（新知衔接）专题05 除得尽吗（循环小数）（新知讲练+高频易错点+三大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年北师大版小学数学四升五年级暑假衔接讲义学生版+教师版

专题05 除得尽吗（循环小数） （新知讲练+高频易错点+三大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：小数除法计算-（循环小数） 8 考点二：小数除法计算-循环节找规律问题 10 考点三：小数除法计算（循环小数）实际应用 11 中档题真题训练 12 培优题真题训练 17 1.学习目标描述：通过计算蜘蛛和蜗牛的速度，发现余数和商的特点，知道什么是循环小数，学会用循环小数表示除法的商，知道循环小数的意义，学会用四舍五入法对循环小数取近似值。 2.学习内容分析：本节课通过计算蜗牛与蜘蛛的爬行速度，初步认识循环小数。“循环小数”是数概念的一次重要扩展，即从“有限”扩展到“无限”，是学生对数的认识的一个飞跃。本节课通过让学生试算、观察、比较、讨论等充分调动学生多种感官的参与，让学生全面参与新知的发生、发展和形成过程，从而感受循环小数的无限性，理解循环小数概念的形成过程， 初步认识循环小数 3.学科核心素养分析：创设生活情境激发兴趣，培养学生寻找数学信息，并根据信息提出问题的能力，渗透引发学生在观察中发现问题，在探究中解决问题的数学思想，同时培养学生的计算能力与应用意识。 新课引入 1. 填一填 怎样求小数的近似数？ 求小数的近似值，要保留几位小数就要看它的下一位数，按照“四舍五入”法取近似数。 2.用竖式计算。 怎样用竖式计算除数是整数的小数除法？ 计算除数是整数的小数除法： （1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐； （2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。 你瞧！蜘蛛和蜗牛正准备比赛了。 新课讲授 根据获取到的数学信息，你能提出什么数学问题？ 谁爬得快呢？估一估 蜘蛛和蜗牛平均每分爬行多少米?在计算中，你发现了什么？ 余数“6”和“5”总是交替出现。 商的小数部分从第一位开始总是3。 在73÷3这个算式里，商的小数部分不断商3，余数总是1。 9.4÷11的余数和商又有什么联系？ 余数不断重复出现6和5，商不断重复出现5和4 73÷3商的小数部怎么总是3呢？ 从小数部分的第一位起不断重复出现数字3。 省略号表示后面的数字都是3。 为了清楚地表示哪个数字或哪些数字在循环，在“…”之前要把重复的数字写两遍以上。注意：数学中的省略号只写三个点。 像24.33…、0.85454…等都是循环小数。那么什么是循环小数？ 思考提示： 1.结合循环小数的特点说说。 2.循环小数是从哪一位开始有几个数字依次重复出现？ 一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数。 根据需要，我们可以用“四舍五入”法对循环小数取近似值。 循环小数取近似值时，要明确省略号表示的是哪个数字，然后再进行四舍五入。 计算下面各题，并说一说哪几道的商是循环小数。 今后在计算小数除法时，如果遇到除不尽的情况可以根据要求取商的近似值，也可以用循环小数表示除得的商。 归纳总结：除得尽吗——循环小数 73÷3=24.333… 循环小数：依次 不断 重复 9.4÷11=0.85454… 24.33…≈24.3 0.85454…≈0.85 知识点01：循环小数的定义 定义： 循环小数是指一个小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现的小数。 例如：5.333…、3.12323…、5.7171…等都是循环小数。 分类： 有限小数：小数部分的位数是有限的，如0.37、1.4135等。 无限小数：小数部分的位数是无限的，其中循环小数就是无限小数的一种特殊情况。 知识点02：循环节的表示 循环节： 循环小数中依次不断重复出现的数字叫做循环节。 例如：在5.333…中，循环节是3；在4.6767…中，循环节是67；在6.9258258…中，循环节是258。 简便写法： 循环小数可以用简便方法表示，即只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各记一个小圆点。 例如：5.333…可以写作5.∙3；4.6767…可以写作4.∙67∙；6.9258258…可以写作6.∙9258∙。 知识点03：循环小数的产生 除法运算中： 在进行小数除法运算时，有时会出现除不尽的情况，此时得到的商就是循环小数。 例如：计算1÷3时，商是0.333…，即0.∙3。 其他情况： 除了除法运算，有些数学表达式或问题在求解过程中也可能产生循环小数。 知识点04：循环小数的应用 实际问题： 在日常生活和数学学习中，循环小数经常用于表示一些无法精确测量的量，如某些物理量的测量值、经济数据的统计结果等。 近似值： 由于循环小数的小数部分是无限重复的，因此在实际应用中通常需要取其近似值。 取近似值时，可以根据需要保留的小数位数，利用“四舍五入”法或其他方法进行计算。 易错知识点01：循环小数的基本概念 定义混淆： 学生容易将循环小数与有限小数、无限不循环小数混淆。需要明确循环小数是小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数。 循环节识别： 在识别循环节时，学生可能会遗漏或错误地标记循环节。例如，在0.425425…中，循环节是“425”，而不是单个数字或错误的组合。 易错知识点02：循环小数的表示方法 简便写法错误： 学生在写循环小数时，可能会忘记在循环节的首位和末位上方各记一个小圆点，或者错误地标记了非循环节的数字。 书写不规范： 循环小数的书写需要规范，但学生可能由于疏忽或习惯问题，导致书写不整齐、不清晰，从而影响识别和计算。 易错知识点03：循环小数的应用易错点 四舍五入错误： 在取循环小数的近似值时，学生可能会忘记根据要求保留的小数位数进行四舍五入，或者四舍五入的方法不正确。 实际问题处理不当： 在解决涉及循环小数的实际问题时，学生可能无法准确地将循环小数转化为近似值进行计算，或者无法正确地将计算结果与实际问题相联系。 易错知识点04：循环小数与除法运算 除法运算不熟练： 循环小数往往是在除法运算中产生的，如果学生对除法运算不熟练，就难以正确识别和处理循环小数。 除数与被除数的关系理解不清： 学生需要理解除数与被除数的关系对商的影响，特别是当除数小于1时，商可能会比被除数大，且可能是循环小数。但学生可能因为这种关系的复杂性而理解不清。 考点一：小数除法计算-（循环小数） 【典例精讲】（2024五上·龙岗期末）循环小数3.56845684…的小数部分第20位上的数字是（　　）。 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【规范解答】解：20÷4=5（组），小数部分第20位上的数字是4。 故答案为：A。 【思路点拨】这个循环小数的循环节是“5684”，按照这四个数字为一组循环，小数部分第20位上的数字循环了5组，则是4。 【变式演练01】（2024五上·龙岗期末）下面算式的商是循环小数的是（　　）。 A．0.9÷2 B．1÷7 C．0.366÷3 D．2.52÷8 【答案】B 【规范解答】解：A：0.9÷2=0.45； B：1÷7=； C：0.366÷3 =0.122； D：2.52÷8=0.315。 故答案为：B。 【思路点拨】一个小数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 【变式演练02】（2023五上·杭州期末）列竖式计算。 ①23.7×4.5= ②5.68÷2.8≈(得数保留两位小数) ③27.8÷0.9=(商用循环小数的简便形式表示) 【答案】解：①23.7×4.5=106.65 ②5.68÷2.8≈2.03 ③27.8÷0.9= 【思路点拨】小数乘小数，先按照整数乘法的计算方法计算出积，然后看两个因数中共有几位小数，就从积的右边向左数出几位点上小数点。除数是小数，先移动除数的小数点把除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，然后按照除数是整数的除法计算即可。 考点二：小数除法计算-循环节找规律问题 【典例精讲】（2023五上·惠来期中）循环小数0.406406……的小数部分第37位是（　　）。 A．0 B．4 C．6 【答案】B 【规范解答】解：37÷4=9（组）······1（位），小数部分第37位是4。 故答案为：B。 【思路点拨】这个小数的循环节是406，这3个数字为一组循环，小数部分第37位循环了9组，剩余1位，则是4。 【变式演练01】（2022五上·湖口期中）8.090909是循环小数，循环节是09。（ ）（判断对错） 【答案】错误 【规范解答】 8.090909不是循环小数。 故答案为：错误。 【思路点拨】循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位置的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节，据此解答。 【变式演练02】（2023五上·巨野期中）3.2525…是　 　小数，循环节是　 　，用简便记法写　 　，保留三位小数是　 　． 【答案】循环；25；；3.253 【规范解答】解：3.2525…是循环小数，循环节是25，用简便记法写，保留三位小数是3.253。 故答案为：循环；25；；3.253。 【思路点拨】“从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*(混循环小数)，35.232323...(循环小数)，20.333333…(循环小数)等，其中依次循环不断重复出现的数字叫循环节。 循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。 【变式演练03】有一个纯循环小数，循环节有5个数字，已知小数点后的第16位是9，第32位是8，第63位是0，第104位是7，第800位是3，这个循环小数的循环节是多少？ 【答案】解：16÷5=3.....1，说明循环节第一位是9， 32÷5=6.....2，说明循环节第二位是8， 63÷5=12....3，说明循环节第三位是0， 104÷5=20.....4，说明循环解第四位是7， 800÷5=160，说明循环节的末位是3。 答：这个循环小数的循环节是：98073。 【思路点拨】例如：第16位是9，用16除以5求出商和余数，商是循环节的个数，余数是几，就说明第16位数字就是循环节的第几位数字。按照这样的方法分别确定循环节的每一位数字即可。 考点三：小数除法计算（循环小数）实际应用 【典例精讲】下列说法正确的是（　　）。 A．如果A×0.4＝B÷4（A 、B均不为0），那么A大于B B．循环小数一定是无限小数，无限小数也一定是循环小数 C．在计算40.26÷2.5时，把被除数和除数的小数点都去掉，商不变 D．狮子0.5小时能跑32.5千米，猎豹6分钟能跑12.4千米，猎豹的速度比狮子快 【答案】D 【规范解答】解：A：假设A×0.4＝B÷4=1，则A=2.5，B=4，所以A小于B，原来说法错误； B：循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数，原来说法错误； C：在计算40.26÷2.5时，把被除数和除数的小数点都向右移动一位，商不变，原来说法错误； D：狮子速度：32.5÷0.5=65（千米/小时），猎豹速度：6分钟=0.1小时，12.4÷0.1=124（千米/小时），猎豹的速度比狮子快。此选项正确。 故答案为：D。 【思路点拨】A：把得数都看作1，分别计算出A、B的值并比较大小； B：一个无限小数的小数部分有一个数字或连续几个数字依次不断重复出现，这个小数就是循环小数。一个循环小数依次不断重复出现的一个或几个数字就是循环节； C：商不变的规律：两个数相除，被除数和除数同时乘或除以一个数（0除外），商不变； D：用路程除以时间，分别求出狮子和猎豹的速度，比较后判断即可。 【变式演练】王华5分钟加工16个零件，李明4分钟加工13个零件，董军6分钟加工20个零件，谁的工作效率高？ 【答案】解：16÷5=3.2（个） 13÷4=3.25（个） 20÷6=（个） ＞3.25＞3.2 答：董军工作效率高。 【思路点拨】工作效率=工作总量÷工作时间，分别计算出三人的工作效率后，再比较大小。 中档题真题训练 1．（2024五上·永靖期末）循环小数6.13621362…的小数部分，第23位上的数是（　　）。 A．1 B．3 C．6 D．2 【答案】C 【规范解答】解：23÷4=5……3，余数是3，说明第23位上的数是6。 故答案为：C。 【思路点拨】“1362”是四个数字循环，用23除以4求出商和余数，余数是几就说明最后一位上的数字与循环节中第几位数字相同。 2．（2023五上·钱塘期末）如果下图的除法竖式的结果是，那么虚线方框里的数应该是（　　）。 A．20 B．2 C．200 D．无法确定 【答案】B 【规范解答】解：6×除数=200，因为商是循环小数，百分位商6的时候，余数是2。所以虚线方框里的数是2。 故答案为：B。 【思路点拨】观察竖式可知，此题的商是一个循环小数，因为余数重复出现，所以商会是一个循环小数。 3．若给5.21409897标上循环节，那么新构成的循环小数最大是　 　，最小是　 　。 A． B． C． D． 【答案】B；D 【规范解答】解：选项A：； 选项B： ； 选项C： ； 选项D： ； 比较大小：＞＞＞ 因此，新构成的循环小数最大是 ，最小是 。 故答案为：B；D。 【思路点拨】分别写出各个选项中循环小数的第九位和第十位，然后按照小数比较大小的方法，先比较它们小数点后第九位大小，第九位上数字大的，小数就大；如果第九位上数字相同，就比较第十位上的数字，第十位上数字大的，小数就大；据此解答。 4．25÷36的商保留一位小数是0.06。（　　）（判断对错） 【答案】错误 【规范解答】解：25÷36=0.6944…… 所以0.6944……保留一位小数约是0.7； 故答案为：错误。 【思路点拨】25÷36的商是一个循环小数，保留一位小数，就看百分位上的数字，根据“四舍五入”的原则，向前一位进1，所以约是0.7，据此判断。 5．（2023·汉寿）除不尽时，商一定是循环小数。（　　）（判断对错） 【答案】错误 【规范解答】解：除不尽时，商可能是循环小数，也可能是无限不循环小数。 故答案为：错误。 【思路点拨】无限小数包括循环小数和无限不循环小数。 6．（2024五上·云浮期末） 把2.305，，，排列顺序。 　 　＜　 　＜　 　＜　 　 【答案】2.305；；； 【规范解答】解： 的循环节是5，所以写出第二组循环节是； 的循环节是05，所以写出第二组循环节是； 的循环节是305，所以写出第二组循环节是； 2.305＜＜＜，所以2.305＜ ＜ ＜。 故答案为：2.305；；；。 【思路点拨】分别写出循环小数的第二组循环节，再比较大小；小数比较大小：先比较整数部分，整数部分越大，小数越大；整数部分相同，再比较十分位，十分位上数字越大，小数越大，依此类推进行比较。 7．（2023五上·仙居期末）在横线上填上“>”“<”或“=”。 a÷0.98　 　 a×0.98（a≠0） 25分钟　 　0.25小时 　 　 【答案】>；>；< 【规范解答】解：因为0.98<1，所以a÷0.98>a，a×0.98<a，因此a÷0.98>a×0.98； 因为0.25×60=15，所以0.25小时=15分钟，因此25分钟>0.25小时； 因为4<5，所以 < 。 故答案为：>；>；<。 【思路点拨】一个数乘一个小于1的数（0除外），积小于这个数；一个数除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数； 1时=60分，大单位化成小单位乘进率，小单位化成大单位除以进率； 小数的大小比较方法：先比较小数的整数部分，若整数部分相同，就依次比较十分位、百分位……，哪一位大的小数就大。 8．（2023五上·兰溪月考）把0.6、0.63、0.666、按从大到小的顺序排列： 　 　>　 　>　 　>　 　 【答案】0.666；0.63；；0.6 【规范解答】解：0.6、0.63、0.666、=0.6262……；所以从大到小排列是0.666＞0.63＞＞0.6。 故答案为：0.666；0.63；；0.6。 【思路点拨】把循环小数用普通表示法表示出来，然后根据小数大小的比较方法从大到小排列即可。 9．（2023五上·瑞安期中）为积极响应国家节能环保政策，某车企研发出一款纯电动汽车。该款电动汽车行驶100km耗电量为12千瓦时，平均行驶1km耗电　 　千瓦时，平均每千瓦时电可以行驶　 　km。（得数用循环小数表示） 【答案】0.12； 【规范解答】解：行驶1km耗电：12÷100=0.12（千瓦时）；平均每千瓦时可以行驶：100÷12=。 故答案为：0.12；。 【思路点拨】用耗电量除以行驶的路程即可求出平均每行驶1km的耗电量；用行驶的路程除以耗电量求出平均每千瓦时可以行驶的路程。 10．（2024五上·章丘期末）列竖式计算，带★的要验算。 3.25×2.4 1.8×2.5 ★4.48÷3.2 0.568÷3.4（得数保留两位小数） 【答案】解：3.25×2.4=7.8 1.8×2.5=4.5 ★4.48÷3.2=1.4 验算： 0.568÷3.4≈0.17 【思路点拨】计算小数乘法时，先按照整数乘法的计算方法计算出积，然后看两个因数中共有几位小数，就从积的右边向左数出几位点上小数点；除数是小数，先移动除数的小数点，使除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，然后根据除数是整数的除法计算方法计算。 11．（2024五上·永靖期末）汉字书法被誉为：无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐。五(1)班下周的活动课主题是“体会书法的魅力”，小华带了40元去买毛笔和宣纸。她买毛笔花了21.5元，宣纸2.5元/张，她最多能买几张宣纸？ 【答案】解：（40-21.5）÷2.5 =18.5÷2.5 ≈7（张） 答：她最多能买7张宣纸。 【思路点拨】用带的钱数减去买毛笔花的钱数求出剩下的钱数，用剩下的钱数除以每张宣纸的钱数，用去尾法取整数即可求出最多买宣纸的张数。 12．（2023五上·台州期中）100千克花生可榨油41千克，照这样计算，榨一千克花生油大约需要花生多少千克？一千克花生大约可榨油多少千克？(得数精确到十分位) 【答案】解：100÷41≈2.4（千克） 41÷100=0.41（千克） 答：榨一千克花生油大约需要花生2.4千克。一千克花生大约可榨油0.41千克。 【思路点拨】用花生的质量除以榨油的质量求出榨一千克花生油需要花生的质量。用榨油的质量除以花生的质量即可求出一千克花生可以榨油的质量。 培优题真题训练 13．（2023五上·期中）3.1÷5.5的商是一个循环小数，这个小数的小数点后面第2023位上的数是（　　） A．0 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【规范解答】解：3.1÷5.5=0.56363……，（2023-1）÷2=1011，没有余数，那么2023位上的数就是3。 故答案为：D。 【思路点拨】求出3.1与5.5的商，确定循环节。因为不是从小数点后第一位开始循环，所以用2023除以1再除以2，余数是几最后一位就与循环节的第几个数字相同，没有余数，最后一位就与循环节的末位相同。 14．（2023五上·惠阳期中）某服装厂做一件女上衣需要用布2.6米，一条女裙子需要用布1.8米。现在厂家有1200米的布，最多可以做多少套这样的女装？ 【答案】解：1200÷（2.6+1.8） =1200÷4.4 ≈272（套） 答：最多可以做272套这样的女装。 【思路点拨】做一件女上衣需要用布的长度+一条女裙子需要用布的长度=做一套需要用布的长度；布的总长度÷做一套需要的长度，商采取去尾法得到的整数就是最多可以做的套数。 15．（2023五上·陆丰期中）丽丽妈妈买了29.5kg花生油，分装在下面的油桶里，需要准备多少个这样的油桶？如果每人每天摄入食用油按0.026kg计算，一桶油够丽丽一家三口吃多长时间？ 【答案】解：29.5÷4.7≈7（个） 4.7÷（0.026×3） =4.7÷0.078 ≈60（天） 答：需要准备7个这样的油桶，一桶油够丽丽一家三口吃60天。 【思路点拨】需要准备这样油桶的个数=丽丽妈妈买花生油的总质量÷平均每个油桶装油的质量，计算的结果用“进一法”；一桶油够丽丽一家三口吃的天数=每个油桶装油的质量÷（平均每人每天摄入食用油的质量×人数），计算的结果用“去尾法”。 16．（2023五上·金湖期末）为助力贫困群众增加收入，学校开展了“以购代扶”活动。在这次活动中，王老师购了4.5kg小磨香油，分装在一些玻璃瓶里。每个玻璃瓶最多可盛400g，她至少需要多少个玻璃瓶？ 【答案】解：4.5kg＝4500g 4500÷400≈12（个） 答：她至少需要12个玻璃瓶。 【思路点拨】香油质量÷每个玻璃瓶最多可盛质量，商采取进一法得到的整数就是至少需要准备的玻璃瓶数。 17．（2022五上·定州期中）玩具厂制作一种玩具熊，每个玩具熊需要用布0.8米，现在改进了工艺，制作一个玩具熊可以节约布0.12米，原本制作350个玩具熊的布，现在可以制作多少个玩具熊？ 【答案】解：0.8×350÷（0.8-0.12） =280÷0.68 ≈411（个） 答：现在可以制作411个玩具熊。 【思路点拨】原本制作一个玩具熊需要用布的长度×350个=原本制作350个玩具熊需要用布的长度，原本制作350个玩具熊需要用布的长度÷现在制作1个玩具熊需要用布的长度，商采取去尾法得到的整数就是现在可以制作玩具熊的个数。 18．静安小区去年年底全部改用节水水龙头。王奶奶家今年上半年节约水费34.6元，赵阿姨家今年第二季度共节约水费21.5元，李叔叔家今年一共节约水费82.3元。你能计算出谁家平均每月节约的水费多吗？ 【答案】解：王奶奶家：34.6÷6≈5.8（元/月） 赵阿姨家：21.5÷3≈7.2（元 /月） 李叔叔家：82.3÷12≈6.9（元/月） 答：赵阿姨家平均每月节约的水费多。 【思路点拨】节约的钱数÷节约的月数=平均每月节约的钱数。 19．6÷13的商是一个循环小数，这个循环小数的小数点后第100位上的数是几？第200位呢？ 【答案】解：6÷13=0.461538461538… 100÷6=16（组）······4（个） 200÷6=33（组）······2（个） 答：这个循环小数的小数点后第100位上的数是5，第200位上的数是6。 【思路点拨】6÷13的循环节是461538，这个循环小数的小数点后第100位上的数字是循环了16组，剩余4个数字，则是5；这个循环小数的小数点后第200位上的数字是循环了33组，剩余2个数字，则是6。 20．（2021五上·仁怀期中）在算式16÷27中，商的小数部分第200位上的数字是多少？商的小数部分前100位上的数字之和是多少？ 【答案】解：16÷27=0.592592...... 三个数字看做一组， 200÷3=66（组）......2（个） 第200位上的数字是9 100÷3=33（组）......1 33×（5+9+2）+5 =33×16+5 =528+5 =533 答：商的小数部分第200位上的数字是9，商的小数部分前100位上的数字之是533。 【思路点拨】商的小数部分是循环小数，循环节是592；三个数字看做一组，200个数字÷一组的数字=包含的组数......余下的数字个数，余下的数字个数是2，说明第200位上的数字是第67组的第二个数字； 商的小数部分前100位上的数字包括33组余下一个数字，组数×每组的数字和+余下的数字=商的小数部分前100位上的数字之和。 21．（2020五上·长葛期中）算算5÷7的商，想一想，算一算： （1）小数点后面2019位上的数字是几？ （2）小数点后2019个数字之和是几？ 【答案】（1）5÷7= 2019÷6=336……3 答：小数点后面2019位上的数字是4。 （2）（7+1+4+2+8+5）×336+（7+1+4）=9084 答：小数点后面2019位上的数字之和是9084。 【思路点拨】（1）根据题意可知，先求出5÷7的商，观察可知，这个商是一个循环小数，循环节是6个数字：714285，要求小数点后面2019位上的数字是几？就是求2019里面有几个6，用除法计算，余数是几，就从第1个数字向后数几，据此列式计算； （2）根据题意可知，先用加法求出一组数字的和，然后用一组数字的和×组数+余下3个数字的和=小数点后2019个数字之和，据此列式解答。 22．（2020五上·新会期中）果农们要将680kg的葡萄装进纸箱运走，每个纸箱最多可以盛下15kg，需要多少个纸箱？ 【答案】解：680÷15≈46（个） 答：需要46个纸箱。 【思路点拨】需要纸箱的个数=总质量÷每个纸箱装的质量，此题要用进一法，所以无论小数部分十分位上的数字是几，都要向个位进一。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 除得尽吗（循环小数） （新知讲练+高频易错点+三大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：小数除法计算-（循环小数） 8 考点二：小数除法计算-循环节找规律问题 9 考点三：小数除法计算（循环小数）实际应用 9 中档题真题训练 10 培优题真题训练 11 1.学习目标描述：通过计算蜘蛛和蜗牛的速度，发现余数和商的特点，知道什么是循环小数，学会用循环小数表示除法的商，知道循环小数的意义，学会用四舍五入法对循环小数取近似值。 2.学习内容分析：本节课通过计算蜗牛与蜘蛛的爬行速度，初步认识循环小数。“循环小数”是数概念的一次重要扩展，即从“有限”扩展到“无限”，是学生对数的认识的一个飞跃。本节课通过让学生试算、观察、比较、讨论等充分调动学生多种感官的参与，让学生全面参与新知的发生、发展和形成过程，从而感受循环小数的无限性，理解循环小数概念的形成过程， 初步认识循环小数 3.学科核心素养分析：创设生活情境激发兴趣，培养学生寻找数学信息，并根据信息提出问题的能力，渗透引发学生在观察中发现问题，在探究中解决问题的数学思想，同时培养学生的计算能力与应用意识。 新课引入 1. 填一填 怎样求小数的近似数？ 求小数的近似值，要保留几位小数就要看它的下一位数，按照“四舍五入”法取近似数。 2.用竖式计算。 38.19÷19= 7.4÷3 （得数保留两位小数） 计算除数是整数的小数除法： （1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐； （2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。怎样用竖式计算除数是整数的小数除法？ 你瞧！蜘蛛和蜗牛正准备比赛了。 新课讲授 根据获取到的数学信息，你能提出什么数学问题？ 谁爬得快呢？估一估 蜘蛛和蜗牛平均每分爬行多少米?在计算中，你发现了什么？ 余数“6”和“5”总是交替出现。 商的小数部分从第一位开始总是3。 在73÷3这个算式里，商的小数部分不断商3，余数总是1。 9.4÷11的余数和商又有什么联系？ 73÷3商的小数部怎么总是3呢？ 余数不断重复出现6和5，商不断重复出现5和4 从小数部分的第一位起不断重复出现数字3。 省略号表示后面的数字都是3。 为了清楚地表示哪个数字或哪些数字在循环，在“…”之前要把重复的数字写两遍以上。注意：数学中的省略号只写三个点。 像24.33…、0.85454…等都是循环小数。那么什么是循环小数？ 思考提示： 1.结合循环小数的特点说说。 2.循环小数是从哪一位开始有几个数字依次重复出现？ 一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数。 根据需要，我们可以用“四舍五入”法对循环小数取近似值。 循环小数取近似值时，要明确省略号表示的是哪个数字，然后再进行四舍五入。 计算下面各题，并说一说哪几道的商是循环小数。 今后在计算小数除法时，如果遇到除不尽的情况可以根据要求取商的近似值，也可以用循环小数表示除得的商。 归纳总结：除得尽吗——循环小数 73÷3=24.333… 循环小数：依次 不断 重复 9.4÷11=0.85454… 24.33…≈24.3 0.85454…≈0.85 知识点01：循环小数的定义 定义： 循环小数是指一个小数部分从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现的小数。 例如：5.333…、3.12323…、5.7171…等都是循环小数。 分类： 有限小数：小数部分的位数是有限的，如0.37、1.4135等。 无限小数：小数部分的位数是无限的，其中循环小数就是无限小数的一种特殊情况。 知识点02：循环节的表示 循环节： 循环小数中依次不断重复出现的数字叫做循环节。 例如：在5.333…中，循环节是3；在4.6767…中，循环节是67；在6.9258258…中，循环节是258。 简便写法： 循环小数可以用简便方法表示，即只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各记一个小圆点。 例如：5.333…可以写作5.∙3；4.6767…可以写作4.∙67∙；6.9258258…可以写作6.∙9258∙。 知识点03：循环小数的产生 除法运算中： 在进行小数除法运算时，有时会出现除不尽的情况，此时得到的商就是循环小数。 例如：计算1÷3时，商是0.333…，即0.∙3。 其他情况： 除了除法运算，有些数学表达式或问题在求解过程中也可能产生循环小数。 知识点04：循环小数的应用 实际问题： 在日常生活和数学学习中，循环小数经常用于表示一些无法精确测量的量，如某些物理量的测量值、经济数据的统计结果等。 近似值： 由于循环小数的小数部分是无限重复的，因此在实际应用中通常需要取其近似值。 取近似值时，可以根据需要保留的小数位数，利用“四舍五入”法或其他方法进行计算。 易错知识点01：循环小数的基本概念 定义混淆： 学生容易将循环小数与有限小数、无限不循环小数混淆。需要明确循环小数是小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数。 循环节识别： 在识别循环节时，学生可能会遗漏或错误地标记循环节。例如，在0.425425…中，循环节是“425”，而不是单个数字或错误的组合。 易错知识点02：循环小数的表示方法 简便写法错误： 学生在写循环小数时，可能会忘记在循环节的首位和末位上方各记一个小圆点，或者错误地标记了非循环节的数字。 书写不规范： 循环小数的书写需要规范，但学生可能由于疏忽或习惯问题，导致书写不整齐、不清晰，从而影响识别和计算。 易错知识点03：循环小数的应用易错点 四舍五入错误： 在取循环小数的近似值时，学生可能会忘记根据要求保留的小数位数进行四舍五入，或者四舍五入的方法不正确。 实际问题处理不当： 在解决涉及循环小数的实际问题时，学生可能无法准确地将循环小数转化为近似值进行计算，或者无法正确地将计算结果与实际问题相联系。 易错知识点04：循环小数与除法运算 除法运算不熟练： 循环小数往往是在除法运算中产生的，如果学生对除法运算不熟练，就难以正确识别和处理循环小数。 除数与被除数的关系理解不清： 学生需要理解除数与被除数的关系对商的影响，特别是当除数小于1时，商可能会比被除数大，且可能是循环小数。但学生可能因为这种关系的复杂性而理解不清。 考点一：小数除法计算-（循环小数） 【典例精讲】（2024五上·龙岗期末）循环小数3.56845684…的小数部分第20位上的数字是（　　）。 A．4 B．5 C．6 D．8 【变式演练01】（2024五上·龙岗期末）下面算式的商是循环小数的是（　　）。 A．0.9÷2 B．1÷7 C．0.366÷3 D．2.52÷8 【变式演练02】（2023五上·杭州期末）列竖式计算。 ①23.7×4.5= ②5.68÷2.8≈(得数保留两位小数) ③27.8÷0.9=(商用循环小数的简便形式表示) 考点二：小数除法计算-循环节找规律问题 【典例精讲】（2023五上·惠来期中）循环小数0.406406……的小数部分第37位是（　　）。 A．0 B．4 C．6 【变式演练01】（2022五上·湖口期中）8.090909是循环小数，循环节是09。（ ）（判断对错） 【变式演练02】（2023五上·巨野期中）3.2525…是　 　小数，循环节是　 　，用简便记法写　 　，保留三位小数是　 　． 【变式演练03】有一个纯循环小数，循环节有5个数字，已知小数点后的第16位是9，第32位是8，第63位是0，第104位是7，第800位是3，这个循环小数的循环节是多少？ 考点三：小数除法计算（循环小数）实际应用 【典例精讲】下列说法正确的是（　　）。 A．如果A×0.4＝B÷4（A 、B均不为0），那么A大于B B．循环小数一定是无限小数，无限小数也一定是循环小数 C．在计算40.26÷2.5时，把被除数和除数的小数点都去掉，商不变 D．狮子0.5小时能跑32.5千米，猎豹6分钟能跑12.4千米，猎豹的速度比狮子快 【变式演练】王华5分钟加工16个零件，李明4分钟加工13个零件，董军6分钟加工20个零件，谁的工作效率高？ 中档题真题训练 1．（2024五上·永靖期末）循环小数6.13621362…的小数部分，第23位上的数是（　　）。 A．1 B．3 C．6 D．2 2．（2023五上·钱塘期末）如果下图的除法竖式的结果是，那么虚线方框里的数应该是（　　）。 A．20 B．2 C．200 D．无法确定 3．若给5.21409897标上循环节，那么新构成的循环小数最大是　 　，最小是　 　。 A． B． C． D． 4．25÷36的商保留一位小数是0.06。（　　）（判断对错） 5．（2023·汉寿）除不尽时，商一定是循环小数。（　　）（判断对错） 6．（2024五上·云浮期末） 把2.305，，，排列顺序。 　 　＜　 　＜　 　＜　 　 7．（2023五上·仙居期末）在横线上填上“>”“<”或“=”。 a÷0.98　 　 a×0.98（a≠0） 25分钟　 　0.25小时 　 　 8．（2023五上·兰溪月考）把0.6、0.63、0.666、按从大到小的顺序排列： 　 　>　 　>　 　>　 　 9．（2023五上·瑞安期中）为积极响应国家节能环保政策，某车企研发出一款纯电动汽车。该款电动汽车行驶100km耗电量为12千瓦时，平均行驶1km耗电　 　千瓦时，平均每千瓦时电可以行驶　 　km。（得数用循环小数表示） 10．（2024五上·章丘期末）列竖式计算，带★的要验算。 3.25×2.4 1.8×2.5 ★4.48÷3.2 0.568÷3.4（得数保留两位小数） 11．（2024五上·永靖期末）汉字书法被誉为：无言的诗、无形的舞、无图的画、无声的乐。五(1)班下周的活动课主题是“体会书法的魅力”，小华带了40元去买毛笔和宣纸。她买毛笔花了21.5元，宣纸2.5元/张，她最多能买几张宣纸？ 12．（2023五上·台州期中）100千克花生可榨油41千克，照这样计算，榨一千克花生油大约需要花生多少千克？一千克花生大约可榨油多少千克？(得数精确到十分位) 培优题真题训练 13．（2023五上·期中）3.1÷5.5的商是一个循环小数，这个小数的小数点后面第2023位上的数是（　　） A．0 B．6 C．5 D．3 14．（2023五上·惠阳期中）某服装厂做一件女上衣需要用布2.6米，一条女裙子需要用布1.8米。现在厂家有1200米的布，最多可以做多少套这样的女装？ 15．（2023五上·陆丰期中）丽丽妈妈买了29.5kg花生油，分装在下面的油桶里，需要准备多少个这样的油桶？如果每人每天摄入食用油按0.026kg计算，一桶油够丽丽一家三口吃多长时间？ 16．（2023五上·金湖期末）为助力贫困群众增加收入，学校开展了“以购代扶”活动。在这次活动中，王老师购了4.5kg小磨香油，分装在一些玻璃瓶里。每个玻璃瓶最多可盛400g，她至少需要多少个玻璃瓶？ 17．（2022五上·定州期中）玩具厂制作一种玩具熊，每个玩具熊需要用布0.8米，现在改进了工艺，制作一个玩具熊可以节约布0.12米，原本制作350个玩具熊的布，现在可以制作多少个玩具熊？ 18． 静安小区去年年底全部改用节水水龙头。王奶奶家今年上半年节约水费34.6元，赵阿姨家今年第二季度共节约水费21.5元，李叔叔家今年一共节约水费82.3元。你能计算出谁家平均每月节约的水费多吗？ 19．6÷13的商是一个循环小数，这个循环小数的小数点后第100位上的数是几？第200位呢？ 20．（2021五上·仁怀期中）在算式16÷27中，商的小数部分第200位上的数字是多少？商的小数部分前100位上的数字之和是多少？ 21．（2020五上·长葛期中）算算5÷7的商，想一想，算一算： （1）小数点后面2019位上的数字是几？ （2）小数点后2019个数字之和是几？ 22．（2020五上·新会期中）果农们要将680kg的葡萄装进纸箱运走，每个纸箱最多可以盛下15kg，需要多少个纸箱？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$