第05讲三角形的边角关系(8个知识点+6个考点）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第05讲 三角形的边角关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解三角形的概念，掌握分类思想 2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵 3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值 知识点一 三角形的有关概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 有关概念 （1）边:组成三角形的线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.三角形ABC的三条边有时也用a，b，c表示. 图 1 （2）顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图1，点A，B，C是三角形ABC的三个顶点. （3）角:相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图1，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个角. 如图1，∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，AC，AB;反过来，三条边AB，BC，AC所对的角分别是∠C，∠A，∠B. 3. 三角形的表示 三角形用符号“△”表示，如图1，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 特别提醒：1.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示. 2.三角形三个顶点的字母的次序可任意调整，△ABC 也可写或 “△BAC”“△ BCA”"△CAB"等. 3.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示. 【例1】三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义． 知识点二 三角形的分类 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 2.等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。 【注 意】等边三角形是特殊的等腰三角形. 3.三角形的分类 (1)按边的相等关系分类： (2) 按内角的大小分类： 特别提醒： (1)在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角. (2)在一个三角形中，最多有一个直角，最多有一个钝角， (3)三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别.如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形. 【例2】一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【详解】根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因为这个三角形是直角三角形．故选B． 方法技巧： 判断三角形形状的方法 首先确定其分类标准，是按角分类还是按边分类， 若按角分类，则看这个三角形的最大角是哪一类角，最大角是哪一类角，则这个三角形就是哪一类三角形. 若按边分类，则看是否有等边，有等边，则这个三角形就是等腰三角形. 知识点三 三角形的三边关系 1. 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边. 【注意】这里说的两边，是指任意的两边。三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系，一般会与不等式联系起来考虑。 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边的和大于第三边 a+b>c,b+c>a, a+c>b 两点之间，线段最短 三角形两边的差小于第三边 a-b<c,b-c<a, a-c<b(a>b>c) 2. 三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否构成三角形， (2)确定第三边长(或周长)的取值范围 (3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式). 【例3】下列各条线段的长能组成三角形的是（    ） A．5，7，12 B．5，12，16 C．2，3，6 D．5，5，12 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； B、5，12，16满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确； C、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； D、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式3-1】若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，则第三边的取值范围是 知识点四 三角形的高 1.三角形的高的概念 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 2.三角形的高的几何语言表达形式 如图所示，AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，或AD 是△ ABC 的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. 【注意】三角形的高与垂线的区别：三角形的高是一条垂线段，垂线是一条直线。 3.三角形三条高的位置 三角形 高及高的交点的位置 图示 锐角三角形 三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部 直角三角形 直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点 钝角三角形 钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 特别提醒： 1.作三角形高的步骤 作三角形的高的步骤就是“过直线外一点作该直线的垂线段”的步骤： 一靠：三角尺的一条直角边靠 在要作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直 角边通过要作高的顶点， 三画：画垂线段. 2.三角形的三条高的特性 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【例4】如图，中边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断． 【详解】解：中边上的高是线段． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键． 【变式4-1】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 方法技巧： 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 知识点五 三角形的中线 1.三角形的中线的概念 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。C A B D 2.三角形中线的几何语言表达形式 如图，AD是△ABC的边 BC 上的中线，或AD是△ABC 的中线。 3.三角形中线的数量和位置 任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线 相交于一点，这点在三角形的内部. 4.三角形的重心C A B D E 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 5.三角形的中线分成的两个三角形的面积及周长的关系 (1)面积关系：如图所示，AD是△ABC 的中线，AE是△ ABC的高， 则 ， 因为BD=CD,所以=， 所以=. （等面积法是几何推理常用方法！）(2)周长关系：因为△ABD的周长=AB+BD+AD, △ACD 的周长= AC+CD+AD, 所以△ABD 的周长- △ACD 的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性质在几何推理中也是常用方法！） 特别提醒： （1）三角形的中线可将三角形分成面识相等的两部分; （2）△ABD和△ ACD的周长之差实质上就是AB与AC的长度之差. 【例5】如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为15，则的面积为（  ） A．20 B．24 C．26 D．30 【答案】B 【分析】连接，设，根据等底同高的三角形的面积相等，以及三角形中线的性质即可得到结论． 【详解】解：连接DE，设， ∵D、E分别为的边的中点，为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴， ∴的面积． 故选B． 【点睛】本题考查了中线的定义，三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等和中线平分三角形面积是解题的关键． 知识点六 三角形的角平分线 1.三角形的角平分线的概念 在三角形中，一个内角的平分线和它所对的C A B D 边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的 线段叫做三角形的角平分线. 2.三角形的角平分线的几何语言表达形式 如图所示，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD=∠BAC且点D在边BC上. 3.三角形的角平分线的位置 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 【例6】如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB， ∴∠ECD=∠BCD=∠ACB. 又DE∥BC， ∴∠ACB=∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. 知识点七 三角形内角和 1.定理 (1)文字叙述：三角形三个内角的和等于180° (2)数学语言：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.定理的实践探索的示意图 如图所示，把△ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即三个内角的和为180°。 特别提醒： 1. 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 2. 三角形内角和定理的两点应用：(1)在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第三个角的度数；(2)已知三角形中三个内角的关系，可利用三角形内角和等于180°,列方程求出各内角的度数。 3.利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理的典例 证明思路 运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个平角 推 理 过 程 推理过程 方法1 过点 A 作l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 方法2 延长BC到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. 方法3 过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 【例7】如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD=∠BAC=20 °. 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 方法技巧： 三角形的内角和常用二级结论： 由三角形的内角和定理 易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D 知识点八 三角形的外角 1.三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角。 ☆注意： (1)三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角. (2)三角形的每一个顶点处都有且只有两个外角，这两个外角是对顶角， 一个三角形共有六个外角， 一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角. 2.外角的性质(三角形内角和定理的推论) （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. (2)三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与 它不相邻的内角. 3.三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫 做三角形的外角和.三角形的外角和为360°. 【例8】如图①，试比较∠2 、∠1的大小；如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 图①:解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1. 图②:解：∵∠2 =∠1 + ∠B，∠3 =∠2 + ∠D，∴∠3＞∠2＞∠1. 【变式8-1】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：三角形 例1．（2023秋•蜀山区期末）的三角之比是，则是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【变式1-1】（2023秋•无为市月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以为顶点的三角形的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（2023秋•大观区校级期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，，则是钝角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【变式1-3】（2023秋•凤阳县期中）如图，以为边的三角形有 　 　个． 考点二：三角形的角平分线、中线和高（共4小题） 例2．（2023秋•娄星区期末）图中能表示的边上的高的是　　 A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋•长丰县期末）下列各组图形中，是的高的图形是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2023秋•肥西县期末）如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是　　 A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【变式2-3】（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长． 考点三：三角形的面积 例3．（2023秋•池州期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋•怀宁县期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是　　 A．9 B．12 C．18 D．20 【变式3-2】（2023秋•利辛县期末）如图，在中，已知点，，分别是、、的中点，且的面积是4，则的面积是　　 A．2 B．3 C．4 D．4.5 【变式3-3】（2023秋•包河区期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 　 　． 考点四：三角形三边关系 例4．（2023秋•谢家集区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是　　 A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9 【变式4-1】（2023秋•淮北期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-2】（2023秋•大通区期末）已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是　　 A．1 B．4 C．8 D．14 【变式4-3】（2023秋•和县期末）在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是　　 A． B． C． D． 考点五：三角形内角和定理 例5．（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式5-1】（2023秋•宣城期末）如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式5-2】（2023秋•贵池区期末）如图，在中，，若沿图中虚线截去，则　　 A． B． C． D． 【变式5-3】（2023秋•肥东县期末）已知点在内，若，，则等于　　 A． B． C． D． 考点六：三角形的外角性质 例6．（2023秋•裕安区校级期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2023秋•合肥期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2023秋•宁国市期末）将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 【变式6-3】（2023秋•海曙区校级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于　　 A． B． C． D． 1．（2023秋•弋江区期末）以下列各组长度为边，能构成三角形的是　　 A．1，2，5 B．2，3，5 C．2，2，5 D．2，5，5 2．（2023秋•宿松县期末）一个三角形的两边长分别为3和8，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是　　 A．17 B．16 C．15 D．6 3．（2023秋•宁国市期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•和县期末）已知的三个内角度数之比为，则此三角形是　　三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 5．（2023秋•安庆期末）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．（2023秋•利辛县校级期末）已知三角形三条边长分别是2、、3，且为奇数，则　 　． 21．（2023秋•固镇县期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 　 　． 7．（2023秋•淮北期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则　 　． 8．（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，、分别是、上的点，点在的延长线上，，，，则_______． 9．（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　 　． 10．（2023秋•利辛县校级期末）如图，是的角平分线，点在是上，交于点，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 11．（2024春•庐江县期末）如图，已知．点为、之间一点． （1）如图1，当平分，平分．求证； （2）如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，求的度数； （3）如图3，若点是射线上一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形的边角关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、了解三角形的概念，掌握分类思想 2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵 3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值 知识点一 三角形的有关概念 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 有关概念 （1）边:组成三角形的线段叫做三角形的边.如图，线段AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.三角形ABC的三条边有时也用a，b，c表示. 图 1 （2）顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图1，点A，B，C是三角形ABC的三个顶点. （3）角:相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图1，∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个角. 如图1，∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，AC，AB;反过来，三条边AB，BC，AC所对的角分别是∠C，∠A，∠B. 3. 三角形的表示 三角形用符号“△”表示，如图1，以A，B，C为顶点的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 特别提醒：1.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示. 2.三角形三个顶点的字母的次序可任意调整，△ABC 也可写或 “△BAC”“△ BCA”"△CAB"等. 3.用 a,b,c表示△ABC 的三边时，顶点A 所时的边一般用a表示，顶点B 所对的边一般用b 表示，顶点C 所时的边一般用c表示. 【例1】三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【分析】根据三角形的定义解答即可． 【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义．解题的关键是熟记三角形的定义． 知识点二 三角形的分类 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角. 2.等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。 【注 意】等边三角形是特殊的等腰三角形. 3.三角形的分类 (1)按边的相等关系分类： (2) 按内角的大小分类： 特别提醒： (1)在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角. (2)在一个三角形中，最多有一个直角，最多有一个钝角， (3)三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别.如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形. 【例2】一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【详解】根据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因为这个三角形是直角三角形．故选B． 方法技巧： 判断三角形形状的方法 首先确定其分类标准，是按角分类还是按边分类， 若按角分类，则看这个三角形的最大角是哪一类角，最大角是哪一类角，则这个三角形就是哪一类三角形. 若按边分类，则看是否有等边，有等边，则这个三角形就是等腰三角形. 知识点三 三角形的三边关系 1. 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边. 【注意】这里说的两边，是指任意的两边。三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系，一般会与不等式联系起来考虑。 图形 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边的和大于第三边 a+b>c,b+c>a, a+c>b 两点之间，线段最短 三角形两边的差小于第三边 a-b<c,b-c<a, a-c<b(a>b>c) 2. 三角形三边关系的应用 (1)判断三条线段能否构成三角形， (2)确定第三边长(或周长)的取值范围 (3)解决线段的不等关系问题(如证明几何不等式). 【例3】下列各条线段的长能组成三角形的是（    ） A．5，7，12 B．5，12，16 C．2，3，6 D．5，5，12 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； B、5，12，16满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合题意，选项正确； C、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误； D、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式3-1】若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足，则第三边的取值范围是 【答案】/ 【分析】由可得，，再利用三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c为三角形的三边长， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，偶次方的非负性的应用，三角形的三边关系的理解，利用非负数的性质求解是解本题的关键． 知识点四 三角形的高 1.三角形的高的概念 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 2.三角形的高的几何语言表达形式 如图所示，AD 是△ ABC 的边 BC 上的高，或AD 是△ ABC 的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. 【注意】三角形的高与垂线的区别：三角形的高是一条垂线段，垂线是一条直线。 3.三角形三条高的位置 三角形 高及高的交点的位置 图示 锐角三角形 三条高都在三角形的内部，三条高的交点在三角形的内部 直角三角形 直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点 钝角三角形 钝角三角形有两条高落在三角形的外部，另一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 特别提醒： 1.作三角形高的步骤 作三角形的高的步骤就是“过直线外一点作该直线的垂线段”的步骤： 一靠：三角尺的一条直角边靠 在要作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直 角边通过要作高的顶点， 三画：画垂线段. 2.三角形的三条高的特性 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 3 1 1 高之间是否相交 相交 相交 不相交 高所在的直线是否相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 【例4】如图，中边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【分析】根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断． 【详解】解：中边上的高是线段． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高线的定义是解决问题关键． 【变式4-1】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知，AD·BC＝BP·AC. 代入数值，可解得BP＝. 方法技巧： 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 知识点五 三角形的中线 1.三角形的中线的概念 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。C A B D 2.三角形中线的几何语言表达形式 如图，AD是△ABC的边 BC 上的中线，或AD是△ABC 的中线。 3.三角形中线的数量和位置 任何三角形都有三条中线，三条中线都在三角形内部，并且三条中线 相交于一点，这点在三角形的内部. 4.三角形的重心C A B D E 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 5.三角形的中线分成的两个三角形的面积及周长的关系 (1)面积关系：如图所示，AD是△ABC 的中线，AE是△ ABC的高， 则 ， 因为BD=CD,所以=， 所以=. （等面积法是几何推理常用方法！） (2)周长关系：因为△ABD的周长=AB+BD+AD, △ACD 的周长= AC+CD+AD, 所以△ABD 的周长- △ACD 的周长=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC.（等式的性质在几何推理中也是常用方法！） 特别提醒： （1）三角形的中线可将三角形分成面识相等的两部分; （2）△ABD和△ ACD的周长之差实质上就是AB与AC的长度之差. 【例5】如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为15，则的面积为（  ） A．20 B．24 C．26 D．30 【答案】B 【分析】连接，设，根据等底同高的三角形的面积相等，以及三角形中线的性质即可得到结论． 【详解】解：连接DE，设， ∵D、E分别为的边的中点，为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴， ∴的面积． 故选B． 【点睛】本题考查了中线的定义，三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等和中线平分三角形面积是解题的关键． 知识点六 三角形的角平分线 1.三角形的角平分线的概念 在三角形中，一个内角的平分线和它所对的C A B D 边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的 线段叫做三角形的角平分线. 2.三角形的角平分线的几何语言表达形式 如图所示，AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD=∠BAC且点D在边BC上. 3.三角形的角平分线的位置 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 【例6】如图，DC平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB， ∴∠ECD=∠BCD=∠ACB. 又DE∥BC， ∴∠ACB=∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. 知识点七 三角形内角和 1.定理 (1)文字叙述：三角形三个内角的和等于180° (2)数学语言：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 2.定理的实践探索的示意图 如图所示，把△ABC 的三个内角拼在一起，组成一个平角，即三个内角的和为180°。 特别提醒： 1. 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 2. 三角形内角和定理的两点应用：(1)在三角形中，已知任意两个角的度数，可求出第三个角的度数；(2)已知三角形中三个内角的关系，可利用三角形内角和等于180°,列方程求出各内角的度数。 3.利用“平行线的性质”证明三角形的内角和定理的典例 证明思路 运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处，合并成一个平角 推 理 过 程 推理过程 方法1 过点 A 作l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 方法2 延长BC到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1(两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. 方法3 过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 【例7】如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线， 得∠BAD=∠BAC=20 °. 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°. 方法技巧： 三角形的内角和常用二级结论： 由三角形的内角和定理 易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D 知识点八 三角形的外角 1.三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角。 ☆注意： (1)三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角. (2)三角形的每一个顶点处都有且只有两个外角，这两个外角是对顶角， 一个三角形共有六个外角， 一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角. 2.外角的性质(三角形内角和定理的推论) （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. (2)三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与 它不相邻的内角. 3.三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫 做三角形的外角和.三角形的外角和为360°. 【例8】如图①，试比较∠2 、∠1的大小；如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 图①:解：∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1. 图②:解：∵∠2 =∠1 + ∠B，∠3 =∠2 + ∠D，∴∠3＞∠2＞∠1. 【变式8-1】如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180° ① ， ∠CBF +∠2 = 180° ②， ∠ACD +∠3 = 180° ③， 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， ① + ② + ③ 得 ∠BAE + ∠CBF + ∠ACD + (∠1 + ∠2 + ∠3) = 540°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 540° - 180° = 360°. 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jyeoo.com；学号：53016436 考点一：三角形 例1．（2023秋•蜀山区期末）的三角之比是，则是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】 【解答】解：在中，若， 设，则，， ， 解得， ， 此三角形是直角三角形． 故选：． 【变式1-1】（2023秋•无为市月考）如图，在中，，分别为，上的点，则以为顶点的三角形的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【解答】解：以为顶点的三角形有，，，共4个三角形， 故选：． 【变式1-2】（2023秋•大观区校级期中）下列对的判断，错误的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，，则是钝角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】 【解答】解：．若，则，，，所以是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； ．若，，则，所以是钝角三角形，故此选项判断不正确，符合题意； ．若，，则，，所以是钝角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； ．若，则，，所以是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意． 故选：． 【变式1-3】（2023秋•凤阳县期中）如图，以为边的三角形有 　2　个． 【答案】2． 【解答】解：以为边的三角形有，共2个． 故答案为：2． 考点二：三角形的角平分线、中线和高（共4小题） 例2．（2023秋•娄星区期末）图中能表示的边上的高的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：题中需要画的边上的高．应当过顶点向边作垂线，顶点到垂足的垂线段就为边上的高．钝角三角形钝角两夹边的高在三角形的外部． 故选：． 【变式2-1】（2023秋•长丰县期末）下列各组图形中，是的高的图形是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：根据三角形高的定义可知，只有选项中的线段是的高， 故选：． 【变式2-2】（2023秋•肥西县期末）如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是　　 A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】 【解答】解：、由图可知：是的中线，正确，不符合题意； 、由图可知：是的角平分线，正确，不符合题意； 、是的角平分线， ， 是中线， ， 不正确，符合题意． 、由图可知： 是的高，正确，不符合题意； 故选：． 【变式2-3】（2023秋•庐阳区校级期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长． 【答案】的长为44，的长为34． 【解答】解：设，则， 是边上的中线， ， 由题意得：，， 解得：，， ， ， 的长为44，的长为34， 答：的长为44，的长为34． 考点三：三角形的面积 例3．（2023秋•池州期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：是的边上的中线，的面积为， 的面积为：， 是的边上的中线， 的面积为：， 故选：． 【变式3-1】（2023秋•怀宁县期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是　　 A．9 B．12 C．18 D．20 【答案】 【解答】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 又是的边上的中线，则是的边上的中线， ，， 则， 故选：． 【变式3-2】（2023秋•利辛县期末）如图，在中，已知点，，分别是、、的中点，且的面积是4，则的面积是　　 A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】 【解答】解：点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 的面积是4， ， 故选：． 【变式3-3】（2023秋•包河区期中）如图，是的中线，是的中线，于点．若，，则长为 　3　． 【答案】3． 【解答】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 考点四：三角形三边关系 例4．（2023秋•谢家集区期末）以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是　　 A．3，6，9 B．3，5，9 C．2，6，4 D．4，6，9 【答案】 【解答】解：、，错误； 、，错误； 、，错误； 、，正确， 故选：． 【变式4-1】（2023秋•淮北期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【解答】解：、，不能构成三角形，不符合题意； 、，不能构成三角形，不符合题意； 、，能构成三角形，符合题意； 、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：． 【变式4-2】（2023秋•大通区期末）已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是　　 A．1 B．4 C．8 D．14 【答案】 【解答】解：此三角形第三边的长为，则 ，即， 只有选项符合题意． 故选：． 【变式4-3】（2023秋•和县期末）在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设第三根木棒长为 ，由题意得：， ， 选项符合题意， 故选：． 考点五：三角形内角和定理 例5．（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：中，，， ， ，， ， ， 故选：． 【变式5-1】（2023秋•宣城期末）如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：沿折叠，使点落在点处， △， ， ，， ，， ， 故选：． 【变式5-2】（2023秋•贵池区期末）如图，在中，，若沿图中虚线截去，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，、是的外角， ，， 即． 故选：． 【变式5-3】（2023秋•肥东县期末）已知点在内，若，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，， ， ， ，， ， ． 故选：． 考点六：三角形的外角性质 例6．（2023秋•裕安区校级期中）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：由三角板的性质可得：，， ． 故选：． 【变式6-1】（2023秋•合肥期末）如图，在中，是延长线上一点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：是的外角， ， ，， ， 故选：． 【变式6-2】（2023秋•宁国市期末）将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：如图，由题意，， 由外角的性质可得：， 故选：． 【变式6-3】（2023秋•海曙区校级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：， ， 故选：． 1．（2023秋•弋江区期末）以下列各组长度为边，能构成三角形的是　　 A．1，2，5 B．2，3，5 C．2，2，5 D．2，5，5 【答案】 【解答】解：、，不能构成三角形，不符合题意； 、，不能构成三角形，不符合题意； 、，不能构成三角形，不符合题意； 、，能构成三角形，符合题意． 故选：． 2．（2023秋•宿松县期末）一个三角形的两边长分别为3和8，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是　　 A．17 B．16 C．15 D．6 【答案】 【解答】解：设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， 为整数， 的最小值为6， 则三角形的最小周长为． 故选：． 3．（2023秋•宁国市期末）嘉兴某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将3根木棒首尾相连围成一个三角形，其中两根木棒的长分别为、，则该三角形的周长可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设第三根木棒长， 两根木棒的长分别为、， ， 即， 该三角形的周长， ， 故选：． 4．（2023秋•和县期末）已知的三个内角度数之比为，则此三角形是　　三角形． A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不能确定 【答案】 【解答】解：的三个内角度数之比为， 设三角的度数分别为：， 解得：， 三个内角的度数分别为：， 此三角形为锐角三角形． 故选：． 5．（2023秋•安庆期末）若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】 【解答】解：三角形三个内角度数的比为， 三个内角分别是，，． 所以该三角形是锐角三角形． 故选：． 6．（2023秋•利辛县校级期末）已知三角形三条边长分别是2、、3，且为奇数，则　3　． 【解答】解：根据三角形的三边之间的关系得：， ， 为奇数， ． 故答案为：3． 21．（2023秋•固镇县期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 　13　． 【解答】解：设第三边长为， ， 第三边为整数， 最小整数为4， 周长最小为， 故答案为：13． 7．（2023秋•淮北期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则　30　． 【解答】解：是中的平分线，是的外角的平分线， ，， 是的外角， ， 故答案为：． 8．（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，、分别是、上的点，点在的延长线上，，，，则． 【解答】解：， ， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 9．（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　　． 【答案】． 【解答】解：， 将折叠， 小三角形折叠的两个角的和为， ． 故答案为：． 10．（2023秋•利辛县校级期末）如图，是的角平分线，点在是上，交于点，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）是的平分线， ， ， ． ， ； （2），是 的平分线， ，， ， ， ． 11．（2024春•庐江县期末）如图，已知．点为、之间一点． （1）如图1，当平分，平分．求证； （2）如图2，若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，求的度数； （3）如图3，若点是射线上一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于 【答案】（1）证明见解答； （2）； （3），证明见解答． 【解答】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：， 证明：过点作，过点作，如图2所示： ， ，， ，，，， ，， ，，平分，平分， ，， ，， ； （3）解：， 证明：， ， 平分，平分， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$