请直接写出的最小值． 【答案】（1）;（2）见解析;（3）的最小值为 【分析】（1）如图1中,利用等腰三角形的性质可得,利用平行四边形的性质可得F为BD中点,在中,由勾股定理可求得BF,则可求得AB, （2）如图2中,在上截取,连接,,可先证，再证明,可证得结论； （3）作辅助线如图3所示，于是可得当O、G、Q三点共线时GQ最小，亦即MN最小，求得GQ最小值为，根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】（1）解:如图1中， , , , , , 四边形是平行四边形, 、重合时, 在中, , , ,, ; （2）证明：如图2中，在上截取,连接, ,, , ,, , 在和中,, , ,, 四边形是平行四边形, , , 由（1）知, , , , 在和中,, , , ， ； （3）解:连接并延长到,使,连接,取的中点,连接,作交BC的延长线于点K,作交AD延长线于点P,则 △AKN≌△ QHN， , 当点,,在同一直线上时,最短，此时，由于MN是△AQG的中位线，所以就最短且, ∵ 是等腰直角三角形,且 ,可得 , 为等腰直角三角形, ∴ ,AK=BK=5, ∵ 且NQ=AN, ∴NH=KN=KB+BN=6,QH=PH=AK=5, ∴AP=2NH=12, ∴OP=7, 在 中, , ,， 最小值为， 是的中位线， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查等腰直角三角形的判定和性质､全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形． 7．在中，，，延长交于点F，，交于点H．点M是边上的点． （1）如图1，若点M与点G重合，，，求的长； （2）如图2，若是的角平分线，连接，，求证：； （3）如图3，若点M为的中点，作点B关于的对称点N，连接、、，请直接写出、、之间的角度关系． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）先证明和求解，再运用勾股定理求出，进而求出的长； （2）如图，过点作交于点，连接，证明是等腰三角形，可得，∠，证明是等腰直角三角形得,再证明≌和≌得，从而可得结论； （3）根据对称的性质和证明△，运用角的和差关系求解即可得到结论． 【详解】解：（1）在平行四边形中， ∵ ∴， 在中， ∴； （2）如图，过点作交于点，连接 在平行四边形中，平分 ∴∠ ∴是等腰三角形 ∵∠ ∴∠ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，∠ 在和中 ∴≌ ∴ 在和中 ∴≌ ∴∠ ∴∠ ∴ ∴为的中点 ∴ （3） ∵为的中点 ∴ ∵关于对称 ∴∠ 又∠ ∴∠ ∵ ∴△ ∴∠，∠ ∴∠ ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 8．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，其中，于G，交BA延长线E，CF平分，连接，. （1）如图1，若，，求的面积. （2）如图2，若，求证：. （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M，N是线段CF，CD上的动点，求的最小值.                             【答案】（1）3；（2）证明见详解；（3） 【分析】（1）证明 和为等腰直角三角形，即可得解； （2）延长EF交CD于点M，证明和即可得解； （3）根据角平分线的性质和轴对称的性质求解即可； 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，， ∵ ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）延长EF交CD于点M ∵∠MCF=∠ECF，CF=CF，∠CFE=∠CFM ∴ ∴，EF=MF 又∵∠EAF=∠FDM，∠EFA=∠DFM ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （3）∵CF平分， ∴D关于CF的对称点在直线EC上， 过作于，则最小，这时M与F点重合，最小值为 由（2）知， ∴， ∴最小值为：． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理进行计算是解题的关键． 9．已知，在平行四边形中，，，E为射线上一点，连接交于点F．      (1)如图1，若点E与点C重合，且，求的长； (2)如图2，当点E在边上时，且，过点D作于G，H为线段上一点，连接．当时，试猜想、、之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，当点E在射线上运动时，过点D作于G，M为的中点，点N在边上且，已知，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点A作于点G，先利用等腰三角形的性质求出，进而求出，，然后利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，利用平行四边形的性质求出，进而求出，最后在中利用勾股定理求解即可； （2）利用证明，可得，证明是等腰直角三角形，可得，然后结合即可求解； （3）延长至点H，使，取中点O，连接，，，，过A作于K，过作于点P，交于Q，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，，在中，利用含的直角三角形的性质、勾股定理求出，，进而求出，，利用等腰三角形的性质证明，从而求出，，，，根据，得出当O、H、G三点共线时，取最小值，最小值为4，然后利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点G，    ∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，点E和C重合 ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解： 理由： ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长至点H，使，取中点O，连接，，，，过A作于K，过作于点P，交于Q，    ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴，， ∵，O为中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴当O、H、G三点共线时，取最小值，最小值为， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出解题需要的辅助线是解题的关键． 10．已知如图，在 中，点是边上一点，连接、，，，点是上一动点，连接． （1）如图1，若点是的中点，，求 的面积； （2）如图2，当时，连接，求证：； （3）如图3，以为直角边作等腰，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性质求解 再求解的面积，从而可得平行四边形的面积； （2）如图，延长交于点 先证明再证明 再结合平行四边形的性质可得： （3）如图，过作，交的延长线于 过作 交于 先证明在上运动，作关于的对称点，连接，交于 确定三角形周长最小时的位置，再过作于 分别求解 再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：（1）是的中点， 设 解得： （负根舍去） , （2）如图，延长交于点 在中， （3）如图，过作，交的延长线于 过作 交于 等腰直角三角形 在上运动， 如图，作关于的对称点，连接，交于 此时周长最短， 过作于 由（2）得： 而 由（2）得： 是等腰直角三角形， 即的周长的最小值是 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，轴对称的性质，动点的轨迹，灵活应用以上知识是解题的关键. 【题型2矩形压轴题】 11．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且，连接EF． (1)如图1，若点E在AB中点处，且，求EF的长； (2)如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，求证：； (3)如图3，若点E在AB的延长线上，且，请直接写出线段的值． 【答案】(1)5 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据中位线的定义与性质，可证明，，再证明四边形为矩形，即有，在中，由勾股定理计算EF的长即可； （2）延长FO，与AD延长线交于点M，连接EM，首先证明，由全等三角形的性质可知，，结合，可得OE为FM的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，在中，即可证明； （3）延长FO，交DA延长线于点N，连接EN，首先由矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质确定，再利用勾股定理计算出，则；证明，由全等三角形的性质可知，，结合，可得OE为FN的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知；设，则，在和中，由勾股定理可得，求解即可确定线段的值． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，且， ∴，， ∵点E为AB中点， ∴， ∵点E为AB中点，点O为AC中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴在中，； （2）证明：延长FO，与AD延长线交于点M，连接EM，如下图， ∵点O为AC中点， ∴， ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； （3）解：延长FO，交DA延长线于点N，连接EN，如下图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点O为AC中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 设，则， 则在中，， 在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 12．在矩形中，点是边上一动点（不与点重合），连接的延长线交的延长线于点． (1)如图①．当时，若，求的长； (2)如图②，连接，与交于点，当时，有，连接，求证：． (3)如图③，，将沿直线折叠，得到．当射线交线段于点时，连接，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据直角三角形含角的性质可得的长； （2）如图②，过点作，交于点，则，证明和，再根据等腰直角三角形的性质可得结论； （3）如图③，当与重合时，最大，此时最大，先由勾股定理可得的长，证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∵，， ， ； （2）证明：如图②，过点作，交于点，则， ， ， ，， ， 又，， ∴， ， ∴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：如图③，当与重合时，最大，此时最大， 由折叠得：，， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 当最大时，的值为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，涉及矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，第（3）问有难度，确定最大时点的位置是解本题的关键． 13．在矩形中，是边上一点．    (1)若，平分，且，求的面积； (2)若是中点且，于点，求证：； (3)若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用角平分线的性质，构造≌，同时得到含角的特殊，可求出，进而求出，再求面积． （2）将分割为、两段，过点作的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明． （3）从，两个条件可发现，联想到可以构造手拉手模型，再通过“”字全等模型找到了与的数量关系，进而找到了与的数量关系． 【详解】（1）在矩形中，，． 过作于，如图．    ，，， ≌． ． ，， ．即． ，， ， ． ． ． ． （2）过作于，过作延长线于，如图．    ， ，， ． 又， ≌． ，． ，，， 四边形是矩形． ，． ，，， ≌． ． ． 在中，． ． （3）作关于的对称，连接，，如图．    ， ，． ． ， ． ， ． ． 又，， ． ，． ，，， ． ，． ∴． ∴． ，， ． ． 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形、全等三角形、等边三角形、勾股定理、平行线、角平分线等知识点．三问本质上都是寻找线段之间的关系，层层递进；解决问题的核心都是利用现有的线段数量关系，尤其是等长线段构造全等三角形． 14．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． (1)如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； (2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； (3)如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定出∠BAE＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG＝CG，设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）先判断出EF⊥AC时，△CEF的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠DAG＝30°， ∴∠BAG＝60° 由折叠知，∠BAE＝∠BAG＝30°， 在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，AB＝3， ∴BE＝ （2）解：如图4，连接GE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE＝EF， ∴EF＝EC， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中， ∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴GF＝GC； 设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x， 在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝． （3）解：如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE， ∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4， ∴当CF最小时，△CEF的周长最小， ∵CF≥AC-AF， ∴当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小， 由折叠知，AF＝AB＝3， 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4， ∴AC＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝2， 在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2， ∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2， ∴BE2+22＝（4﹣BE）2， ∴BE＝． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出∠BAE＝30°，解（2）和（3）的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题． 15．如图1，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE． （1）若BE＝4，CE＝，求AD的长； （2）如图2，点F是BC上一点，且EF＝EC，过点C作CG⊥EF于点G，交BE于点H，求证：BH＝DE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，当BE＝BC时，请直接写出的值． 【答案】（1）5；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可先证得△ABE为等腰直角三角形，从而求出AB，AE，然后在△CED中运用勾股定理求出ED的长度，最终得到AD的长度； （2）作HR⊥BC于点R，ET⊥BC于点T，首先证明CE=CH，再证明△CRH≌△ETC，推出HR=CT=DE，从而得出结论； （3）在（2）的基础之上，作GM⊥AD于M点，GN⊥CD于N点，设AB=AE=m，则BE=BC=m，推出DE=AD-AE=m-m，BH=DE=2m-m，再求出DG即可得出结论． 【详解】（1）∵在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E， ∴∠ABE=45°，△ABE为等腰直角三角形， 则，即：， 由矩形性质可得：， 在Rt△CED中，， ∴AD=AE+ED=4+1=5； （2）如图所示，作HR⊥BC于点R，ET⊥BC于点T， 由题意可得四边形ABTE为正方形， ∴∠EBT=∠BET=45°， ∵EF=EC，ET⊥FC， ∴FT=TC，∠FET=∠CET，∠EFC=∠ECF， ∵CG⊥EF， ∴∠CGF=∠ETC=90°， ∴∠CFG+∠FCG=90°，∠CET+∠ECT=90°， ∴∠GCF=∠CET， ∵∠CEH=∠CET+∠BET=45°+∠CET， ∠CHB=∠CBH+∠HCB=45°+∠HCB， ∴∠CEH=∠CHE， ∴CE=CH， ∵HR⊥BC， ∴∠CRH=∠ETC=90°， 在△CRH和△ETC中， ∴△CRH≌△ETC（AAS）， ∴HR=CT， 由题意可知，△BRH为等腰直角三角形，四边形ETCD为矩形， ∴HR=CT=DE， ∴； （3）如图所示，在（2）的条件下，作GM⊥AD于M点，GN⊥CD于N点， 设AB=AE=m，则BE=BC=m， ∴DE=AD-AE=m-m， ∴BH=DE=2m-m， 当BE=BC时，∠CEH =∠BCE=（180°-∠EBC）÷2=67.5°， 由（2）可知，∠CEH=∠CHE=∠BCE=45°+∠BCH=67.5°， ∴∠BCH=22.5°，∠ECH=45°， ∵CG⊥EG， ∴GC=GE， ∵∠MGN=∠EGC=90°， ∴∠MGE=∠NGC， 在△GME和△GNC中， ∴△GME≌△GNC（AAS）， ∴GM=GN， ∵GM⊥AD，GN⊥CD， ∴GD平分∠ADC， ∴∠CDG=45°， 结合（1）可得∠DCH=67.5°， ∴∠CGD=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴DG=DC=m， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，正确构造辅助线证明三角形全等是解题关键． 16．如图1，矩形中，，E为边上一点，将沿翻折，使点A恰好落在边上的点F处，． (1)求的长； (2)如图2，连接交于点P，M为上的点，连接交于点Q，． ①求点A到的距离； ②求的值． 【答案】(1) (2)①点A到的距离为5；② 【分析】（1）根据折叠得出，，设，则，在中，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可； （2）①过点A作于点G，过点F作于点H，根据求出即可； ②过点M作于点K，先根据勾股定理求出，证明，得出，，证明，得出，设，则，根据勾股定理列出求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． （2）解：①过点A作于点G，过点F作于点H，如图所示： 则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴点A到的距离为5； ②过点M作于点K，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则， ∵在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质，根据勾股定理列出方程，利用方程思想解决问题． 17．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以2cm/s的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，连结交对角线于点．设点的运动时间为． (1)当四边形是矩形时，求出的值． (2)当四边形是菱形时，求的值． (3)当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）四边形是矩形时，根据对边相等列出方程，进而求解； （2）如图，当四边形是菱形时，则，即可求解； （3）分、、三种情况，确定点P的位置即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，四边形是矩形时，， 则，解得； （2）如图，当四边形是菱形时，． ． 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 当时，四边形是菱形； （3）四边形是矩形， ． ，． 在中，， 由勾股定理，得， ， ． ； 点O是的中点，过点O作于点H， 则是的中位线，则，， 由题意得：， 在中，， 当时，即，解得； 当时，，解得， 当时，则点P与点B重合，故，解得， 综上，或或． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、勾股定理、特殊四边形的性质等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 18．矩形中，中，．连接，点G是中点，将绕点B顺时针旋转． (1)如图1，若点B恰好在线段延长线上，，连接EG，求EG的长度； (2)如图2，若点E恰好落在线段上．连接，证明： ； (3)如图3，若点E恰好落在线段延长线上，点M是线段上一点，，N是平面内一点，满足，已知，当是等腰三角形时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或9或 【分析】过点E作于，可证得是等边三角形，从而得到，再由，以及直角三角形的性质求出，再由勾股定理，即可求解； （2）连接交于，连接，．可得是等边三角形，从而得到，，进而得到，再根据三角形中位线的性质和直角三角形的性质可得，可证得，可得到是等边三角形，从而得到，即可求证； （3）连接交于点P，设交于点Q，先证得是等边三角形，可得到，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图中，过点E作于． 四边形是矩形， ，， ∵， ， ∵， ， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴，， ， ， ． （2）证明：如图，连接交于，连接，． 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴． （3）解：如图，连接交于点P，设交于点Q， 四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， 若，； 若，如图，过点D作于点G，此时，， ∴， ∴， ∴； 若，如图，过点N作于点H，在上取点K，使，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或9或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF． （1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG＝6，求FCG的面积； （3）当DG为何值时，△FCG的面积最小． 【答案】（1）见解析；（2）1；（3）当DG＝时，△FCG的面积最小为7−． 【分析】（1）利用菱形和矩形的性质得到∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，进而利用HL证得 Rt△AHE≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到∠DHG＝∠HEA，证得∠EHG＝90°，即可得证； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，进而得到∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，进而可求三角形面积； （3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而得到当DG＝时，△FCG的面积最小.． 【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形， ∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2， ∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL）， ∴∠DHG＝∠HEA， ∵∠AHE+∠HEA＝90°， ∴∠AHE+∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝90°， ∴四边形HEFG为正方形； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠MGE， ∵HE∥GF， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠AEH＝∠MGF， 在△AHE和△MFG中， ∠A＝∠M＝90°， HE＝FG， ∠AEH＝∠MGF， ∴△AHE≌△MFG， ∴FM＝HA＝2， 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2， 因此SΔFCG=×FM×GC=×2×(7−6)=1 （3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x， 在△AHE中，AE≤AB＝7， ∴HE2≤53， ∴x2+16≤53， ∴x≤ ∴S△FCG的最小值为7−，此时DG＝， ∴当DG＝时，△FCG的面积最小为7−． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质以及菱形的性质，还涉及了勾股定理以及最值问题，难度较大，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 20．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BO）的对角线的交点O旋转（图①⇒图②），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点． （1）如图①，当三角板一直角边与OD重合时，该学习小组成员意外的发现：BN2＝CD2+CN2，请你说明理由； （2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由； （3）如图③，若AD＝8，AB＝6，E为矩形外的一点，且AE⊥CE，F为AE的中点，O为AC的中点，取AO的中点G，连接BG，当F在线段BG上时，则BF的值为　 　． 【答案】（1）见解析；（2）CM2+CN2=DM2+BN2，理由见解析；（3） 【分析】（1）如图1，连接DN，由矩形性质，中垂线性质，勾股定理和等量代换即可证得结论； （2）如图2，延长MO交AB于E，方法类似（1），求证△BEO≌△DMO（AAS），进而得NE=NM，即NE2=NM2，等量替换得出结论BN2＋DM2＝CM2＋CN2； （3）如图3，过点B做BH⊥AC于点H，连接FO，先由矩形性质和勾股定理得出AC＝10，再由FO是△AEC的中位线得FO∥EC进而得∠AFO＝∠AEC＝90°，用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求得FG=AO=2.5，根据勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：（1）连结DN，                            ∵矩形ABCD的对角线交于点O，                       ∴BO=DO ，∠DCN=90° ， ∵三角板一直角边与OD重合， ∴ON⊥BD，即ON垂直平分BD， ∴NB=ND， ∵∠DCN=90° ∴ND2=NC2+CD2 ∴BN2=NC2+CD2 ； （2）CM2+CN2=DM2+BN2 ，理由如下： 延长MO交AB于E， ∵矩形ABCD的对角线交于点O， ∴BO=DO ，∠ABC=∠DCB=90°，AB∥CD， ∴∠ABO=∠CDO，∠BEO=∠DMO， ∴△BEO≌△DMO， ∴OE=OM，BE=DM， ∵MO⊥ON， ∴NE=NM， ∵∠ABC=∠DCB=90°， ∴NE2=BE2+BN2， NM2=CN2+CM2， ∴CN2+CM2=BE2+BN2， 即CN2+CM2=DM2+BN2； （3）当F在线段BG上时，则BF的值为， 过点B做BH⊥AC于点H，连接FO． ∵AD＝8，AB＝6，， ∴ 根据等面积可得：， ， ∵ O是AC中点，G是AO中点，AC=10， ∴AG=， ， ， 又∵F、O为AE、AC中点， ∴FO∥EC， ∴∠AFO=∠E=90°， ∵G为AO 中点，AC=10 ， ∴FG=AO=2.5， ∴在中，． 【点睛】这是一道四边形综合题，主要运用了矩形判定与性质，线段中垂线判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，解题关键是准确添加辅助线，巧妙构造特殊三角形（如：直角三角形和矩形）和灵活运用所学知识解决综合题． 【题型3菱形压轴题】 21．菱形中，，连接，点是边上一点，连接交于点． (1)如图1，若，当时，求的长； (2)以为边向右侧作等边，连接，． ①如图2，点是中点，连接，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】（1）由菱形可知，，平分，进而得到，，在中，，在中，，； （2）①延长至，使，即，连接，易通过证明≌，得到，，进而可得，由平行线的性质可得，由等边三角形的性质可知，，于是，易得，则，根据等角加同角相等得，于是可通过证明≌，得到，由可得；②连接交于点，过点作于点，设，则，，易得为等边三角形，，利用含度角的直角三角形性质得，，进而得到，由平行线的性质得到，因此，利用含度角的直角三角形性质得，根据三角形面积公式求得，等等角加同角相等可得，于是根据证明，得到，，则，根据三角形面积公式求得，再进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，，平分， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴， ∴， ，； （2）①证明：如图，延长至，使，即，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②解：如图，连接交于点，过点作于点， 设，则， ， 四边形为菱形，， ，，，，， 为等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，即， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含度角的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积，解题关键是熟知菱形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 22．已知在菱形中，，连接对角线．    (1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点． ①求证：； ②过点作，垂足为，求证：； (2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)6 【分析】（1）①根据菱形的性质和已知条件可得，是等边三角形，进而可得，结合，，根据全等三角形的判定可得，即可证明； ②作于，全等三角形的判定，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得CH＝BG；（2）设交于点，取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，，当，，三点共线时，取得最小值，结合已知条件，即可求得的最小值． 【详解】（1）①证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和均是等边三角形， ∴， ∴，， 故， 又∵，， ∴， ∴； ②证明：作于，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设交于点，取的中点，连接，，    由平移可知，，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 是的中点， ， ， 当，，三点共线时，取得最小值， 此时，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，平行四边形的性质与判定，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质、线段和最值等知识，涉及知识点较多，综合性强，综合运用以上知识是解题的关键． 23．菱形的对角线交于点． (1)如图，过菱形的顶点作于点，交于点，若，四边形的面积为，求菱形的边长； (2)如图，菱形中，过顶点作于点，交延长线于点，线段交于点，若，求证：； (3)如图，菱形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)边长为8 (2)证明见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）证明是等边三角形，求出AE，再利用梯形的面积公式求解； （2）如图2，连接，在上取一点，使得，连接，证明，推出，，设，则，，求出，BH（用m表示），可得结论； （3）如图3，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得，证明，推出，当TP与TH重合时，TP的值最小，此时AQ的值最小． 【详解】（1）解：如图1中，设． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ． ， 或舍去， ， 即菱形的边长是8； （2）证明：如图2，连接，在上取一点，使得，连接． ，四边形ABCD是菱形， ，，， ，, ∴， ∴， ∴． 四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 垂直平分线段， ， ． ， ． ， ， ， 设，   则，， ， ． ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得． ， ． ，， ≌， ， 当与重合时，的值最小，此时的值最小． 四边形是菱形， ， ． ，， ，． ， ． ， ， ， 设， 则，． ， ，   解得， ， 的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 24．在菱形中，点、分别为、边上的点，连接、、． (1)如图1，与交于点，若，，，求的长； (2)如图2，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折至同一平面内，得到，连接与交于点，记、、的面积分别为、、，当为中点时，请直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，，可得，根据勾股定理即可求出AG的长； （2）在上截取，连接，则，因为，所以，则可证≌（），所以，又因为BC=CD，所以； （3）延长交于点，连接，则△BOI≌△FOC，所以BI=CF，又因为BI∥CF，所以四边形ACFI是平行形，，由，，设，则，，代入计算可得． 【详解】（1）解：∵在菱形中，平分， ， ∴，． ∵， ∴ 在中，，， ∴． （2）证明：在上截取，连接． ∵在菱形中，， ∴， 即． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∵， ∴≌（）． ∴． ∵， ∴， 即． （3）． 解析：延长交于点，连接． ∵AB∥CD， ∴∠ABF=∠BFC， ∵点O是BF的中点， ∴BO=FO， ∵∠BOI=∠FOC， ∴△BOI≌△FOC， ∴BI=FC， ∴四边形ACFI是平行形， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵沿翻折至同一平面内得到， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了菱形，熟练运用菱形的性质，结合三角形的相关知识（等腰三角形、等边三角形、全等三角形等）是解题的关键． 25．在菱形ABCD中，，E为对角线BD上一动点，连接AE． (1)如图1，点F为DE的中点，连接AF，若，求的度数； (2)如图2，是等边三角形，连接DM，H为DM的中点，连接AH，猜想线段AH与AE之间的数量关系，并证明． (3)在（2）的条件下，N为AD的中点，连接AM，以AM为边作等边，连接PN，若，直接写出PN的最小值． 【答案】(1)30°； (2)AE＝2AH，证明见解析； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，根据直角三角形斜边上的中线得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°； （2）延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，证明△AMB≌△CEB（SAS），根据全等三角形的性质得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再证△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根据三角形中位线定理即可得出结论； （3）连接NC、PC、NP，证明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根据等边三角形的性质得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，则∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°， ∵BE＝AE， ∴∠ABE＝∠BAE＝30°， ∴∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°， ∵点F为DE的中点， ∴AF＝DF＝DE， ∴∠FAD＝∠ADB＝30°； （2）AE＝2AH， 证明：延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM， ∵∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵△BEM是等边三角形， ∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE， ∴∠ABM＝∠EBC， ∴△AMB≌△CEB（SAS）， ∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB， ∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴△ADC为等边三角形， ∴AD＝AC， ∵AD＝AF， ∴AF＝AC， ∵∠FAB＝180°−∠BAD＝60°， ∴∠FAB＝∠ACB＝60°， ∴∠FAM＝∠FAB−∠MAB＝∠ACB−∠ECB＝∠ECA， ∴△FAM≌△ACE（SAS）， ∴MF＝AE， ∵FA＝AD，H为DM的中点， ∴AH＝MF， ∴AE＝MF＝2AH； （3）连接NC、PC、NP， ∵△AMP为等边三角形， ∴∠MAP＝60°，AM＝AP， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴△ABC为等边三角形，△ADC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°， ∴∠MAB＝∠MAP−∠BAP＝∠BAC−∠BAP＝∠PAC， ∴△AMB≌△APC（SAS）， ∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°， ∵AC＝CD，N为AD的中点， ∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°， ∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°， 在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短， ∵AD＝， ∴DN＝AD＝， ∴NC＝DN＝3， ∵∠PCN＝60°，NP⊥PC， ∴∠PNC＝30°， ∴PC＝NC＝， ∴PN＝PC＝，即PN的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，P是对角线BD上一点，E是BC边的延长线上一点，PE=PA． (1)如图1，求∠APE的度数； (2)如图2，BE的垂直平分线交BD于F，交BE于G，求证；AB=PF (3)如图3，PE交CD于M，当∠CME=45°时，直接写出= ． 【答案】(1)∠APE=120° (2)见解析 (3) 【分析】【小问1分析】 连接PC，由菱形的对称性得到∠BAP=∠BCP，PA=PC，由PA=PE得PC=PE，得∠PCE=∠PEC，由∠BCP+∠PCE=180°得∠BAP+∠PEC=180°，得∠ABC+∠APE=180°，由∠ABC=60°，得∠APE=120°． 【小问2分析】 连接PC，作PN⊥BE于N，延长BE至Q，使BN=QN，连接PQ，有CN=NE，BC=EQ．设PN=1，AB=BC=x，则PB=2，BN=，BQ=2，BE=2-x，由BG=BE=-x，得BF=BG=2-x，于是PF=x，得AB=PF． 【小问3分析】 连接PC，AC，AC、BD交于点O，求出∠E=∠BCD-∠CME=75°，∠CPE=180°-∠E-∠PCE=30°，得到∠APC=∠APE-∠CPE=90°，∠BPE=180°-∠PBE-∠E=75°，得到BP=BE，设OC=1，则BO=，BP=BE=+1，BC=2，得到CE=+1-2=-1，求出=． 【详解】（1）如答图1，连接PC， 由菱形的对称性知，∠BAP=∠BCP，PA=PC=PE， ∴∠PCE=∠PEC， ∵∠BCP+∠PCE=180°，∴∠BAP+∠PEC=180°， ∴∠ABC+∠APE=180°，∵∠ABC=60°， ∴∠APE=120°． （2）（2）如答图2，连接PC，作PN⊥BE于N，延长BE至Q，使BN=QN，连接PQ， 有CN=NE，BC=EQ． 设PN=1，AB=BC=x， 则PB=2，BN=，BQ=2，BE=2-x， ∴BG=BE=-x， ∴BF=BG=2-x， ∴PF=x， ∴AB=PF． （3）（3）如答图3，连接PC，AC，AC、BD交于点O， ∵∠E=∠BCD-∠CME=75°， ∴∠CPE=180°-∠E-∠PCE=30°， ∴∠APC=∠APE-∠CPE=90°， ∴∠BPE=180°-∠PBE-∠E=75°， ∴BP=BE， 设OC=1，则BO=，BP=BE=+1，BC=2， ∴CE=+1-2=-1， ∴=． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判断和性质，熟练运用菱形的四边相等，对角线平分对角，平行线分线段对应成比例，等腰三角形中边角性质，三线合一的性质，是解决问题的关键． 27．如图，在菱形中，，，于点，点为线段上的动点，为线段上任意一点，连接和． （1）如图1，当时，求的长． （2）如图2，作交于点，为的中点，连接，，．猜想线段与存在的数量关系，并证明你猜想的结论． （3）在点的运动过程中，当的值最小时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）由题意可得为等边三角形，根据等边三角形性质结合勾股定理即可得出结果； （2）如图延长交于，连接，设与交于点，先证明可得，，然后证明可得，进一步证明为等边三角形即可得出答案； （3）设点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝PA，同时∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°，∠ADP＋∠ADE＝180°，即B、P、D、E四点共线，故PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE，在△ABC中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等，可证明B、P′、D′、E四点不共线，P′A＋P′B＋P′C＞PA＋PB＋PC，得出点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小，在点F的运动过程中，当HB＋HC＋HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心，此时，DF⊥BC，HF＝DF，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中， 由勾股定理可得； （2）；理由：如图延长交于， 连接，设与交于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ， ，， ， ，即， 为等边三角形， ，， ； （3）如图3所示：设点P为等边△ABC的中心， 将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴DE＝PC，AP＝AD， 连接PD， 则△APD是等边三角形， ∴PD＝PA，∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°，∠ADP＋∠ADE＝180°， ∴B、P、D、E四点共线， ∴PA＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE． 在△ABC中，另取一点P′，则点P′与三个顶点连线的夹角不相等，即∠AP′B≠120°， 将△ACP′绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E， ∴D′E＝P′C，AP′＝AD′， 连接P′D′，则△AP′D′是等边三角形， ∴P′D′＝P′A，∠APB＋∠APD≠180°，∠ADP＋∠ADE≠180°， ∴B、P′、D′、E四点不共线， ∴P′A＋P′B＋P′C＞PA＋PB＋PC， ∴点P为等边△ABC的中心时到三个顶点距离之和最小， ∴在点F的运动过程中，当HB＋HC＋HD的值最小时，点H为等边△BCD的中心， 此时，DF⊥BC，HF＝DF， 由（1）得：DF＝， ∴HF＝×． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的知识点，熟练掌握基础知识点是解题的关键，题目综合性强，难度较大． 28．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF． （1）求证：△AEF是等腰直角三角形； （2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE； （3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4. 【详解】试题分析：（1）依据AE=EF，∠DEC=∠AEF=90°，即可证明△AEF是等腰直角三角形； （2）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可得出结论； （3）当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，先求得EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH=3，即可得到AE=AH+EH=4． 试题解析：解：（1）如图1．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF．∵AB=AC，∴AC=DF．∵DE=EC，∴AE=EF．∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形； （2）如图2，连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴∠EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED．∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE．∵∠DKC=∠C，∴DK=DC．∵DF=AB=AC，∴KF=AD．在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA（SAS），∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE． （3）如图3，当AD=AC=AB时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，依据AD=AC，ED=EC，可得AE垂直平分CD，而CE=2，∴EH=DH=CH=，Rt△ACH中，AH==3，∴AE=AH+EH=4． 点睛：本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点． 29．已知菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，交BD于点P． (1)如图1，若，，求菱形ABCD的面积； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，点H在边BC上，，线段MN在线段BD上运动，点M在点N的左侧，，连接HM、CN，请直接写出四边形HMNC的周长的最小值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据AB=6，BE=2CE，即可得CE=2，BE=4，再在Rt△ABE中，求出，则菱形的面积可求； （2）过A点作AF⊥AB交BD于点F，连接PC，CF，先证明∠BAF=90°，再证明△PAF是等腰三角形，即有PO=OF，AF=AP，进而有2PO+BP=BF，根据AF⊥AB，结合菱形的对称性可知FC⊥BC，FC=AF，即∠FCB=90°，即可得四边形APCF是菱形，有AF=PC，∠PCF=∠PAF=∠PAO+∠FAO=45°，在Rt△PEC中，∠EPC=45°，即有PE=EC，，即，在Rt△ABF中，，在Rt△AEC中，，∴，即，则结论得证； （3）连接AN，在NM的下方作平行四边形HMNG，根据菱形的对称性可知A、C点关于BD轴对称，即有AN=NC，在平行四边形HMNG中，有HM=NG，MN=HG，即HM+CN=AN+HG，显然当A、N、G三点共线时，AN+NG最小，过G点作GS⊥BD于S点，过H点作HT⊥BD于T点，延长HG交AC于点Q，先证明四边形HTSG是矩形，结合OC⊥BO，可得四边形SOQG是矩形，即有SG=HT=OQ，GH=TS，SO=GQ，易得△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=6，∠ABC=60°，即可得∠TBH=30°，则在Rt△THB中，，，进而有，，在等边△ABC中，，，即，，即在Rt△AGQ中，，，进而有，即四边形HMNC的周长最小值可求． 【详解】（1）在菱形ABCD中，AB=BC， ∵AB=6，BE=2CE， ∴BC=AB=6，BE+EC=BC=6， ∴CE=2，BE=4， ∵AE⊥BC， ∴在Rt△ABE中，， ∴菱形ABCD的面积为：； （2）过A点作AF⊥AB交BD于点F，连接PC，CF，如图， ∵AE⊥BC，AE=BE， ∴∠BAE=45°=∠ABE， ∵AF⊥AB， ∴∠BAF=90°， 在菱形ABCD中，∠ABC=45°，AC、BD分别平分∠BAD、∠ABC，AC⊥BD， ∴∠BAD=180°－45°=135°，∠ABO=∠CBO=22.5°， ∴∠BAC=∠DAC=67.5°， ∴∠PAO=∠BAC－∠BAE=67.5°－45°=22.5°，∠OAF=∠BAF－∠BAC=22.5°， ∴∠PAO=∠FAO，即AO平分∠PAF， ∵AO⊥BD， ∴△PAF是等腰三角形，PO=OF，AF=AP， ∴2PO+BP=BF， ∵AF⊥AB， ∴根据菱形的对称性可知FC⊥BC，FC=AF，即∠FCB=90°， ∵AE⊥BC， ∴， ∵AP=AF，FC=AF， ∴四边形APCF是菱形， ∴AF=PC，∠PCF=∠PAF=∠PAO+∠FAO=45°， ∵∠FCB=90°， ∴∠PCB=90°－∠PCF=45°， ∴在Rt△PEC中，∠EPC=45°， ∴PE=EC，， 即， ∵在Rt△ABF中，， 在Rt△AEC中，， ∴，即， ∴； （3）连接AN，在NM的下方作平行四边形HMNG，如图， 根据菱形的对称性可知A、C点关于BD轴对称， ∴AN=NC， ∵四边形HMNG是平行四边形， ∴HM=NG，MN=HG，，， ∴HM+CN=AN+HG， 显然当A、N、G三点共线时，AN+NG最小， 即A、N、G三点共线， 过G点作GS⊥BD于S点，过H点作HT⊥BD于T点，延长HG交AC于点Q，如图， ∵GS⊥BD，HT⊥BD，， ∴四边形HTSG是矩形， 即结合OC⊥BO，可得四边形SOQG是矩形， ∴SG=HT=OQ，GH=TS，SO=GQ， ∵GH=MN，， ∴， ∵AB=AC=6，AB=BC， ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=6， ∴∠ABC=60°， ∵在菱形ABCD中BD平分∠ABC， ∴∠TBH=30°， ∴在Rt△THB中，，， ∵3BH=BC，BC=6， ∴BH=2， ∴，， ∴，， ∵AC⊥BD， ∴BO⊥AC， ∴在等边△ABC中，，， ∴，， ∴， 即在Rt△AGQ中， ∴， ∴， ∵BH=2，BC=6， ∴HC=6－2=4， ∵， ∴四边形HMNC的周长最小值为， 即四边形HMNC的周长最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，连接AN，在NM的下方作平行四边形HMNG，构造此辅助线是解答本题的关键．此题属于压轴题． 30．在菱形ABCD中，． (1)如图1，过点B作于点E，连接CE，点F是线段CE的中点，连接BF，若，求线段BF的长度； (2)如图2，过点B作于点E，连接CE，过点D作，连接MC，且，连接ME，请探索线段BE，DM，EM之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接AC，点Q是对角线AC上的一个动点，若，求的最小值． 【答案】(1) (2)BE=DM+EM； (3) 【分析】（1）设菱形ABCD的边长为a，利用勾股定理建立方程求解即可得出a=2，在Rt△CBE中，，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案； （2）如图2，在BE上截取BN=DM，连接CN，可证△CBN≌△CDM（SAS），再证△CEN≌△CEM（SAS），即可证得结论； （3）如图3，过点C在直线AC的上方作∠ACK=30°，分别过点B、Q作BH⊥CK于点H，QG⊥CK于点G，BH交AC于点Q′，连接BG，则QG=QC，QB+QC+QD=QC+2QB=2（QC+QB）=2（QG+QB），当点Q与Q′重合时，QG+QB的值最小，当点Q与Q'重合时，QG+QB=Q′H+BQ'=BH．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：设菱形ABCD的边长为a， 则AB=AD=a，AD∥BC， ∴AE=AD-DE=a（2）， ∵BE⊥AD，∠DAB=30°， ∴BE=AB=a， 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2， ∴[a-（2）]2+（a）2=a2， 解得：a=2或a=148（舍去）， ∴BC=2，BE=1， 在Rt△CBE中，CE=， ∵点F是线段CE的中点， ∴BF=CE=； （2）证明：BE=DM+EM． 理由如下：如图2，在BE上截取BN=DM，连接CN， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CB=CD，∠BCD=∠DAB=30°， 在△CBN和△CDM中， ， ∴△CBN≌△CDM（SAS）， ∴∠BCN=∠DCM，CN=CM， ∵∠BCN+∠DCN=30°， ∴∠DCM+∠DCN=30°， 即∠MCN=30° ∵∠MCE=15°， ∴∠NCE=∠MCN-∠MCE=30°-15°=15°， ∴∠NCE=∠MCE， 在△CEN和△CEM中， ， ∴△CEN≌△CEM（SAS）， ∴EN=EM， ∵BE=BN+EN， ∴BE=DM+EM； （3）解：如图3，过点C在直线AC的上方作∠ACK=30°，分别过点B、Q作BH⊥CK于点H，QG⊥CK于点G，BH交AC于点Q′，连接BG，则QG=QC， ∵B、D关于直线AC对称， ∴QB=QD， ∴QB+QC+QD=QC+2QB=2（QC+QB）=2（QG+QB）， 当点Q与Q′重合时，QG+QB的值最小， 当点Q与Q'重合时，QG+QB=Q′H+BQ'=BH． 当点Q与Q'不重合时，QG+BQ＞BG＞BH． ∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=30°， ∴∠BCA=∠BCD=15°， 又∵∠ACK=30°， ∴∠BCK=∠BCA+∠ACK=45°， ∵∠BHC=90°，BC=AB=2， ∴BH=， 即QG+QB的最小值是． ∴QB+QC+QD的最小值是． 【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称-最短路径问题、点到直线的距离-垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【题型4正方形压轴题】 31．如图，已知是正方形的对角线，是等腰直角三角形，点在上，，，连接，点是的中点，连接，如图1所示． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的顶点落在正方形的边上时，如图2所示，连接，点是的中点，连接，请你探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，．，．勾股定理求得，进而即可求解． （2）设与的交点为，连接，证明，，得出是的中点，则是的中位线，是斜边上的中线，进而即可得证； （3）延长交于点，连接．证明，进而得出，可得是的中点，然后根据（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解： 是正方形的对角线，且， ，． ∵是等腰直角三角形，且， ∴，． ，             ． ． 点是的中点， ． （2）如图1，设与的交点为，连接， 由（1）知，是的中点， ． 四边形是正方形， ，． 又 ， ． ． 又 ， ． ． 是的中点． 是的中位线，是斜边上的中线． ，． ． 故．    （3）．                                     证明：延长交于点，连接． 由题意知． 又点是的中点， ． ，， ． ． ． 是的中点． ，． ， ． 【点睛】本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理，中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 32．已知在正方形中，点E是对角线上一点． (1)如图1连接，若，，求出的长． (2)如图2，过点E作于点E，交于点F，点G、H分别在，上（不与端点重合），连接，，若，，求证：． (3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点M，当的值取得最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果； （2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论； （3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，连接， 四边形是正方形， ∴，，，，， ， ，，， ， ； （2）证明：如图2，延长，交于，连接，， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， 作，作于，作于，交于，作于， ， ， 当点在处时，最小， ，， ， ， 设，则，， ， ， 当的值取得最小时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 33．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． (1)如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图1，求证：； (3)如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点E作交的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由如下： 如图，过点E作交于点G，设与的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 34．正方形对角线，相交于点，为线段上一点，连接．    (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，为上一点，连接，为上一点，连接，，若，，，求证：； (3)如图3，若正方形边长为，延长交于，在上截取，连接交于，连接交于，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，由正方形的性质可得，推出为等腰直角三角形，推出，再根据勾股定理求出即可求解； （2）过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，结合题意推出，得到，由可得，可证明，得到，，推出，进而可证明四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证明，得到，为中点，根据直角三角形的中线定理即可证明； （3）取中点，连接、，结合正方形的性质可得，由勾股定理得到，根据垂直平分线的性质可推出，证明，得到，进而得到，推出，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于，   四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）证明：如图，过点作直线，交延长线于，交延长线于，连接，   四边形是正方形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ，为中点， ， ， ， ； （3）如图，取中点，连接、，   正方形边长为， ， ， ， 在正方形中， ，， ， ， ，，， ， ， 又 ， ，即， ， ， ， ， ， 则， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 35．如图，四边形是正方形，． (1)如图1，点在边上（不与端点重合），点在对角线上，且，连接，点是的中点，连接． ①若，求的长； ②求证：； (2)如图2，点分别为边上的点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①本题利用正方形的性质，可用勾股定理求解，并结合点是的中点以及，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半求解． ②先过点向做垂线，继而利用正方形性质求证，然后假设未知数利用勾股定理求解以及，最后将结果进行对比证明此题． （2）延长到G，使，连接、，构造，得，进而可得，由此可知，求出长即可． 【详解】（1）①∵四边形为正方形， ∴， 在中， ∵ ，， ∴． ∵，点G是A的中点， ∴ ． ②证明：过点作于点，如下图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ． ∵为正方形对角线， ∴． ∵， ∴． 设，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，点G是的中点， ∴． ∵， ∴ ． ∴ ，， ∴． （2）延长到G，使，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即当、F、G三点共线时，取最小值，最小值为， 在中，， 即最小值为． 【点睛】本题考查正方形的综合问题，正方形的性质常用于求解线段，其潜在的45°需要着重注意，勾股定理以及斜中半定理的运用在几何题目极为常见，小题（1）求证线段关系可通过假设未知数表达未知线段，用计算证明线段关系．小题（2）将线段和转化为折线段，根据两点之间线段最短即可求解． 36．如图，正方形中，是边上的动点，交延长线于点，交于点，连接． (1)若，求的长； (2)若点是的中点，探究、、的数量关系，并说明理由； (3)正方形的边长为2，直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，然后求出，再根据等角的余角相等求出，再利用“角边角”证明，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点作交于点，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）连接，连接，设它们交于点，利用已知条件和（1）的结论得到，则点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上，当点运动弧的中点时，点到的距离最大；过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用全等三角形的判定与性质和等底等高的三角形的面积相等可得：三角形的面积四边形的面积，利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：、、的数量关系为：．理由： 如图，过点作交于点，    在和中， ， ， ， 由（1）知：， ， ． ，， ． ∵， ， ． 在和中， ， ， ， 由（1）知：是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ； （3）解：四边形面积的最大值为．理由： 连接，连接，设它们交于点，如图，   正方形的边长为2， ，， ． 是等腰直角三角形， ， ， ． 点在以为弦，所含圆周角为的圆弧上运动， 即点在以正方形的中心为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上， 当点运动弧的中点时，点到的距离最大．如图， 则， 由（1）知：，， ， ， ， ， 过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ∴， 三角形的面积四边形的面积， 由题意：，， ． 三角形的最大面积为． 四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 37．如图，正方形中，点E是延长线上一点，连接，点F在上且于G．平分交于点H，连接．    (1)若，求的长； (2)求证：． (3)若，在线段上找一点使三角形为等腰三角形，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或3.6或3 【分析】（1）三线合一，得到，角平分线得到，进而得到，推出是等腰直角三角形，即可得解； （2）过点C作交延长线于M，得到为等腰直角三角形，得到，，证明，得到，即可得证； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； （2）过点C作交延长线于M，    则， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形． ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴； （3）①当时，为等腰三角形； ②当时，如图，过点作，则：，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图，则，    ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或3.6或3． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性较强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握正方形的性质，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 38．点为正方形对角线与的交点，点为直线上一点(点与点，点，点不重合)，连接．    (1)如图1，若点为的中点，，求的面积； (2)如图，若点在线段上，过点作交于点，交于点．过点作交于点．求证：； (3)若点为直线上一动点，其它条件与()问条件不变．请写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①当点在线段上时或当点在线段的延长线上时，；②当点在线段的延长线上时，；③当点在线段的延长线上时， 【分析】（1）根据勾股定理计算正方形对角线的长，再根据三角形面积公式计算即可解答； （2）根据“一线三等角、型全等”这一基本模型，证明，，即可解答； （3）分类讨论：①当点在线段上时、②当点在线段的延长线上时、③当点在线段的延长线上时，④当点在线段上时四种情况分别解答即可． 【详解】（1）解：正方形中， ，点为的中点， ， ，， ， ； （2）过点作于点，交于，    在正方形中， ， ， ， ， ， ， ， 同理证明， ，， ， 即； （3）①当点在线段上时如图， 由（2）得：， ， ，，， ， 即； ②当点在线段的延长线上时如图，连接，    正方形对角线与交于点， 垂直平分，， ， ， ，即， 在和中，由“”字型可得：， 同理和中，， ， ， ， 又， ， ， ，， ，即， ； ③当点在线段的延长线上时如图，过点作于点，作于点，    ，， ，， ， ， 在和中，，， ， ， ，，， ； ④当点在线段的延长线上时如图，连接，    方法同上，得，，，，， ， 在， ， ，，， ， ． 综上所述：线段，，之间的数量关系为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，推理比较复杂，解题关键是关注特殊性，添加辅助线． 39．正方形边上有一动点（不与端点、重合），连接，为上一点，连接．   　　  　　    (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，连接，若，作于点，延长交于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，点运动过程中，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形性质，结合四边形内角和为，再由平角定义求解即可得到答案； （2）分别延长，交，于点，，如图所示，由正方形性质，先证明，进而得到，根据两个三角形全等的性质即可得证； （3）根据题意，作图分析得到在中，，则当且仅当、、三点共线时，此时取得最小值；延长交于，连接，如图②所示，根据，再由，设，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， 在四边形中，， ， ； （2）证明：分别延长，交，于点，，如图所示：    四边形是正方形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （3）解：取中点为，连接，，如图①所示：    在中，，则当且仅当、、三点共线时，此时取得最小值； 延长交于，连接，过作于，如图②所示：    在正方形中，，，则， ， ，则， ， 由（2）知，， 在和中， ， ， ，即是直角三角形， 又为中点， ，， 又， ， ，， ， 为的中点， ， 设，则，，，，， ． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、四边形内角和、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 40．如图1，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的点落在正方形的边上，如图2，连接，点是的中点，连接，延长交于点．请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质知，运用勾股定理计算即可； （2）延长与的延长线交于一点，转化为，运用三角形的中位线性质易得证； （3）类比（2）的方法解答，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ， 等腰中，，，， ， ∴， ， 点是的中点， ； （2）解：如图①，延长与的延长线交于一点， 则是等腰直角三角形，为的中点， ， 点是的中点， ； （3）解： 如图②，延长与的延长线交于一点， 则是等腰直角三角形，为的中点， ， ， 点是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线性质，灵活应用转化的思想是问题解决的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$